Sự hội tụ và ổn định tiệm cận của phương pháp galerkin đối với phương trình parabolic tuyến tính có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ NGỌC BÍCH SỰ HỘI TỤ VÀ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI–2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ NGỌC BÍCH SỰ HỘI TỤ VÀ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ Chun ngành: Giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THÀNH ANH HÀ NỘI–2018 i LỜI CẢM ƠN Trước trình bày nội dung luận văn, tác giả xin chân thành cảm ơn Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, nơi mà tác giả hoàn thành chương trình cao học giảng dạy nhiệt tình tâm huyết Thầy, Cô Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Anh, người Thầy trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình giúp đỡ để tác giả hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, người giúp đỡ chia sẻ với tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành luận văn Tác giả Trần Thị Ngọc Bích ii LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn kết nghiên cứu riêng hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh Trong trình nghiên cứu, tơi kế thừa thành khoa học với trân trọng biết ơn Các kết trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà nội, tháng 11 năm 2017 Tác giả Trần Thị Ngọc Bích iii Mục lục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp luận văn iv iv v v v v vi Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Sobolev 1.2 Một số bất đẳng thức Chương SỰ HỘI TỤ VÀ ỔN ĐỊNH TIÊM CẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ 2.1 Phát biểu toán 2.2 Phương pháp Galerkin nửa rời rạc 2.2.1 Xây dựng nghiệm xấp xỉ 2.2.2 Sự hội tụ 2.2.3 Sự ổn định 13 2.3 Phương pháp Galerkin rời rạc 14 2.3.1 Phương pháp Euler - Galerkin lùi 14 2.3.2 Phương pháp Grank - Nicolson - Galerkin 18 KẾT LUẬN 23 TÀI LIỆU THAM KHẢO 24 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các tốn biên ban đầu phương trình parabolic mơ hình tốn học nhiều ứng dụng thực tế khác Giải số toán thường dùng phương pháp phần tử hữu hạn không gian Trong khuôn khổ đề tài luận văn chúng tơi quan tâm đến giải số tốn biên ban đầu, hội tụ ổn định tiệm cận dãy nghiệm xấp xỉ phương trình parabolic tuyến tính có trễ Bởi vậy, hướng dẫn TS Nguyễn Thành Anh, chọn đề tài : " Sự hội tụ ổn định tiệm cận phương pháp Galerkin phương trình parabolic tuyến tính có trễ" Luận văn hồn thành dựa chủ yếu vào kết khoa học toán [7] danh mục tài liệu tham khảo Chúng xét toán biên ban đầu     ut (x, t) = auxx (x, t) + buxx (x, t − τ ), t > 0, x ∈ Ω := [0, π ]    (2.1) u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ −τ       u(x, t) = φ(x, t), −τ ≤ t ≤ 0, x ∈ Ω a > 0, b ≥ τ > Sự tồn nghiệm tính trơn nghiệm tốn kết có Việc giải số toán trường hợp khơng có trễ nhận nhiều kết phong phú v Mục đích nghiên cứu Trong luận văn này, trường hợp tốn có trễ, chúng tơi nghiên cứu hội tụ tính ổn định tiệm cận dãy nghiệm xấp xỉ phương pháp Galerkin bán rời rạc (chỉ rời rạc theo phương không gian) rời rạc tồn phần (cả theo phương khơng gian thời gian) Nhiệm vụ nghiên cứu - Giới thiệu số kiến thức chuẩn bị bao gồm không gian Sobolev số bất đẳng thức, đặc biệt bất đẳng thức Gronwall dạng tích phân dạng rời rạc - Tìm hiểu tổng quan toán - Xây dựng dãy nghiệm xấp xỉ, thiết lập đánh giá hội tụ nghiệm xấp xỉ - Nghiên cứu trình bày kết hội tụ tính ổn định phương pháp Galerkin nửa rời rạc Galerkin rời rạc toàn phần Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Sự hội tụ ổn định tiệm cận phương pháp Galerkin phương trình parabolic tuyến tính có trễ - Phạm vi nghiên cứu: Dãy nghiệm xấp xỉ, hội tụ ổn định tiệm cận phương pháp Galerkin Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu tham khảo theo phương pháp: Hệ thống lại kiến thức có liên quan, phân tích, tổng hợp vi Dự kiến đóng góp luận văn Qua đề tài tơi trình bày chi tiết, thiết lập đánh giá hội tụ nghiệm xấp xỉ ổn định tiệm cận để đến kết hội tụ tính ổn định phương pháp Galerkin toàn phần Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Không gian Sobolev Cho Ω miền Rd (d = 1, 2, 3) k C ∞ (Ω) = {u : Ω → R khả vi vô hạn} = ∩∞ k=0 C (Ω) Cc∞ (Ω) kí hiệu hàm C ∞ (Ω) với giá compact Lp (Ω) = {u : Ω → R|u đo Lebesgue, ||u||Lp (Ω)H r = 0≤|α|≤r Ω 11 Giả sử τ ≤ t − kτ ≤ 0, ||ρ(t − kτ )||−l = ||u(t − kτ ) − Dh u(t − kτ )||−l = ||u(t − kτ ) − Rh u(t − kτ )||−l ≤ C.hr+l ||u(t − kτ )||r Điều với (2.9) chứng minh định lý Định lý sau chứng minh tương tự Định lý 2.2.2 Định lí 2.2.3 Cho u nghiệm (2.1) Giả sử ||ut (t) − Rh ut (t)||i = ||ut (t) − (Rh u)t (t)||i ≤ Chr+i ||ut (t)||r , i = 1, 2; −τ ≤ t ≤ ρ(t) = u(t) − Dh u(t) Khi ||ρt (t)|| + h||ρt (t)||1 ≤ Chr , t > (2.10) Định lí 2.2.4 Cho u uh tương ứng nghiệm (2.1) (2.3) Giả sử ||u(t) − Rh u(t)||i ≤ Chr+i ||u(t)||r ||ut (t) − Rh ut (t)||i ≤ C.hr+i ||ut (t)||r , −τ ≤ t ≤ ||φh (t) − φ(t)||i ≤ Chr , i = 0, Khi ||uh (t) − u(t)|| ≤ Chr , t > Chứng minh Kí hiệu uh (t) − ut (t) = φ(t) + ρ(t), θ(t) = uh (t) − Dh u(t), ρ(t) = Dh u(t) − u(t) (2.11) Bởi Định lý 2.2.2, ta có ||ρ(t)|| ≤ Chr Để đánh giá θ(t), ta có (θ(t), χ) + a(∇θ(t), ∇χ) + b(∇θ(t − τ ), ∇χ) = (uh,t , χ) − (Dh ut (t), χ) + a(∇uh (t), ∇χ) − a(∇Dh u(t), ∇χ) + b(∇uh (t − τ ), ∇χ) − b(∇Dh u(t − τ ), ∇χ) (2.12) 12 = (uh,t , χ) − (Dh u(t), χ) + a(∇uh (t), ∇χ) − a(∇u(t), ∇χ) + b(∇uh (t − τ ), ∇χ) − b(∇u(t − τ ), ∇χ) = (ut (t) − Dh ut (t), χ) = −(ρt (t), χ), χ ∈ Shr (2.13) Lấy χ = θ(t), ta 1d ||θ(t)||2 + a||θ(t)||21 ≤ C (||θ(t − τ )||1 ||θ(t)||1 + ||ρt (t)||||θ(t)||) dt Do 1d ||θ(t)||2 + dt Giả sử t ∈ [(k − 1)τ, kτ ], a ||θ(t)||21 ≤ C (||θ(t − τ )||21 + ||ρt (t)||||θ(t)||) k ∈ N Lấy tích phân hai vế [(k − 1)τ, t], ta có t t ||θ(s)||21 ds ||θ(t)|| + ||θ(s − τ )||21 ds ≤ C (||θ(k − 1)τ || + (k−1)τ (k−1)τ t ||ρt (s)||θ(s)||ds) + (k−1)τ Lưu ý t t ||θ(s)||21 ds ≤ C (||θ(k − 1)τ )|| + (k−1)τ t ||θ(s − τ )||21 ds (k−1)τ t ||θ(s)||21 ds = C (||θ((k − 1)τ )|| + ||ρt (s)||||θ(s)||ds) + (k−1)τ t−τ ||ρt (s)||||θ(s)||ds) + (k−1)τ t−2τ (k−2)τ ≤ C (||θ((k − 1)τ )||2 + ||θ((k − 2)τ )||2 + ||θ(s)||21 ds (k−3)τ t t−τ ||ρt (s)||||θ(s)||ds + + (k−1)τ k−1 k−1 t−kτ ||θ(iτ )|| + C( ||ρt (s)||||θ(s)||ds ≤ (k−2)τ −τ i=0 ||θ(s)||21 ds t−(k−i−1)τ ||ρt (s)||||θ(s)||ds) + i=0 iτ Do k−1 ||θ(t)|| ≤ C k−1 t−kτ 2 ||θ(iτ )|| + −τ i=0 t−(k−i−1)τ ||θ(s)||21 ds+ ||ρt (s)||||θ(s)||ds i=0 iτ Do k−1 ||θ(kτ )|| ≤ C ( ||θ(iτ )|| + i=0 k−1 2 −τ ||θ(s)||21 ds (i+1)τ ||ρt (s)||||θ(s)||ds) + i=0 iτ 13 Sử dụng Bất đẳng thức Gronwall rời rạc, ta có k−1 2 ||θ(kτ )|| ≤ C (||θ(0)|| + −τ ||θ(s)||21 ds (i+1)τ ||ρt (s)||||θ(s)||ds) + i=0 iτ Do t 2 ||θ(t)|| ≤ C (||θ(0)|| + −τ ||θ(s)||21 ds t ||θ(s)||2 ds) ||ρt (s)|| ds + + 0 Suy ||θ(t)|| ≤ Chr , theo Bất đẳng thức Gronwall giả thiết định lý Định lý chứng minh 2.2.3 Sự ổn định Định nghĩa 2.2.5 Nếu nghiệm uh (x, t) (2.3) tương ứng với hàm khả vi φh (x, t) với φh (0, t) = φh (π, t) = thỏa mãn lim uh (x, t) = 0, x ∈ [0; π ], t→∞ nghiệm khơng (2.3) ổn định tiệm cận Định lí 2.2.6 Nghiệm không (2.3) ổn định tiệm cận với a > b Chứng minh Giả sử α(t) = eλt C1 , với C1 véc tơ Phương trình đặc trưng (2.4): ||λI + aA−1 B + bA−1 Be−λτ || = 0, (2.14) tương đương với λ = −(a + be−λτ )λA−1 B , đó: λA−1 B giá trị riêng A−1 B Vì A, B > xác định dương nên λA−1 B > Mặt khác B ma trận xác định dương nên tồn ma trận khả nghịch C cho C : ∃ B = C T C CA−1 BC −1 = CA−1 C T CC −1 = CA−1 C T xác định dương đồng dạng với A−1 B 14 Giả sử λ = λ1 + iλ2 Khi    λ1 = −(a + be−λ1 τ cos λ2 τ )λA−1 B   λ2 = be−λ1 τ sin λ2 τ λA−1 B Nếu λ1 ≥ a + be−λ1 τ cos λ2 τ ≥ a − b λ1 = −(a + be−λ1 τ cos λ2 τ )λA−1 B ≤ −(a − b)λA−1 B < 0, mâu thuẫn Do a > b λ1 < Vậy nghiệm không (2.3) ổn định tiệm cận 2.3 Phương pháp Galerkin rời rạc 2.3.1 Phương pháp Euler - Galerkin lùi τ bước nhảy với số nguyên m ≥ m Các điểm lưới tn xác định tn = n∆t, n = 0, 1, 2, un xấp xỉ Shr uh (t) t = tn = n∆t Phương pháp Euler - Galerkin lùi cho (2.3) sau Cho ∆t = un − un−1 , χ + a(∇un , ∆χ) + b(∇un−m , ∇χ) = 0, n > 0, χ ∈ Shr ∆t (2.15) un (.) := φh (., tn ), với −m ≤ n ≤ Nh Φi (x)αjn Khi (2.15) rút gọn thành n Lấy u (x) = i=1 ∆t Nh αin (Φi , Φj ) i=1 − ∆t Nh αjn−1 (Φi , Φj ) i=1 Nh Nh αin (∇Φi , ∇Φj ) = −a αin−m (∇Φi , ∇Φj ) −b i=1 i=1 Dùng ký hiệu Mục 2.2, toán viết thành    (A + a∆tB )αn = Aαn−1 − b∆tBαn−m , n >   αn = γ n , −m ≤ n ≤ (2.16) 15 với γ n véc tơ xấp xỉ φh (tn ) αn = (α1 , , αNh )T Bài tốn có nghiệm với n > 2.3.1.1 Sự hội tụ Định lí 2.3.1 Cho u un tương ứng nghiệm (2.1) (2.15) Giả sử ||u(t) − Rh u(t)||i ≤ Chr+i ||u(t)||r , ||ut (t) − Rh ut (t)||i ≤ Chr+i ||ut (t)||r , −τ ≤ t ≤ ||φh (t) − φ(t)||i ≤ Chr , i = 0, Khi ||un − u(tn )|| ≤ C (hr + ∆t), n = 1, 2, Chứng minh Kí hiệu un − u(tn ) = (un − Dh u(tn )) + (Dh u(tn ) − u(tn )) = θn + ρn ρn = ρ(tn ) đánh (2.12) Các tính tốn tương tự (2.13) ta có: θn − θn−1 , χ + a(∇θn , ∇χ) + b(∇θn−m , ∇χ) = −(ω n , χ), ∀χ ∈ Shr , ∆t ωn = Dh u(tn ) − Dh u(tn − 1) − ut (tn ) ∆t = (Dh − I )∂u(tn ) + (∂u(tn ) − ut (tn )) =: ω1n + ω2n , ∂u(tn ) := u(tn ) − u(tn−1 ) ∆t Chọn χ = θn ta có: θn − θn−1 n , θ + a||θn ||21 + b(∇θn−m , ∇θn ) = −(ω n , θn ) ∆t Theo bất đẳng thức Schwarz θn − θn−1 n , θ + ||θn ||21 ≤ C (||θn−m ||21 + ||ω n ||||θn || ∆t (2.17) 16 Do ||θn ||2 + ∆t||θn ||21 ≤ C ||θn−1 ||2 + ∆t||θn−m ||21 + (∆t)2 ||ω n ||2 , Không tính tổng quát, giả sử n ∈ [(k − 1)m, km], k ∈ N Khi ∆t||θn ||21 ≤ C (||θn−1 ||2 + ∆t||θn−m ||21 + (∆t)2 ||ω n ||2 ) ≤ C (||θn−1 ||2 + ||θn−m−1 ||2 + ∆t||θn−2m ||21 + (∆t)2 ||ω n ||2 + (∆t)2 ||ω n−m ||2 ) k−1 ≤ ··· ≤ C k−1 ||θ n−im−1 || + ∆t||θn−km ||21 ||ω n−im ||2 + (∆t) i=0 i=0 Do k−1 n ||θ || ≤ C k−1 ||θ n−im−1 || + ∆t||θn−km ||21 ||ω n−im ||2 + (∆t) i=0 (2.18) i=0 Từ đây, sử dụng bất đẳng thức Gronwall rời rạc, ta nhận k−1 n ∆t||θn−km ||21 ||θ || ≤ C ||θ || + + (∆t) ||ω n−im ||2 i=1 Ta viết tn ω1n = (Dh − I )∂u(tn ) = ∆t−1 tn−1 d (Dh − I )u(t)dt dt Do k−1 (∆t) ||ω1n−im ||2 k−1 tn−im i=1 k−1 tn−im−1 = i=0 d (Dh − I )u(t)dt dt tn−im Chr ||u(t)||r dt ≤ i=0 2 ≤ Ch2r tn−im−1 Mặt khác ∆tω2i = u(ti ) − u(ti−1 ) − ∆tut (ti ) ti =− (t − ti−1 )utt (t)dt ti−1 Do k−1 k−1 ||ω2n−im ||2 (∆t) i=0 tn−im (t − tn−im−1 )utt (t)dt||2 || = i=0 tn−im−1 (2.19) 17 k−1 tn−im ≤ (∆t) utt (t)dt||2 ≤ C (∆t)2 || (2.20) tn−im−1 i=0 Từ đây, với (2.18), (2.19) giả sử định lý định lý chứng minh 2.3.1.2 Sự ổn định Định nghĩa 2.3.2 Nếu nghiệm un (2.15) ứng với hàm khả vi φh (x, t) với φh (0, t) = φh (π, t) = thỏa mãn lim un = 0, x ∈ [0, 1], n→∞ nghiệm khơng (2.15) gọi ổn định tiệm cận Đặt K = [xi , xi+1 ] phần tử hữu hạn, K = [−1, 1] Bằng phép đổi biến x → ξ từ K vào K, ta có h Φi Φj dx = Φi Φj dξ, K K ∇Φi ∇Φj dx = K h ∇Φi Φj dξ K Theo (2.16), ta có h h A+ 2a∆t −1 2a∆t 2b∆t h A+ B 2 h h h −1 4a∆t −1 4b∆t 4a∆t −1 n−1 = I+ A B α − I + A B 2 αn = B Aαn−1 − h h −1 −1 h Bαn−m A−1 Bαn−m , (2.21) A = (ajk ), B = (bjk ) ma trận với phần tử (ajk ) = (Φj , Φk ), bjk = (∇Φj , ∇Φk ) Lấy αn = λn C1 Phương trình đặc trưng (2.21) λm − + 4a∆t h2 −1 λA−1 B λm−1 + 4b∆t h2 1+ 4a∆t h2 −1 λA−1 B λA−1 B = 0, (2.22) Trong λA−1 B giá trị riêng A−1 B Do đó, nghiệm khơng tốn (2.15) ổn định tiệm cận độc lập với trễ (2.22) đa thức Schur với m ≥ 1, nghĩa tất không điểm có mơ đun bé Để chứng minh đa thức đặc trưng (2.22) Schur, ta cần bổ đề sau 18 Bổ đề 2.3.3 (Xem [11]) Cho γm (z ) = α(z )z m − β (z ) đa thức Trong α(z ), β (z ) đa thức bậc không đổi Khi đa thức γm (z ) đa thức Schur với m ≥ điều kiện sau thỏa mãn (a) α(z ) = ⇒ |z| < 1, (b) |β (z )| ≤ |α(z )|, ∀z ∈ C, |z| = 1, (c) γm (z ) = 0, ∀z ∈ C, |z| = 1, ∀m ≥ Định lí 2.3.4 Giả sử ≤ b < a Khi nghiệm khơng tốn (2.15) ổn định tiệm cận độc lập với trễ Chứng minh Kí hiệu α(λ) = λ − + 4a∆t h2 −1 λA−1 B , 4a∆t −4b∆t 1+ λ −1 h h2 A B β (λ) = (a) Nếu α(λ) = |λ| = + 4a∆t h2 −1 λA−1 B −1 λA−1 B < (b) Với ∀λ ∈ C, |λ| = 1, ta có 4a∆t |α(λ)| = λ − + 4a∆t h2 ≥ 1+ 4a∆t h2 λA−1 B 4a∆t h2 λA−1 B −1 λA−1 B = λ−1+ λ −1 h2 A B 4a∆t 1+ λ −1 h2 A B 4b∆t > λ −1 h2 A B = |β (λ)| 4a∆t 1+ λ −1 h2 A B (c) suy từ (b) Định lý chứng minh 2.3.2 Phương pháp Grank - Nicolson - Galerkin Phương pháp Grank - Nicolson - Galerkin (2.3) tương ứng với (2.17) cho phương pháp Euler lùi dẫn đến q trình số có dạng sau ∇un + ∇un−1 ∇un−m + ∇un−m−1 un − un−1 ,χ + a , ∇χ + b , ∇χ = ∆t 2 (2.23) 19 với n > 0, un (.) = φh (., tn ), với −m ≤ n ≤ Nh Lấy un (x) = i=1 Φi (x)αin Khi (2.23) trở thành ∆ Nh αin (Φi , Φj ) i=1 =− a − ∆t Nh αin−1 (Φi , Φj ) i=1 Nh (αin + αin−1 )(∇Φi , ∇Φj ) i=1 − b Nh (αin−m + αin−m−1 )(∇Φi , ∇Φj ), n > i=1 (2.24) Với ký hiệu mục 2.2, Bài tốn 2.24 viết thành    (A + a ∆tB )αn = (A − a ∆tB )αn−1 − ∆t b Bαn−m − ∆t b Bαn−m−1 , n > 2 2   αn = γ n Bài tốn có nghiệm với ∀n dương 2.3.2.1 Sự hội tụ Định lí 2.3.5 Cho u U n tương ứng nghiệm (2.1) (2.23) Giả sử ||u(t) − Rh u(t)||i ≤ Chr+i ||u(t)||r ||ut (t) − Rh ut (t)||i ≤ Chr+i ||ut (t)||r , −τ ≤ t ≤ ||φh (t) − φ(t)||i ≤ Chr , i = 0, Khi ||un − u(tn )|| ≤ C (hr + (∆t)2 ), n = 1, 2, Chứng minh Kí hiệu un − u(tn ) = (un − Dh u(tn )) + (Dh u(tn ) − u(tn )) = θn + ρn , ρn = ρ(tn ) Đánh giá ρn tương tự (2.11) Từ (2.12) ta có θn − θn−1 ∇θn + ∇θn−1 ∇θn−m + ∇θn−m−1 ,χ + a , ∇χ + b , ∇χ ∆t 2 20 = −(ω n , χ), ∀χ ∈ Shr , (2.25) Dh u(tn ) − Dh u(tn−1 ) ut (tn ) + ut (tn−1 ) − ∆t ut (tn ) + ut (tn−1 ) = (Dh − I )∂u(tn ) + (∂u(tn ) − ) := ω1n + ω2n ωn = Chọn χ = θn + θn−1 Ta có θn + θn−1 ∇θn−m + ∇θn−m−1 ∇θn + ∇θn−1 θn − θn−1 θn + θn−1 , + a|| ||1 + b , ∆t 2 2 n n−1 θ +θ = −(ω n , ) Sử dụng bất đẳng thức Schwarz θn − θn−1 θn + θn−1 θn + θn−1 ||θn−m + θn−m−1 ||21 , + || ||1 ≤ C + ∆t 2 θn + θn−1 ||ω n |||| || Do ||θn ||2 + ∆t|| θn + θn−1 ||21 ≤ C ||θn−1 ||2 + ∆t|| θn−m + θn−m−1 ||21 + (∆t)2 ||ω n ||2 Khơng tính tổng qt, giả sử n ∈ [(k − 1)m, km], k ∈ N Khi ∆t|| θn + θn−1 ||21 ≤ C ||θn−1 ||2 + ∆t|| ≤ C ||θn−1 ||2 + ||θn−m−1 ||2 + ∆t|| k−1 ≤ ··· ≤ C ||θ n−im−1 || + ∆t|| θn−m + θn−m−1 θn−2m + θn−2m−1 θn−km + θn−km−1 i=0 ||21 + (∆t)2 ||ω n ||2 ||21 + (∆t)2 (||ω n ||2 + ||ω n−m ||2 ) k−1 ||21 + (∆t) ||ω n−im ||2 ) i=0 Do k−1 n ||θ || ≤ C ||θ i=0 n−im−1 || + ∆t|| θn−km + θn−km−1 k−1 ||21 + (∆t) ||ω n−im ||2 i=0 21 Theo bất đẳng thức Gronwall n 2 ||θ || ≤ C ||θ|| + ∆t|| θn−km + θn−km−1 k−1 ||21 ||ω n−im ||2 + (∆t) i=0 Ta có tn ω1n −1 = (Dh − I )∂u(tn ) = ∆t (Dh − I )ut (t)dt, tn−1 k−1 k−1 ||ω1n−im ||2 (∆t) tn−im Chr ||ut (t)||r dt ≤ i=1 ≤ Ch2r (2.26) tn−im−1 i=1 Hơn ||∆tω2i || = ||u(ti ) − u(ti−1 ) − ∆t ut (ti ) + u + ut (ti−1 ) ti || ≤ C (∆t) ||uttt (t)||dt, ti−1 k−1 k−1 ||ω2n−im ||2 (∆t) tn−im ≤ C (∆t) i=1 ||uttt (s)||dt i=1 ≤ C (∆t)4 (2.27) tn−im−1 Định lý chứng minh 2.3.2.2 Sự ổn định Từ (2.24) ta có a∆t −1 h a∆t b∆t h a∆t B A− B αn−1 − A+ B h h h h 2a∆t −1 2a∆t −1 A B )( I − A B )αn−1 = (I + 2 h h 2b∆t 2a∆t −1 −1 −1 − (I + A B ) A B (αn−m + αn−m−1 ) h h αn = h A+ −1 B (αn−m + αn−m−1 ) (2.28) Lấy αn = λn C1 Phương trình đặc trưng (2.28) 1− 2a∆t 2b∆t λA−1 B 2 m−1 h h λ − λ − (λ + 1) = 2a∆t 2a∆t 1+ λ −1 1+ λ −1 h2 A B h2 A B m λA−1 B (2.29) 22 Định lí 2.3.6 Giả sử ≤ b < a Khi nghiệm khơng lược đồ Grank Nicolson (2.23) ổn định tiệm cận độc lập với trễ Chứng minh Kí hiệu 1− α(λ) = λ − 2a∆t 2b∆t λ −1 h2 h2 A B (λ + 1) , β (λ) = 2a∆t 2a∆t λA−1 B λ −1 1+ 1+ h h2 A B 1− λA−1 B 2a∆t λ −1 h2 A B , < 2a∆t 1+ λ −1 h2 A B (b) Với ∀λ ∈ C, |λ| = 1, khí hiệu λ = cos θ + i sin θ, ta có (a) Nếu α(λ) = |λ| = 2i sin θ λ − cos θ − + i sin θ = = λ+1 cos θ + + i sin θ + cos θ Do ta có 2a∆t λ− α(λ) = λ+1 2a∆t h2 ≥ 1+ λ −1 h2 A B 2a∆t λ −1 1+ h2 A B = λ+1 λA−1 B 2a∆t h2 λA−1 B 2b∆t 2a∆t λA−1 B λ−1 h + 2a∆t 2a∆t (λ + 1)(1 + + λ ) λ −1 − h2 A B h2 A B λA−1 B β (λ) h > = 2a∆t λ+1 1+ λ −1 h2 A B (c) suy từ (b) Định lý chứng minh 23 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số kết hội tụ ổn định tiệm cận phương pháp Galerkin phương trình parabolic tuyến tính có trễ cho (2.1) Các kết bao gồm: - Thiết lập đánh giá hội tụ nghiệm xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc, chứng tỏ nghiệm không hệ xấp xỉ ổn định tiệm cận - Thiết lập đánh giá hội tụ nghiệm xấp xỉ Galerkin nửa rời rạc, chứng tỏ nghiệm không hệ xấp xỉ ổn định tiệm cận hai phương pháp: - Phương pháp Euler - Galerkin lùi - Phương pháp Grank - Nicolson - Galerkin Hướng nghiên cứu luận văn mở rộng cho hệ parabolic có trễ Chắc chắn luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót, kính mong ý kiến đóng góp q thầy, bạn bè để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 24 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Ashyralyev, D Agirseven, On convergence of difference schemes for delay parabolic equations Comput Math Appl 66(2013)1232-1244 [2] A Bellen, M Zennaro, Numerical Methods for Delay Differential Equations, Clarendon Press, Oxford, 2003 [3] H Brunner, Collocation Methods for Volterra Integral and Related Functional Equations, Cambridge University Press, Cambridge, 2004 [4] H Brunner, K Mustapha, H Mustapha, D Schoetzau, An HP - version discontinuous Galerkin method for integro - differential equations of parabolic type, SIAM J Numer Anal 49 (2011) 1369 - 1396 [5] C.M Chen, T Shih, Finite Element Methods for Integrodifferential Equations, Word Scientific, Singapore, 1998 [6] D Green, H.W Stech, Diffusion and hereditary effects in a class of population models, in: S N Busenberg, K L Cooke (Eds.), Differential Equations and Applications in Ecology, Epidemics, and Population Problems, Academic Press, New York, 1981 [7] H Liang, M Z Liu, W J Lv, Stability of θ− methods in the numerical solution of a partial differential equation with piecewise continuous arguments, Appl Math Lett 23 (2010) 198-206 [8] H Liang, Convergence and asymptotic stability of Galerkin methods of for linear parabolic equation with delays, Applied Mathematics and Computation, 264(2015) 160-178 [9] V Thomee, Galerkin Finite Element Methods for Parabolic Problems, Springer, New York, 1997 25 [10] HJ Tian, Asymptotic stability of numerical methods for linear delay parabolic differential equations, Comput Math Appl 56(2008) 1758 - 1765 [11] M.Z Liu, M.N Spijker, The stability of the θ− methods in the numerical solution of delay differential equations, IMAJ Numer Anal 10 (1990) 3148 ... Chương SỰ HỘI TỤ VÀ ỔN ĐỊNH TIÊM CẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ 2.1 Phát biểu toán 2.2 Phương pháp Galerkin nửa... Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Sự hội tụ ổn định tiệm cận phương pháp Galerkin phương trình parabolic tuyến tính có trễ - Phạm vi nghiên cứu: Dãy nghiệm xấp xỉ, hội tụ ổn. ..BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ NGỌC BÍCH SỰ HỘI TỤ VÀ ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN CỦA PHƯƠNG PHÁP GALERKIN ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CĨ TRỄ Chun ngành: