Về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình tích phân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2PHÍ THỊ PHƯƠNG THẢO VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Toán Giải Tích Mã số : 60 46 01 02

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÍ THỊ PHƯƠNG THẢO

VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP KIỂU NEWTON

VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG

TRÌNH TÍCH PHÂN

Chuyên ngành: Toán Giải Tích

Mã số : 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Khuất Văn Ninh

Hà Nội, 2014

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh, người

đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sưphạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Phí Thị Phương Thảo

Lời cam đoan

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, dưới sựhướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi, dưới sựhướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh Trong quá trình nghiên cứu vàhoàn thành luận văn, tôi đã thừa kế thành quả khoa học của các nhà khoahọc và các đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn Một số kết quả đạtđược trong luận văn là mới và chưa từng được công bố trong bất kỳ côngtrình khoa học nào

Hà Nội, tháng 7 năm 2014

Tác giả

Phí Thị Phương Thảo

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4

1.1 Không gian mêtric, không gian định chuẩn 4

1.1.1 Không gian mêtric 4

1.1.2 Không gian định chuẩn 5

1.1.3 Không gian Banach, một số không gian hàm, nguyên lý ánh xạ co 6

1.2 Đạo hàm Fréchet 10

1.3 Khái niệm về phương trình tích phân 18

1.3.1 Phương trình toán tử 18

1.3.2 Phương trình tích phân 19

1.4 Các định lý về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các phương trình tích phân phi tuyến 23

Chương 2 Ứng dụng phương pháp Newton-Kantorovich để giải phương trình tích phân phi tuyến 25

2.1 Phương pháp Newton-Kantorovich 25

2.1.1 Phương pháp làm trội 25

2.1.2 Phương pháp Newton-Kantorovich 30

2.2 Phương pháp Newton-Kantorovich giải phương trình tích phân phi tuyến 33

2.2.1 Thuật toán giải phương trình tích phân phi tuyến theo phương pháp Newton-Kantorovich

35 2.2.2 Thuật toán giải phương trình tích phân phi tuyến theo phương pháp Newton-Kantorovich cải biên 36

1

cầu phương 43

2.3.1 Phương pháp cầu phương 43

2.3.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến 44

2.4 Sai số 45

Chương 3 Sự kết hợp phương pháp cầu phương và phương pháp Newton-Raphson để giải phương trình tích phân phi tuyến 59 3.1 Phương pháp Raphson 59

3.2 Sự kết hợp phương pháp cầu phương và phương pháp Newton-Raphson để giải phương trình tích phân phi tuyến

64 Kết luận 80

Tài liệu tham khảo 82

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến) là một phương pháp được

sử dụng rộng rãi trong việc giải phương trình phi tuyến Phương pháp đóđược nhà toán học Raphson phát triển để giải hệ phương trình phi tuyếnnhiều biến Vào giữa thế kỉ trước phương pháp Newton được nhà toán họcKantorovich phát triển để giải phương trình toán tử trong các không gianBanach Tư tưởng chính của phương pháp Newton là tuyến tính hóa bàitoán giải phương trình phi tuyến Nghĩa là đưa bài toán giải phương trìnhphi tuyến về giải một dãy các phương trình tuyến tính, nghiệm của phươngtrình tuyến tính là nghiệm xấp xỉ của phương trình phi tuyến đã cho Hơnnữa tốc độ hội tụ của dãy nghiệm là tốc độ bình phương Lí thuyết phươngtrình tích phân phi tuyến là lĩnh vực quan trọng trong ngành toán học cả

về phương diện lí thuyết và ứng dụng Có nhiều phương pháp giải phươngtrình tích phân phi tuyến, trong đó việc giải đúng phương trình tích phânphi tuyến nói chung là việc làm khó khăn Người ta chỉ giải đúng được một

số phương trình đặc biệt, còn đa số là phải giải xấp xỉ Với mong muốn tìmhiểu sâu hơn về phương pháp Newton và các mở rộng của nó (phương phápkiểu Newton) cả về lí thuyết và ứng dụng trong việc giải phương trình tíchphân phi tuyến nên tôi chọn nghiên cứu đề tài "Về sự hội tụ của phươngpháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình tích phân "

1

2 Mục đích nghiên cứu

Luận văn nghiên cứu một số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tíchphân phi tuyến, ứng dụng vào giải một số phương trình tích phân cụ thể,giải số trên máy tính

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu cách giải một số phương trình tích phân phi tuyến Phân tíchcác ưu nhược điểm của từng phương pháp Nêu ứng dụng của từng phươngpháp vào giải một số phương trình tích phân cụ thể

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

- Phương pháp cầu phương;

- Phương pháp Newton - Raphson;

- Phương pháp Newton - Kantorovich;

- Sự kết hợp của phương pháp cầu phương và phương pháp Raphson, sự kết hợp của phương pháp Newton-Kantorovich và phươngpháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến;

Newton Một số ứng dụng vào các phương trình tích phân cụ thể và giải số trênmáy tính phần mềm Maple

5 Phương pháp nghiên cứu

Vận dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, các phương pháp của giải tích

cổ điển, lí thuyết phương trình tích phân, giải tích hàm, giải tích số và lậptrình cho máy tính Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan

6 Đóng góp mới của đề tài

Hệ thống những điều kiện hội tụ của các phương pháp kiểu Newton vàmột số ứng dụng vào giải phương trình tích phân phi tuyến Lập trình trênMaple để giải một số phương trình tích phân phi tuyến cụ thể

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian mêtric, không gian định chuẩn

1.1.1 Không gian mêtric

Định nghĩa 1.1.1 Cho X là một tập hợp tuỳ ý và X 6= ∅, một mêtrictrong X là một ánh xạ d : X × X → R thoả mãn các điều kiện sau:1) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;

Định nghĩa 1.1.3 Một dãy điểm {xn} trong không gian metric (X, d)được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

Suy ra {xn} là một dãy cơ bản trong X

Do X là không gian đầy đủ nên dãy {xn} hội tụ, tức là

1.1.2 Không gian định chuẩn

Cho X là một không gian vectơ trên trường P (P = R hoặc C)

Định nghĩa 1.1.5 Một chuẩn, kí hiệu k · k, trong X là một ánh xạ đi từ

X vào R thoả mãn các điều kiện:

1) kxk ≥ 0 với mọi x ∈ X;

2) kxk = 0 khi và chỉ khi x = θ (θ là kí hiệu phần tử không );

3) kλxk = |λ| kxk với mọi số λ ∈ P và mọi x ∈ X;

4) kx + yk ≤ kxk + kyk với mọi x, y ∈ X

Số ||x|| được gọi là chuẩn (hay độ dài) của vectơ x ∈ X Một không gianvectơ X cùng với một chuẩn xác định trong không gian ấy được gọi là mộtkhông gian định chuẩn (thực hoặc phức, tuỳ theo P là thực hay phức).Định lý 1.1.2 Giả sử X là một không gian định chuẩn Với mọi x, y ∈ X,đặt

d (x, y) = kx − yk Khi đó, d là một metric trên X

Định nghĩa 1.1.6 Dãy {xn} trong không gian định chuẩn X được gọi làhội tụ đến x0 ∈ X nếu

Ví dụ 1.1.3 Không gian vectơ Euclide n chiều En là không gian Banachvới chuẩn

kxk =

vuut

dễ thấy L[a;b] là không gian Banach

Ví dụ 1.1.5 Không gian vectơ C[a;b] Đối với hàm số bất kỳ x (t) ∈ C[a;b]

ta đặt

kxk = max

a≤t≤b|x (t)| ,

dễ thấy C[a;b] là không gian Banach

Định nghĩa 1.1.9 Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường P.Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y được gọi là tuyến tính nếuthoả mãn:

1) A (x + y) = Ax + Ay với mọi x, y ∈ X;

2) A (αx) = αAx với mọi x ∈ X, α ∈ P

A cũng được gọi là toán tử tuyến tính Khi đó, nếu A chỉ thoả mãn 1) thì

A được gọi là toán tử cộng tính; nếu A chỉ thoả mãn 2) thì A được gọi làtoán tử thuần nhất Khi Y = P thì toán tử A gọi là phiếm hàm tuyến tính.Định nghĩa 1.1.10 Cho không gian định chuẩn X và Y Toán tử tuyếntính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn nếu tồn tại hằng

số c ≥ 0 sao cho:

kAxk ≤ c kxk với mọi x ∈ X

Định nghĩa 1.1.11 Cho hai không gian định chuẩn X và Y Kí hiệuL(X, Y ) là tập tất cả toán tử tuyến tính bị chặn từ không gian X vàokhông gian Y Ta đưa vào L(X, Y ) hai phép toán:

L (X, Y )

kAk = sup

kxk≤1

kAxk, ∀A ∈ L (X, Y ) Khi đó, tập L(X, Y ) trở thành một không gian tuyến tính định chuẩn.Định lý 1.1.3 Nếu Y là một không gian Banach thì L(X, Y ) là khônggian Banach

Ví dụ 1.1.6 Các không gian hàm sau là các không gian Banach:

• C[a;b]-không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a; b];

là giới hạn của dãy {xn}, xn = Axn−1, n = 1, 2, , x0 ∈ X tuỳ ý và

d (xn, x∗) ≤ α

n

1 − αd (Ax0, x0) , n = 1, 2, trong đó α là hệ số co của ánh xạ co A

Chứng minh Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X và lập dãy xn = Axn−1, n =

lim

n→∞xn = x∗ ∈ X

d (xn+p, xn) ≤ α

n

1 − αd (Ax0, x0)cho p → ∞ ta được

d (xn, x∗) ≤ α

n

1 − αd (x1, x0) , n = 1, 2, Định lý được chứng minh

lim

khk→0

α x0, hkhk = 0.

T (h) gọi là vi phân của f tại x0, ký hiệu T (h) = df x0, h

Toán tử T gọi là đạo hàm Fréchet của f tại x0, ký hiệu T = f0(x0).Như vậy

df x0, h
= f0(x0) (h) Người ta còn gọi đạo hàm Fréchet, vi phân Fréchet là đạo hàm mạnh,

vi phân mạnh

Định nghĩa 1.2.2 Cho X, Y là hai không gian định chuẩn f : X →

Y, x0 ∈ X, h ∈ X, t ∈ R Nếu tồn tại toán tử A ∈ L(X, Y ) sao cho

lim

t→0

f (x0 + th) − f (x0)

thì A(h) gọi là vi phân yếu của f (vi phân Gâteaux), ký hiệu là dfw(x0, h)

A gọi là đạo hàm yếu của f (đạo hàm Gâteaux), ký hiệu là fw0 (x0)

Mối liên hệ giữa hai khái niệm đạo hàm mạnh, đạo hàm yếu (vi phânmạnh, vi phân yếu)

Định lý 1.2.1 Nếu f khả vi Fréchet tại x0 thì f khả vi Gâteaux tại x0 và

fw0 (x0) = f0(x0) , dfw(x0, h) = df (x0, h) Chứng minh Theo giả thiết hàm f khả vi Fréchet tại x0 cho nên, mọi h

Đẳng thức (1.2.1) tương đương với

f (x0 + th) − f (x0)

t = df (x0, h) +

1

tα (x0, th) ,hay

dfw(x0, h) = df (x0, h) Vậy f khả vi yếu và

dfw(x0, h) = df (x0, h) Định lý được chứng minh

Định lý 1.2.2 Nếu trong hình cầu kx − x0k ≤ r tồn tại vi phân yếu

dfw(x, h) liên tục đều theo x và liên tục theo h thì tồn tại vi phân mạnh

df (x, h) và

df (x, h) = dfw(x, h) Tính chất của đạo hàm Fréchet và vi phân Fréchet

1)

i) d(f + g) x0, h
= f0(x0) (h) + g0(x0) (h) ;

ii) d(αf ) x0, h
= αf0(x0) (h) , α ∈ R;

iii) (f0+ g0)(x0) = f0(x0) + g0(x0);

f(xi i) = f x01, x02, , x0i−1, xi, x0i+1, , x0n
Nếu fi có đạo hàm Fréchet tại điểm x0i thì đạo hàm đó gọi là đạo hàmriêng Fréchet của f theo xi tại điểm x0, ký hiệu

∂f

∂xi x

0
= fi
0

x0i
Khi X1 = X2 = · · · = Xn = Y = R thì đạo hàm riêng Fréchet trùng vớiđạo hàm riêng thông thường

Ví dụ 1.2.1 Ánh xạ f : R → R, ∀x0 ∈ R đạo hàm Fréchet f0(x0) là đạohàm theo nghĩa thông thường của f tại x0

khk→0

α x0, hkhk = 0.

Ánh xạ f thoả mãn (1.2.2) khi và chỉ khi f khả vi theo nghĩa thông thường

Ví dụ 1.2.3

Ánh xạ f : Rn → Rn, ∀x0 ∈ Rn xác định bởi

f (x) = (f1(x) , f2(x) , , fn(x))Ttrong đó x0 = x01, x02, , x0n
T, h ∈ Rn, h = (h1, h2, , hn)T và

Ta có

f x0 + h
− f x0
= Ah + α x0

, h
(1.2.3)và

lim

khk→0

α x0, hkhk = 0.

+) A là toán tử tuyến tính liên tục

kA (h)k = |A (h)| =

2

kA (h)k ≤ C khk Suy ra A bị chặn do đó A liên tục

α x0, h =

... data-page="30">

Chương Ứng dụng phương pháp Newton- Kantorovich để giải phương< /h3>

trình tích phân phi tuyến

2.1 Phương pháp Newton- Kantorovich

Phương pháp Newton (phương pháp. .. data-page="38">

2.2 Phương pháp Newton- Kantorovich giải phương trình< /h3>

tích phân phi tuyến

Bây ta áp dụng phương pháp Newton- Kantorovich vào giải phươngtrình (2.2.1)