Sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Các loại phụ thuộc mixing số bất đẳng thức 1.1 Sự phụ thuộc σ - đại số 1.2 Sự phụ thuộc mixing biến ngẫu nhiên 1.3 Các bất đẳng thức tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ -mixing Sự hội tụ biến ngẫu nhiên phụ thuộc mix- ing 15 2.1 Sự hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing 16 2.2 Luật mạnh số lớn 21 2.3 Sự hội tụ đầy đủ cho tổng có trọng số 22 MỞ ĐẦU Trong lý thuyết xác suất thống kê toán học, tính độc lập biến ngẫu nhiên tính chất mạnh Nhiều kết xác suất luật số lớn, luật loga lặp, định lý giới hạn trung tâm chứng minh đẹp đẽ với điều kiện độc lập Tuy nhiên hầu hết tượng ngẫu nhiên xẩy sống lại thường phụ thuộc theo quy luật phụ thuộc martingale, phụ thuộc Markov, m - phụ thuộc Trong kiểu phụ thuộc biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing nhiều nhà nghiên cứu quan tâm Năm 1956, Rosenblatt đưa định nghĩa cho kiểu phụ thuộc α - mixing Tiếp Ibragimov [1959] đưa kiểu phụ thuộc φ - mixing ψ - mixing [Blum - 1963], ρ - mixing [Kolmogorov - 1960] Năm 1969, Philipp đưa kiểu phụ thuộc "∗ - mixing" Từ đến nhiều hướng nghiên cứu khác triển khai kiểu phụ thuộc Trong hướng đó, việc nghiên cứu bất đẳng thức, thiết lập định lý giới hạn luật số lớn hướng thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Theo hướng phát triển chọn đề tài: Sự hội tụ biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing Chúng nghiên cứu bất đẳng thức dạng Rosenthal cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Từ kiểm tra tính đắn định lý hai chuỗi, ba chuỗi, luật số lớn Kolmogorov, Marcinkiewicz - Zygmund Chúng nghiên cứu hội tụ đầy đủ cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Trong tồn luận văn, chúng tơi ln giả sử (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ cố định Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày kiến thức kiểu phụ thuộc mixing Trong chúng tơi trình bày bất đẳng thức dạng Rosenthal cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Chương hai chúng tơi trình bày hội tụ hầu chắn, luật số lớn, hội tụ đầy đủ cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn khoa học TS Lê Văn Thành Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy hướng dẫn tận tâm thầy tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS TS Nguyễn Văn Quảng thầy cô giáo Hội đồng chấm luận văn, thầy giáo khoa Tốn, khoa Sau Đại học, trường Đại học Vinh Cũng cho phép gửi lời cảm ơn tới Ban lãnh đạo trường THPT Chuyên - Đại học Vinh, đồng nghiệp, bạn bè gia đình, quan tâm, góp ý, giúp đỡ tạo điều kiện tác giả thực luận văn Mặc dù cố gắng song luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót Tác giả mong nhận đóng góp q thầy giáo bạn để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 12 năm 2011 CHƯƠNG CÁC LOẠI PHỤ THUỘC MIXING VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở loại phụ thuộc mixing, số mối quan hệ loại phụ thuộc mixing số bất đẳng thức cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing để phục vụ cho Chương 1.1 Sự phụ thuộc σ - đại số Cho không gian xác suất (Ω, F, P) Với σ-đại số A F, ta ký hiệu L2 (A) không gian biến ngẫu nhiên A-đo bình phương khả tích (EX < ∞) 1.1.1 Định nghĩa Giả sử A B σ-đại số F, ta định nghĩa đại lượng đo phụ thuộc A B sau: α(A, B) : = sup |P (A ∩ B) − P (A)P (B)|, A ∈ A, B ∈ B ; (1.1.1) φ(A, B) : = sup |P (B|A) − P (B)|, A ∈ A, B ∈ B, P (A) > ; (1.1.2) P (A ∩ B) − 1|, A ∈ A, B ∈ B, P (A)P (B) > ; ψ(A, B) : = sup | P (A)P (B) (1.1.3) 2 ρ(A, B) : = sup |corr(f, g)|; f ∈ L (A); g ∈ L (B) ; (1.1.4) corr(f, g) := E(f g) − Ef Eg √ Df Dg β(A, B) := sup I J |P (Ai ∩ Bj ) − P (Ai )P (Bj )| ; (1.1.5) i=1 j=1 với sup lấy cho cặp Ai Bj tương ứng thuộc phân hoạch hữu hạn {A1 , A2 , , AI } A {B1 , B2 , , BJ } B P (A ∩ B) ; A ∈ A; B ∈ B; P (A)P (B) > ; P (A)P (B) P (A ∩ B) ψ (A, B) := inf ; A ∈ A; B ∈ B; P (A)P (B) > ; P (A)P (B) ψ ∗ (A, B) := sup (1.1.6) (1.1.7) với sup lấy cho cặp Ai Bj tương ứng thuộc phân hoạch hữu hạn {A1 , A2 , , AI } A {B1 , B2 , BJ } B 1.1.2 Nhận xét Các bất đẳng thức sau cho ta ước lượng giá trị cho độ đo phụ thuộc ≤ α(A, B) ≤ 1/4; ≤ φ(A, B) ≤ 1; ≤ ρ(A, B) ≤ 1; ≤ β(A, B) ≤ 1; ≤ ψ ∗ (A, B) ≤ ∞; ≤ ψ (A, B) ≤ ≤ ψ(A, B) ≤ ∞; (1.1.8) Nếu A B độc lập ta có đẳng thức sau: α(A, B) = 0; ψ(A, B) = 0; ρ(A, B) = 0; ψ ∗ (A, B) = 1; φ(A, B) = 0; ψ (A, B) = (1.1.9) Ngồi ta có bất đẳng thức sau: 2α(A, B) ≤ β(A, B) ≤ φ(A, B) ≤ 1/2ψ(A, B); (1.1.10) 2α(A, B) ≤ ρ(A, B) ≤ ψ(A, B); (1.1.11) ρ(A, B) ≤ 2[φ(A, B)]1/2 [φ(B, A)]1/2 ≤ 2[φ(A, B)]1/2 ; (1.1.12) φ(A, B) ≤ − 1/ψ ∗ (A, B) ≤ ψ ∗ (A, B) − 1; (1.1.13) φ(A, B) ≤ − ψ (A, B); (1.1.14) ψ(A, B) = max(ψ ∗ (A, B) − 1, − ψ (A, B)) (1.1.15) 1.2 Sự phụ thuộc mixing biến ngẫu nhiên 1.2.1 Định nghĩa Trong không gian (Ω, F, P) cho (Xn , n ≥ 1) dãy biến ngẫu nhiên Với ≤ J ≤ L ≤ ∞, ta ký hiệu: FJL := σ(Xk , J ≤ k ≤ L, k ∈ N) σ-đại số sinh dãy{Xk , J ≤ k ≤ L} Với n ≥ ta ký hiệu: ∞ α(n) := sup α(F1j ; Fj+n ); (1.2.1) ∞ β(n) := sup β(F1j ; Fj+n ); (1.2.2) ∞ φ(n) := sup φ(F1j ; Fj+n ); (1.2.3) ∞ ψ(n) := sup ψ(F1j ; Fj+n ); (1.2.4) ∞ ρ(n) := sup ρ(F1j ; Fj+n ); (1.2.5) ∞ ψ (n) := inf ψ (F1j ; Fj+n ); (1.2.6) ∞ ψ ∗ (n) := sup ψ ∗ (F1j ; Fj+n ); (1.2.7) α∗ (n) := sup α(σ(Xk , k ∈ S); σ(Xk , k ∈ T )); (1.2.8) ρ∗ (n) := sup ρ(σ(Xk , k ∈ S); σ(Xk , k ∈ T )); (1.2.9) β ∗ (n) := sup β(σ(Xk , k ∈ S); σ(Xk , k ∈ T )) (1.2.10) j∈N j∈N j∈N j∈N j∈N j∈N j∈N Trong cơng thức (1.2.8), (1.2.9), (1.2.10) sup lấy tập khác rỗng S ⊂ N T ⊂ N cho dist(S, T ) := |s − t| ≥ n s∈S,t∈T Ta ký hiệu ρ∗X (n) ∗ ρ lấy dãy biến ngẫu nhiên X = {Xn } Với công thức ta định nghĩa loại phụ thuộc mixing sau Dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} gọi là: "α - mixing" α(n) → n → ∞; "β - mixing" β(n) → n → ∞; "ψ - mixing" ψ(n) → n → ∞; "ρ - mixing" ρ(n) → n → ∞; "ψ - mixing" ψ (n) → n → ∞; "ψ ∗ - mixing" ψ ∗ (n) → n → ∞; "α∗ - mixing" α∗ (n) → n → ∞; "β ∗ - mixing" β ∗ (n) → n → ∞; "ρ∗ - mixing" ρ∗ (n) → n → ∞ 1.2.2 Nhận xét Các nhận xét sau đưa Bradley [4] Cho dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} Khi ta có mệnh đề mối quan hệ kiểu phụ thuộc mixing sau: (1) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc ψ - mixing (2) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ψ - mixing {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc ψ ∗ - mixing (3) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ψ - mixing {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc ψ - mixing (4) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ψ ∗ - mixing {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc φ - mixing (5) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ψ - mixing {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc φ - mixing (6) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc φ - mixing {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc β - mixing (7) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc φ - mixing {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc ρ - mixing (8) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc β - mixing {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc α - mixing (9) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ - mixing {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc α - mixing (10) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc ρ∗ - mixing (11) Nếu {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc ρ - mixing (12) Chú ý {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ - mixing khơng kéo theo {Xn , n ≥ 1} dãy phụ thuộc ρ∗ - mixing Nhận xét (12) Le Van Thanh đưa [6] Trong sơ đồ cấu trúc phân cấp ρ∗ - mixing kiểu phụ thuộc theo hướng so với kiểu phụ thuộc ψ - mixing, α - mixing, Trong luận văn đề cập tới luật mạnh số lớn, hội tụ hầu chắn, hội tụ đầy đủ biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing 1.3 Các bất đẳng thức tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗-mixing Trong phần phát biểu chứng minh bất đẳng thức dạng Rosenthal biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ -mixing để phục vụ cho Chương Trước hết, chúng tơi trình bày hai mệnh đề sau: 1.3.1 Mệnh đề.Cho ≤ r < dãy {X1 , X2 , , Xn } dãy biến ngẫu nhiên bình phương khả tích có kỳ vọng Cho S tập khác rỗng {1, 2, , n}, đặt S ∗ = {1, 2, , n} − S Giả sử corr Xk ≤ r Xk , k∈S ∗ k∈S Khi 1−r 1+r n n EXk2 ≤E k=1 Xk k=1 1+r ≤ 1−r n EXk2 (1.3.1) k=1 Kết thuộc Bradley [3] 1.3.2 Mệnh đề.Cho số nguyên dương q ≥ ≤ r < Khi tồn số D = D (q, r) cho với {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên kỳ vọng với ρ∗X (1) ≤ r với n ≥ 1, ta có n q n q E|Sn | ≤ D EXi2 )q/2 , E|Xi | + ( i=1 i=1 (1.3.2) q E max |Si | ≤ D 1≤i≤n n q E max |Si | EXi2 )q/2 (1.3.3) E|Xi | + ( + 1≤i≤n n q i=1 i=1 Kết thuộc M Peligrad [9] 1.3.3 Định lý.Giả sử ≤ r < {Yi , i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên bình phương khả tích với kỳ vọng thỏa mãn ρ∗Y (1) ≤ r Khi đó, với n ≥ 1, ta có i EYj2 Yj ≤ 32K(r) E max 1≤i≤n n j=1 Trong K(r) = D (4, r) + 1/2 (1.3.4) j=1 1+r 1−r D (4, r) cho Mệnh đề 1.3.2 Chứng minh Với số nguyên dương N , ta đặt i an := sup E max Y 1≤i≤n n EYj2 Yj j=1 1/2 (1.3.5) j=1 sup lấy dãy Y := {Yi } dãy biến ngẫu nhiên n bình phương khả tích kỳ vọng thỏa mãn ρ∗Y (1) EYj2 > Với ≤ r j=1 dãy biến ngẫu nhiên {Yi }, khơng tính tổng qt ta giả sử n DYj = j=1 Cho M số nguyên dương Với ≤ j ≤ n, ta đặt ξj = Yj I(|Yj |≤M −1/2 ) − EYj I(|Yj |≤M −1/2 ) ηj = Yj I(|Yj |>M −1/2 ) − EYj I(|Yj |>M −1/2 ) 10 Từ cách đặt ta có i i i Yj = j=1 ξj + j=1 ηj j=1 Từ n n E|ηj | ≤ 2M 1/2 j=1 EYj2 = 2M 1/2 j=1 ta nhận i i 1≤i≤n ξj + 2M 1/2 Yj ≤ E max E max 1≤i≤n j=1 j=1 i Ta ước lượng E max 1≤i≤n ξj sau: j=1 Xác định dãy nguyên dương mk với m0 = m Eξj2 > 1/M , ∀k ≥ mk = m : m > mk−1 , j=mk−1 +1 Chú ý rằng, ký hiệu số số nguyên xác định cách đặt trên, giả sử m0 , m1 , , m , ta có −1 mk Eξj2 > 1≥ k=1 j=mk−1 +1 −1 , M điều dẫn đến ≤ M n ξj thành Ta phân tích j=1 mk n ξj = j=1 ξj với ≤ k ≤ − Xk , Xk = k=1 j=mk−1 +1 16 Khi ta ký hiệu c Xn → X c Theo Bổ đề Borel-Cantelli (xem Nguyễn Văn Quảng [1]), Xn → X, h.c.c h.c.c Xn → X Ngược lại, dãy {Xn , n ≥ 1} độc lập Xn → 0, c Xn → 2.1 Sự hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Trong mục thiết lập định lý hội tụ Loève (Xem Chow Teicher [5] tr 117) cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Giả sử X biến ngẫu nhiên c số dương, ta ký hiệu X (c) := X |X| ≤ c X (c) := |X| > c 2.1.1 Định lý Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn lim ρ∗X (n) < Nếu n→∞ ∞ D(Xn ) < ∞ (2.1.1) n=1 ∞ (Xn − EXn ) hội tụ hầu chắn n=1 Chứng minh Khơng tính tổng quát, ta giả sử EXn = 0, ∀n ≥ Với hai số nguyên dương m < n, ta có: n E(Sn − Sm ) = E( i=m+1 n EXi2 → 0; m, n → ∞ Xi ) ≤ C (2.1.2) i=m+1 Từ suy {Sn , n ≥ 1} dãy L2 (F) Vậy tồn biến ngẫu nhiên S ∈ L2 (F) cho E(Sn − S)2 → n → ∞ Hay ta có Sn →S L2 (F) Điều suy Sn →S theo xác suất Khi tồn dãy Snk Sn cho Snk → S h.c.c k → ∞ 17 Với ε > theo bất đẳng thức Markov, định lý 1.3.4 ta có: ∞ ∞ P ( max nk−1 1) < ∞, (2.1.6) n=1 ∞ Xn hội tụ h.c.c chuỗi n=1 Chứng minh Theo bất đẳng thức Markov ta có ∞ ∞ P (|Xn | > 1) = n=1 P (|Xn |I(|Xn | > 1) > 1) n=1 ∞ ≤ E(|Xn |I(|Xn | > 1)) < ∞ (2.1.7) n=1 Do EXn = 0, n ≥ nên ta có E(Xn I(|Xn | ≤ 1) = E(Xn I(|Xn | > 1)) Suy ∞ ∞ |EXn(1) | |E(Xn I(|Xn | ≤ 1))| = n=1 n=1 ∞ |E(Xn I(|Xn | > 1))| = n=1 ∞ ≤ E(|Xn |I(|Xn | ≤ 1)) < ∞ (2.1.8) n=1 Từ (2.6) (2.7) ta có: ∞ ∞ E(Xn(1) )2 n=1 E I(Xn < −1) + I(Xn > 1) + Xn2 I(|Xn | ≤ 1) = n=1 19 ∞ (P (|Xn | > 1) + EXn2 I(|Xn | ≤ 1)) < ∞ = (2.1.9) n=1 Từ (2.1.7), (2.1.8), (2.1.9) Định lý 2.1.2 ta có chuỗi ∞ n=1 Xn hội tụ h.c.c Định lý sau mở rộng cho Hệ 3(Loève) Chow Teicher [5, tr 114] cho trường hợp biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ − mixing 2.1.4 Định lý Cho dãy số {αn , n ≥ 1} thỏa mãn < αn ≤ 2, n ≥ Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên cho lim ρ∗X (n) < n→∞ EXn = trường hợp ≤ αn ≤ Khi ∞ E|Xn |αn < ∞ (2.1.10) n=1 ∞ Xn hội tụ h.c.c chuỗi n=1 Chứng minh Trường hợp 1: ≤ αn ≤ với n ≥ Khi ta có Xn2 I(|Xn | ≤ 1) + |Xn |I(|Xn | > 1) ≤ |Xn |αn Kết hợp với (2.1.10) ta suy ∞ E(Xn2 I(|Xn | ≤ 1) + |Xn |I(|Xn | > 1)) < ∞ n=1 ∞ Xn hội Vậy giả thiết (2.1.6) Định lý 2.13 thỏa mãn, ta suy chuỗi n=1 tụ h.c.c Trường hợp 2: < αn < với n ≥ Khi ta có ∞ ∞ E n=1 (Xn(1) )2 + |Xn(1) | 2E|Xn |αn < ∞ ≤ n=1 (2.1.11) 20 Mặt khác, theo bất đẳng thức Markov ta lại có ∞ ∞ E|Xn |αn < ∞ P (|Xn | > 1) ≤ n=1 (2.1.12) n=1 ∞ Xn hội tụ h.c.c Từ (2.1.11), (2.1.12) Định lý 2.1.1 ta có chuỗi n=1 Trường hợp 3: xét trường hợp tổng quát < αn ≤ với n ≥ Đặt I = {n ≥ : ≤ an ≤ 2}, J = {n ≥ : < an < 1} Với n ≥ 1, ta đặt Yn = Xn n ∈ I n ∈ /I Zn = Xn n ∈ J n ∈ / J βn = αn n ∈ I n ∈ /I Ta xét γn = αn n ∈ J 1/2 n ∈ / J Khi ta có: ≤ βn ≤ 2, < γn < 1, EYn = với n ≥ ∞ ∞ βn E|Yn | n=1 E|Zn |γn < ∞ < ∞, n=1 21 ∞ Yn hội tụ h.c.c Theo trường hợp Theo trường hợp chuỗi n=1 ∞ Zn hội tụ h.c.c Vậy suy chuỗi n=1 ∞ ∞ Xn = n=1 2.2 (Yn + Zn ) hội tụ h.c.c n=1 Luật mạnh số lớn Trong mục chúng tơi trình bày Luật mạnh số lớn Kolmogorov, luật mạnh số lớn Loève cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing 2.2.1 Định lý (Luật mạnh số lớn Kolmogorov) Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn lim ρ∗X (n) < Giả sử {bn ; n ≥ 1} dãy n→∞ số thực thỏa mãn < bn ↑ ∞ ∞ DXn < ∞ Khi b2n bn i=1 n (Xk − EXk ) → h.c.c k=1 Chứng minh Đặt Yn = Xn /bn , ∀n ≥ Vì lim ρ∗X (n) < nên lim ρ∗Y (n) < n→∞ ∞ Khi ta có i=1 n→∞ DXn < ∞ hay b2n ∞ DYn < ∞ i=1 Áp dụng Định lý 2.1.1 cho dãy biến ngẫu nhiên {Yn , n ≥ 1} thỏa mãn lim ρ∗Y (n) < ta có n→∞ ∞ (Yn − EYn ) hội tụ hầu chắn n=1 Áp dụng bổ đề Kronecker cho dãy (Yn − EYn ) dãy dương tăng {bn } ta n có kết sau bk (Yk − EYk ) → hầu chắn bn Từ suy bn k=1 n (Xk − EXk ) → hầu chắn k=1 22 2.2.2 Định lý (Luật mạnh số lớn Loève) Cho {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn lim ρ∗X (n) < Giả sử {bn ; n ≥ 1} dãy thỏa mãn n→∞ < bn ↑ ∞ với số < αn ≤ 2, ∞ n=1 E|Xn |αn < ∞ bαnn (2.2.1) Ngoài ta giả sử EXn = trường hợp ≤ αn ≤ Khi ta thu luật mạnh số lớn lim n→∞ bn n Xk = (2.2.2) k=1 ∞ Chứng minh Từ (2.2.1) Định lý 2.1.4 ta thấy chuỗi n=1 Xn hội tụ bn hầu chắn Do đó, áp dụng bổ đề Kronecker ta có lim n→∞ bn n Xk = k=1 Suy n lim n→∞ k=1 Xk = bk (2.2.2) chứng minh 2.3 Sự hội tụ đầy đủ cho tổng có trọng số Trong phần chúng tơi trình bày hội tụ đầy đủ cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Trước hết ta xét bổ đề sau 2.3.1 Bổ đề Giả sử α > 0, p ≥ 1, {Xi , i ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối E|X1 |p < ∞ Khi α ≤ 1, ta giả sử thêm EX1 = Nếu {ani , ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng số thỏa mãn n |ani | = O(n), i=1 (2.3.1) 23 n lim n −α n→∞ |E(ani Xni )| = 0, (2.3.2) i=1 Xni = Xi I(|Xi | ≤ nα ) − nα I(|Xi | < −nα ) + nα I(|Xi | > nα ) Chứng minh Chú ý với n ≥ 1, ta có n n −α |E(ani Xi I(|Xi | ≤ nα ))| i=1 n ≤n −α ani |EXi I(|Xi | ≤ nα )| i=1 n = n−α ≤ Cn ani E(X1 I(|X1 | ≤ nα )) i=1 1−α E(X1 I(|X1 | ≤ nα )) (2.3.3) Nếu α > 1, từ (2.3.3) ta suy (2.3.2) Ta xét trường hợp cịn lại < α ≤ Khi n1−α E(X1 I(|X1 | ≤ nα )) = n1−α E(X1 I(|X1 | > nα )) (vì EX1 = 0) ≤ n1−α E(|X1 |I(|X1 | > nα )) ≤ E(|X1 |1/α I(|X1 | > nα )) ≤ E(|X1 |p I(|X1 | > nα )) 1/(αp) (vì αp ≥ 1) Bên cạnh đó, ta lại có n n −α ani nα P (|Xi | > nα ) i=1 n ani E(I(|X1 | ≤ nα )) = i=1 ≤ K E(nI(|X1 | ≤ nα )) ≤ E(|X1 |1/α I(|X1 | > nα )) ≤ E(|X1 |p I(|X1 | > nα )) 1/(αp) (vì αp ≥ 1) 24 Vì E|X1 |p < ∞, nên ta có lim E(|X1 |p I(|X1 | > nα )) = n→∞ Bổ đề chứng minh 2.3.2 Định lý Cho α > 1/2, ≤ p < {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối thỏa mãn lim ρ∗X (n) < Giả sử E|X1 |p < ∞ n→∞ {ani , ≤ i ≤ n, n ≥ 1} mảng tam giác số thực thỏa mãn n a2ni = O(n) (2.3.4) i=1 Khi đó, ta có j ∞ n αp−2 P n=1 ani Xi > εnα < ∞ max 1≤j≤n (2.3.5) i=1 Chứng minh Với n ≥ 1, ta đặt: Xnj = Xj I(|Xj | ≤ nα ), ≤ j ≤ n j ani (Xni − EXni ), ≤ j ≤ n Snj = i=1 Với ε > 0, j ani Xi | > εnα P max | 1≤j≤n (2.3.6) i=1 j ≤ P max |Xj | > n 1≤j≤n α ani Xni | > εnα + P max | 1≤j≤n i=1 j ≤ P max |Xj | > nα + P max |Snj | > εnα − max 1≤j≤n 1≤j≤n 1≤j≤n E(ani Xni ) i=1 25 Chúng ta có ∞ nαp−2 P ( max |Xj | > nα ) 1≤j≤n n=1 ∞ n ≤ n αp−2 |Xj | > nα ) P( n=1 ∞ j=1 nαp−1 P (|X1 | > nα ) = n=1 ∞ = ∞ n n=1 ∞ αp−1 P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) (2.3.7) i=n i nαp−1 P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) = i=1 n=1 ∞ iαp P (iα < |X1 | ≤ (i + 1)α ) ≤K i=1 ≤ E|X1 |p ≤ ∞ Với n ≥ 1, theo bất đẳng thức Cauchy ta có n n |ani | a2ni ≤n i=1 i=1 Từ (2.3.4), (2.3.1) Bổ đề 2.3.1 ta có j ≤ lim n −α n→∞ max E(ani Xi ) 1≤j≤n i=1 j ≤ lim n −α n→∞ max 1≤j≤n E(ani Xi ) (2.3.8) i=1 n = lim n−α n→∞ E(ani Xi ) = i=1 Từ (2.3.6), (2.3.7), (2.3.8), để chứng minh (2.3.5) ta cần ∞ nαp−2 P max |Snj | > nα ε/2 < ∞ n=1 1≤j≤n (2.3.9) 26 Đặt AXn = {ani Xni , ≤ i ≤ n}, với n ≥ Ta có AXn dãy biến ngẫu nhiên thỏa mãn lim ρ∗AX (n) < Áp dụng bất đẳng thức Rosenthal, n→∞ bất đẳng thức Chebyshev, ta có kết luận (2.3.9) suy từ đánh giá sau ∞ nαp−2 P max |Snj | > nα ε/2 1≤j≤n n=1 ≤ ε ∞ nαp−2−2α E max |Snj | 1≤j≤n n=1 ∞ ≤K n n αp−2−2α n=1 ∞ E(ani Xni )2 i=1 n a2ni EXni nαp−2−2α =K n=1 ∞ i=1 n nαp−2−2α =K i=1 n n=1 ∞ n=1 ∞ a2ni E(X1 I(|X1 | ≤ nα ))2 i=1 nαp−1−2α E(X1 I(|X1 | ≤ nα ))2 ≤K n=1 ∞ ≤K n n αp−1−2α n=1 ∞ ∞ E(X12 I((i − 1)α < |X1 | ≤ iα )) i=1 nαp−1−2α E(X12 I((i − 1)α < |X1 | ≤ iα )) =K ≤K E ani Xni − E(ani Xni ) nαp−2−2α ≤K i=1 n=i ∞ αp−2α i E(X12 I((i − 1)α < |X1 | ≤ iα )) i=1 ∞ iαp P ((i − 1)α < |X1 | ≤ iα ) ≤K i=1 ≤ KE|X1 |p < ∞ Định lý chứng minh 2.3.3 Định lý Cho α > 0, < p < X = {Xk , k ≥ 1} dãy 27 biến ngẫu nhiên phân phối có kỳ vọng thỏa mãn lim ρ∗X (n) < n→∞ Giả sử {ani , ≤ i ≤ n} mảng tam giác số thực cho |ani | ≤ K, ≤ i ≤ n, n ≥ E|X1 |p < ∞ Khi ta có j ∞ n αp−1 ani Xi | > εnα ) < ∞, ∀ε > P ( max | 1≤j≤n n=1 (2.3.10) i=1 Chứng minh Với n ≥ 1, ta đặt: Xnj = Xj I(|Xj | ≤ nα ), ≤ j ≤ n j ani (Xni − EXni ), ≤ j ≤ n Snj = i=1 j ani (Yni − EYni ), ≤ j ≤ n, n ≥ Ynj = Xj − Xnj , Tnj = i=1 Với ε > tùy ý, j P ani Xi | > εnα max | 1≤j≤n i=1 max |Snj | > ε/2nα + P ≤P 1≤j≤n max |Tnj | > nα ε/2 1≤j≤n Bây giờ, ta có ∞ nαp−1 P n=1 ≤ ε ≤ ε = ε max |Tnj | > nα ε/2 1≤j≤n ∞ nαp−1−α E max |Tnj | 1≤j≤n n=1 ∞ n n αp−1−α n=1 ∞ |ani |E|Yni | i=1 ∞ nαp−1−α n=1 |ani | E(|X1 |I(X1 | > nα )) i=n 28 ∞ ≤K ∞ n n=1 ∞ αp−1−α i=n i nαp−1−α E |X1 |I((i − 1)α ≤ |X1 | < iα ) ≤K ≤K E |X1 |I((i − 1)α ≤ |X1 | < iα ) i=1 n=1 ∞ αp i P ((i − 1)α ≤ |X1 | < iα ) i=1 ≤ KE|X1 |p < ∞ |ani | ≤ K h.c.c sup Chú ý n≥1,1≤i≤n n |ani | ≤ K Vì từ giả thiết (2.3.1) suy i=1 Từ bất đẳng thức Rosenthal ta có ∞ nαp−1 P n=1 ≤ max |Snj | > nα /2 1≤j≤n ∞ n αp−1−2α E max |Snj | 1≤j≤n n=1 ∞ ≤K n n a2ni (EXni ) αp−1−2α n=1 ∞ i=1 nαp−1−2α EX12 I(|X1 | ≤ nα ) ≤K n=1 ∞ =K ∞ n n=1 ∞ αp−1−2α E X12 I((i − 1)α ≤ |X1 | < iα ) i=n i nαp−1−α E X12 I(iα ≤ |X1 | < (i + 1)α ) ≤K ≤K i=1 n=1 ∞ αp i P ((i − 1)α ≤ |X1 | < iα ) i=1 ≤ KE|X1 |p < ∞ Định lý chứng minh 29 KẾT LUẬN Kết Luận văn thu kết sau: 1.1 Nghiên cứu khái niệm phụ thuộc mixing, bất đẳng thức dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Tìm hiểu bất đẳng thức dạng Rosenthal cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing 1.2 Nghiên cứu định lý giới hạn cho biến ngẫu nhiên ρ∗ mixing hội tụ đầy đủ cho tổng có trọng số dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing với trọng số biến ngẫu nhiên độc lập Luận văn thiết lập định lý giới hạn cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing Đó Định lý 2.1.1, 2.1.2, 2.1.3, 2.1.4 1.3 Nghiên cứu luật số lớn Kolgomogov, Marcinkiewicz - Zygmund cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Luận văn thiết lập luật số lớn Loève cho dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Hướng phát triển Nghiên cứu kết đạt loại biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing khác 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Vũ Viết Yên - Nguyễn Duy Tiến (2006), Lý thuyết xác suất, NXB Giáo dục [3] Bradley, R.C (1992), On spectral density and asymptotic normality of weakly dependent random fields, J Theoret Probab 5, pp 355-373 [4] Bradley, R.C (2005), Basic properties of strong mixing conditions A survey and some open question, Probab Surv 2, pp 107-144 [5] Chow, Y and S, Teicher, H (1978), Probability theory Independence, interchangeability, martingales, Springer Texts in Statistics [6] Le Van Thanh and George Yin, G and Le Yi Wang, (2011), State Observers with Random Sampling Times and Convergence Analysis of Double-Indexed and Randomly Weighted Sums of Mixing Processes, SIAM J Control and Optimization 49, no.1, 106-124 [7] Lu Chuanrong, Lin Zhengyan, (1997), Limit Theory for Mixing Dependent Sequences [M] Science Press, NewYork-Beijing [8] Peligrad, M and Gut, A (1999), Almost sure results for a class of dependent random variables, J Theoret Probab 12(1), pp 87-104 [9] Utev, S and Peligrad, M (2003), Maximal inequalities and an invariance principle for a class of weakly dependent random variables, J Theoret Probab 16, pp 101 - 115 [10] Xue Jun Wang (2011), Some Convergence Properties for Mixing Sequences, Journal of Mathematical Research and Exposition ... CHƯƠNG SỰ HỘI TỤ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MIXING Trong chương này, chúng tơi trình bày ứng dụng Chương Chương gồm có mục, mục 2.1 trình bày hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên phụ thuộc. .. bày hội tụ đầy đủ cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ mixing Giả sử {Xn , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên Khi C = {ω : Xn (ω) hội tụ} biến cố Ta nói, dãy biến ngẫu nhiên {Xn , n ≥ 1} hội. .. Sự hội tụ hầu chắn chuỗi biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Trong mục thiết lập định lý hội tụ Loève (Xem Chow Teicher [5] tr 117) cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ∗ - mixing Giả sử X biến ngẫu