Bất đẳng thức cực đại đối với tổng các biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - PHÙNG NGỌC CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC CỰC ĐẠI ĐỐI VỚI TỔNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MIXING LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2016 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH - PHÙNG NGỌC CHƯƠNG BẤT ĐẲNG THỨC CỰC ĐẠI ĐỐI VỚI TỔNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MIXING Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60.46.01.06 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học PGS TS Lê Văn Thành Nghệ An - 2016 MỤC LỤC Lời nói đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 Sự phụ thuộc σ -đại số 1.2 Sự phụ thuộc mixing dãy biến ngẫu nhiên 1.3 Một số bất đẳng thức 6 Bất đẳng thức cực đại tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing 2.1 Bất đẳng thức covariance 2.2 Bất đẳng thức cực đại tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing 2.3 Bất đẳng thức cực đại tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc ρ-mixing 14 14 17 31 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 LỜI NÓI ĐẦU Trong lý thuyết xác suất thống kê tốn học, tính độc lập biến ngẫu nhiên tính chất mạnh Hiện nay, kết xác suất luật số lớn, định lý giới hạn trung tâm, luật loga lặp, có nhiều kết đẹp cho tổng biến biến ngẫu nhiên độc lập Tuy nhiên, sống hầu hết tượng ngẫu nhiên xảy lại thường phụ thuộc theo quy luật đó, chẳng hạn phụ thuộc Markov, phụ thuộc martingale, m-phụ thuộc, Trong kiểu phụ thuộc biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Vào năm 1956, Rosenblatt đưa định nghĩa cho kiểu phụ thuộc α-mixing Tiếp đó, nhà nghiên cứu đưa kiểu phụ thuộc khác φ-mixing [Ibragimov,1959], ρ-mixing [Kolmogorov,1960] ψ -mixing [Blum,1963] Từ đến nay, có nhiều hướng nghiên cứu khác biến ngẫu nhiên thỏa mãn kiểu phụ thuộc Trong hướng đó, thiết lập định lý bất đẳng thức cực đại tổng biến ngẫu nhiên bước quan trọng để chứng minh định lý giới hạn luật số lớn, hội tụ đầy đủ, luật loga lặp, Theo hướng phát triển chọn đề tài luận văn “Bất đẳng thức cực đại tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc mixing” Chúng nghiên cứu bất đẳng thức cực đại tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing ρ-mixing Luận văn chia làm hai chương Chương trình bày kiến thức loại phụ thuộc mixing, mối quan hệ loại phụ thuộc mixing số bất đẳng thức nhằm phục vụ cho Chương Trong Chương 2, chúng tơi trình bày bất đẳng thức cực đại tổng biến ngẫu nhiên phụ thuộc α-mixing ρ-mixing Đây kết hai báo Yang (2007) Shao (1995) Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn nghiêm túc, tận tình Thầy giáo PGS.TS Lê Văn Thành Tác giả xin bà n exp 2K1 i=0 Bất đẳng thức (2.76) hoàn thành việc chứng minh 36 X q−1 [q] Tiếp theo, ta ước lượng Jn Từ (2.75) với 2n > m0 , ta có J2n ≤ J2n−1 + 43q ρ q 2 ≤ J2n−1 exp 43q ρ q n−1 3q n−1 3q + 2− n−1 3q n−1 3q + 2− + 21− + 21− n−1 n−1 Như vậy, phép truy hồi theo n, ta có n J2n ≤ J0 exp i i i ρ q 3q + 2− 3q + 21− 3q i=1 n ρ q 2i , ≤ J0 C1 exp C1 (2.77) i=1 C1 ≥ số phụ thuộc vào q Rõ ràng, theo công thức Jn , (2.77) 2n ≤ m0 Với m > 1, ta chọn n cho 2n ≤ m < 2n+1 Vì từ (2.77), ta có n ρ q 2i Jm ≤ J2n+1 ≤ J0 C1 exp C1 i=1 n ≤ J0 C1 eC1 exp C1 ρ q 2i (2.78) i=1 Kết hợp (2.78) (2.76), ta có tồn số K3 cho    [log n] q q−1 ρ(2i ) X q2 +n + [q] EM (n)q ≤ K3 n exp K3 i=0   [log n] ρ(2i ) + ρ [q] (2i )  X × exp K3 X q−1 [q] i=0  [log n]   ρ(2i ) E|X|q  (2.79) + n exp K3 i=0 Nếu < q < [q] = Khi (2.65) suy từ (2.79) Nếu q > 3, ta đặt (q − 1)([q] − 2) α= (q − 2)[q] 37 Khi < α < q q − [q] q − + q − [q] + α = Theo bất đẳng thức Liapunov, ta có [q] E|X| ≤ E|X| q−[q] q−2 [q]−2 (E|X|q ) q−2 Do   [log n] q−1 n + [q] exp K3 ρ(2i ) + ρ [q] (2i )  X X q−1 [q] i=0   [log n] q−1 ≤ n + [q] exp K3 ρ(2i ) + ρ q (2i )  i=0 × X q−[q] 1+ 2(q−1) [q] q−2  =n q(1−α) (E|X|q ) (q−1)([q]−2) (q−2)[q]  [log n] ρ(2i ) X exp K3 q(1−α) i=0   [log n] × nα exp K3 ρ q (2i ) (E|X|q )α i=0   [log n] K3 ρ(2i ) X q2 − α i=0   [log n] K3 + n exp  ρ q (2i ) E|X|q α i=0 q ≤ n exp  Thay (2.80) vào (2.79), ta    [log n] q ρ(2i ) X EM (n)q ≤ K3 n exp K3 (2.80) q i=0  q + n exp  38 K3 1−α [log n]  ρ(2i ) X i=0 q  K3 α   [log n] ρ q (2i ) E|X|q + n exp  i=0  [log n]  ρ(2i ) E|X|q  + n exp K3 i=0 Do    [log n] EM (n)q ≤ K nq/2 exp K q ρ(2i ) X i=0   [log n]  ρ2/q (2i ) X qq  + n exp K i=0 Từ (2.80) (2.79) ta có (2.65) Khi q ≥ 3, q ∈ N, ta chứng minh tương tự ta thay q − cho [q] Do ta có (2.65) với q ≥ Từ (2.65), ta suy    [log n] q q/2 E max |Sk (i)| ≤ K n 1≤i≤n ρ(2i ) max exp K k