Về sự hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN TIÊU THỊ HỒI ÂN VỀ SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn: TS.LÊ VĂN DŨNG Đà Nẵng - 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Lê Văn Dũng, thầy hướng dẫn, giới thiệu đề tài, cung cấp tài liệu hướng dẫn tận tình suốt trình em thực đề tài Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban chủ nhiệm khoa Tốn Thầy khoa Toán trường Đại học Sư Phạm Đà Nẵng tạo điều kiện, quan tâm, giúp đỡ em suốt thời gian học tập hoàn thành tốt luận văn Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn lớp động viên, tất người cổ vũ, động viên, giúp đỡ em hoàn thành tốt luận văn Đà Nẵng, tháng 06 năm 2014 Sinh viên Tiêu Thị Hoài Ân MỤC LỤC Lời cảm ơn Những kí hiệu dùng khóa luận Kiến Thức Cơ Sở 1.1 Không gian xác suất 1.2 Biến ngẫu nhiên 1.3 Các tham số đặc trưng Biến ngẫu nhiên 1.4 Các phân phối xác suất quan trọng 10 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 14 2.1 Các định nghĩa 14 2.2 Các ví dụ 16 2.3 Tính hội tụ 17 2.4 Quan hệ khái niệm hội tụ 18 2.5 Khả tích 22 2.6 Hội tụ theo moment 25 2.7 Hội tụ tổng dãy 31 2.8 Tiêu chuẩn Cauchy 32 LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết xác suất ngày trở thành ngành toán học lớn, chiếm vị trí quan trọng lý thuyết lẫn thực hành Trong đó, hội tụ dãy biến ngẫu nhiên theo số nghĩa khác đóng vai trị then chốt việc nghiên cứu định lý giới hạn Việc thường xuyên sử dụng phân phối thông thường (ngày sử dụng kể từ máy tính làm việc với nhiều số khoảng thời gian hợp lý) thực tế dựa vào trung bình cộng vài phép đo mẫu xấp xỉ chuẩn mẫu đủ lớn,vv, Tất điều tạo nên khái niệm hội tụ Cho X1 , X2 , biến ngẫu nhiên Có thể nói tổng Sn chúng số số hạng tăng dần, n → ∞ số lớn max{X1 ,X2 , , Xn } n → ∞, giới hạn dãy tổng sao?, hàm dãy hội tụ nào? Do đó, để mở rộng củng cố thêm vốn kiến thức hội tụ dãy biến ngẫu nhiên mình, em chọn nghiên cứu đề tài: "Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn dạng hội tụ (hội tụ hầu chắc, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo r-trung bình, hội tụ theo phân phối, hội tụ đầy đủ) dãy biến ngẫu nhiên Phạm vi nghiên cứu Đề tài không sâu vào tất dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên mà đưa khái niệm hội tụ dãy biến ngẫu nhiên (như hội tụ hầu chắc, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo r-trung bình, hội tụ theo phân phối, hội tụ đầy đủ), nghiên cứu định lý, bổ đề, liên quan đến dạng hội tụ Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu liên quan đến nội dung đề tài Hệ thống hóa dạng hội tụ đề cập khóa luận Hỏi, trao đổi tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hồi Ân Ý nghĩa khoa học Tìm hiểu hội tụ dãy biến ngẫu nhiên nhằm phục vụ tốt cho đề tài Là tài liệu tham khảo phục vụ cho việc dạy học môn lý thuyết xác suất thống kê trường cao đẳng, đại học Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, bố cục bao gồm chương : • Chương Kiến thức sở + Giới thiệu sơ lược không gian xác suất + Biến ngẫu nhiên tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên + Giới thiệu phân phối xác suất quan trọng • Chương Đề cập hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Do thời gian thực khóa luận khơng nhiều, kiến thức cịn hạn chế nên làm khóa luận khơng tránh khỏi hạn chế sai sót Em mong nhận góp ý ý kiến phản biện quý thầy cô bạn Em xin chân thành cảm ơn! Đà Nẵng, tháng 06 năm 2014 Sinh viên Tiêu Thị Hoài Ân NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG KHĨA LUẬN N R Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực An i.o lim supn→∞ An F (x−) limt→x− F (t) log(x) logarit số e x + log (x) max{log(x), 0} [x] Số nguyên lớn không vượt x CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 1.1.1 Khơng gian xác suất Phép thử Trong tốn học có khái niệm khơng có định nghĩa mà mơ tả chúng hình ảnh tư trực quan Chẳng hạn hình học khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng khái niệm khơng có định nghĩa Trong xác suất, khái niệm phép thử khái niệm khơng có định nghĩa Ta hiểu phép thử việc thực nhóm điều kiện để quan sát tượng có xảy hay không Phép thử gọi ngẫu nhiên ta khơng thể dự báo trước xác kết xảy ta thực phép thử 1.1.2 Không gian mẫu Tập hợp tất kết xảy phép thử ngẫu nhiên gọi khơng gian mẫu Ta thường kí hiệu Ω Cho không gian mẫu Ω Ta xét lớp F tập Ω thỏa mãn điều kiện: + ∅ ∈ F + Nếu A ∈ F Ac ∈ F + Nếu A1 , A2 , , An , ∈ F ∞ n=1 An ∈ F Lớp F gọi σ -đại số tập Ω 1.1.3 Độ đo xác suất Một hàm tập hợp P : F → R gọi độ đo xác suất thỏa mãn điều kiện sau: + Với A ∈ F , ≤ P(A) ≤ + P(Ω) = + Nếu A1 ,A2 , ,An , đôi không giao nhau(Ai ∩ Ai = ∅ với i = j) P ( ∞ ∞ n=1 An ) = P (An ) n=1 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hồi Ân Khi phần tử F gọi biến cố P (A) gọi xác suất xảy biến cố (A) Bộ ba (Ω, F, P ) gọi không gian xác suất 1.1.4 Bổ đề Borel - Cantelli Định lý 1.1 (Bổ đề Borel - Cantelli thứ nhất) Cho {An , n ≥ 1} tùy ý Khi đó, ∞ P (An ) < ∞ ⇒ P (An i.o.) = n=1 Trong đó, An i.o = lim sup An n→∞ ∞ ∞ lim sup An = n→∞ Am n=1 m=n Định lý 1.2 (Bổ đề Borel - Cantelli thứ hai) Cho {An , n ≥ 1} độc lập Khi đó, ∞ P (An ) = ∞ ⇒ P (An i.o.) = n=1 1.2 Biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.3 Cho không gian xác suất (Ω, F, P ) Ánh xạ X : Ω → R gọi biến ngẫu nhiên X hàm đo được, tức với a ∈ R, {ω ∈ Ω : X(ω) < a} ∈ F 1.2.1 Hàm phân phối xác suất Định nghĩa 1.4 Cho biến ngẫu nhiên X , hàm số F (x) = P (X < x), x ∈ R gọi hàm phân phối xác suất X 1.2.2 Biến ngẫu nhiên độc lập Cho n biến ngẫu nhiên X1 , , Xn xác định không gian mẫu có hàm phân phối xác suất F1 (x), , Fn (x) Ta nói biến ngẫu nhiênX1 , , Xn độc lập với x1 , , xn ∈ R ta có: P (X1 < x1 , , Xn < xn ) = F1 (x1 ) Fn (xn ) 1.2.3 Biến ngẫu nhiên rời rạc biến ngẫu nhiên liên tục Ta gọi X biến ngẫu nhiên rời rạc, có miền giá trị hữu hạn vô hạn đếm Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị x1 , x2 , , xn , bảng số: X P x1 x2 P (X = x1 ) P (X = x2 ) xn P (X = xn ) Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân gọi bảng phân phối xác suất biến ngẫu nhiên X Biến ngẫu nhiên X gọi biến ngẫu nhiên liên tục tồn hàm số f : R → R khả tích khơng âm cho với y ∈ R, y F (y) = f (x)dx, −∞ : F (y) hàm phân phối X Khi đó, f (x) gọi hàm mật độ X 1.3 1.3.1 Các tham số đặc trưng Biến ngẫu nhiên Kỳ vọng toán Cho biến ngẫu nhiên X xác định khơng gian xác suất (Ω; F; P ), khả tích Lebesgue Kì vọng X , kí hiệu E(X), xác định bởi: E(X) = XdP Ω + Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất: x1 p1 X P E(X) = xn pn x2 p2 xk p k k + Nếu biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm mật độ f (x) thì: +∞ E(X) = xf (x)dx −∞ 1.3.2 Phương sai Cho biến ngẫu nhiên X , số V ar(X) = E(X − E(X))2 gọi phương sai biến ngẫu nhiên X + Nếu biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân phối xác suất: X P x1 p1 x2 p2 xn pn 2 x k pk − V ar(X) = k xk p k k Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân Định lý 2.20 Cho X1 , X2 , biến ngẫu nhiên c số Khi đó, p d Xn → − c n → ∞ ⇔ Xn → − c n → ∞ d Chứng minh Theo Định lý 2.16, ta cần chứng minh chiều ngược lại Giả sử Xn → − c n → ∞, cho ε > Khi đó, ta có: P (|Xn − c| > ε) = − P (c − ε ≤ Xn ≤ c + ε) = − FXn (c + ε) + FXn (c − ε) − P (Xn = c − ε) ≤ − FXn (c + ε) + FXn (c − ε) → − + = n → ∞, FXn (c + ε) → FX (c + ε) = 1, FXn (c − ε) → FX (c − ε) = c + ε, c − ε ∈ C(FX ) = {x : x = c} p Định lý 2.21 Cho X1 , X2 , biến ngẫu nhiên cho Xn → − X n → ∞ Khi đó, tồn dãy khơng giảm {nk , k ≥ 1} số nguyên dương, cho: c Xnk → − X n → ∞, đặc biệt, a.s Xnk −−→ X n → ∞ Chứng minh Theo giả thiết, ta có dãy không giảm, {nk , k ≥ 1}, cho: Do đó, P |Xnk − X| > 2k P |Xnk − X| > 2k ∞ k=1 Khi < ∞ < ε với ε > với k > log(1/ε)/ log 2, thì: 2k ∞ P (|Xnk − X| > ε) < ∞ k=1 Định lí chứng minh p Định lý 2.22 Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên đơn điệu Giả sử Xn → − X n → ∞ Khi đó, a.s Xn −−→ X n → ∞ 21 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân Chứng minh Theo Định lý 2.21, tồn dãy {Xnk , k ≥ 1} hội tụ hầu chắn đến X Khơng tính tổng qt, ta giả sử X1 , X2 , dãy tăng với ω ∈ {Xnk → X} Khi đó, với ε > 0, tồn k0 (ω), cho: X(ω) − Xnk (ω) < ε với k ≥ k0 (ω) Do tính chất đơn điệu, ta có: X(ω) − Xn (ω) < ε với n ≥ k0 (ω), lập thành hội tụ chắn 2.5 Khả tích Hội tụ theo xác suất khơng thiết dẫn tới hội tụ theo trung bình Câu hỏi đặt liệu có tồn điều kiện đảm bảo dãy biến ngẫu nhiên hội tụ xác suất (hoặc hầu chắn, theo phân phối) hội tụ theo r- trung bình khơng? Và khả tích khái niệm phù hợp cho vấn đề Định nghĩa 2.23 Dãy X1 , X2 , gọi khả tích nếu: sup E|Xn |I{|Xn | > a} → a → ∞ n Nói cách khác, X1 , X2 , gọi khả tích nếu: |x|dFXn (x) → a → ∞ sup n |x|>a Nhận xét 2.24 Giả sử X1 , X2 , có hữu hạn trung bình, bao hàm E|Xn |I{|Xn | > a} → a → ∞ với n tích phân hội tụ hội tụ Yêu cầu dãy khả tích nghĩa tích phân tiến đến với số dãy Định lý 2.25 Các biến ngẫu nhiên X1 , X2 , khả tích khi: (i) supn E|Xn | < ∞; (ii) với ε > tồn δ > 0, cho với tập A ∈ F mà P (A) > δ, supn |Xn |I{A} < ε Chứng minh Điều kiện cần Giả sử ta có dãy X1 , X2 , dãy khả tích Khi đó, ta có: E|Xn | = E|Xn |I|Xn | ≤ a + E|Xn |I{|Xn | > a} ≤ a + 1, 22 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân với a đủ lớn, suy (i) Tiếp theo, cho ε tập A cho P (A) < δ Khi đó, ta có: E|Xn |I{A} = E|Xn |I{A ∩ {|Xn | ≤ a}} + E|Xn |I{A ∩ {|Xn | > a}} ≤ aP (A) + E|Xn |I{|Xn | > a} ≤ aδ + ε/2 < ε, với aδ < ε/2 Điều kiện đủ Giả sử có điều kiện (i) (ii), ta đặt An = {|Xn | > a}, áp dụng bất đẳng thức Markov (i), ta có: P (An ) ≤ supn E|Xn | E|Xn | ≤ < δ n, a a với a đủ lớn Vì vậy, (ii) nên: E|Xn |I{|Xn | > a} = E|Xn |I{An } < ε n Do đó, {Xn ; n ≥ 1} dãy khả tích Định lý 2.26 Cho X1 , X2 , biến ngẫu nhiên, giả sử: sup E|Xn |p < ∞ với p > n Khi đó, {Xn , n ≥ 1} khả tích Đặc biệt, {|Xn |p , n ≥ 1} khả tích với p > {Xn , n ≥ 1} khả tích Chứng minh Ta có: sup E|Xn |I{|Xn | > a} ≤ sup a1−p E|Xn |p I{|Xn | > a} ≤ sup a1−p E|Xn |p n =a n 1−p n p sup E|Xn | → a → ∞ n Định lý 2.27 Cho X1 , X2 , biến ngẫu nhiên g hàm tăng không âm cho g(x)/x → ∞ x → ∞ Nếu sup Eg(Xn ) < ∞, n {Xn , n ≥ 1} khả tích Chứng minh Theo giả thiết, ta có: g(x) > b với x > a(b) > x Do đó, cho ε > 0, 1 E|Xn |I{|Xn | > a} ≤ Eg(Xn )I{|Xn | > a} ≤ sup Eg(Xn ) < ε, b b n 23 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân độc lập theo n b đủ lớn, với a > a(b) Định lý 2.28 Giả sử X1 , X2 , biến ngẫu nhiên cho: |Xn | ≤ Y hầu chắn với n, Trong đó, Y biến ngẫu nhiên khả tích xác định Khi đó, {Xn , n ≥ 1} khả tích Chứng minh Ta có: E|Xn |I{|Xn | > a} ≤ EY I{Y > a} → a → ∞, độc lập (do trong) n Hệ 2.29 Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên Nếu E sup |Xn | < ∞, n {Xn , n ≥ 1} khả tích Định lý 2.30 Cho X1 , X2 , biến ngẫu nhiên cho: |Xn | ≤ Yn hầu chắn với n, đó, Y1 , Y2 , biến ngẫu nhiên khả tích dương Nếu {Yn , n ≥ 1} khả tích {Xn , n ≥ 1} khả tích Bổ đề 2.31 Cho X1 , X2 , biến ngẫu nhiên Nếu {Xn , n ≥ N > 1} khả tích {Xn , n ≥ 1} Chứng minh Giả sử, sup E|Xn |I{|Xn | > a} < ε với a > a0 n≥N Hơn nữa, cho ≤ n < N, E|Xn |I{|Xn | > a} < ε với a > an Kết hợp tất lại, ta được: sup E|Xn |I{|Xn | > a} < ε với a > max{a0 , a1 , a2 , , aN −1 } n≥1 Hay nói cách khác tổng hai dãy khả tích khả tích Định lý 2.32 Nếu {Xn , n ≥ 1} {Yn , n ≥ 1} khả tích đều, {Xn + Yn , n ≥ 1} khả tích 24 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân Chứng minh Cho a>0 Khi đó, |Xn + Yn |I{|Xn + Yn | > a} ≤ max{|Xn |, |Yn |}I{2 max{|Xn |, |Yn |} > a} ≤ 2|Xn |I{|Xn | > a/2} + 2|Yn |I{|Yn | > a/2} Lấy kỳ vọng, cho a → ∞ ta điều phải chứng minh Lưu ý kết không sử sụng phép nhân tích hai biến ngẫu nhiên khả tích khơng khả tích Trong trường hợp đặc biệt, ta có định lý sau Định lý 2.33 Cho p, q > 1, với p− + q − = Nếu {|Xn |p , n ≥ 1} {|Yn |q , n ≥ 1} khả tích {Xn · Yn , n ≥ 1} Chứng minh Cho a > 0, ta có: |Xn · Yn |I{|Xn · Yn | > a} ≤ |Xn | · |Yn |I{|Xn | > √ √ a} + |Xn | · |Yn |I{|Yn | > a} Lấy kỳ vọng, ý (I{·})α = I{·} với α > 0, v ỏp dng bt ng thc Hăolder, ta cú: E|Xn · Yn |I{|Xn · Yn | > a} ≤ ||Xn I{|Xn | > ≤ ||Xn I{|Xn | > √ √ a}||p · ||Yn ||q + ||Xn ||p · ||Yn I{|Yn | > √ a}||q a}||p · sup ||Yn ||q + sup ||Xn ||p · ||Yn I{|Yn | > n √ a}||q n → a → ∞ n 2.6 Hội tụ theo moment 2.6.1 Hội tụ hầu chắn Định lý 2.34 (Bổ đề Fatou) Cho X X1 , X2 , biến ngẫu nhiên, giả sử a.s Xn −−→ X n → ∞, đó: E|X| ≤ lim inf E|Xn | n→∞ Đây định lý hội tụ chứng tỏ mối quan hệ mật thiết khả tích mômen hội tụ a.s Định lý 2.35 Cho X X1 , X2 , biến ngẫu nhiên giả sử Xn −−→ X n → ∞ Cho r > 0, điều kiện sau tương đương: a) {|Xn |r , n ≥ 1} khả tích đều; L r b) Xn −→ X n → ∞; c) E|Xn |r → E|X|r n → ∞ 25 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân Hơn nữa, r ≥ có điều kiện EXn → EX n → ∞ Chứng minh Ta chứng minh theo thứ tự (a) ⇒ (b) ⇒ (c) ⇒ (a) (a) ⇒ (b) Đầu tiên, bổ đề Fatou Định lý 2.25 (i), E|X|r ≤ lim inf E|Xn |r ≤ sup E|Xn |r < ∞ n→∞ n Tiếp theo, ta để ý |Xn − X|r ≤ 2r (|Xn |r + |Xn |r ), theo Định lý 2.32, {|Xn − X|r , n ≥ 1} khả tích Cho ε > 0, đó: E|Xn − X|r = E|Xn − X|r I{|Xn − X| ≤ ε} + E|Xn − X|r I{|Xn − X| > ε} ≤ εr + E|Xn − X|r I{|Xn − X| > ε}, đó, lim sup E|Xn − X|r ≤ εr , n→∞ ε tùy ý nên ta có điều phải chứng minh (b) ⇒ (c) Đầu tiên, ta giả sử < r ≤ 1.Từ bất đẳng thức cr , ta được: |E|Xn |r − E|X|r | ≤ E|Xn − X|r → n → ∞ Cho r ≥ 1, áp dụng bất đẳng thức Minkowski, ta được: | ||Xn ||r − ||X||r | ≤ ||Xn − X||r → n → ∞ (c) ⇒ (a) Đặt An = {|Xn − X| > 1}, đó: E|Xn |r I{|Xn | > a + 1} = E|Xn |r I{{|Xn | > a + 1} ∩ An } + E|Xn |r I{{|Xn | > a + 1} ∩ Acn } ≤ E|Xn |r I{|An |} + E|Xn |r I{|X| > a} ≤ |E(|Xn |r − |X|r )I{An }| + E|X|r I{An } + E|Xn |r I{|X| > a} ≤ |E|Xn |r − E|X|r | + E|X|r I{An } + E|Xn |r I{|X| > a} Với ε > 0, theo giả thiết, biểu thức thứ bên vế phải hội tụ đến n → ∞ sup |E|Xn |r − E|X|r | < ε với n0 = n(ε) n≥n0 Biểu thức thứ hai bên vế phải hội tụ đến a → ∞ (không phụ thuộc vào n) theo Định lý 1.8 Với biểu thức thứ ba, ta có: E|X|r I{|X| ≤ a} ≤ lim inf E|Xn |r I{|X| ≤ a} n→∞ 26 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân a.s Theo bổ đề Fatou, (|Xn |I{|X| ≤ a} −→ |X|I{|X| ≤ a} n → ∞), thế: lim sup E|Xn |r I{|X| > a} = lim sup(E|Xn |r − E|Xn |r I{|X| ≤ a}) n→∞ n→∞ ≤ E|X|r − lim inf E|Xn |r I{|X| ≤ a} n→∞ r ≤ E|X| − E|X|r I{|X| ≤ a} = E|X|r I{|X| > a} Do đó, sup E|Xn |r I{|X| > a} < ε với n1 = n(ε), n≥n1 Cho a đủ lớn để E|X|r I{|X| > a} → a → ∞ Kết hợp điều kiện trên, ta được: sup E|Xn |r I{|X| > a} < ε n≥max{n0 ,n1 } Cho a đủ lớn, nghĩa là: {|Xn |r , n ≥ max{n0 , n1 }} khả tích Theo Định lý 2.25, {Xn ; n ≥ 1} dãy khả tích 2.6.2 Hội tụ theo xác suất p − X n → ∞ Định lý 2.36 Cho X X1 , X2 , biến ngẫu nhiên, giả sử Xn → Khi đó, E|X| ≤ lim inf E|Xn | n→∞ p Định lý 2.37 Cho X X1 , X2 , biến ngẫu nhiên, giả sử Xn → − X n → ∞, cho r > Các điều kiện sau tương đương: a) {|Xn |r , n ≥ 1} khả tích đều; L r b) Xn −→ n → ∞; c) E|Xn |r → E|X|r n → ∞ Hơn nữa, r ≥ điều kiện đúng, EXn → EX n → ∞ Chứng minh Áp dụng Định lý 2.34 chứng minh tương tự Định lý 2.36 a.s Định lý 2.38 Cho X X1 , X2 , biến ngẫu nhiên, giả sử Xn −−→ X n → ∞ a.s |Xn | ≤ Yn với n, Yn −−→ Y, EYn → EY n → ∞ 27 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân Khi đó, Xn → X L1 EXn → EX n → ∞ Định lý hội tụ chắn thay hội tụ theo xác suất Nhận xét 2.39 Chú ý trường hợp đặc biệt Yn = Y với n định lý hội tụ trội 2.6.3 Hội tụ theo phân phối Bổ đề 2.40 (Bổ đề xấp xỉ) Cho f hàm giá trị thực cho: • f ∈ C[a, b], • f ∈ C0 Khi đó, với ε > 0, tồn hàm đơn giản f , cho: sup |f (x) − g(x)| < ε x∈R Ta bắt đầu với hai định lý giới hạn, cụ thể chúng sử dụng để chứng minh tương đương hai định nghĩa hội tụ theo phân phối đưa Mục 2.6.1 (có sử dụng bổ đề Fatou) d Định lý 2.41 Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên giả sử Xn → − X n → ∞ Nếu h số thực hay số phức, hàm liên tục xác định khoảng [a, b] bị chặn, với a, b ∈ C(FX ), thì: Eh(Xn ) → Eh(X) n → ∞ Chứng minh Chúng ta sử dụng Bổ đề 2.40 Cho A ⊂ C(FX ) ⊂ R tập trù mật đếm Nếu h(x) = I{(c,d]} (x), số khoảng (c, d], với c, d ∈ A, a ≤ c < d ≤ b, phát biểu định lý quy P (c < Xn ≤ d) → P (c < X ≤ d) (đúng theo giả thiết) Do tính tuyến tính, kết luận với hàm sơ cấp mà có điểm cuối A Cho h ∈ C[a, b], cho g hàm sơ cấp xấp xỉ, cung cấp Bổ đề 2.40 Khi đó, |Eh(Xn ) − Eh(X)| ≤ |Eh(Xn ) − Eg(Xn )| + |Eg(Xn ) − Eg(X)| + |Eg(X) − Eh(X)| ≤ E|h(Xn ) − g(Xn )| + |Eg(Xn ) − Eg(X)| + E|g(X) − h(X)| ≤ ε + |Eg(Xn ) − Eg(X)| + ε Từ đó, chứng tỏ cho hàm sơ cấp, |Eg(Xn ) − Eg(X)| hội tụ đến n → ∞, ta có: 28 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân lim sup |Eh(Xn ) − Eh(X)| < 2ε, n→∞ Vì ε tùy ý, ta điều phải chứng minh Theo Định lý 2.41 khoảng bị chặn chưa hàm bị chặn Trong định lý sau ngược lại, hàm bị chặn chưa khoảng bị chặn d Định lý 2.42 Cho X1 , X2 , dãy biến ngẫu nhiên giả sử Xn → − X n → ∞ Nếu h hàm số thực, bị chặn liên tục, Eh(Xn ) → Eh(X) n → ∞ Chứng minh Với |h| ≤ M , ta nói: |Eh(Xn ) − Eh(X)| ≤ |Eh(Xn )I{|Xn | ≤ A} − Eh(X)I{|X| ≤ A}| + |Eh(Xn )I{|Xn | > A}| − |Eh(X)I{|X| > A}| ≤ |Eh(Xn )I{|Xn | ≤ A} − Eh(X)I{|X| ≤ A}| + E|h(Xn )|I{|Xn | > A} + E|h(X)|I{|X| > A} ≤ |Eh(Xn )I{|Xn | ≤ A} − Eh(X)I{|X| ≤ A}| + M P (|Xn | > A) + M P (|X| > A) Cho ε > chọn A ∈ C(FX ) lớn cho 2M P (|X| > A) < ε Sử dụng Định lý 2.41 (cho |Eh(Xn )I{|Xn | ≤ A} − Eh(X)I{|X| ≤ A}|) hội tụ theo phân phối (cho M P (|Xn | > A) M P (|X| > A)), ta được: lim sup |Eh(Xn ) − Eh(X)| < 2M P (|X| > A) > ε n→∞ d Định lý 2.43 Cho X1 , X2 , biến ngẫu nhiên, giả sử Xn → − X n → ∞ Khi đó, E|X| ≤ lim inf E|Xn | n→∞ Chứng minh Cho A ∈ C(FX ) số dương, theo Định lý 2.41, ta có: lim inf E|Xn | ≥ lim E|Xn |I{|Xn | ≤ A} = E|X|I{|X| ≤ A} n→∞ n→∞ Nhận xét 2.44 Lưu ý rằng, hội tụ theo xác suất bao hàm hội tụ theo phân phối, chứng minh bổ đề Fatou dẫn đến Định lý 2.36 (thừa nhận hội tụ theo xác suất) 29 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân Đây kết cuối Tuy nhiên, ta khơng có điều kiện tương đương Định lý 2.35 Định lý 2.37 d Định lý 2.45 Cho X, X1 , X2 , biến ngẫu nhiên, giả sử Xn → − X n → ∞ (i) Nếu với r > 0, {|Xn |r , n ≥ 1} khả tích đều, E|Xn |r → E|X|r n → ∞ (ii) Cho r ≥ ta có EXn → EX n → ∞ Chứng minh Theo quan điểm khả tích phân phối bổ đề Fatou, đầu tiên, ta lưu ý: E|X|r ≤ lim inf E|Xn |r ≤ sup E|Xn |r < ∞ n→∞ n Để áp dụng Định lý 2.42, phải tách đuôi từ trung tâm lần nữa: |E|Xn |r − E|X|r | ≤ |E|Xn |r I{|Xn | ≤ A} − E|X|r I{|X| ≤ A}| + E|Xn |r I{|Xn | > A} + E|X|r I{|X| > A} ≤ |E|Xn |r I{|Xn | ≤ A} − E|X|r I{|X| ≤ A}| + sup E|Xn |r I{|Xn | > A} + E|X|r I{|X| > A} n Cho ε > 0, E|X|r < ∞, ta chọn A1 ∈ C(FX ) đủ lớn cho E|X|r I{|X| > A1 } < ε Giả định khả tích bao hàm supn E|Xn |r I{|Xn | > A1 } < ε với A2 đủ lớn Áp dụng điều kiện với Định lý 5.7 cho số hạng đầu tiên, chứng minh rằng, với A ∈ C(FX ), A > max{A1 , A2 }, ta có: lim sup |E|Xn |r − E|X|r | < 2ε, n→∞ Chứng minh (i), theo Định lý 2.35 2.37 (ii) chứng minh d Định lý 2.46 Xn → − X n → ∞ với h ∈ CB , Eh(Xn ) → Eh(X) n → ∞ Chứng minh Cho a, b ∈ C(F ), −∞ < a < b < ∞, đặt:  0, với x < a − δk ,     x − (a − δ ) k   , với x ∈ [a − δk , a],   δk hk (x) = 1, với x ∈ [a, b],   b + δ − x k   , với x ∈ [b, b + δk ],   δ  k  0, với x > b + δk , 30 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân d với δk ↓ k → ∞, giả sử Xn → − X n → ∞ (theo Định nghĩa 1.5) Còn theo Định lý 2.42 tính đơn điệu hàm phân phối nói rằng: Fn ((a, b]) = b dFn (x) a ≤ Ehk (Xn ) → Ehk (X) n → ∞ Hay nói cách khác, lim sup Fn ((a, b]) ≤ Ehk (X) = F ([a − δk , b + δk ]) n→∞ Khi k tùy ý, δk → k → ∞, h(x) ↓ I[a, b] k → ∞, a, b điểm liên tục F , ta tiếp tục kết luận rằng: lim sup Fn ((a, b]) ≤ F ((a, b]) n→∞ Nếu thay   0, với x < a,    x − a   , với x ∈ [a, a + δk ],   δk với x ∈ [a + δk , b − δk ], hk (x) = 1,   b − x   , với x ∈ [b − δk , b],   δk   0, với x > b + δk , tương tự, ta có: lim inf Fn ((a, b]) ≥ F ([a + δk , b − δk ]), n→∞ cuối cùng, với hk (x) ↑ I(a, b), lim inf Fn ((a, b]) ≥ F ((a, b]) n→∞ d Bằng cách hợp bất đẳng thức cho lim sup lim inf ta thấy Xn → − X n → ∞ theo Định nghĩa 2.6 Hệ 2.47 Cho X, Y biến ngẫu nhiên, đó: d X = Y ⇔ Eh(X) = Eh(Y ) với h ∈ CB Chứng minh Đặt Xn ≡ Y với n, ta có điều phải chứng minh 2.7 Hội tụ tổng dãy Định lý 2.48 Cho X1 , X2 , Y1 , Y2 , dãy biến ngẫu nhiên cho: Xn → X Yn → Y n → ∞, đầy đủ (tương ứng chắn, theo xác suất bậc r) Khi đó, Xn + Yn → X + Y n → ∞, đầy đủ (tương ứng chắn, theo xác suất bậc r) 31 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân Chứng minh Với NX NY tập hợp rỗng, theo Định lý 2.15, Xn (ω) → X(ω) Yn (ω) + Yn (ω) → (ω) n → ∞, đó: Xn (ω) + Yn (ω) → X(ω) + Yn (ω) n → ∞, với ω ∈ (NX ∪ NY )c Cho hội tụ đầy đủ hội tụ theo xác suất, ta được: {|Xn + Yn − (X + Y )| > ε} ⊂ {|Xn − X| > ε/2} ∪ {|Yn − Y | > ε/2}, cho hội tụ theo bậc r, áp dụng bất đẳng thức cr , ta điều phải chứng minh Định lý 2.49 Cho X1 , X2 , Y1 , Y2 , dãy biến ngẫu nhiên, cho: d d Xn → − X Yn → − Y n → ∞ Giả sử Xn Yn độc lập với n X , Y độc lập Khi đó, d X n + Yn → − X + Y n → ∞ 2.8 Tiêu chuẩn Cauchy Định nghĩa 2.50 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn ) gọi dãy Cauchy theo xác suất (tương ứng h.c.c, r-trung bình) Xm − Xn → theo xác suất (tương ứng hầu chắn, r-trung bình) m, n → ∞ Định lý 2.51 Dãy biến ngẫu nhiên Xn hội tụ theo xác suất Xn dãy Cauchy h.c.c P Chứng minh Điều kiện cần Giả sử Xn − → X Khi đó, với ε > bất kỳ, P[|Xn − Xm | > ε] ≤ P[|Xn − X| > ε/2] + P[|Xm − X| > ε/2], từ đó, cho n, m → ∞ ta có P[|Xn − Xm | > ε] → Điều kiện đủ Nếu (Xn ) Cauchy theo xác suất tồn dãy (Xnk ) hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên X Từ từ bất đẳng thức, P[|Xn − X| > ε] ≤ P[|Xn − Xnk | > ε/2] + P[|Xnk − X| > ε/2] Ta suy điều phải chứng minh, cách cho nk → ∞, n → ∞ Định lý 2.52 Dãy biến ngẫu nhiên Xn hội tụ theo r-trung bình Xn dãy Cauchy r-trung bình 32 Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên SV: Tiêu Thị Hoài Ân Chứng minh Điều kiện cần Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy hội tụ theo r-trung bình với r > Áp dụng bất đẳng thức cr , ta có: E|Xm − Xn |r ≤ cr E|Xm − X|r + cr E|Xn − X|r Cho m, n → ∞, ta E|Xm − Xn |r → Vì vậy, {Xn , n ≥ 1} dãy Cauchy theo r-trung bình Điều kiện đủ Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy Cauchy theo r-trung bình với r > Theo bất đẳng thức Markov (Định lý 1.5), P (|Xm − Xn | > ε) ≤ E|Xn − Xm |r → n → ∞, εr nghĩa {Xn , n ≥ 1} hội tụ Cauchy theo xác suất, tồn biến ngẫu nhiên giới P hạn X cho Xn − → X n → ∞ Hơn nữa, theo Định lý 2.21, tồn dãy {Xnk , k ≥ 1} cho: h.c.c Xnk −−−→ X n → ∞, đó, cho m cố định, h.c.c Xm − Xnk −−−→ k → ∞ Áp dụng bổ đề Fatou, E|Xm − X|r ≤ lim inf E|Xm − Xnk |r , k→∞ từ đó, ta có: lim E|Xm − X|r ≤ lim lim inf E|Xm − Xnk |r = m→∞ m→∞ k→∞ L r Điều chứng minh Xn −→ X n → ∞ Định lý 2.53 Dãy biến ngẫu nhiên Xn hội tụ h.c.c Xn dãy Cauchy h.c.c h.c.c Chứng minh Giả sử Xn −−−→ X Khi đó, vì: sup |Xk − Xl | ≤ sup |Xk − X| + sup |Xl − X| k,l≥n k≥n l≥n giả thiết suy dãy (Xn ) Cauchy h.c.c Ngược lại Nếu (Xn ) Cauchy (h.c.c), với xác suất 1, (Xn (ω)) dãy R Do đó, với xác suất 1, Xn (ω) hội tụ tới X(ω) Đặt, X(ω) = X(ω) ω mà giới hạn tồn tại, ω mà giới hạn khơng tồn h.c.c Khi đó, Xn −−−→ X 33 KẾT LUẬN Kết đạt được: Tổng quan số vấn đề lý thuyết xác suất: trình bày định nghĩa không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, tham số đặc trưng biến ngẫu nhiên, phân phối xác suất quan trọng số bất đẳng thức định lý liên quan đến hội tụ Đưa khái niệm hội tụ dãy biến ngẫu nhiên (như hội tụ hầu chắc, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo r-trung bình, hội tụ theo phân phối, hội tụ đầy đủ), định lý, bổ đề, ví dụ, liên quan, chứng minh định lý, bổ đề, Chứng tỏ tính hội tụ (đầy đủ, hầu chắn, theo xác suất, theo r-trung bình) dãy biến biến ngẫu nhiên theo nghĩa: Nếu Xn → X Xn → Y X = Y chắn, tức P (X = Y ) = (hoặc tương đương, P ({ω : X(ω) = Y (ω)}) = 0) Đối với hội tụ theo phân phối, tính hội tụ d theo nghĩa FX (x) = FY (x) với x, kí hiệu X = Y Cho thấy mối quan hệ khái niệm hội tụ Chứng minh hội tụ tổng dãy Khi dãy biến ngẫu nhiên hội tụ xác suất (hoặc hầu chắn, theo phân phối) có điều kiện đảm bảo, hội tụ theo r-trung bình 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Viết Phú Nguyễn Duy Tiến (2007), Cơ sở lý thuyết xác suất, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Nguyễn Duy Tiến Vũ Viết Yên (2009), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [3] Allan Gut (2005), Probability: A Graduate, Springer 35 ... thêm vốn kiến thức hội tụ dãy biến ngẫu nhiên mình, em chọn nghiên cứu đề tài: "Về hội tụ dãy biến ngẫu nhiên" Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Đối tượng nghiên... dạng hội tụ (hội tụ hầu chắc, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo r-trung bình, hội tụ theo phân phối, hội tụ đầy đủ) dãy biến ngẫu nhiên Phạm vi nghiên cứu Đề tài không sâu vào tất dạng hội tụ dãy. .. tất dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên mà đưa khái niệm hội tụ dãy biến ngẫu nhiên (như hội tụ hầu chắc, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo r-trung bình, hội tụ theo phân phối, hội tụ đầy đủ), nghiên