Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên và ứng dụng

Nội dung của khóa luận bao gồm Chương 1: Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên Trong chương này, em đã trình bày sơ lược một số kiến thức về định nghĩa các dạng hội tụ, mối quan hệ giữ

LỜI CẢM ƠN

Em xin chân thành cảm ơn sự quan tâm giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo trong khoa và các thầy cô trong tổ toán ứng dụng - khoa Toán trường ĐHSPHN2 đã tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập

và thực hiện khóa luận tốt nghiệp tại trường

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Mạnh Tiến

đã giúp đỡ, hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Đỗ Thị Thu Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của em trong thời gian vừa qua dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trần Mạnh Tiến

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp này không trùng với bất kỳ khóa luận tốt nghiệp nào khác

Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2010

Sinh viên

Đỗ Thị Thu Hiền

MỤC LỤC

Phần mở đầu……… ……….1

Chương 1 Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên……… ……2

1.1 Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên ……… …2

1.2 Quan hệ giữa các dạng hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên ……….… 8

1.3 Dãy cơ bản và tiêu chuẩn Cauchy ……… ……….… 18

Chương 2 Ứng dụng của các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên…….24

2.1 Hàm đặc trưng ……… ……….….24

2.2 Ứng dụng của các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên ……… ….….28

2.2.1 Một số bất đẳng thức ……… ……….….28

2.2.2 Luật số lớn và ứng dụng ……… ……….…30

2.2.3 Định lý giới hạn trung tâm và ứng dụng ……… 40

Kết luận ……… ……… 52

Tài liệu tham khảo ………53

PHẦN MỞ ĐẦU

Trong toán học, lý thuyết xác suất nói chung và hàm ngẫu nhiên nói riêng là bộ môn có ứng dụng rất rộng rãi trong các ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội và thực tế cuộc sống Nó là công cụ để giải quyết các vấn đề chuyên môn của nhiều lĩnh vực như vật lý, kỹ thuật, sinh vật và nhiều ngành khoa học khác

Chính vì vậy em đã chọn đề tài: “Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên và ứng dụng”

Nội dung của khóa luận bao gồm

Chương 1: Sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên

Trong chương này, em đã trình bày sơ lược một số kiến thức về định nghĩa các dạng hội tụ, mối quan hệ giữa chúng và tiêu chuẩn Cauchy về các dạng hội tụ

Chương 2: Ứng dụng của các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

Trong chương này, em trình bày một số ứng dụng của các dạng hội thông qua một số bất đẳng thức và một số định lý giới hạn và ứng dụng của chúng

CHƯƠNG 1

SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

1.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN

Cho  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên và biến ngẫu nhiên X cùng xác định trên không gian xác suất ,A,P

Định nghĩa 1.1 (Hội tụ hầu chắc chắn hay hội tụ mạnh)

Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X khi n  nếu tồn tại AA sao cho P A 0 và:

Định nghĩa 1.2 (Hội tụ theo xác suất hay hội tụ yếu)

Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X khi n  nếu với   0 thì

Kí hiệu

,

P n

Định nghĩa 1.3 Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X nếu   0 thì lim    1

Ta thấy rằng định nghĩa 1.2 và định nghĩa 1.3 là tương đương với nhau

Định nghĩa 1.4 (Hội tụ theo phân phối)

F  X : Hàm phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên X

Ta nói rằng dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên X khi n  nếu F n x F x ,n  với mọi

x và F x liên tục

Kí hiệu

,

d n

Định nghĩa 1.5 (Hội tụ theo trung bình)

Bài 2 Với n1, 2, cho X n là dãy biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác

suất F được cho bởi n   0 ,

Bài 3 Cho X jj 1,n

 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập sao cho

2,

 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối U 0 , 1

1.2 QUAN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN

Định lý 1.1 Cho  X n n1là một dãy giảm và P

Y   n   bằng phương pháp phản chứng Giả sử ngược lại Y không hội tụ hầu chắc chắn đến 0 n

Tức là tồn tại   0 , A A sao cho P A   0 và

+) Xét X là biến ngẫu nhiên rời rạc có hàm phân phối xác suất là: pX   x Ta

ii) Ta có

2 2

2 2

,

n n

n n

P n

iii) Giả sử x   và F x   liên tục, với  0 ta có

n n

Chú ý 4

+) Từ định lý 1.1 và định lý 1.3 ta thấy

Nếu  X n n1 là dãy giảm thì:X nh c c .  X X n PX khi n 

+) Hội tụ theo phân phối là dạng hội tụ yếu nhất và thường được gọi là dạng hội tụ yếu tức là nó được suy ra từ tất cả các dạng hội tụ khác và do đó

nó là dạng hội tụ chung nhất và có ích nhất của các biến ngẫu nhiên Đây cũng là khái niệm hội tụ được dùng trong định lý giới hạn trung tâm và trong luật số lớn

+) Hội tụ hầu chắc chắn là khái niệm được đề cập trong luật số lớn +) Hội tụ theo xác suất là khái niệm hội tụ đề cập trong luật yếu số lớn +) Nếu X nPX n,   thì X ndX n,   nhưng ngược lại thì không đúng Thật vậy ta xét ví dụ: Cho S1,2,3,4 và trong tập con của S lấy hàm rời rạc P Khi đó ta có dãy các biến ngẫu nhiên

ii) Tổng quát, nếu với j1, ,k ,X n j ,n1 và X là dãy các biến ngẫu j

nhiên và :g  k  là hàm liên tục Khi đó: k

Lấy xác suất hai vế P X n X P g X    n g X 

Do giả thiết X n PX n,   mà vế trái hệ thức trên dần đến 1 trong khi

vế phải bị chặn bởi 1 Vậy:

ii) Tổng quát, nếu với j1, ,k ,X n j ,n1 và X là dãy các biến ngẫu j

nhiên và :g  k  là hàm liên tục Khi đó k

ii) Tổng quát, nếu với j1, ,k ,X n j ,n1 và X là dãy các biến ngẫu j

nhiên và :g  k  là hàm liên tục Khi đó k

Định lý 1.7 Điều kiện hội tụ theo phân phối của dãy vectơ ngẫu nhiên

Giả sử X X1, ,X k là vectơ ngẫu nhiên k chiều.Và

n X

N S

n X

N S

1.3.DÃY CƠ BẢN VÀ TIÊU CHUẨN CAUCHY

1.3.1 Định nghĩa 1.5 (Dãy cơ bản hội tụ theo xác suất)

Dãy biến ngẫu nhiên   Xn n1 được gọi là dãy cơ bản hội tụ theo xác suất nếu   0 bất kì thì

Định nghĩa 1.6 (Dãy cơ bản theo hội tụ hầu chắc chắn)

Dãy biến ngẫu nhiên   Xn n1 được gọi là dãy cơ bản theo hội tụ hầu chắc chắn nếu   0 bất kì thì

Định nghĩa 1.7 (Dãy cơ bản theo hội tụ trung bình cấp p)

Dãy biến ngẫu nhiên   Xn n1 được gọi là dãy cơ bản theo hội tụ trung bình cấp p nếu E X n  X m p 0 , m n,  

Hệ quả 1 Giả sử   n n1 là dãy số dương và n 0 Khi đó nếu

Do đó tồn tại giới hạn hữu hạn

Hệ quả 3 Nếu dãy biến ngẫu nhiên X nn1 là dãy cơ bản theo xác suất thì

1.3.2 Tiêu chuẩn Cauchy

Định lý 1.6 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ theo xác suất)

Điều kiện cần và đủ để dãy các biến ngẫu nhiên   Xn n1 hội tụ theo

xác suất là   Xn n1 là dãy cơ bản theo xác suất

Cho m n ,   ta có P X  n  Xm      0   Xn là dãy cơ bản theo xác suất

Điều kiện đủ

Giả sử  X n n1 là dãy cơ bản theo xác suất Theo hệ quả 3 thì tồn tại

dãy con   Xn k hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X

Định lý 1.7 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ hầu chắc chắn)

Điều kiện cần và đủ để dãy các biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn là

  Xn n1 là dãy cơ bản theo nghĩa hội tụ hầu chắc chắn

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN

NGẪU NHIÊN 2.1 HÀM ĐẶC TRƯNG

2.1.3 Hàm đặc trưng của một số biến ngẫu nhiên thường gặp

n it

itX itk X

k

k it n

e k

2 1

2

x itX x

X

x x

it Z t it

t it

2.2 ỨNG DỤNG CỦA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN

Bất đẳng thức Chebyshev có nhiều ứng dụng, trước hết nó cho phép ta đánh giá cận trên hoặc cận dưới của xác suất để đại lượng ngẫu nhiên X nhận giá trị sai lệch so với kỳ vọng EX không quá  , từ đó lý giải chocác sai số trong đo lường vật lý

Ví dụ 1

Một cửa hàng vải muốn ước lượng nhanh chóng số vải bán ra trong một tháng của mình Số vải của mỗi khách hàng được làm tròn bởi số nguyên m gần nhất ( Thí dụ trong sổ ghi 195,6m thì làm tròn là 196m) Kí hiệu X là sai i

số giữa số mét vải thực bán và số mét vải đã tính tròn của khách hàng thứ i

Lời giải

Các sai số X1, ,X là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập có phân bố n

đều trên đoạn 0,5;0,5 Khi đó EX 0, 1

n i i n i i

Chúng là các đại lượng ngẫu nhiên độc lập với nhau và có cùng phân bố

Kỳ vọng EX i  chính là giá trị thực của đại lượng vật lý đó

Phương sai DX i 2 đặc trưng cho độ chính xác của phép đo ( Thiết bị đo càng chính xác thì 2 càng nhỏ)

Sai số khi lấy trung bình cộng của n lần đo là X1 X n

  

Áp dụng bđt Chebyshev ta có

2 i

Cho trước sai số được phép  Bài toán đặt ra là cần tiến hành bao nhiêu phép

đo để với xác suất 0,09 sai số của trung bình cộng so với giá trị thực không vượt quá  Từ đánh giá trên suy ra để

1

1

0,01

n i i

2.2.2 Luật số lớn và ứng dụng

Khái niệm về luật số lớn: Sự ổn định dần của tần suất tới xác suất của biến

cố A chính là dạng đơn giản nhất của luật số lớn Người ta gọi chung các quy luật khẳng định sự hội tụ tới hằng số c của trung bình cộng của dãy đại lượng

Cho  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập có cùng phân phối với

biến ngẫu nhiên X  B   1, p Đặt

Vậy định lý được chứng minh

Định lý trên khẳng định rằng tần suất của một biến cố hội tụ theo xác suất tới xác suất của biến cố đó

Giả sử trong một dãy phép thử độc lập, xác suất để một biến cố A nào đó xảy

A trong dãy phép thử Bernoulli

Ví dụ Xác định số phép thử bernoulli tối thiểu để ước lượng xác suất

Ý nghĩa của định lý luật số lớn: Từ định lý 2.3 khẳng định với họ độc lập cùng phân phối có kỳ vọng chung là  và có phương sai hữu hạn thì

“ổn định” của trung bình số học của các biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối có phương sai hữu hạn

DX n

Ứng dụng của luật số lớn và luật yếu số lớn

Cho   Yj j 1

 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó hàm phân phối

thực nghiệm kí hiệu là F được xác định với n  x 

1

1

n j j n j j

 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập Khi đó hàm phân

phối thực nghiệm kí hiệu là F được xác định với n  x 

 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập vừa có phân phối độc

lập vừa có phân phối đồng nhất Giả sử rằng EX j j , DX j 2j hữu hạn và

Khi đó trường hợp tổng quát của luật số lớn X n n nP 0

Chỉ ra rằng nếu X là không tương quan từng đôi và D j M  , j1 thì trường hợp tổng quát của luật số lớn vẫn đúng

Bài 2 Cho   X j j 1

 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và giả sử

k j

Bài 5 Các dãy biến ngẫu nhiên độc lập sau có tuân theo luật số lớn không? Vì

2.2.3 Định lý giới hạn trung tâm và ứng dụng

Khi nghiên cứu luật số lớn ta xét các điều kiện để có sự hội tụ theo xác suất, đối với diịnh lý giới hạn trung tâm ta sử dụng sự hội tụ theo phân phối

Định lý 2.6 (Định lý giới hạn trung tâm)

Cho   Xn n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối

với EX n  , DX n 2 tồn tại và hữu hạn

n

i i

(Do chúng độc lập và có cùng phân phối)

Khai triển Taylor của

i

Z

t n

20,1

n t

Giả sử   Xn n1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và có cùng phân phối với

X được xác định như sau

1

d n

Từ định lý giới hạn trung tâm ta thấy Z i N 0,1

Áp dụng kết quả cho định lý giới hạn trung tâm cho dãy phép thử Bernoulli 1

n n

n n

k n

Ví dụ 1 Trong 500 trang sách của một cuốn sách có 10 lỗi in Tìm xác suất

sao cho khi lấy ngẫu nhiên 1 trang sách thì có :

Ví dụ 2 Giả sử xác suất để làm ra một đinh ốc không đúng quy cách là

0,015

p Người ta xếp đinh ốc vào từng hộp, mỗi hộp 100 chiếc

a) Tính tỉ lệ chứa toàn đinh ốc đúng quy cách

b) Cần phải xếp bao nhiêu đinh ốc trong mỗi hộp để tỉ lệ hộp chứa 100 đinh

P X  e e e Giá trị đúng của    100

Vậy chỉ có 22% số hộp chứa 100 đinh ốc tốt

b) Giả sử mỗi hộp chứa 100 k đinh ốc, trong đó k là số nguyên dương Gọi

X là số đinh ốc không đúng quy cách trong hộp chứa 100 k đinh ốc Khi đó

X có phân phối nhị thức với tham số n100k , p0,015.Ta phải xác định

k nhỏ nhất để

00,015 0,985

k

i n i

Vậy ta tìm k nhỏ nhất để

2 1,5

+) Ứng dụng của địng lý Moivre – Laplace để xấp xỉ phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn

Giả sử X B n p ,  Kí hiệu X là biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn

Ngoài ra, và chúng xấp xỉ một phân phối rời rạc bằng một phân phối liên tục nên ta cần một sự “hiệu chỉnh” để sai số giảm đi Cụ thể như sau:

+) Nếu k thì

0,50,5

Ví dụ 1 Một kí túc xá có 650 sinh viên, xác suất để một sinh viên đến xem

phim tại câu lạc bộ vào tối thứ 7 là 0,7

a) Tính xác suất để số sinh viên đến xem phim ít hơn 440

b) Cần phải chuẩn bị bao nhiêu ghế để với xác suất 0,99 ta có thể đảm bảo

đủ ghế cho sinh viên đến xem

Lời giải Gọi X là số sinh viên đến xem phim vào tối thứ 7

Theo giả thiết ta có X B650; 0,7 Teo định Moivre – Laplace thì X được

454,5

2,32611,68

481,7

P X k

P X k P X k suy ra P X k

k k

Ví dụ 2 Tỉ lệ học sinh giỏi trong một trường phổ thông bằng 0,25

a) Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 100 em, số học sinh giỏi dao động

từ 10 đến 20

b) Tìm xác suất để khi chọn ngẫu nhiên 500 em, số học sinh giỏi không ít

hơn 120 em

Lời giải

Gọi X là số học sinh giỏi thỏa mãn đề bài

a) Khi đó X có phân phối nhị thức với p  0,25 , n 100

148998,

0000172,

014917,

0

58,304

,1

75,0.25,0.100

100.25,05,975

,0.25,0.100

100.25,05,205

,2020

~5,920

25,0.5005

,1195

,119

~120

Ví dụ 3 Tỉ lệ gặp hạt thóc không nảy mầm khi chọn giống là 0,06 Tìm xác

suất sao cho khi chọn ngẫu nhiên 1000 hạt ta gặp phải:

a) Không quá 15 hạt không nảy mầm

006,0.10005

,155

,15

6.10

10 6





 e

X P

Ví dụ 4 Một máy tính gồm 10000 bóng bán dẫn hoạt động độc lập nhau

Trong đó có 1000 bóng loại 1 có xác suất hỏng trong thời hạn bảo hành 0,005;

3000 bóng loại 2 có xác suất hỏng 0,002 và 6000 bóng loại 3 có xác suất hỏng 0,001

Máy tính sẽ ngừng hoạt động nếu ít nhất có 2 bóng hỏng Tìm xác suất để máy ngừng hoạt động

Vì các p i 0,n i đủ lớn nên ta tính PX i k bởi công thức xấp xỉ Poisson,

6.1

002179,

0

!0

6.0

66000.001,0

013173,

0

!1

6.1

002179,

0

!0

6.0

63000.002,0

003390,

0

!1

5.1

006738,

0

!0

5.0

51000.005,0

1 6 3

0 6 3

3

1 6 2

0 6 2

2

1 5 1

0 5 1

P và

e X

P nên

e X

P và

e X

P nên

e X

P và

e X

P nên

0

013173,

0.002179,

0.006738,

0002179,

0.013173,

0.006738,

0

002179,

0.002179,

0.00339,

0002179,

0.002179,

0.006738,

012

Ứng dụng của định lý giới hạn trung tâm

Giả sử X , ,1 X n là các b.n.n độc lập có cùng phân phối với

Ví dụ 4 Một con xúc xắc đối xứng được gieo 30 lần Tìm xác suất để tổng số

nốt xuất hiện lớn hơn 120

Giải Gọi X là số nốt xuất hiện ở lần gieo thứ i (i=1,2,…,30) Khi đó

5,0.301201

1201

S

P

 1,62 1 0,94521

359,9



Ví dụ 5 Trong một khu phố có 180 hộ 2 người và 50 hộ 3 hoặc 4 người

Lượng nước sinh hoạt mỗi hộ ít người dùng 1 ngày là 0,6m3

và độ lệch tiêu chuẩn 0,04m3, còn mỗi hộ nhiều người là 1 b.n.n có giá trị trung bình 1,9m3

và độ lệch tiêu chuẩn 0,14m3 Tìm xác suất để một ngày khu phố đó sử dụng hơn 205m3

nước

Lời giải

Gọi X1, , X180 là lượng nước dùng của các hộ ít người

Y , ,Y là lượng nước dùng của các hộ ít người

Ta có

 

0,04 0,98

50

959,1.50

288,004,0.180

1086

,0.180

Theo định lý giới hạn trung tâm U N108;0,288 ; V N95;0,98

Vì U, V độc lập nên U+V cũng có phân phối xấp xỉ chuẩn với

776,11268

,1

203205

1205

Ngoài ra định lý giới hạn trung tâm còn ứng dụng nhiều trong thống kê

Ví dụ 6 Trọng lượng trung bình của đàn ông một nước nào đó là 78,5kg, với

độ lệch tiêu chuẩn 11,2kg Chọn ngẫu nhiên 20 người và X là trọng lượng trung bình mẫu Tìm xác suất để X lớn hơn 82kg

Lời giải

11, 278,5;

202

,11

5,78821