Về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHÍ THỊ PHƯƠNG THẢO VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN Chun ngành: Tốn Giải Tích Mã số : 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Khuất Văn Ninh Hà Nội, 2014 Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để tơi hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Tốn giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tơi suốt q trình học tập Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập hồn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phí Thị Phương Thảo Lời cam đoan Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng tơi, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh Trong trình nghiên cứu hồn thành luận văn, tơi thừa kế thành khoa học nhà khoa học đồng nghiệp với trân trọng biết ơn Một số kết đạt luận văn chưa công bố cơng trình khoa học Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Phí Thị Phương Thảo Mục lục Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian mêtric, không gian định chuẩn 1.1.1 Không gian mêtric 1.1.2 Không gian định chuẩn 1.1.3 Không gian Banach, số không gian hàm, nguyên lý ánh xạ co 1.2 Đạo hàm Fréchet 10 1.3 Khái niệm phương trình tích phân 18 1.3.1 Phương trình tốn tử 18 1.3.2 Phương trình tích phân 19 1.4 Các định lý tồn nghiệm phương trình tích phân phi tuyến 23 Chương Ứng dụng phương pháp Newton-Kantorovich để giải phương trình tích phân phi tuyến 25 2.1 Phương pháp Newton-Kantorovich 25 2.1.1 Phương pháp làm trội 25 2.1.2 Phương pháp Newton-Kantorovich 30 2.2 Phương pháp Newton-Kantorovich giải phương trình tích phân phi tuyến 33 2.2.1 Thuật tốn giải phương trình tích phân phi tuyến theo phương pháp NewtonKantorovich 35 2.2.2 Thuật tốn giải phương trình tích phân phi tuyến theo phương pháp NewtonKantorovich cải biên 36 2.3 Sự kết hợp phương pháp Newton-Kantorovich phương pháp cầu phương 43 2.3.1 Phương pháp cầu phương 43 2.3.2 Phương pháp cầu phương giải phương trình tích phân phi tuyến 44 2.4 Sai số 45 Chương Sự kết hợp phương pháp cầu phương phương pháp Newton-Raphson để giải phương trình tích phân phi tuyến 59 3.1 Phương pháp Raphson 59 3.2 Sự kết hợp phương pháp cầu phương phương pháp NewtonRaphson để giải phương trình tích phân phi tuyến 64 Kết luận 80 Tài liệu tham khảo 82 Mở đầu Lí chọn đề tài Phương pháp Newton (phương pháp tiếp tuyến) phương pháp sử dụng rộng rãi việc giải phương trình phi tuyến Phương pháp nhà tốn học Raphson phát triển để giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến Vào kỉ trước phương pháp Newton nhà toán học Kantorovich phát triển để giải phương trình tốn tử khơng gian Banach Tư tưởng phương pháp Newton tuyến tính hóa tốn giải phương trình phi tuyến Nghĩa đưa tốn giải phương trình phi tuyến giải dãy phương trình tuyến tính, nghiệm phương trình tuyến tính nghiệm xấp xỉ phương trình phi tuyến cho Hơn tốc độ hội tụ dãy nghiệm tốc độ bình phương Lí thuyết phương trình tích phân phi tuyến lĩnh vực quan trọng ngành toán học phương diện lí thuyết ứng dụng Có nhiều phương pháp giải phương trình tích phân phi tuyến, việc giải phương trình tích phân phi tuyến nói chung việc làm khó khăn Người ta giải số phương trình đặc biệt, đa số phải giải xấp xỉ Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp Newton mở rộng (phương pháp kiểu Newton) lí thuyết ứng dụng việc giải phương trình tích phân phi tuyến nên tơi chọn nghiên cứu đề tài "Về hội tụ phương pháp kiểu Newton ứng dụng giải phương trình tích phân " 2 Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến, ứng dụng vào giải số phương trình tích phân cụ thể, giải số máy tính Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải số phương trình tích phân phi tuyến Phân tích ưu nhược điểm phương phávà ma trận nghịch đảo nhờ phần mềm Maple sau: > J0 := matrix(4, 4, [−0.968750, 0.062500, 0.093750, 0.062500, 0.062500, −0.875000, 0.187500, 0.125000, 0.093750, 0.187500, −0.718750, 0.187500, 0.125000, 0.250000, 0.375000, −0.750000   −0.968750 0.062500 0.093750 0.062500     0.062500 −0.875000 0.187500 0.125000   J0 :=     0.093750 0.187500 −0.718750 0.187500    0.125000 0.250000 0.375000 −0.750000 > det(J0); 0.312500 72 > N := inverse(J0);  −1.100000  −0.200000 N :=   −0.300000  −0.400000 −0.200000 −0.300000 −1.400000 −0.600000 −0.600000 −1.900000 −0.800000 −1.200000  −0.200000  −0.400000   −0.600000  −1.800000 Suy ma trận nghịch đảo ma trận J(Y (0) ) là:  −1.100000 −0.200000 −0.300000  −0.200000 −1.400000 −0.600000 J −1 (Y (0) ) =   −0.300000 −0.600000 −1.900000  −0.400000 −0.800000 −1.200000  −0.200000  −0.400000   −0.600000  −1.800000 Ta tính nghiệm Y (1) sau: Y (1) = Y (0) − J −1 (Y (0) )f (Y (0) ) > F := matrix(4, 1, [−11/192, −11/96, −11/64, −11/48]);    −0.057291     −0.114583   F :=     −0.171875    −0.229166 > T := multiply(N 1, F 0);    0.183332     0.366665   T :=     0.549999    0.733331 73 > X0 := matrix(4, 1, [1, 1, 1, 1]);   1   1  X0 :=    1   > X0 − T 1; X0 − T > X1 := evalm(X0 − T 1);    0.816666     0.633335   X1 :=     0.450001    0.266669 Suy Y (1) = Y (0) − J −1 Y (0) f Y (0)      −1.100000 −0.200000 −0.300000      −0.200000 −1.400000 −0.600000   Y (1) =   −   −0.300000 −0.600000 −1.900000    −0.400000 −0.800000 −1.200000      −0.057291   0.816666       −0.114583   0.633335   =       −0.171875   0.450001      −0.229166 0.266669 Ta tính nghiệm Y (2) sau: Y (2) = Y (1) − J −1 Y (1) f Y (1)  −0.200000  −0.400000 ·  −0.600000  −1.800000 74   −0.974479 0.039583 0.042187 0.016666     0.051041 −0.920833 0.084375 0.033333  (1)  J(Y ) =     0.076562 0.118750 −0.873437 0.050000    0.102083 0.158333 0.168750 −0.933333 > J1 := matrix(4, 4, [−0.974479, 0.039583, 0.042187, 0.016666, 0.051041, −0.920833, 0.084375, 0.033333, 0.076562, 0.118750, −0.873437, 0.050000, 0.102083, 0.158333, 0.168750, −0.933333]);   −0.974479 0.039583 0.042187 0.016666     0.051041 −0.920833 0.084375 0.033333   J1 :=     0.076562 0.118750 −0.873437 0.050000    0.102083 0.158333 0.168750 −0.933333 > det(J1); 0.702082 > N := inverse(J1);  −1.036350  −0.072699 N :=   −0.109049  −0.145399 −0.056379 −0.060088 −1.112759 −0.120177 −0.169139 −1, 180267 −0.225518 −0.240356 Suy ma trận nghịch đảo  −1.036350  −0.072699 −1 (1) J Y =  −0.109049  −0.145399  −0.237380  −0.047477   −0.071216  −1.094955 ma trận J(Y (1) ) là: −0.056379 −0.060088 −1.112759 −0.120177 −0.169139 −1, 180267 −0.225518 −0.240356  −0.237380  −0.047477   −0.071216  −1.094955 ... "Về hội tụ phương pháp kiểu Newton ứng dụng giải phương trình tích phân " 2 Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu số phương pháp giải xấp xỉ phương trình tích phân phi tuyến, ứng dụng vào giải. .. 0.011361 Kết luận Phương pháp Newton- Kantorovich phương pháp ứng dụng rộng rãi để giải phương trình tốn tử phi tuyến Luận văn nghiên cứu ứng dụng phương pháp vào giải phương trình tích phân phi tuyến... thuyết phương trình tích phân phi tuyến lĩnh vực quan trọng ngành tốn học phương diện lí thuyết ứng dụng Có nhiều phương pháp giải phương trình tích phân phi tuyến, việc giải phương trình tích phân