BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC VINH
NGUYEN THI TRANG
LUAT MANH SO LGN CHO CAC BIEN NGAU NHIEN PHU THUOC AM DOI MOT
CUNG PHAN PHOI VGI KY VONG VO HAN
LUAN VAN THAC SI TOAN HOC
Trang 2BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC VINH
NGUYEN THI TRANG
LUAT MANH SO LON CHO CAC BIEN
NGAU NHIEN PHU THUOC AM DOI MOT
CUNG PHAN PHOI VGI KY VONG VO HAN
Chuyén nganh: LY THUYET XAC SUAT VA THONG KE TOAN HOC
Ma s6: 60.46.15
LUAN VAN THAC SI TOAN HOC
Người hướng dan khoa học:
PGS TS NGUYEN VAN QUANG
Trang 3MUC LUC
Muc luc 1
Lời nói đầu 1
1 Biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên độc lập 3
1.1 Biến ngẫu nhiên Q Q QC 3
1.2 Các biến cố và các biến ngẫu nhiên độc lập 7
1.3 Một số bất đẳng thức cơbản 9
2 Luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm đôi một cùng phân phối với kỳ vọng vô
hạn 10
2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một 10 2.2 Một số dạng luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
Kết luận 25
Trang 4LOI NOI DAU
Luật số lớn đóng một vai trò quan trọng trong lý thuyết xác suất
Luật số lớn đầu tiên của Bernoulli được công bố năm 1713 Về sau kết quả này được Chebyshev, Markov, Liapunov, mở rộng Luật số lớn còn gắn với tên tuổi của nhiều nhà toán học nổi tiếng khác như Kolmogorov, Marcinkiewicz, Kai Lai Chung Trước đây những kết quả của luật số lớn phần lớn gắn liền
với tính độc lập của các biến ngẫu nhiên Tuy nhiên do tầm quan trọng của
luật số lớn với khoa học toán và thực tế cuộc sống, phạm vi nghiên cứu không
ngừng được mở rộng Trong những năm gần đây xuất hiện các nghiên cứu trên lớp đối tượng mới là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm và bước đầu
thu được một số kết quả khá quan trọng Năm 2008 nhà toán hoc Kruglov đã thiết lập luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên độc lập đôi một cùng
phân phối với kỳ vọng vô hạn Câu hỏi đặt ra là nếu ta thay điều kiện độc lập đôi một bằng điều kiện phụ thuộc âm đôi một thì kết quả trên còn đúng nữa hay không? Chính vì vậy chúng tôi chọn đề tài:
"Luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối với kỳ vọng vô hạn"
Trang 5No
Bồ cục của luận văn gồm hai chương:
Chương 1: Biến ngẫu nhiên
Trong chương này chúng tôi sẽ hệ thống lại một số khái niệm đã được sử dụng như: Định nghĩa biến ngẫu nhiên, các biến cố và các biến ngẫu nhiên độc lập
Chương 2: Luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc
âm đôi một cùng phân phối với kỳ vọng vô hạn
Nội dung chính của luận văn sẽ được chúng tôi trình bày trong chương này Chương 2 gồm 2 mục, mục 2.1 sẽ đưa ra định nghĩa, tính chất, của các
biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một Mục 2.2 đề cập đến một số dạng luật
mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
Luận văn được thực hiện tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn
tận tình của thầy giáo, PGS TS Nguyễn Văn Quảng Tác giả xin được bày
tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến với thầy, người đã chỉ dạy tác giả những
kiến thức, kinh nghiệm trong học tập và nghiên cứu khoa học cùng với đó là những bài học cũng như những trải nghiệm quý báu trong cuộc sống Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong khoa
Toán Đại học Vĩnh đã giúp đỡ tác giả trong quá trình hoàn thành luận văn
Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân và tất cả bạn bè đã động viên giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình
học tập và hoàn thiện luận văn
Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên luận
văn chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Tác giả rất mong nhận
được những lời chỉ bảo quý báu của các thầy cô giáo và góp ý của bạn đọc
để luận văn được hoàn thiện hơn
Vinh, tháng 10 năm 2012
Trang 6CHUONG 1
BIEN NGAU NHIEN VA CAC BIEN NGAU NHIEN DOC LAP
1.1 Biến ngẫu nhiên
1.1.1 Định nghĩa Cho (O,.Ƒ, P) là một không gian xác suất, đ là ø- đại
số con của ơ đại số của Z Khi đó ánh xạ X: €9 —> I được gọi là biến ngấu
nhiên Ở - đo được nêu nó là ở / B(R) đo được ( tức là với moi BE B(R) thi
X-!1(B) có)
Nếu biến ngẫu nhiên X chỉ nhận hữu hạn giá trị thì nó được gọi là biến ngẫu nhiên, đơn giản
Biến ngẫu nhiên còn được gọi là đạ¿ lượng ngẫu nhiên 1.1.2 Ví dụ A €7 Dặt:
1 nếu €4
0 nếu u# A
Trang 7Từ đó 7¡!(P) € Z với mọi € 8(R), suy ra 7x là một biến ngẫu nhiên
1.1.3 Định lý X là biến ngẫu nhiên khi uà chỉ khá một trong các điều kiện sau đâu thỏa mãn:
()(X < a):= (œ: X(œ) < a) €7 uới mọi u CR (it)(X <a) := (w: X(w)<a) €7 tới mợi a € R (t1)(X > a) = (w: X(w) > a) € F voi moi a ER (itii)(X >a) = (w: X(w)>a) € F véi moi a € R
1.1.4 Dinh ly Gia su X,, Xo, , Xn là các biến ngẫu nhiên cùng xác định
trên (O, 7, P)
ƒ:R—>R là hàm đo được (túc ƒ là B(R")/6(R) ảo được) Khi đó
= f(X, Xo, , Xn): Q—R
wf (X) (w), X:(0), Xa(@))
là biến ngẫu nhiên
1.1.5 Hệ quả Gá sứ X, Y là các biến ngẫu nhiên cùng rác định trên
(0, Z, P) ƒ:R—>R là hàm liên tue, aER khi dé: a.X, XEY, X.Y, |X|, ƒ(X)
#(YzZ0), X' = max(X.0), X~ = max(—X,0) đều là các biến ngẫu nhiên
1.1.6 Định ly Gia st (Xy,n > 1) là dấu các biến ngẫu nhiên cùng xác định
trên (O, Ƒ, P) Khi đó,
nếu infXn, sup X,, hitu han, thi inf Xn, sup Xy, limX,, limX, lim ÄX;
n N00
(nếu tồn tai), đều là biến ngẫu nhiên
1.1.7 Định lý Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thà tồn tại dãu biến ngẫu
Trang 81.1.8 Định nghĩa (Phân phối xác suất của biến ngẫu nhiên)
Cho (Ó,.Z, P) là một không gian xác suất, X: @ —> lR là biến ngẫu nhiên khi đó hàm tập: Px : B(R) > R Br Px(B) = P(X”'(B)) được gọi là phân phối xác suất của X 1.1.9 Định nghĩa (Kỳ vọng)
Giả sử X: (9.7, P) —› (R,(R)), là biến ngẫu nhiên Khi đó tích phân
Lebesgue của X theo độ đo P (nếu tồn tại) được gọi là kỳ uong của X và ký hiệu 2X
Vậy ta có:
EBX = [ xar
ọ
Nếu tồn tại |X|? < œ(p > 0) thì ta nói X khả tích bậc p Néu E|X| < co, thì X được gọi là biến ngẫu nhiên khả tích
n n
Nếu X là biến ngẫu nhiên đơn giản :X = ` ajl4, thi EX = » a¡P( 4)
;z=1 i=l
Nếu X là biến ngẫu nhiên không âm thì X là giới hạn của một dãy tăng các
biến ngẫu nhiên đơn giản (Xa, > 1) n2" k—1_„k—]1 k Xn = oe Ma SX < ge) F(X Sn) k=l Khi do: EX = lim EX) Tì~>°%G
Trang 9Các tính chất của kỳ vọng: 1 Nếu X >0 thì EX >0 2 Néu X =C thi EX =C
3 Nếu tồn tại EX thì với mọi C € R, tacé E(CX) =CEX
4 Nếu tồn tại EX va EY thi E(X +Y)=EX4EY
5
YO; Up: néu X rời rạc nhận các giá trị #1,#s
EX = v6i P(X = 2) = pi
{CS ap(x)dx néu Xlién tuc c6 ham mat độ p(x)
Tổng quát: Nếu / : R — R là các hàm đo được Y — ƒ(X) thì: S3, ƒ(+¡)p¡ nếu X rời rạc nhận các giá trị #I,z#s
EY = véi P(X = 2) = pj
[ƑỸ ƒ(+)p(+)d+ nếu X lien tuc c6 ham mat do p(x)
1.1.10 Định nghĩa (Phương sai)
Giả sử X là biến ngẫu nhiên Khi đó, DX := E(X — EX) (nếu tồn tại )
được gọi là phương sưi của X
Dó đó phương sai DX của biến ngẫu nhiên X có thể tồn tại hoặc không tồn
tại Nếu tồn tại thì được tính theo công thức sau:
Dx- tư — EX}?P,uếu X rời rạc về P(X = wi) = P
fe (a — EZX)?P(w)dz nếu X liên tục có hàm mật độ là P(x)
Các tính chất của phương sai: 1 DX = EX? —(EX)? 2 DX > 0 3 DX =0 khi và chỉ khi X = EX = hang sé h.c.c 4 D(CX)= C?DX 1.1.11 Định nghĩa (Covariance)
Giả sử X và Y là hai biến ngẫu nhiên Khi đó, Covariance của X và Y kí hiệu
la: Cov(X,Y) = E|(X — EX).(Y — EY)|
Trang 101.1.12 Định nghĩa (Các dạng hội tụ) Ta nói dãy biến ngẫu nhiên (X„,?œ > 1) hội tụ đến biến ngẫu nhiên X ( khi no) (1) Hầu chắc chắn nếu P(m„_;„|X„ — X| =0) = 1 Ký hiệu X„ “Ê% X (2) Theo xác suất nếu với Ve > 0 thi: lim P(|Xa — X| > e) =0 noo Ký hiệu X„ + X (3) Đầy đủ nếu với Ve > 0 thì: ow S> P(|Xn — X| > 2) < 0 n=l Ký hiệu X; 3 X (4) Theo trung bình cấp p, (p>0), nếu: lim E|X, — X|? = 0 noo Ký hiệu X„ — X (5) Hội tụ yếu (theo phân phối) nếu: lim F2() =Ƒ(z) WVz€C(P)
Với Fn(z); F(+) là hàm phân phối của các biến ngẫu nhiên X„ và X; C(F) là
tập hợp các điểm mà tại đó F(x ) liên tục
Ký hiệu: X„ '› X
1.2 Các biến cố và các biến ngẫu nhiên độc lập
1.2.1 Định nghĩa Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu:
Trang 111.2.2 Dinh nghĩa Họ các biến cố (4,);e; được gọi là độc lập toàn cục (độc lập) nếu đối với mọi họ hữu hạn các biến cố Aj, Ay, , Ajn cla ho ta déu
co:
P(A Ain Ain) = P(Ai)-P(Az). P(Ain)- 1.2.3 Bồ dé (Bé dé Borel - Cantelli.)
Gia sit (An,n > 1) là dấu các biến cô Khả đó: () Nếu 334 P(Aa) < œ thà P(limsup A,) = 0
(1) Nếu » P(A) = œ tà (Aa, > 1) độc lập thì P(lim sup Aa) = 1 n=1 Trong do: œ œ lim sup A, = f1 U Ax n=lk=n
1.2.4 Định nghĩa (Các biến ngẫu nhiên độc lập)
Giả sử X là biến ngẫu nhiên khi đó: ø(X) = (X~!(B): B€ ö(R)) được gọi
là ơ- đại số sinh bởi X
1 Họ hữu hạn (7;,¿ € 7) các ø - đại số con của # được gọi là độc lập nếu:
n n
P((\ Ai) = [[ P0)
¿=1 i=l
Đối với mọi A; € F;(1 < i < n) bat ky
2 Họ vô hạn (Z;,¿ € T) các ơ- đại số con của Z được gọi là độc lập nếu mọi
họ con hữu hạn của nó độc lập
3 Họ các biến ngẫu nhiên (X;,¿ € Ƒ) được gọi là độc lập nếu họ các ø- đại
số sinh bởi chúng (ơ(X;),¿ € 7) độc lập
Trang 1310
CHƯƠNG 2
LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO CÁC BIÊN NGẪU
NHIÊN PHỤ THUỘC ÂM ĐÔI MỘT CUNG
PHÂN PHÔI VỚI KỲ VỌNG VÔ HẠN 2.1 Các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một
2.1.1 Định nghĩa Các đại lượng ngẫu nhiên Xị, , Xạ được gọi là phụ thuộc âm đôi một nếu thỏa mãn:
P(X; < 2, Xj < xj) < P(X < z¡)P(X; < z¡), (2.1)
hoac
P(X; > uj, Xj > #j) < P(X; > a; )P(X; > %j), (2.2)
với mọi ¿,7: | <Si< Jj<n
Dễ thấy (2.1) và (2.2) là tương đương nhau
2.1.2 Định nghĩa Các đại lượng ngẫu nhiên Xì, , X; được gọi là phụ thuộc âm nêu thỏa mãn:
Trang 1411
VỚI mỌI #Ị, ,#„ C R
Day các đại lượng ngẫu nhiên (X„,ø > 1) được gọi là phụ thuộc âm nếu mọi
tập con hữu hạn của nó phụ thuộc âm Nhận xét:
Rõ ràng với ø > 2 thì (2.3) và (2.4) không tương đương Chẳng hạn với n=3,
trên không gian xác suất (O Ƒ, P) với O = {1,2,3,4} và P(A) = 4 ta lay các tập A = {0,1}, B = {1,2},C = {0,2} khi do Jy, Ig, le thỏa mãn điều
kiện (2.4) nhưng không thỏa mãn điều kiện (2.3)
Tính phụ thuộc âm của các đại lượng ngẫu nhiên suy ra tính phụ thuộc âm
đôi một và tính độc lập là một trường hợp riêng của tính phụ thuộc âm
Tuy nhiên ví dụ sau đây chứng tỏ rằng tồn tại các đại lượng ngẫu nhiên phụ
thuộc âm nhưng không độc lập
Xét không gian xác suất (Q,Z, P) với 9 — {1,2,3,4} va P(A) = Ml lay
A= {1/2},B = {2,3,4} Khi đó, 7, Ứp, là các biến phụ thuộc âm nhưng
không độc lập
Sau đây chúng tôi đưa ra một số tính chất của dãy các biến ngẫu nhiên phụ
thuộc âm và phụ thuộc âm đôi một
2.1.3 Mệnh đề Nếu Xị, X›, X„ là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm tà
1h° ƒa là các hàm Horel cùng đơn điệu tăng hoặc giảm thi:
(i) ñ(Xì) (X›) fa(Xn) cũng là các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm
() (X„) tà (Xj) là các dãu biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm (1) Cou(X;, X;) < 0.Vi # 9
2.1.4 Bổ đề Gid sit X1, Xo, , X„ là các biến ngẫu nhiên không âm phụ thuộc âm Khi đó
n
F([[ x) < II EX;,
Trang 152.1.5 Bổ đề Cho (X„,n > 1) là một dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một va uới mỗi n > 1 cho fy : R —>+ R la một hàm số Nếu déy ham (ƒa,m > 1) chỉ chứa các hàm không tăng (hoặc không giảm), thà (ƒ2(Xn),n > 1) là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi mội
Trang 1613
2.2_ Một số dạng luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm
2.2.1 Định lý Giả sứ (X„) là dãy các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm không cùng phân phối, uà E(X2) < œ Nếu
(0)sup,ex ÈS ¡ E(|Xị ~ E(Xi)|) < 20 (ii) ¡ ĐO < se, thì lim 4 3 (Xi T— E(Xy)) =0 — hee nh Chitng minh Goi X* = max(X,0) va X7 = max(—X,0) Khi đó: |X|=X'+X— và X=XI—X Giả sử PX„ = 0 với n = 1,2 Gọi S) = ÄXj + + Ấy và 52 =X; + +Xz Ta có 1 n 1 n sup — » f(|X; — F(X;)|) = sup— > E( (|) < œ (vì BX, = 0)
neNÑ †+ kel neN T! kl
Suy ra tồn tại hằng số A thỏa mãn : 1 n sup — $> E(|Xzl) =A<o véi moi nEN neN 2 TT Do đó n 1
0< =3 `F(|X¿|) < 4< œ với mọi nEN ni
Trang 1714
Giả sử œ > 1;e >0 và UL= lệ] là phần nguyên của 4 Với mỗi số nguyén m va s,m > 0;s=0, ,L
Dat
t; =inf {t:a™<t<a™'!, LPS} € [se, (s+ le)}
t; = sup {t:a™ <t<a™! TEST € |se,(s + l)e)} Giả sử f£ (m) = £‡ (m) —= [a], với mọi nœ € Ñ
Ta co
D(X,) = EX? —(EX,) = EX2 = E(X; — X,Y
Trang 1815 Với n € Ñ, tồn tại rm = m(n); s = s(n) sao cho 1 lim m(n) = 00:0 < s(n) < Lia®™ <n<a™ 185, € [s=, (s + 1)£) N-+0o Theo định nghĩa của fÿ (m) ta có t<n< tr, Fines im) — LES, <eé Vi
-e-(1- “A + a (S; em — E5; (my)
<-e-(I— cm" tr(m) † im] Ôi ~ ES, ))
Š Si ) “PS; < xi5 E8) < nối m) t; Feta) Son "
Š on) (S2 om) ~ Pq) +(a=1)A+e:
Từ (2.6) suy ra
1
¬— < lim, , (8j— —E%„)< lim, NV —ES„) < (a—1)A+e
Trang 1916
2.2.2 Hé qua Gid sit (X,,) la mot day bién ngau nhién phu thudc am không cùng phân phối Nếu E(X?) < ooVn € Ñ tà
(i) sup,ex E(Xn) < 00, (i) DN Đất < 00, n—l m2 thà n 1 lim — wee — E(X;))=0 h.c.c nso nN k=1 Chứng mưnh Ta có 1([Xy — EXš|) < E(JX;| + |EX;|) < 2E(|X;|) < 2sup(#Z|Xa|) < œ neN Do đó 1 n sup— Ð ` ƒ(|X; — EX;|) < 2sup(E|Xp|) < 00 neN 12 k=1 neN Ma 3%, P&) < 00 Vay theo dinh ly (2.2.1) suy ra 1 n jim = D(X —E(X;))=0 hee L]
2.2.3 Hệ quả Giá sử (Xa) là một dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm cùng
Trang 20Mặt khác ` ĐC n) —Ÿ¬ E0) —(EX) n=1 nề n=1 nề ¬ E@,) < ` n_<Ằ® n=1 Vay theo hé qua (2.2.2) suy ra n 1 lim — 3 )(X¿— E(Xj)) =0 — hếc k=1 L] 2.2.4 Dinh ly Cho (Q,F,P) la khong gian xác suất, (An) là dãy các biến có Khi đó,
() Nếu 334 P(A„) < œ thà P(lim sup A„) = 0
(0) Nếu 33 ¡ P(Aa) = 00 va P(A, Aj) < P(Ay).P(Aj) tới mợi k, j mà k # ÿj thi P(limsup A,) = 1
Chứng minh (i) V6i (Ap, n > 1) 1a day cac bién cé Néu 33%, P(An) < co thi P(limsup A,,) = 0 Thật vậy, vì (LJƑ „ 4;)u>¡ là dãy giảm nên
P(lim sup Ay) = ìU Ax) = lim P( (Ù Ax)
n=lk=n 7 k=n
< lim S> P(A) =0(do So PUA, 00)
k=n n=1
Do do: néu 7° Chiing minh (ii)
Trang 2219 Suy ra P(limsup A,) = lim (° U A) =1 now k=n Vay : P(limsup A) = 1 oO
2.2.5 Dinh ly Cho (an) là day số dương, limạ_;„(Š*) = oo oà (Xa) là biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối uới ĐXT < œ, XI = œ hice Khi đó: (Xa) tuân theo luật mựnh số lớn oa re Xe —> 0(n > ov), h.c.e khi va chi khi (|Xp|) tuân theo luật manh sd lén ta |X;| —> 0(n > 00)
Chitng minh Gia stt (|X,|) tuan theo ludt manh s6 16n ta chttng minh (X;)
Trang 23Giả sử (X,,) tuan theo luat manh s6 lớn ta chứng minh (|X„|) tuân theo luật mạnh số lớn Vì (X;) tuân theo luật mạnh số lớn suy ra 1 n lim — X;, =0 h.c.c 2.12 N00 Uy » ( ) Ta cần chứng minh 1 n lim —S°X;=0 hee (2.13) N00 (py, hol
(X,,) la day bién ngéu nhién cing phan phdi suy ra (Y;"),; (X77) là các dãy
biến ngẫu nhiên cùng phân phối Từ X; là các biến phụ thuộc âm
nên theo hệ quả (2.2.3) néu EX, = BXy = = EX; < ow thì
Trang 24Vay 1 n lim — » |X;|=0 h.c.c N+ Oy hol O
2.2.6 Dinh ly Cho (ay) > 0;(%) =, là dấy tăng (Xa) là các biến ngẫu
nhiên phụ thuộc âm déi mét cing phan phét voi EX] < 00; EX} = 00 Khi
do:
(i) Nếu 33 ¡ P(X„, > a„) < œ thà (|X„|) tuân theo luật mạnh số lớn
(ii) Nếu) 3 P(Xa > an) = 00 thà P(lim sup(X„ > ứ„)) = 1 Chứng mứnh Chứng mình(đ) Giả sử ) 2®
(|Xa|) tuân theo luật mạnh số lớn
P(X) > an) < 00, ta chứng minh
n=1
Vi SOE P(Xn > an) < 00 nén theo Kruglov [5] suy ra lima_„„(Š>) = œ
Kết hợp điều kiện EX; < oo theo chitng minh 6 dinh ly (2.2.5) ta suy ra 1 n jim — SOX, =0 hee (2.18) | Vậy để chứng minh (|X„|) tuân theo luật mạnh số lớn ta cần chứng minh — lv tn x =0 h.c.c (2.19) Đặt
Yn = 2X, 1(X„ < 2an); Zn = 2nI(X; > 2an), Wn = Yn + Zn;
với 11a ham chi tiéu
Trang 25nN bo Và nếu có 1 lim —(Y‡ — EY;) < 00 (2.22) nsx nN Thi n 1 lm—) X, =0 h.cc dim 5, Xi ee Dat
fr(t) = Z(t < 2an)) + 2anl(t > 2n), Gn(t) = 2nI(t > 2ay)
v6i fri Jn 1A ham tang va W, = fr(X1): Zn = gn( X77 )-
Theo ménh dé (2.1.3) thi W,, va Z, là dãy biến phụ thuộc âm đôi một Ta chi ra n n ig 1 1 5à 0i — BY,) + I — EZ,) = 5 (0ì — EW¿) *Ê% 0 (2.23) k=1 k=1 k=1
Như vậy ta cần chứng minh
Trang 26Thật vậy ta có
Từ (2.21) và (2.26) suy ra (2.24)
Chứng minh (2.25) : $2, ĐH) < sc,
Vì Y; — 2X I(X; < 2an):Za — 2nI(Xj > Zan)
Trang 27Do dó 1 n ` ¬> ` “5 0 no Từ (2.26) và (2.27) theo định lý (2.2.1) ta được: 1 n jim - > (Zi —EZ)=0 hee (2.28) Tit (2.23) va(2.28) ta có n tL Jim n »- —FY,;)=0 h.cc Do đó theo Kruglov[ð]: 1 n lim SOX =0 h.c.c Un _—¡ Qn 7
Vậy: (|Xa|) tuân theo luật mạnh số lớn
Chiing minh (ii)
Giả sử 0, P(Xn > dn) = oœ chứng mình P(lim sup(Xa > a„)) = 1
That vay:
Vì (Xa) là dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một và Ay = (Xn > an) nên A, la day phụ thuộc âm đôi một do đó theo định lý (2.2.4.1) ta có:
Néu 33%, P(An) = 00 thì P(limsup A„) = 1
Trang 28KET LUAN
1 Kết luận chính
Luận văn đã thu được các kết quả chính sau:
1.1 Trình bày được các khái niệm, tính chất của biến ngẫu nhiên và các biến ngẫu nhiên độc lập
1.2 Đồng thời cũng trình bày được các khái niệm, tính chất của các biến
ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một
1.3 Trình bày được mở rộng của bổ đề Borel-Cantelli trong trường hợp (An,n > 1) 1a day phụ thuộc âm đôi một
1.4 Thiết lập được luật mạnh số lớn cho các biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm đôi một cùng phân phối với kỳ vọng vô hạn
2 Hướng phát triển Luận văn
Kết quả nghiên cứu trên của Luận văn đang được nghiên cứu để mở rộng cho
Trang 29TAI LIEU THAM KHAO
[1 Nguyễn Văn Quảng (2008), Xác suất nâng cao, Nhà xuất bản Đại học
quốc gia Hà Nội
[2Ì Chung KL (1974), A course in Probability theory, 2nd edn, Academic Press, New York
[3) Csorgo S, Tandori K, Totik V (1983), On the strong law of large numbers for pairwise independent random variables Acta Mathematica Hungar- ica 42, 319-330
|4| Etemadi N (1981), An elementary proof of the strong law of large num-
bers Z Wahrscheinlichkeitstheorie verw Gebiet 55, 119-122
[5] Kruglov V M (2008), A strong law of large numbers for pairwise in- dependent identically distributed random variables with infinite mean Statistics Probability letters 78, 890-895
[6] Matula P (1992), A note on the almost sure convergence of negatively dependent variables Statistics Probability letters 15, 209-213
|7| Nattakarn Chaidee, Kritsana Neammanee (2009), On the strong law
of large numbers for pairwise negative quadrant dependent tidentically distributed random variables with infinite means Science Asia 35, 290-