Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên và ứng dụng

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn quan tâm giúp đỡ tận tình thầy cô giáo khoa thầy cô tổ toán ứng dụng - khoa Toán trường ĐHSPHN2 tạo điều kiện thuận lợi giúp đỡ em suốt trình học tập thực khóa luận tốt nghiệp trường Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo Trần Mạnh Tiến giúp đỡ, hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Đỗ Thị Thu Hiền Đỗ Thị Thu Hiền K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu em thời gian vừa qua hướng dẫn thầy giáo Trần Mạnh Tiến Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp không trùng với khóa luận tốt nghiệp khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Đỗ Thị Thu Hiền Đỗ Thị Thu Hiền K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội MỤC LỤC Phần mở đầu………………………… …………………………………….1 Chƣơng Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên………………… ……2 1.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên ………………………… …2 1.2 Quan hệ dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên ……….… 1.3 Dãy tiêu chuẩn Cauchy ……………… …………….… 18 Chƣơng Ứng dụng dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên…….24 2.1 Hàm đặc trưng …………………… ……………………………….….24 2.2 Ứng dụng dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên ……… ….….28 2.2.1 Một số bất đẳng thức ……………… ……………………….….28 2.2.2 Luật số lớn ứng dụng ………………… ………………….…30 2.2.3 Định lý giới hạn trung tâm ứng dụng ……………… .40 Kết luận …………………………… …………………………………… 52 Tài liệu tham khảo …………………………………………………………53 Đỗ Thị Thu Hiền K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHẦN MỞ ĐẦU Trong toán học, lý thuyết xác suất nói chung hàm ngẫu nhiên nói riêng môn có ứng dụng rộng rãi ngành khoa học tự nhiên, khoa học xã hội thực tế sống Nó công cụ để giải vấn đề chuyên môn nhiều lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, sinh vật nhiều ngành khoa học khác Chính em chọn đề tài: “Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên ứng dụng” Nội dung khóa luận bao gồm Chƣơng 1: Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Trong chương này, em trình bày sơ lược số kiến thức định nghĩa dạng hội tụ, mối quan hệ chúng tiêu chuẩn Cauchy dạng hội tụ Chƣơng 2: Ứng dụng dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Trong chương này, em trình bày số ứng dụng dạng hội thông qua số bất đẳng thức số định lý giới hạn ứng dụng chúng Đỗ Thị Thu Hiền K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội CHƢƠNG SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN 1.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN Cho  X n n1 dãy biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X xác định không gian xác suất  ,A, P  Định nghĩa 1.1 (Hội tụ hầu chắn hay hội tụ mạnh) Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 gọi hội tụ hầu chắn đến biến ngẫu nhiên X n   tồn A A cho P A  và: X n    X   , n  ,   A   \ A Kí hiệu h.c.c X n   X ,n   Hội tụ hầu chắn gọi hội tụ với xác suất h.c.c P  X n   X   1, n     hay P  : lim X n    X    n Từ định nghĩa ta có c.c X n h  X , n   với   0,   A   \ A , tồn N  ,    cho X n    X     , n  N  ,  Định nghĩa 1.2 (Hội tụ theo xác suất hay hội tụ yếu) Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 gọi hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X n   với   lim P  X n  X     n Đỗ Thị Thu Hiền K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Kí hiệu P X n  X, n  Từ định nghĩa ta có P Xn   X , n   với   0,   , tồn N  ,   cho P X n  X      , n  N  ,  Chú ý Ta có   : X n    X         : X n    X         P Xn  X     P Xn  X     Mà theo định nghĩa 1.2 ta có P  X n  X     0, n   nên P  X n  X     1, n   hay lim P  X n  X     n Khi ta có định nghĩa Định nghĩa 1.3 Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 gọi hội tụ theo xác suất P X n  X     đến biến ngẫu nhiên X   lim n Nghĩa P Xn   X , n   với   0,   0,1 , tồn N  ,   cho P X n  X       , n  N  ,   Ta thấy định nghĩa 1.2 định nghĩa 1.3 tương đương với Định nghĩa 1.4 (Hội tụ theo phân phối) Kí hiệu Fn x  FX n x : Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X n F x  FX x : Hàm phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Ta nói dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 gọi hội tụ theo phân phối đến biến ngẫu nhiên X n   Fn x   F x , n   với x  F x liên tục Đỗ Thị Thu Hiền K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Kí hiệu d X n  X, n  Từ định nghĩa ta có d X n   X , n   với   với x thuộc tập liên tục F tồn N  , x cho Fn  x   F  x    , n  N  , x  Chú ý Nếu d Xn   X, n  chưa thể kết luận f n  x    f  x  với f n x , f x  hàm mật độ xác suất biến n ngẫu nhiên X n ,X Thật ta xét ví dụ 1 1 1 , x    hay x     Với n  1,2, xét hàm f n  x    2 2 0 , trái lai  Ta có lim f n  x    f  x   với x  F x  không hàm mật độ n xác suất Xét hàm mật độ xác suất Fn tương ứng với f n cho  , x    n  1 1 Fn  x    , 1  x 1 n n 2  1 , x   n  Đỗ Thị Thu Hiền K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 1 1 n 1 n Ta thấy rằng: lim Fn  x   F  x  F x  xác định n 0 , x  hàm mật độ xác suất F  x   1 , x  d  X , n   f n x   Vậy X n   f x , n   Định nghĩa 1.5 (Hội tụ theo trung bình) Giả sử E X n   , n  1,2,  p   p Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 gọi hội tụ theo trung bình cấp p đến biến ngẫu nhiên X E X n  X  n   p Kí hiệu p X n  X , n L Trường hợp với p  ta gọi hội tụ theo nghĩa bình phương trung bình L2 X n  X nêu E X n  X  n   Có nghĩa: Với   ,  N     cho : E X n  X   ,  n  N    Ví dụ 1: Giả sử Z n đại lượng ngẫu nhiên rời rạc xác định P  Z n  1  Đỗ Thị Thu Hiền 1 , P  Zn  2   n n K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 2 , n   Chứng minh: Z n  L Lời giải Theo định nghĩa ta có 1 2 2 E Z n   1       1     , n   n  n n 2 , n   Vậy Z n  L Ví dụ Giả sử Z n đại lượng ngẫu nhiên rời rạc xác định P  Zn  0   1 , P  Zn  n  n n  , n   E Z n   Chứng minh Zn   0,n p Lời giải Ta có P  Zn     P  Zn  n    , n   n 0 , n   Do Zn  p  1 Mặt khác E Z n   0.1    n2  n   , n   n  n Do Z n không hội tụ tới theo nghĩa bình phương trung bình  , n   E Z n   Vậy Zn   0,n p Bài tập áp dụng Bài Với n  1,2, cho X n dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho P  X n  1  pn , P  X n  0   pn 0 , n   Chứng minh X n  p Bài Với n  1,2, cho X n dãy biến ngẫu nhiên với hàm mật độ xác 0 , x  n suất Fn cho Fn  x    1 , x  n Chỉ Fn  x    , x  n Đỗ Thị Thu Hiền K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Bài Cho X  j Trường ĐHSP Hà Nội j 1, n dãy biến ngẫu nhiên độc lập cho  EX j   , DX j   Chứng minh E X n     0 n Bài Với n  1,2, cho X n , Yn dãy biến ngẫu nhiên cho  với biến E  X n  Yn    giả sử E  X n  X   n n 2 L2 X , n  ngẫu nhiên X Chứng minh Yn  Bài Cho X j  j 1,n dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối U 0,1 tập Yn   X1, , X n  , Zn  max  X1, , X n  , U n  nYn , Vn  n 1  Z n  Chứng minh n   P P i) Yn   , ii) Z n  1 d iii) U n  U d , iv) Vn  V Ở U, V có phân phối mũ âm có tham số   Đỗ Thị Thu Hiền 10 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bài Các dãy biến ngẫu nhiên độc lập sau có tuân theo luật số lớn không? Vì sao?  k 1 k b) P  X k       , P  X k  0   22 k a) P  X k   2k   Bài Với n  1,2, Cho X n  P  n  Xn dãy biến ngẫu nhiên độc lập n 0  i  n n j 1 Chỉ trường hợp tổng quát luật yếu số lớn Đỗ Thị Thu Hiền 42 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2.2.3 Định lý giới hạn trung tâm ứng dụng Khi nghiên cứu luật số lớn ta xét điều kiện để có hội tụ theo xác suất, diịnh lý giới hạn trung tâm ta sử dụng hội tụ theo phân phối Định lý 2.6 (Định lý giới hạn trung tâm)  X n n1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối Cho với EX n   , DX n   tồn hữu hạn n Đặt Yn  X i 1 i  n hay Yn  n  n X   với X  n  Xi n i 1 Khi lim P Yn  a     a  , a   n Hay lim FYn  a   n a  x2 e dx , a   2   Chứng minh Để chứng minh định lý ta cần limYn  t   Z  t  , t   n Trong Yn  X   n , Y  N  0,1 Với n  * ta có Yn  Đặt Z i  n  Xi   n i 1 Xi     n n  Xi    n i 1  n n Xi    n i 1  EZi  , DZi  1, i  1,2, Là dãy biến ngẫu nhiên độc lập Ta có Đỗ Thị Thu Hiền 43 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Y  t    n n  Zi t    n i 1  t     Zi  n  n i 1  t    t    Zi    Zi    n    n  i 1 n n (Do chúng độc lập có phân phối)  t  Khai triển Taylor  Zi   t  ta có  n Z  t   Z    i i  '  0 t Zi 1! n   ''   t  t2   0.  2! n n Zi  t2  t2 1   0.  2n n  t2  suy Yn  t   1    2n  n n t   t2  lim Yn  t   lim 1    e   Z  t  n   n n  2n  Z  N  0,1 Định lý 2.7 (Định lý Moivre - Laplace) Giả sử X n  B  n, p  Khi ta có  X  np  n  lim P  a     a  , a   n    np 1  p   Chứng minh Giả sử  X n n1 dãy biến ngẫu nhiên độc lập có phân phối với X xác định sau P  X=1  p , P  X=0    p suy EX n  p , DX n  p 1  p  , n  Đỗ Thị Thu Hiền 44 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội n Đặt X n   X i , n  i 1 Theo định lý giới hạn trung tâm X n  np Yn  np 1  p  d   N  0,1  X  np  n hay lim P   a     a  , a   n    np 1  p   Chú ý Từ định lý giới hạn trung tâm ta thấy Zi  N  0,1 Áp dụng kết cho định lý giới hạn trung tâm cho dãy phép thử Bernoulli X k  với xác suất p X k  với xác suất  p n Thì X k 1 k số lần xuất biến cố A n phép thử Bernoulli n Đặt m   X k ta có k 1  m  np  lim P   a     a  , a    n   npq  Ứng dụng +) Ứng dụng địng lý Moivre – Laplace để xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối Poisson Định lý 2.8 Cho  X n n1 dãy biến ngẫu nhiên với X n  B  n, pn   , n  npn   thoả mãn pn  n Khi n   ta có Cnk pnk 1  pn  nk  e k k! với n đủ lớn X n  B  n, pn  xấp xỉ phân phối Poisson có tham số  Đỗ Thị Thu Hiền 45 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chứng minh Ta có n  n  1  n  k  1 k nk pn 1  pn  k! n  n  1  n  k  1 k n  pn 1  pn  k k! 1  pn  Cnk pnk 1  pn  nk  n  n  1  n  k  1  n     k!  n k    1  n  n   n k  1   n  n    k    n   n   11   1      n  n  k !  n k  n  1   n  n n   1.e n k k!   e k k! , k  0,1,2, Ví dụ Trong 500 trang sách sách có 10 lỗi in Tìm xác suất cho lấy ngẫu nhiên trang sách có : a) Đúng lỗi in b) Không lỗi in Lời giải Gọi X số lỗi in trang giấy Khi X biến ngẫu nhiên có phân phối Poisson có tham số   n pn =0,02 Vậy ta có: e 0,02 0,022 a) P(có lỗi in) = P  X    2! b) P(có lỗi in) = 1- P(nhiều lỗi in)   P  X    P  X  1   e0,02  0,02.e0,02 Đỗ Thị Thu Hiền 46 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ví dụ Giả sử xác suất để làm đinh ốc không quy cách p  0,015 Người ta xếp đinh ốc vào hộp, hộp 100 a) Tính tỉ lệ chứa toàn đinh ốc quy cách b) Cần phải xếp đinh ốc hộp để tỉ lệ hộp chứa 100 đinh ốc tốt tối thiểu 80%? Lời giải a) Nếu gọi X số đinh ốc không quy cách hộp chứa 100 đinh ốc, X có phân phối nhị thức với tham số n  100, p  0,015 P  X     0,985 100 Dùng xấp xỉ Poisson ta có P  X    e   e np  e1,5  0,22313 Giá trị P  X     0,985  100  0,22061 Vậy có 22% số hộp chứa 100 đinh ốc tốt b) Giả sử hộp chứa 100  k đinh ốc, k số nguyên dương Gọi X số đinh ốc không quy cách hộp chứa 100  k đinh ốc Khi X có phân phối nhị thức với tham số n  100  k , p  0,015 Ta phải xác định k nhỏ để k P  X  k    Cni  0,015   0,985  i n i i 0 Dùng xấp xỉ poisson ta có P  X  k   Cnk  0,015   0,985  k nk  e k k! Với   np  100  k  0,015  1,5  0,015k  1,5 Đỗ Thị Thu Hiền 47 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Vậy ta tìm k nhỏ để e 1,5 k  1,5 1,52 1,5      1    0,8 2! k !   1,5   1,5  2! 1,5   k! k  0,8.e1,5  3,5853 Thử với k  1,2, ta thấy với k  bất đẳng thức thoả mãn Như cần 102 đinh ốc Khi xác suất để có 100 đinh ốc tốt hộp 102 0,8022 +) Ứng dụng địng lý Moivre – Laplace để xấp xỉ phân phối nhị thức phân phối chuẩn Giả sử X  B  n, p  Kí hiệu X biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với   np ,   npq với q   p Với n đủ lớn ta có   k  np  k  np  P n  k  P Yn    P Z   npq  npq     P X  k    k  np k  np  P k1  X  k2   P   Yn   npq   npq  k  np k  np   P Z  npq   npq  P k  X  k    k  np   k  np        npq   npq      Như phân phối nhị thức B  n, p  xấp xỉ phân phối chuẩn N  np, npq  Người ta thấy xấp xỉ tốt np nq lớn npq lớn 20 Đỗ Thị Thu Hiền 48 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ngoài ra, chúng xấp xỉ phân phối rời rạc phân phối liên tục nên ta cần “hiệu chỉnh” để sai số giảm Cụ thể sau: +) Nếu k     P  X  k  P  X  k  0,5 P  X  k  P X  k  0,5 +) Nếu k1, k2    P k  X  k   P k  0,5  X  k P k  X  k   P k  0,5  X  k P k  X  k   P k  0,5  X  k   0,5  0,5  0,5 P k1  X  k2   P k1  0,5  X  k2  0,5 2 2 2 Ví dụ Một kí túc xá có 650 sinh viên, xác suất để sinh viên đến xem phim câu lạc vào tối thứ 0,7 a) Tính xác suất để số sinh viên đến xem phim 440 b) Cần phải chuẩn bị ghế để với xác suất 0,99 ta đảm bảo đủ ghế cho sinh viên đến xem Lời giải Gọi X số sinh viên đến xem phim vào tối thứ Theo giả thiết ta có X  B  650; 0,7  Teo định Moivre – Laplace X xấp xỉ X  N  650.0,7; 650.0,7.0,3  N  455; 11,682     a) P  X  440   P X  440  0,5  P X  439,5     1,33    1,33   0,9082  0,0918 Đỗ Thị Thu Hiền 49 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội b) Giả sử k số ghế cần chuẩn bị Ta có P  X  k   0,01   P  X  k   P X  k  0,05  0,01   suy P X  k  0,05  0,99    2,326    k  0,5   455       2,326  136,5   k  454,5  2,326 11,68 k  481,7 Vậy cần chuẩn bị 482 ghế Ví dụ Tỉ lệ học sinh giỏi trường phổ thông 0,25 a) Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 100 em, số học sinh giỏi dao động từ 10 đến 20 b) Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên 500 em, số học sinh giỏi không 120 em Lời giải Gọi X số học sinh giỏi thỏa mãn đề a) Khi X có phân phối nhị thức với p  0,25 , n  100  20,5  0,25.100   9,5  0,25.100  ~     P10  X  20  P 9,5  X  2020,5       100.0,25.0,75   100.0,25.0,75    1,04   3,58  0,14917  0,000172  0,148998 Khi X có phân phối nhị thức với p  0,25 , n  500    119,5  500.0,25  ~  P X  120  P X  119,5    500 , 25 , 75     0,57   0,57  0,6609  Đỗ Thị Thu Hiền  50 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ví dụ Tỉ lệ gặp hạt thóc không nảy mầm chọn giống 0,06 Tìm xác suất cho chọn ngẫu nhiên 1000 hạt ta gặp phải: a) Không 15 hạt không nảy mầm b) Đúng 10 hạt không nảy mầm Lời giải Gọi X số hạt thóc không nảy mầm gặp phải chọn ngẫu nhiên 1000 hạt Khi X  B 1000;0,006  Ta có  15,5  1000.0,006  ~   3,89  0,9998 a) P X  15  P X  15,5     1000.0,006.0,994    b) Vì p  0,006  nên X có phân phối Poisson với tham số   n p  P X  10  e6 610  0,041303 10! Ví dụ Một máy tính gồm 10000 bóng bán dẫn hoạt động độc lập Trong có 1000 bóng loại có xác suất hỏng thời hạn bảo hành 0,005; 3000 bóng loại có xác suất hỏng 0,002 6000 bóng loại có xác suất hỏng 0,001 Máy tính ngừng hoạt động có bóng hỏng Tìm xác suất để máy ngừng hoạt động Lời giải Gọi X “số bóng bán dẫn bị hỏng thời gian bảo hành” X i “số bóng bán dẫn bị hỏng thời gian bảo hành”, i  1,2,3 Rõ ràng X  X  X  X Xác suất cần tìm P X  2   P X  0  P X  1   P X  0P X  0P X  0  P X  1P X  0P X  0   P X  0P X  1P X  0  P X  0P X  0P X  1 Đỗ Thị Thu Hiền 51 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Vì pi  , ni đủ lớn nên ta tính P X i  k  công thức xấp xỉ Poisson, i  ni pi i  1,2,3 e 5 50 1  0,005.1000  nên P X  0   0,006738 0! e 5 51 P X  1   0,003390 1! e 6 2  0,002.3000  nên P X  0   0,002179 0! e 6 61 P X  1   0,013173 1! e 6 3  0,001.6000  nên P X  0   0,002179 0! e 6 61 P X  1   0,013173 1! Vậy P X  2   0,006738.0,002179.0,002179  0,00339.0,002179.0,002179   0,006738.0,013173.0,002179  0,006738.0,002179.0,013173  0,999999565 Ứng dụng định lý giới hạn trung tâm Giả sử X , , X n b.n.n độc lập có phân phối với EX i   , DX i   hữu hạn Khi với n đủ lớn  k  n  Sn   X i  N  n , n  P  Sn  k       n  i 1 n Ví dụ Một xúc xắc đối xứng gieo 30 lần Tìm xác suất để tổng số nốt xuất lớn 120 Đỗ Thị Thu Hiền 52 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giải Gọi X số nốt xuất lần gieo thứ i (i=1,2,…,30) Khi X , , X 30 b.n.n độc lập có phân phối sau: Xi P 6 6 6 Ta có EX i  3,5 DX i  2,92 Suy X , , X 30 b.n.n độc lập có phân phối với EX i  3,5 DX i  2,92 Theo định lí giới hạn trung tâm ta có 30 Sn   X i  N (30.0,5;30.2,92) i 1  120  30.0,5   Vậy PS  120   PS  120     30 , 92    15        1,62   0,9452  9,359   0,0548 Ví dụ Trong khu phố có 180 hộ người 50 hộ người Lượng nước sinh hoạt hộ người dùng ngày 0,6m3 độ lệch tiêu chuẩn 0,04m3, hộ nhiều người b.n.n có giá trị trung bình 1,9m3 độ lệch tiêu chuẩn 0,14m3 Tìm xác suất để ngày khu phố sử dụng 205m3 nước Lời giải Gọi X , , X 180 lượng nước dùng hộ người Y1 , ,Y50 lượng nước dùng hộ người Đặt U  X   X 180 V  Y1   Y50 Đỗ Thị Thu Hiền 53 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ta có EU  180.0,6  108 DU  180.0,04  0,288 EV  50.1,9  95 DV  50.0,04  0,98 Theo định lý giới hạn trung tâm U  N 108;0,288; V  N 95;0,98  Vì U, V độc lập nên U+V có phân phối xấp xỉ chuẩn với EU  V   EU  EV  203 DU  V   DU  DV  1,268 Vậy  205  203     1,776 PU  V  205     , 268     0,9621  0,0379 Ngoài định lý giới hạn trung tâm ứng dụng nhiều thống kê Ví dụ Trọng lượng trung bình đàn ông nước 78,5kg, với độ lệch tiêu chuẩn 11,2kg Chọn ngẫu nhiên 20 người X trọng lượng trung bình mẫu Tìm xác suất để X lớn 82kg Lời giải  11,2    Ta có X  N  78,5;    20   Khi    82  78,5  P X  82    20   11,2    1,398  0,081 Đỗ Thị Thu Hiền 54 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Trong khóa luận em nghiên cứu số vấn đề sau đây: Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên, mối quan hệ chúng, tiêu chuẩn Cauchy dạng hội tụ, số định lý giới hạn ứng dụng chúng Tuy nhiên điều kiện thời gian có hạn chưa có kinh nghiệm công tác làm nghiên cứu khoa học nên khóa luận em không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận góp ý kiến thầy cô bạn đọc Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy tổ Toán ứng dụng, thầy cô khoa đặc biệt thầy Trần Mạnh Tiến – người tận tình bảo, giúp đỡ em suốt thời gian qua để hoàn thành khóa luận Hà Nội, tháng năm 2010 Sinh viên Đỗ Thị Thu Hiền Đỗ Thị Thu Hiền 55 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Đào Hữu Hồ; 1999, “Xác suất thống kê”, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Hà Nội 2) Đinh Văn Gắng, 2003, Lý thuyết xác suất thống kê, Nhà xuất giáo dục 3) Đặng Hùng Thắng; 2005, “Mở đầu lý thuyết xác suất ứng dụng”, Nhà xuất giáo dục 4) Nguyễn Viết Phú, Nguyễn Duy Tiến; 2002, “Cơ sở lý thuyết xác suất”, Nhà xuất Đại học Quốc Gia, Hà Nội 5) Billingslay, Patrick, “Convergence of Probability measures”, Wiley and Sons, NewYork – London Đỗ Thị Thu Hiền 56 K32 CN Toán [...]... lý 1.1 và định lý 1.3 ta thấy h.c.c P  X  X n  X Nếu  X n n1 là dãy giảm thì: X n  khi n   +) Hội tụ theo phân phối là dạng hội tụ yếu nhất và thường được gọi là dạng hội tụ yếu tức là nó được suy ra từ tất cả các dạng hội tụ khác và do đó nó là dạng hội tụ chung nhất và có ích nhất của các biến ngẫu nhiên Đây cũng là khái niệm hội tụ được dùng trong định lý giới hạn trung tâm và trong... Nội 2 2.2 ỨNG DỤNG CỦA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN 2.2.1 Một số bất đẳng thức Định lý 2.1 ( Bất đẳng thức Markov) Cho X là biến ngẫu nhiên không âm và EX   Khi đó ta có P X  a  EX , a0 a Chứng minh Đã chứng minh trong bổ đề 1.1 Định lý 2.2 (Bất đẳng thức Chebyshev) Cho biến ngẫu nhiên X, giả sử tồn tại E  X  a  Khi đó 2  k  0 thì E  X  a P X  a  k   k2 2 Chứng minh... ĐHSP Hà Nội 2 1.2 QUAN HỆ GIỮA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN P Định lý 1.1 Cho  X n n1 là một dãy giảm và X n   X Khi đó h.c.c X n   X ,n   Chứng minh Đặt Yn  X n  X P Vì X n là dãy giảm và X n   X nên Yn cũng là dãy giảm và P Yn   0 khi n   h.c.c  0, n   bằng phương pháp phản chứng Ta sẽ chứng minh Yn  Giả sử ngược lại Yn không hội tụ hầu chắc chắn đến 0 Tức... Nội 2 2.2.2 Luật số lớn và ứng dụng Khái niệm về luật số lớn: Sự ổn định dần của tần suất tới xác suất của biến cố A chính là dạng đơn giản nhất của luật số lớn Người ta gọi chung các quy luật khẳng định sự hội tụ tới hằng số c của trung bình cộng của dãy đại lượng ngẫu nhiên X 1  X 2   X n   c là luật số lớn n n Định lý 2.3 ( Định lý luật số lớn) Cho dãy các biến ngẫu nhiên  X n n1 với EX...  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên Giả sử g :    là hàm liên tục Khi đó d d X n   X  g  X n   gX  , n   ii) Tổng quát, nếu với j  1, , k , X n  , n  1 và X j là dãy các biến ngẫu j nhiên và g :  k   k là hàm liên tục Khi đó  d X n    X j  g X n  , , X n j 1 k   g  X , , X d 1 k  ,n  j  1, , k  Chú ý 5 Cho  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên Giả sử g... luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN 2.1 HÀM ĐẶC TRƢNG 2.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 2.1 Cho X , Y là các biến ngẫu nhiên( b.n.n), tồn tại EX , EY Khi đó ta định nghĩa E  X  iY   EX  iEY , i 2  1 Định nghĩa 2.2 Cho b.n.n X Khi đó hàm số  X  t   EeitX , t   được gọi là hàm đặc trưng của b.n.n X Nhận xét: - Nếu X là b.n.n rời rạc... Chứng minh rằng X n   X , n   nhưng Xn   X theo xác suât khi n   Đỗ Thị Thu Hiền 20 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 1.3.DÃY CƠ BẢN VÀ TIÊU CHUẨN CAUCHY 1.3.1 Định nghĩa 1.5 (Dãy cơ bản hội tụ theo xác suất) Dãy biến ngẫu nhiên  X n n1 được gọi là dãy cơ bản hội tụ theo xác suất nếu    0 bất kì thì P X n  X m     0 , n, m   Định nghĩa 1.6 (Dãy cơ bản theo hội. .. dãy cơ bản theo xác suất Điều kiện đủ Giả sử X n n1 là dãy cơ bản theo xác suất Theo hệ quả 3 thì tồn tại dãy con  X  hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên X nk     Xét P  X n  X     P  X n  X nk    P  X nk  X   2 2   Cho n, k   P ta có P X n  X     0  X n  X Định lý 1.7 (Tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ hầu chắc chắn) Điều kiện cần và đủ để dãy các biến ngẫu. .. Vậy g  X n   ii) Chứng minh tương tự Định lý 1.5 i) Cho  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên Giả sử g :    là hàm liên tục h c c h.c c  X  g  X n   gX  , n   Khi đó X n  Đỗ Thị Thu Hiền 16 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 ii) Tổng quát, nếu với j  1, , k , X n  , n  1 và X j là dãy các biến ngẫu j nhiên và g :  k   k là hàm liên tục Khi đó  h c c X...  x   Vậy ta có điều phải chứng minh Đỗ Thị Thu Hiền 15 K32 CN Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Định lý 1.4 i) Cho  X n n1 là dãy các biến ngẫu nhiên Giả sử g :    là hàm liên tục Khi đó P P X n   X  g  X n   gX  , n   ii) Tổng quát, nếu với j  1, , k , X n  , n  1 và X j là dãy các biến ngẫu j nhiên và g :  k   k là hàm liên tục Khi đó:  P X n    X j ... SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN 1.1 CÁC DẠNG HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN Cho  X n n1 dãy biến ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X xác định không gian xác suất  ,A, P  Định nghĩa 1.1 (Hội. .. …………………………………….1 Chƣơng Sự hội tụ dãy biến ngẫu nhiên ……………… ……2 1.1 Các dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên ………………………… …2 1.2 Quan hệ dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên ……….… 1.3 Dãy tiêu chuẩn Cauchy ………………... n1 dãy giảm thì: X n  n   +) Hội tụ theo phân phối dạng hội tụ yếu thường gọi dạng hội tụ yếu tức suy từ tất dạng hội tụ khác dạng hội tụ chung có ích biến ngẫu nhiên Đây khái niệm hội tụ