Về sự hội tụ của phương pháp kiểu newton và ứng dụng trong giải phương trình vi phân (LV1247)

Bản chất của phương pháp Newton–Kantorovich là thay thế phương trình 0.1 bởi một phương trình toán tử tuyến tính, từ đó xây dựng dãy các xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao đến nghiệm

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUẤT VĂN NINH

HÀ NỘI, 2014

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Khuất Văn Ninh, thầy đã tận

tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập

Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị, bạn bè và các đồng nghiệp tại trường Trung học phổ thông Thành Đông đã luôn động viên,

cổ vũ, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn

Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn vô hạn tới gia đình và những người thân

đã luôn quan tâm, khích lệ và tạo điều kiện cho tác giả học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Tác giả

Vũ Ngọc Bích

Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Về

sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình vi phân” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS TS Khuất Văn Ninh và bản thân tác giả Mọi số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này

là trung thực

Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừa, phát triển các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn Các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Hà Nội, tháng 07 năm 2014

Tác giả

Vũ Ngọc Bích

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 5

1.1 Không gian metric……… ……… 5

1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach………… ……… 7

1.3 Toán tử tuyến tính 9

1.4 Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân 11

1.4.1 Phương trình vi phân cấp một 11

1.4.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy 14

1.4.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một 15

1.4.4 Nghiệm bài toán Cauchy 17

1.4.5 Phương trình vi phân cấp 18

1.4.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số là các hàm số 20

1.4.7 Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng 25

1.4.8 Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng 27

1.5 Đạo hàm và vi phân Fréchet 28

1.6 Phương pháp sai phân 30

Chương 2 Sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình vi phân 34

2.1 Phương pháp Newton 34

2.2 Phương pháp Newton–Kantorovich 35

2.2.1 Phương pháp Newton–Kantorovich 35

2.2.2 Một số định lý cơ bản của phương pháp Newton–Kantorovich 37

2.3 Phương pháp Newton–Raphson 45

vi phân cấp một 48 2.4.2 Ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich cải biên vào giải

phương trình vi phân cấp một 51 2.5 Các ví dụ 52 2.6 Giải gần đúng phương trình vi phân thường cấp một theo phương pháp Newton–Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên bằng lập trình trên

Maple 18 59 2.7 Ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich vào giải phương trình

vi phân cấp hai 71 2.8 Ứng dụng phương pháp Newton–Raphson vào giải phương trình

vi phân cấp hai 73

Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 79

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên, kinh tế, kỹ thuật có nhiều bài toán

dẫn đến việc nghiên cứu giải phương trình toán tử có dạng tổng quát: ( )

trong đó là một toán tử từ tập đến tập với Toán tử có

thể là tuyến tính hoặc phi tuyến Phương trình (0.1) có thể là phương trình vi

phân thường, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng,…

Phương trình vi phân đã được các nhà toán học quan tâm và nghiên cứu từ

thế kỷ 17 Có nhiều phương pháp giải phương trình vi phân thường, trong đó

việc giải đúng phương trình vi phân nói chung là việc làm khó khăn Người ta

chỉ giải đúng được một số phương trình đặc biệt, còn đa số là phải giải xấp xỉ

Có hai nhóm phương pháp giải xấp xỉ phương trình vi phân thường là nhóm

các phương pháp giải tích và nhóm các phương pháp số Các phương pháp

giải tích là các phương pháp tìm nghiệm dưới dạng biểu thức giải tích, chẳng

hạn như phương pháp hệ số bất định Các phương pháp số như: phương pháp

Euler, phương pháp Runge–Kutta,…tìm nghiệm dưới dạng bảng Với sự phát

triển công nghệ thông tin và các công trình nghiên cứu giải gần đúng phương

trình vi phân thì phương pháp sai phân và phương pháp lặp thường được sử

dụng và có nhiều cải tiến

Phương pháp Newton hay phương pháp tiếp tuyến được Newton đề xuất

để giải gần đúng phương trình ( ) , trong đó là hàm khả vi liên tục

trên không gian một chiều ℝ Sau đó Raphson mở rộng phương pháp Newton

giải hệ phương trình n biến trong không gian hữu hạn chiều ℝ Dựa trên ý

tưởng của phương pháp tiếp tuyến Kantorovich đã xây dựng phương pháp

Newton–Kantorovich để giải phương trình (0.1) khi là toán tử phi tuyến, khả vi trong không gian vô hạn chiều Bản chất của phương pháp Newton–Kantorovich là thay thế phương trình (0.1) bởi một phương trình toán tử tuyến tính, từ đó xây dựng dãy các xấp xỉ liên tiếp với tốc độ hội tụ cao đến nghiệm của phương trình (0.1) Phương pháp Newton–Kantorovich được ứng dụng rộng rãi trong giải phương trình toán tử phi tuyến Với sự hỗ trợ của phần mềm Maple 18 ta có thể lập trình đối với thuật toán của phương pháp Newton–Kantorovich và Newton–Raphson để giải phương trình vi phân thường trên máy tính điện tử

Với mong muốn tìm hiểu ứng dụng của phương pháp kiểu Newton trong giải phương trình toán tử phi tuyến và được sự định hướng của thầy hướng

dẫn chúng tôi chọn đề tài “Về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong giải phương trình vi phân” để thực hiện luận văn tốt

nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích

Luận văn gồm hai chương, trong chương 1, trước tiên chúng tôi trình bày các kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, toán tử tuyến tính, một số kiến thức về phương trình vi phân, đạo hàm Fréchet và phương pháp sai phân Trong chương 2, phần đầu chúng tôi trình bày các kiến thức về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton bao gồm phương pháp Newton (còn gọi là phương pháp tiếp tuyến), phương pháp Newton–Kantorovich, phương pháp Newton–Kantorovich cải biên, phương pháp Newton–Raphson, tiếp theo chúng tôi ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich, phương pháp Newton–Kantorovich cải biên vào giải phương trình vi phân phi tuyến cấp một bằng lập trình trên Maple 18 Ở cuối chương

2, chúng tôi ứng dụng phương pháp Newton–Kantorovich, phương pháp Newton–Raphson vào giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai

2 Mục đích nghiên cứu

• Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và ứng dụng trong

giải phương trình vi phân

• Nghiên cứu giải phương trình vi phân phi tuyến trên máy tính điện tử

bằng lập trình trên Maple 18

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton và cách giải một số phương trình vi phân phi tuyến bằng phương pháp sai phân và phương pháp lặp

4 Đối tượng nghiên cứu và phạm vi nghiên cứu

• Phương pháp xấp xỉ liên tiếp

• Phương pháp sai phân

• Phương pháp Newton–Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên,

Newton–Raphson

• Một số ứng dụng của các phương pháp nói trên vào giải phương trình vi

phân phi tuyến và giải số trên máy tính

5 Phương pháp nghiên cứu

• Chúng tôi phân tích, tổng hợp, hệ thống các khái niệm và tính chất

• Chúng tôi sử dụng các phương pháp của giải tích cổ điển, giải tích hàm,

giải tích số, lí thuyết phương trình vi phân và lập trình trên máy tính điện tử

• Sưu tầm, nghiên cứu các tài liệu liên quan

6 Đóng góp mới của luận văn

Luận văn nghiên cứu ứng dụng lập trình trên Maple 18 để tìm nghiệm gần đúng của phương trình vi phân phi tuyến theo các phương pháp Newton– Kantorovich, Newton–Kantorovich cải biên và Newton–Raphson

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về không gian metric, không gian định chuẩn, không gian Banach, toán tử tuyến tính, một số kiến thức về phương trình vi phân, đạo hàm Fréchet và phương pháp sai phân Các kết quả này chủ yếu dựa vào các tài liệu [1], [5], [6], [7]

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1 (Không gian metric) Một không gian metric là một tập hợp

X   cùng với một ánh xạ ℝ thỏa mãn các tiên đề sau:

( ) ( ) ( ) ( ) (tiên đề đồng nhất);

( ) ( ) ( ) ( ) (tiên đề đối xứng);

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (tiên đề tam giác)

Ánh xạ gọi là metric trên , số ( ) gọi là khoảng cách giữa hai phần

tử và Các phần tử của gọi là các điểm Các tiên đề (i), (ii), (iii) gọi là

hệ tiên đề metric Tập hợp với metric được gọi là một không gian metric

và được ký hiệu là ( )

Ví dụ 1.1 Không gian vectơ , - các hàm số có giá trị thực xác định và liên tục trên đoạn , - với là một không gian metric với metric

( )

| ( ) ( )| ( ) ( ) , - ( )

Ví dụ 1.2 Kí hiệu , - là tập tất cả các hàm số giá trị thực xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp ( ) trên đoạn , - Đối với hai hàm

số bất kỳ ( ) ( ) , - ta đặt

( ) ∑

, -| ( )( ) ( )|

Dễ thấy là một metric trên , -

Định nghĩa 1.2 (Sự hội tụ trong không gian metric) Cho không gian metric

( ) Dãy điểm * + được gọi là hội tụ tới điểm trong

không gian khi nếu

( )( )( ) ( )

và ký hiệu là

Điểm còn gọi là giới hạn của dãy điểm * + trong không gian

Định nghĩa 1.3 (Dãy cơ bản) Cho không gian metric ( ) Một dãy

điểm * + được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) trong nếu

( )( )( ) ( )

hay

( )

Dễ thấy mọi dãy điểm * + hội tụ trong đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.4 (Không gian metric đầy) Không gian metric ( )

gọi là không gian đầy nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ tới một phần tử của

Ví dụ 1.3 Trong không gian metric đầy ( ), hình cầu đóng

̅( ) * ( ) + ℝ

là không gian metric đầy

Ví dụ 1.4 Không gian , - là không gian đầy

Định nghĩa 1.5 (Ánh xạ co) Cho hai không gian metric ( ) và

( ) Ánh xạ được gọi là ánh xạ co nếu

( , )) ( ) ( ) ( )

Số gọi là hệ số co của ánh xạ co

Định lý 1.1 (Nguyên lý Banach về ánh xạ co) Mọi ánh xạ co ánh xạ

không gian metric đầy ( ) vào chính nó đều có điểm bất động duy nhất, nghĩa là tồn tại duy nhất một điểm thỏa mãn hệ thức ,

trong đó là giới hạn của dãy * +, tùy ý

1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach

Mục này trình bày các định nghĩa về không gian định chuẩn, sự hội tụ trong không gian định chuẩn, dãy cơ bản và không gian Banach Các khái niệm này được trích dẫn từ tài liệu [7]

Định nghĩa 1.6 (Không gian định chuẩn) Một không gian định chuẩn (hay

không gian tuyến tính định chuẩn) là một không gian tuyến tính trên trường ( là trường số thực ℝ hay trường số phức ) cùng với một ánh xạ từ

vào tập hợp số thực ℝ, ký hiệu là ‖ ‖ và đọc là chuẩn, thỏa mãn các tiên đề

Định lý 1.2 Cho không gian định chuẩn Đối với hai vectơ bất kì

ta đặt

( ) ‖ ‖ ( )

Khi đó là một metric trên Vì vậy mọi không gian định chuẩn đều là không gian metric.

Chứng minh của định lý trên dễ dàng suy ra từ hệ tiên đề chuẩn và hệ tiên

đề tuyến tính Nhờ định lý 1.2, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (1.2) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.7 (Sự hội tụ trong không gian định chuẩn) Dãy điểm * +

của không gian định chuẩn được gọi là hội tụ tới điểm nếu

Định nghĩa 1.8 (Dãy cơ bản) Dãy điểm * + trong không gian định chuẩn

được gọi là dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu

‖ ‖

Định nghĩa 1.9 (Không gian Banach) Không gian định chuẩn gọi là

không gian Banach nếu mọi dãy cơ bản trong đều hội tụ.

Ví dụ 1.5 Cho không gian vectơ , - Đối với hàm số bất kỳ ( ) , - ta đặt

‖ ‖

| ( )| ( ) Nhờ công thức ‖ ‖ ( ) và hệ tiên đề metric suy ra công thức (1.3) cho một chuẩn trên , - Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là , - Dễ thấy , - là không gian Banach

Ví dụ 1.6 Cho không gian tuyến tính , - ( ) gồm các hàm số xác định và có đạo hàm liên tục đến cấp trên đoạn , - Chuẩn của mỗi hàm

Định nghĩa 1.10 (Toán tử tuyến tính) Cho hai không gian tuyến tính và

trên trường ( là trường số thực ℝ hoặc trường số phức ) Ánh xạ từ

không gian vào không gian gọi là tuyến tính nếu ánh xạ thỏa mãn các

điều kiện sau:

( ) ( ) ( )

( )( ) ( )

Ở đây để cho gọn ta viết thay cho ( ) để chỉ phần tử ứng với trong ánh

xạ Hai điều kiện ( ) và ( ) tương đương với

với mọi và mọi số

Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử chỉ thỏa mãn điều kiện ( ) thì gọi là toán tử cộng tính, còn khi toán tử chỉ thỏa mãn điều kiện ( ) thì gọi là toán tử thuần nhất

Khi thì toán tử tuyến tính thường gọi là phiếm hàm tuyến tính

Khi ta cũng nói là một toán tử trong

Ta ký hiệu:

* | + là miền trị (hay phạm vi của toán tử ),

* | + là hạch (hạt nhân) của toán tử

Ví dụ 1.7 Nếu , - ( , - là không gian các hàm số có đạo hàm

liên tục đến cấp m liên tục trên đoạn , -) thì

( ) ( ) ( ) ( )( ) trong đó là những hằng số (hoặc những hàm số cho trước của ) thuộc , - Toán tử gọi là một toán tử vi phân

Định nghĩa 1.11 (Toán tử liên tục) Cho hai không gian định chuẩn và

Toán tử gọi là liên tục tại nếu

Toán tử gọi là liên tục trên nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc

Định nghĩa 1.12 (Toán tử nghịch đảo) Toán tử tuyến tính có

nghịch đảo khi và chỉ khi * +, tức là phương trình chỉ có một

nghiệm duy nhất

Ký hiệu toán tử nghịch đảo của là

Nhận xét: là toán tử tuyến tính từ lên và

) ( )

) ( )

Định nghĩa 1.13 (Toán tử tuyến tính bị chặn) Cho hai không gian định

chuẩn và Toán tử tuyến tính từ không gian vào không gian gọi là

bị chặn nếu tồn tại hằng số sao cho

‖ ‖ ‖ ‖ ( )

Định nghĩa 1.14 (Chuẩn của toán tử) Cho là t oán tử tuyến tính bị chặn

từ không gian định chuẩn vào không gian định chuẩn Hằng số

nhỏ nhất thỏa mãn hệ thức ( ) gọi là chuẩn của toán tử và ký hiệu là

‖ ‖

Nhận xét: Từ định nghĩa 1.14 dễ thấy chuẩn của toán tử có các tính chất sau:

) ( ) ‖ ‖ ‖ ‖‖ ‖ ( ) ) ( ) ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ‖ ( )

Định lý 1.3 (Tính chuẩn của toán tử) Cho toán tử tuyến tính từ không

gian định chuẩn vào không gian định chuẩn Nếu toán tử bị chặn thì

1.4 Một số khái niệm cơ bản về phương trình vi phân

Mục này trình bày các kiến thức cơ bản về phương trình vi phân cấp một, phương trình vi phân tuyến tính cấp một, phương trình vi phân cấp , phương trình vi phân tuyến tính cấp với hệ số là các hàm số, phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng, phương trình tuyến tính không thuần nhất với

hệ số hằng, bài toán Cauchy, nghiệm của bài toán Cauchy, sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy Ta có thể tham khảo cách chứng minh các định lý từ 1.4 đến 1.8 trong [5]

trong miền ℝ

Nếu trong miền , từ phương trình (1.9) ta có thể giải được

( ) ( ) thì phương trình (1.10) được gọi là phương trình vi phân cấp một đã giải ra đối với đạo hàm

Giả sử ( ) là một nghiệm nào đó của phương trình (1.10) Khi đó tập hợp những điểm ( ( )) sẽ tạo nên một đường cong mà ta gọi là đường cong tích phân của phương trình (1.10)

Hàm ( ) xác định và khả vi trên khoảng ( ) được gọi là nghiệm của phương trình (1.10) nếu:

( ) ( ( ) ( ))

( ) ( ( ) ( ))

Nghiệm của phương trình vi phân cấp một phụ thuộc hằng số tùy ý Trong thực tế người ta thường không quan tâm đến tất cả các nghiệm của phương trình mà chỉ chú ý đến những nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó Từ đó ta có khái niệm bài toán Cauchy

Định nghĩa 1.16 (Bài toán Cauchy) Tìm nghiệm của phương trình (1.9) hoặc (1.10) thỏa mãn điều kiện ban đầu:

( ) ( )

trong đó là những giá trị cho trước được gọi là bài toán Cauchy

Về phương diện hình học, bài toán Cauchy tương đương với việc tìm đường cong tích phân của phương trình (1.9) hoặc (1.10) đi qua điểm ( ) cho trước

Định nghĩa 1.17 (Nghiệm tổng quát) Giả sử trong miền của mặt phẳng

nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình (1.11) tồn tại duy

nhất Hàm số

( ) ( )

được gọi là nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) trong nếu trong miền biến thiên của và nó có đạo hàm riêng liên tục theo và thỏa mãn các

điều kiện sau:

(i) Từ hệ thức (1.12) ta có thể giải được :

( ) ( )

(ii) Hàm ( ) thỏa mãn phương trình (1.10) với mọi giá trị của xác

định từ (1.13) khi ( ) biến thiên trong

Nếu nghiệm tổng quát của phương trình (1.10) được cho dưới dạng ẩn

( ) hay ( )

thì nó được gọi là tích phân tổng quát

Định nghĩa 1.18 (Nghiệm riêng) Nghiệm của phương trình (1.10) mà tại

mỗi điểm của nó, tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy được đảm bảo được gọi là nghiệm riêng

Nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số là

nghiệm riêng

Định nghĩa 1.19 (Nghiệm kì dị) Nghiệm của phương trình (1.9) mà tại mỗi

điểm của nó, tính duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy bị phá vỡ được gọi là nghiệm kì dị

Như vậy, nghiệm nhận được từ nghiệm tổng quát với giá trị cụ thể của hằng số không thể cho ta nghiệm kì dị Nghiệm kì dị có thể nhận được từ nghiệm tổng quát chỉ khi ( )

Ngoài ra chúng ta còn có nghiệm hỗn hợp, tức là nghiệm bao gồm một phần nghiệm riêng và một phần nghiệm kì dị

1.4.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Cauchy

Xét phương trình ( ) với hàm xác định trong miền ℝ Ta

sẽ chỉ ra các điều kiện mà hàm thỏa mãn để bài toán Cauchy ứng với phương trình ( ) có nghiệm duy nhất

• Điều kiện Lipsit: Ta nói rằng trong miền hàm ( ) thỏa mãn điều

kiện Lipsit theo biến nếu tồn tại hằng số sao cho đối với hai điểm

( ) ∫ ( ( )) , -

Dãy * ( )+ xác định như trên được gọi là dãy xấp xỉ Picar Ta chứng minh

rằng khi biến thiên trên , - thì ( ( )) với mọi

và do đó dãy * ( )+ được xác định

Thật vậy điều này rõ ràng đúng với Giả sử ta có ( ) khi , - Khi đó có thể xây dựng

( ) ∫ ( ( )) Với | | ta có

| ( ) | | ∫| ( ( ))| | | ∫ |

tức là ( ( )) khi , -

Định lý 1.4 (Cauchy – Picar) Giả sử hàm thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) liên tục trong miền

(2) thỏa mãn điều kiện Lipsit theo trong

Khi đó ứng với mỗi điểm trong ( ) tồn tại duy nhất một nghiệm ( ) của phương trình (1.10) thỏa mãn điều kiện ban đầu ( ) Nghiệm này xác định trên đoạn , - trong đó được xác định như ở phần xây dựng dãy xấp xỉ Picar

1.4.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp một

Phương trình vi phân tuyến tính cấp một có dạng là:

( ) ( ) ( )

Ta sẽ giả thiết rằng các hàm ( ) ( ) liên tục trên khoảng ( ) Khi đó

trong miền { nghiệm của bài toán Cauchy đối với

phương trình (1.15) tồn tại duy nhất

Thật vậy nếu viết (1.15) dưới dạng ( ) ( ) thì hàm ( ) ( ) ( ) liên tục và có đạo hàm riêng theo liên tục trong Do đó theo hệ quả của định lý tồn tại và duy nhất nghiệm ta suy ra nhận xét trên

Để tìm nghiệm tổng quát của phương trình (1.15), trước hết ta xét phương trình

( ) ( )

(1.16) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất tương ứng với (1.15)

Ta viết lại (1.16) dưới dạng:

( ) ( ) Giả sử Chia hai vế của (1.17) cho ta được

( ) ( )

Tích phân phương trình (1.18) ta có

∫ ( ) ( ) ( ) Nhận thấy cũng là nghiệm của (1.16) Nghiệm này có thể nhận được từ (1.19) nếu trong biểu thức (1.19) ta lấy cả giá trị

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình tuyến tính thuần nhất (1.16) có dạng: ∫ ( ) ( ℝ) ( )

Để tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất (1.16) ta áp dụng phương pháp biến thiên hằng số như sau:

Trong biểu thức (1.20) ta coi không phải là hằng số mà là hàm số của

( )

và tìm cách chọn ( ) sao cho biểu thức

∫ ( ) ( ) thỏa mãn phương trình (1.15) Thay (1.21) vào (1.15) ta có

( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) ( ) ∫ ( ) ( ) hay

1.4.4 Nghiệm bài toán Cauchy

Giả sử ( ) Ta tìm nghiệm ( ) của phương trình (1.15) thỏa mãn điều kiện ban đầu ( ) Ký hiệu ( ) ∫ ( )

Khi đó (1.23) được viết dưới dạng:

Theo điều kiện ban đầu ta có

Định nghĩa 1.20 Phương trình vi phân thường cấp là phương trình trong

đó có chứa hàm số chưa xác định (đóng vai trò như ẩn số) và những đạo hàm

của ẩn số đó:

( ) ( ) ( )( )/ ( ) Hàm xác định trong một miền nào đấy của không gian ℝ Cấp của phương trình đã cho là cấp của đạo hàm cấp cao nhất có mặt trong phương

trình Xét phương trình vi phân cấp khi đạo hàm cấp cao nhất ( ) biểu diễn dưới dạng

( ) ( ( )) ( )

Định nghĩa 1.21 Nghiệm của phương trình (1.27) là hàm ( ) khả vi

lần trên khoảng ( ) sao cho:

Dưới đây ta sẽ đưa ra một điều kiện đủ để nghiệm bài toán Cauchy đối với phương trình (1.28) tồn tại và duy nhất

Định nghĩa 1.22 Hàm ( ) xác định trong miền ℝ

được gọi là thỏa mãn điều kiện Lipsit theo các biến nếu tồn tại hằng số (hằng số Lipsit) sao cho đối với hai điểm bất kỳ

|

|

Định lý 1.5 (Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm) Giả sử trong miền

ℝ hàm ( ) liên tục và thỏa mãn điều kiện Lipsit theo

Khi đó với bất kỳ điểm trong ( )/ tồn tại

duy nhất nghiệm ( ) của phương trình (1.28) thỏa mãn điều kiện ban

đầu:

( ) ( ) ( )( ) ( )

Nghiệm này xác định tại lân cận, nói chung, khá bé của điểm

Hệ quả: Giả sử các hàm ( ) liên tục trong miền cùng với

1.4.6 Phương trình vi phân tuyến tính cấp n với hệ số là các hàm số

Phương trình vi phân tuyến tính cấp có dạng tổng quát là:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Như vậy ở đây hàm trong định nghĩa dạng tổng quát của phương trình vi

phân cấp cao phụ thuộc một cách tuyến tính theo ( ) Ta giả thiết

các hàm ( ) ( ) ( ) ( ) liên tục trên khoảng ( ) và

( ) trên khoảng ( ) Khi đó chia hai vế của (1.31) cho ( ) ta

là những hàm liên tục trên khoảng ( )

Nếu trong phương trình (1.32) hàm ( ) , tức là ta có phương trình

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

thì nó được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp với các hệ số là

các hàm số Bấy giờ phương trình (1.32) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp với các hệ số là các hàm số

Ta nhận thấy với các giả thiết đã nêu ở trên, đối với bất kỳ điểm ( )

và ( )/ ℝ phương trình (1.32) có nghiệm duy nhất thỏa mãn điều kiện ban đầu:

( ) ( ) ( )( ) ( )

Nhận xét:

1) Để đơn giản cách viết về sau ta ký hiệu

, - ( ) ( ) ( ) ( ) , - gọi là toán tử vi phân tuyến tính

Với ký hiệu trên các phương trình (1.32) và (1.33) lần lượt được viết dưới dạng:

, - ( ) ( ) , - ( ) 2) Toán tử , - có các tính chất sau:

i) Đối với ( ) ( ) khả vi lần liên tục ta có

, - , - , - ii) Đối với hàm khả vi liên tục lần ( ) và hằng số bất kỳ ta có

, - , -

Để nghiên cứu tính chất nghiệm của phương trình (1.33) ta cần đến các khái niệm sau

Giả sử ta có hệ hàm ( ) ( ) ( ) xác định trên khoảng ( )

Định nghĩa 1.23 Hệ hàm trên được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên khoảng

( ) nếu tồn tại các hằng số không đồng thời bằng 0 sao cho

( ) ( ) ( ) ( )

trên khoảng ( )

Nếu đồng nhất thức (1.36) chỉ có thể xảy ra khi thì

hệ hàm ( ) ( ) ( ) được gọi là độc lập tuyến tính trên khoảng

( )

Việc xét xem một hệ hàm phụ thuộc tuyến tính hay độc lập tuyến tính nhiều

khi rất phức tạp Trong trường hợp hệ hàm đã cho khả vi một số lần cần thiết,

việc nghiên cứu đó có thể đơn giản hơn dựa vào định thức Vronski được định

nghĩa dưới đây

Giả sử hệ hàm ( ) ( ) ( ) khả vi lần trên khoảng ( )

Hệ quả: Nếu định thức Vronski của hệ hàm ( ) ( ) ( ) khác 0

dù chỉ tại một điểm của khoảng ( ) thì hệ hàm trên độc lập tuyến tính trên

khoảng ( )

Định nghĩa 1.24 (Hệ nghiệm cơ bản) Hệ nghiệm độc lập tuyến tính của

phương trình tuyến tính thuần nhất cấp với các hệ số là các hàm số được

gọi là hệ nghiệm cơ bản của nó

Định lý 1.7 Phương trình (1.33) với các hệ số ( ) liên tục

trên khoảng ( ) có vô số hệ nghiệm cơ bản

Định nghĩa 1.25 Hệ nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) của

phương trình (1.33) phụ thuộc tuyến tính trên khoảng ( )

Dựa vào tính chất của toán tử ta có nhận xét sau:

+ Nếu ( ) là nghiệm của phương trình (1.35) và ( ) là một nghiệm riêng nào đấy của phương trình (1.29) thì ( ) ( ) ( ) cũng là nghiệm của phương trình , - ( )

• Nguyên lý chồng chất nghiệm:

Nếu ( ) ( ) là các nghiệm tương ứng của các phương trình tuyến tính

không thuần nhất cấp

, - ( ) , - ( )

thì ( ) ( ) ( ) là nghiệm của phương trình

, - ( ) ( )

Định lý 1.8 Giả sử ( ) ( ) ( ) là hệ nghiệm cơ bản của phương

trình tuyến tính thuần nhất cấp (1.33); ( ) là một nghiệm riêng nào đó

của phương trình không thuần nhất (1.32) Khi đó biểu thức

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

cho ta nghiệm tổng quát của phương trình (1.32) trong miền ( )

ℝ

Để tìm nghiệm riêng của (1.32) ta thường dùng phương pháp biến thiên

hằng số hay còn gọi là phương pháp Lagrange

Giả sử ( ) ( ) ( ) là nghiệm độc lập tuyến tính của (1.33) Ta tìm nghiệm riêng ( ) của (1.32) dưới dạng

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

và tìm cách chọn các hàm ( ) ( ) ( ) sao cho ( ) là nghiệm của (1.32) Ở đây ta có hàm phải tìm liên hệ với nhau bởi một điều kiện là biểu thức (1.38) thỏa mãn phương trình (1.32) Do đó ta có thể chọn hệ thức còn lại bất kỳ để xác định ( ) ( ) ( ) Tuy vậy ta phải chọn thế nào để cách tính toán được đơn giản nhất

Ta tiến hành như sau:

Lấy đạo hàm hai vế của (1.38) ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ta tìm ( ) ( ) ( ) sao cho

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Khi đó

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Ta đòi hỏi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tiếp tục quá trình này đến bước thứ ta được

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) Cuối cùng

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

Bây giờ ta đòi hỏi ( ) thỏa mãn thỏa mãn phương trình (1.32) Muốn vậy

ta thay các biểu thức của ( ) ( ) ( ) ( )( ) vào (1.32) và chú

ý đến ( ) ( ) ( )

Khi đó ta có

( ) 0 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 ( ) 0 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

( ) 0 ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

Vì ( ) ( ) ( ) là nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình

tuyến tính thuần nhất (1.33) nên ta được

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) Kết hợp ( ) ( ) ( ) ta đi đến hệ phương trình đại số tuyến tính sau

{

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )

( )

Định thức Crame của hệ (1.39) là định thức Vronski của nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình (1.33) nên khác 0 trên ( ) Do đó từ hệ phương trình (1.39) ta xác định được ( ) ( ) ( ) với

( ) ( ) Khi đó

( ) ∫ ( )

1.4.7 Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng

Phương trình tuyến tính thuần nhất với hệ số hằng là phương trình có dạng tổng quát:

( ) ( ) ( )

trong đó là các hằng số thực

Nếu ta dùng ký hiệu của toán tử vi phân tuyến tính

, - ( ) ( ) thì phương trình (1.40) được viết dưới dạng

, - Trước khi đi đến việc xây dựng nghiệm tổng quát của phương trình (1.40) ta

có khẳng định sau đây:

Bổ đề 1: Nếu phương trình (1.40) có nghiệm phức ( ) ( ) ( ) thì

phần thực ( ) và phần ảo ( ) là các nghiệm thực của phương trình (1.40)

Bổ đề 1 còn đúng khi các hệ số của phương trình tuyến tính thuần nhất là các hàm số thực

Hệ thức

( )

được gọi là phương trình đặc trưng tương ứng với (1.40) Như vậy để hàm

là nghiệm của phương trình (1.40) thì phải là nghiệm của phương trình đặc trưng (1.41) và ngược lại

Ta xét các trường hợp riêng biệt sau đây

+ Trường hợp 1: Phương trình đặc trưng (1.41) có nghiệm thực khác nhau: ( )

Khi đó ta xây dựng được nghiệm riêng của phương trình (1.40) như sau:

( ) ( ) Theo công thức Euler

( )

( )

Ta xây dựng được hai nghiệm thực độc lập tuyến tính của phương trình (1.40)

là Kết hợp chúng với những nghiệm thực khác ta xây dựng được hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.40)

+ Trường hợp 3: Phương trình đặc trưng (1.41) có nghiệm bội

Nếu phương trình đặc trưng có là nghiệm bội ( ), còn các nghiệm còn lại là đơn thì ta có nghiệm độc lập tuyến tính của (1.40) và như vậy ta còn thiếu nghiệm độc lập tuyến tính nữa Do

( ) ( ) ( )( ) ( )( )

ta suy ra các hàm

là nghiệm còn thiếu của phương trình (1.40)

Nếu là nghiệm phức bội thì cũng là nghiệm phức bội của phương trình đặc trưng (1.41) Khi đó cặp nghiệm phức liên hợp bội là tương ứng với hệ nghiệm thực độc lập tuyến tính sau:

của phương trình (1.40)

1.4.8 Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng

Phương trình tuyến tính không thuần nhất với hệ số hằng có dạng tổng quát là:

( ) ( ) ( ) ( )

trong đó là các hằng số thực, ( ) liên tục trên khoảng ( )

Nếu ta dùng ký hiệu của toán tử vi phân tuyến tính

, - ( ) ( ) thì phương trình (1.42) được viết dưới dạng

, - ( ) Khi áp dụng phương pháp biến thiên hằng số để tìm nghiệm riêng của phương trình (1.42) nhiều lúc ta đi đến tính toán phức tạp Trong trường hợp hàm ( ) có những dạng đặc biệt ta có thể áp dụng phương pháp hệ số bất định để tìm nghiệm riêng của phương trình (1.42) một cách đơn giản hơn

Ví dụ 1.8 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

1.5 Đạo hàm và vi phân Fréchet

Cho là hai không gian Banach Toán tử (không nhất thiết tuyến tính)

Định nghĩa 1.26 (Đạo hàm Fréchet) Cho là một điểm cố định trong không gian Banach Toán tử gọi là khả vi theo nghĩa Fréchet tại

nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục ( ) (hay ( )

Định lý 1.9 Cho toán tử với là một tập con mở của không gian

Banach Giả sử khả vi Fréchet tại một điểm thì cũng liên tục tại

điểm đó

Định lý 1.10 (Tính duy nhất của đạo hàm Fréchet) Nếu một toán tử có

đạo hàm thì đạo hàm đó là duy nhất

Định lý 1.11 Cho hai toán tử tuyến tính và với là

các không gian Banach , là một tập con mở của không gian Banach Giả

sử đều khả vi Fréchet tại Khi đó:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ℝ

Định lý 1.12 Cho là những không gian Banach thực Nếu là

khả vi Fréchet tại và khả vi Fréchet tại ( ) thì cũng khả vi Fréchet tại và ( ) ( ( )) ( )

Ví dụ 1.9 Nếu hàm tuyến tính ta có

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

1.6 Phương pháp sai phân

Ta nhớ lại định nghĩa và các tính chất của sai phân trong [1] để áp dụng vào giải bài toán biên tuyến tính loại một

Định nghĩa 1.27 Giả sử ( ) là một hàm số xác định trên tập và là

hằng số lớn hơn 0 Biểu thức ( ) ( ) ( ) được gọi là sai phân

cấp một của ( ) tại điểm Tỷ sai phân cấp một của ( ) là ( ) Biểu

thức

được gọi là sai phân cấp của ( ) tại điểm

Từ định nghĩa 1.27 ta có các tính chất sau của sai phân:

(1) là toán tử tuyến tính, nghĩa là với mọi , với mọi ta có

( ) , - , ( )- , ( )- (2) Nếu thì ;

Hệ quả: Nếu , - thì khi đủ nhỏ ta có ( )( ) ( )

Định nghĩa 1.28 ([6]) Cho phương trình

( ) ( )

Bài toán tìm hàm ( ) trên đoạn , - và thỏa mãn các điều kiện tuyến

tính tại các điểm biên

,

[ ( ) ( ) ( )( )]

[ ( ) ( ) ( )( )]

( )

Hệ (1.45) là hệ tuyến tính có điều kiện cho trước

Trong bài toán biên tuyến tính cấp hai để tính đạo hàm của hàm số ( ) khi hàm này được tính tại các mốc ( ) với mọi ta chia đoạn , - bởi các điểm đủ bé

Kí hiệu ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) với mọi

| ( )( )|

Chương 2

SỰ HỘI TỤ CỦA PHƯƠNG PHÁP KIỂU NEWTON VÀ ỨNG DỤNG TRONG

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

Chương này trình bày các kiến thức về sự hội tụ của phương pháp kiểu Newton bao gồm phương pháp Newton (còn gọi là phương pháp tiếp tuyến), phương pháp Newton–Kantorovich, phương pháp Newton–Kantorovich cải biên, phương pháp Newton–Raphson và ứng dụng của các phương pháp trên vào giải phương trình vi phân phi tuyến Các kết quả này chủ yếu dựa vào các tài liệu [2], [3], [4], [6], [8], [9], [10]

2.1 Phương pháp Newton

Xét phương trình

( ) ( ) Phương pháp Newton áp dụng để giải phương trình ( ) , trong đó là hàm khả vi liên tục cấp hai trên đoạn , - ( ) và ( ) không đổi dấu trên khoảng ( ) Chọn xấp xỉ đầu tiên , - ( ) ( ) ( được gọi là điểm Fourier), các xấp xỉ tiếp theo được xây dựng theo công thức

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Về mặt hình học là hoành độ giao điểm của tiếp tuyến với đường cong ( ) tại điểm ( ( )) với trục hoành