Luật số lớn cho tổng có trọng số của các biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đôi một

1 MỞ ĐẦU Hiện nay, có nhiều nhà tốn học quan tâm nghiên cứu đến khái niệm tính chất "Biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm" Có thể kể đến nhà khoa học quan tâm nghiên cứu đến vấn đề này: Feller (1946), Karlin Rinott (1980), Ebrahimi Ghosh (1981), Matula (1992), Mặt khác, biết luật số lớn ba viên ngọc quý lý thuyết xác suất, thường xuyên nhà Toán học quan tâm nghiên cứu Feller (1946) chứng minh { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối thoả mãn ∑ (P X dãy số dương thoả mãn bn / n ↑ ∞ (∑ ∞ n =1 n j =1 n > bn ) < ∞ { bn , n ≥ 1} ) X j / b j → hầu chắn Rosalsky (1987) mở rộng luật mạnh số lớn Feller dãy biến ngẫu nhiên độc lập đôi môt, phân phối Năm 1989, Adler Rosalsky mở rộng luật mạnh số lớn Feller với tổng có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Ngoài ra, Adler, Rosalsky, Taylor(1992) mở rộng định lý Adler Rosalskys với tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc mà làm trội biến ngẫu nhiên X Chow Teicher (1988) đưa luật số yếu cổ điển cho biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối với điều kiện nP { X > n} = o(1) ; Adler Rosalsky nghiên cứu luật yếu số lớn cho biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối Năm 1991 Adler, Rosalsky Taylor mở rộng kết Adler Rosalsky thu luật yếu số lớn tổng quát cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên độc lập mà làm trội biến ngẫu nhiên X Tuy nhiên, luật số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đôi nhà Tốn học quan tâm Nhận thức điều đó, hướng dẫn giúp đỡ tận tình PGS.TS Nguyễn Văn Quảng tơi chọn đề tài: " Luật số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đơi một." Ngồi phần mở đầu, kết luận văn trình bày theo chương Chương I Một số kiến thức Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm tính chất dạng hội tụ kiến thức để phục vụ cho việc trình bày chứng minh kết chương sau Được chia làm mục: 1.1 Các dạng hội tụ xác suất 1.2 Luật yếu số lớn 1.3 Luật mạnh số lớn Chương II Luật số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đơi Trong chương chúng tơi trình bày luật mạnh số lớn luật yếu số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuọc tọa độ âm đôi Được chia làm mục 2.1 Khái niệm tính chất BNN phụ thuộc âm 2.2 Luật mạnh số lớn 2.3 Luật yếu số lớn Luận văn thực Trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS TS Nguyễn Văn Quảng Nhân dịp tác giả luận văn xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Văn Quảng, người đặt vấn đề cho toán hướng dẫn tác giả thực luận văn Nhân tác giả luận văn cuảng xin bày tỏ lòng biết ơn tới tập thể thầy giáo Khoa Tốn, Khoa Sau đại học Trường Đại học Vinh không ngừng dạy dỗ tạo điều kiện để tác giả học tập nâng cao trình độ hồn thành luận văn Mặc dù có cố gắng điều kiện hạn chế thời gian kiến thức nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kinh mong nhận góp ý quý Thầy cô giáo người đọc để luận văn hoàn thiện tác giả luận văn nhận thức sâu sắc đề tài Vinh, ngày .tháng năm 2009 Học viên Phạm Hùng Cường MỤC LỤC TT Mục Trang MỞ ĐẦU MỤC LỤC 3 CHƯƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 4 1.1 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ xác suất 1.3 Luật yếu số lớn 1.4 Luật mạnh số lớn 10 Chương 2: LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC TỌA 16 ĐỘ ÂM ĐƠI MỘT 2.1 Khái niệm tính chất BNN phụ thuộc âm 16 10 2.2 Luật mạnh số lớn 17 11 2.3 Luật yếu số lớn 21 12 KẾT LUẬN 26 13 TÀI LIỆU THAM KHẢO 27 Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.1 Kỳ vọng biến ngẫu nhiên X số ký hiệu EX xác định sau: EX = ∑ xi pi P ( X = x ) = p với x ∈ ¡ i i i i Hoặc: EX = ∞ ∫ xp ( x ) dx X có hàm mật độ p ( x ) −∞ 1.1.2 Tính chất kỳ vọng a EC = C ( C số) b ECX = CEX c E ( X ± Y ) = EX ± EY d Nếu X , Y độc lập E ( XY ) = E ( X ) E ( Y ) f ( xi ) pi P ( X = x ) = p e Ef ( X ) = ∑ i i i Ef ( X ) = ∞ ∫ f ( x ) p ( x ) dx X có hàm mật độ p ( x ) −∞ Định nghĩa 1.1.3 Phương sai biến ngẫu nhiên X số không âm, ký hiệu DX , xác định bởi: DX = E ( X − EX ) { 2 Từ (1.1) ta có: E ( X − EX ) = E X − XEX + ( EX ) (1.1) } = E ( X ) + ( EX ) − EX EX = EX − ( EX ) Vậy DX = E ( X − EX ) = EX − ( EX ) 2 (1.2) 1.1.4 Tính chất phương sai a DC = ( C số) b DCX = C DX c Nếu X Y độc lập D ( X ± Y ) = DX ± DY 1.2 Các dạng hội tụ xác suất Định nghĩa 1.2.1 Dãy biến ngẫu nhiên { X n } ∞n=1 gọi hội tụ theo xác P → X , với ε > ta có suất tới biến ngẫu nhiên X n → ∞ , ký hiệu X n  lim P [ | X n − X |≥ ε ] = (1.3) n →∞ Định nghĩa 1.2.2 Dãy Dãy biến ngẫu nhiên { X n } ∞n=1 gọi hội tụ hầu h c c → X chắn tới biến ngẫu nhiên X n → ∞ , ký hiệu X n    P ω : lim X n (ω ) = X (ω )  = n →∞   (1.4)   r Nhận xét: Nếu đặt Ank = ω :| X n+ k ( ω ) − X ( ω ) |<  r  ∞ ∞ ∞ ω : lim X (ω ) = X (ω )  = I UI Ar = A  n→∞ n  r =1 n =1 k =1 nk Khi đó, (2) trở thành P(A) = Từ đó, tiêu chuẩn hội tụ hầu chắn phát biểu sau: Dãy biến ngẫu nhiên { X n , n > 1} hội tụ hầu chắn tới X n → ∞ với ε > tuỳ ý, ∞ ∞  P I Uω :| X n + k ( ω ) − X ( ω ) |≥ ε   =  n =1 k =1  (1.5) hay   P  U[ ω :| X k − X |≥ ε ]  → n → ∞  n≥k  So sánh hai loại hội tụ, từ nhận xét ta có: P P P → X , Yn  → Y X n + Yn  → X + Y n → ∞ Bổ đề 1.2.3 Nếu X n  Chứng minh ∀ε > : Suy ra: ( ε  ε  X n + Yn − X − Y ≥ ε ) ⊂  X n − X ≥ ÷U  Yn − Y ≥ ÷ 2  2  ε ε   P { X n + Yn − X − Y ≥ ε } ≤ P  X n − X ≥  + P  Yn − Y ≥  2 2   ε  P → X ⇒ P  X n − X ≥  → n → ∞ ; Do X n   2 ε  P Yn  → Y ⇒ P  Yn − Y ≥  → n → ∞ 2  Vậy ≤ P { X n + Yn − X − Y ≥ ε } → n → ∞ P → X + Y n → ∞ Hay: X n + Yn  h c c P → X X n  → X n → ∞ Định lý 1.2.4 Nếu X n  Điều ngược lại không đúng, thêm điều kiện dãy biến ngẫu nhiên đơn điệu điều ngược lại định lí đúng, hay ta có định lý sau Định lí 1.2.5 Nếu dãy biến ngẫu nhiên (Xn, n > 1) đơn điệu tăng (giảm) P h c c X n  → X n → ∞ X n  → X n → ∞ Chứng minh Khơng tính tổng qt, ta giả thiết X 0; Xn > 0; X n ↓ P → X n → ∞ X n  Giả sử (Xn) không hội tụ hầu chắn đến X Điều có nghĩa tồn ε > X k > ε với ω Ỵ A với n Vì (X ) tập A với P ( A) > ∂ > cho sup n k ≥n X k = X n Vậy P [ X > ε ] > P ( A ) > ∂ > với n dãy giảm n tăng nên sup n k ≥n P → X Định lí chứng minh Điều mâu thuẫn với giả thiết X n  P h c c → n → ∞ , nghĩa → X sup | X k − X |  Định lí 1.2.6 X n  k ≥n với ε > cho trước   P  sup | X n − X |> ε ÷ → n → ∞ k ≥n   (1.6) P h c c → n → ∞ Hơn → X sup | X k − X |  Chứng minh Có X n  k ≥n | X k − X | đơn điệu giảm tiến tới theo xác suất n → ∞ nữa, dãy sup k ≥n H C C | X k − X |  → n → ∞ Định lí Theo Định lí 1.5 ta nhận sup k ≥n chứng minh Định lí 1.2.7 Nếu ∞ ∑ P [ ω :| X k =1 k h c c − X |> ε ] < ∞ với ε > X n  → X n → ∞ Chứng minh Ta có:   P  U[ ω :| X k − X |≥ ε ]  <  k ≥n  ∞ ∑ P [ ω :| X k =1 k − X |> ε ] Theo giả thiết ∞ ∑ P [ ω :| X k =1 k − X |> ε ] < ∞ nên phần dư ∞ ∑ P [ ω :| X k =n k − X |> ε ] → n → ∞    k ≥n  h c c → X n → ∞ Vậy P U ω : X k − X ≥ ε   → n → ∞ , nghĩa X n  h c c P →X → X tồn dãy {nk} cho X n  Hệ 1.2.8 Nếu X n  k n → ∞ P → X nên ta chọn dãy nk để Chứng minh Vì X n  P  X nk − X > ε  ≤ k Suy ∞ ∑ P [ ω :| X k − X |> ε ] < k =1 ∞ ∑k k =1 < +∞ h c c →X Theo Định lí 1.2.7 ta có X n  k 1.3 Luật yếu số lớn Định nghĩa 1.3.1 Dãy biến ngẫu nhiên (Xn) gọi tuân theo luật yếu số lớn với ε > cho trước tuỳ ý 1 n  n lim P  ∑ X i − ∑ E ( X i ) ≥ ε  = n →∞ n i =1  n i =1  Định lí 1.3.2 ( Bất đẳng thức Chebyshev) Giả sử biến ngẫu nhiên X có kì vọng E(X) phương sai D(X) hữu hạn Khi đó: P  X − EX ≥ ε  ≤ DX ε Chứng minh Đặt: (1.7) 1 với  IA ( ω) =  0 với  ω∈A ω∉A Vì: Ω = ω : X − EX < ε  U ω : X − EX > ε  nên I Ω = I  X − E ( X ) < ε  + I  X − E ( X ) ≥ ε  Ta có ( ≥ E ( X − EX ) ( I  X − EX ≥ ε  ) ≥ ε EI  X − EX ≥ ε  E ( X − EX ) = E X − EX I  X − EX ≥ ε  + E X − EX I  X − EX < ε  2 2 ) ≥ ε P  X − EX ≥ ε  Từ suy P  X − EX ≥ ε  ≤ DX ε Định lí 1.3.3 (Định lí Chebyshev) Nếu dãy biến ngẫu nhiên { X n } n =1 độc lập ∞ có phương sai bị chặn số C, dãy { X n } n =1 tuân theo luật yếu số lớn ∞ n Chứng minh Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho đại lượng ngẫu nhiên ∑ X i , n i =1 ta có: với ε > 1 n  1 n n n  P  ∑ X i − ∑ EX i ≥ ε  ≤ D  ∑ X i ÷ = 2 ∑ DX i n i =1  n i =1  ε n i =1  n i =1  ε 10 ≤ nC C = → n → ∞ 2 nε nε Do X i độc lập DX i < c ; i = 1, 2,…, n Định lí chứng minh Hệ 3.4 Nếu X1, X2, , Xn dãy biến ngẫu nhiên độc lập, có EXk = a DXk < C với k = 1,2, , n X + X + + X n P  → a n → ∞ n 1.4 Luật mạnh số lớn Định nghĩa 1.4.1 Dãy biến ngẫu nhiên { X n } n =1 gọi tuân theo luật mạnh ∞ số lớn n 1 n  h c c →0  n ∑ X i − n ∑ EX i ÷ i =1  i =1  n ∞ Nếu đặt Sn = ∑ X i dãy { X n } n =1 tuân theo luật mạnh số lớn i =1 h c c →0 ( Sn − ESn )  n Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Borel – Cantelli) ∞ a) Nếu (An) dãy biến cố thoả mãn ∑ P ( A ) < +∞ n n =1 P  limsup An ÷ = n   ∞ b) Nếu (An) dãy biến cố độc lập ∑ P ( A ) = +∞ n =1 n (1.8) 13 k c Chứng minh Đặt X = X k − EX k ; Sk = ∑ X i , k = 1, 2,…, n Và: c k i =1 Ak = ω : S1 < ε , , S k −1 < ε , Sk > ε  Rõ ràng A0, A1,…, An xung khắc đơi, A0 = ω : Sk < ε  , k = 1, 2,…,n Ta có n n ω : max S ≥ ε  = U A P ω : max S ≥ ε  = ∑ P ( A ) k  1≤k ≤ n k  k =1 k  1≤k ≤n k  k =1 n Vì E(Sn/Ak) = nên DSn = ∑ P ( Ak ) E ( S n / Ak ) k =1   c c c c E ( S / Ak ) = E  S k + 2∑ S k X j + ∑ ( X j ) + ∑ X j X h / Ak ÷ j >k j >k j >h >k    n   c c c ≥ E  S k + 2∑ S k X j + ∑ X j X h / Ak ÷ j >k j > h >k   c Theo giả thiết Ak độc lập với X j , j > k Vì E ( S k X cj / Ak ) = E ( S k / Ak ) E ( X cj / Ak ) = với j > k E ( X cj X hc / Ak ) = với h, j > k > E ( S n2 / Ak ) ≥ ε với k > Tóm lại 14 DSk ≥ ε n ∑P( A ) = ε k k =1 P  max S k > ε   1≤ k ≤n  Từ suy P  max Sk ≥ ε  ≤  1≤ k ≤ n  ε n ∑ DX k =1 k Định lí.1.4.5 (Định lí Kolmogorov 1) Nếu { X i } i =1 dãy biến ngẫu nhiên độc n lập thoả mãn điều kiện ∞ DX k < +∞ ∑ k =1 k dãy { X i } i =1 tuân theo luật số lớn n n Chứng minh Đặt Sn = ∑ ( X k − EX k ) Vn = k =1 Sn Xét xác suất n Pm = P  max Vn ≥ ε ; 2m ≤ n ≤ 2m +1   n≥m  Theo bất đẳng thức Kolomogrov ta có: Pm = P  max S n ≥ 2m ε ; m ≤ n ≤ m +1  ≤  n≥m  2m ε ( ) ∞ Vậy ∞ ∑ Pm ≤ ∑ m =1 Đổi thứ tự lấy tổng ta có m =1 (2 ε) m ∑ j j ∞ 16 = ∑ 2−2 m = ×2−2 p ≤ 3j m= p p số cho 2p < j < 2p + Vậy: ∞ 16 Pm ≤ ∑ 3ε m =1 ∞ Hay chuỗi ∑P m =1 m ∞ ∑ j =1 DX j j < +∞ hội tụ Từ suy Pm → m → ∞ Theo Định lí 1.2.6 ta có n   P  lim ∑ ( X k − EX k ) =  = n k =1   Vậy định lí chứng minh Chương LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC TỌA ĐỘ ÂM ĐÔI MỘT 16 2.1 Khái niệm tính chất BNN phụ thuộc âm Định nghĩa 2.1.1 [9] Dãy biến ngẫu nhiên { X i } i =1 gọi phụ thuộc âm n thoả mãn:  n  n P  I [ X i ≤ ri ] ÷≤ ∏ P ( X i ≤ ri ) , ∀r1 , r2 , rn ∈ ¡ ,  i =1  i =1 (2.1)  n  n P  I [ X i > ri ] ÷≤ ∏ P ( X i > ri ) , ∀r1 , r2 , rn ∈ ¡  i =1  i =1 (2.2) Nhận xét - Dãy biến ngẫu nhiên { X i } i =1 phụ thuộc âm tập hữu hạn n phụ thuộc âm n - Dãy biến ngẫu nhiên { X i } i =1 phụ thuộc âm đôi với i ≠ j X j , X j phụ thuộc âm Định nghĩa 2.1.2.[7] Dãy biến ngẫu nhiên { X n : n ≥ 1} gọi phụ thuộc toạ độ âm đôi với ri , rj ∈ ¡ ; i ≠ j P { X i > ri , X j > rj } ≤ P { X i > ri } P { X j > rj } Bổ đề 2.1.3 (Matula 1992 [6]) Giả sử ( X ) n∈N (2.3) dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc tọa độ âm đôi một, ( f n ) n∈N dãy hàm không giảm f n : R → R , ( f n ( X n ) ) n∈N phụ thuộc tọa độ âm đơi Chứng minh Vì f n hàm không giảm nên { ω | f n ( X (ω )) > x} = { ω | X (ω ) > inf { t : f (t ) > x} } Khi với ri , rj ∈ ¡ ; i ≠ j ta có 17 { P ( f i ( X i ) > ri ; f j ( X j ) > rj ) = P X i > inf { t : f i (t ) > ri } ; X j > inf { t : f j (t ) > rj } ( ≤ P ( X i > inf { t : f i (t ) > ri } ) P X j > inf { t : f j (t ) > rj } = P ( f i ( X i ) > ri ) P ( f j ( X j ) > rj ) ) } Hay ta có P ( f i ( X i ) > ri ; f j ( X j ) > rj ) ≤ P ( f i ( X i ) > ri ) P ( f j ( X j ) > rj ) ∀ i ≠ j , có nghĩa dãy ( f n ( X n ) ) n∈N phụ thuộc tọa độ âm đôi 2.2 Luật mạnh số lớn Trong phần này, tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đôi một, ta thiếp lập điều kiện để thu luật mạnh số lớn tổng quát dạng (∑ n j =1 ) h c c a j X j / bn  → , { an, n ≥ 1} { bn , n ≥ 1} dãy số với an > 0;0 < bn ↑ ∞ bn / an ↑ Bổ đề 2.2.1 Giả sử { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đôi phân phối; { an, n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1} dãy số thoả mãn an > 0; < bn ↑ ∞ bn / an ↑ , đồng thời điều kiện sau thỏa mãn ∞ (i) ∑1 / b (ii)  bn   ÷  an  j =n 2 j = O ( / bn2 ) ,  aj  ∑ j =n  b j ∞  = O ( n) ÷ ÷  Đặt (iii) X n' = X n I ( an X n ≤ bn ) + cn I ( an X n > bn ) − cn I ( an X n < −bn ) , c0 = 0, cn = bn / an Giả thiết rằng: 18 ∞ ∑ P( a X (iv) n n =1 ∑ (v) n j =1 a j EX 'j bn > bn ) < ∞ , n →0 đó, ∑ n j =1 ajX j bn h c c  →0 (2.4) Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh ∑ n j =1 a j X 'j bn  ∑ n ( a j X 'j − a j EX 'j ) ∑ n a j EX 'j  j =1 h c c   =  j =1 + →0 bn bn     (2.5) để chứng minh (2.5), ta cần chứng tỏ số hạng bên phải (2.5) hội tụ tới h.c.c số hạng thứ hai bên phải (2.5) ο (1) (v) Theo bổ đề Borel - Cantelli, ta cần chứng minh rằng: với ε > ta có  ∑ n ( a j X 'j − a j EX 'j )  j =1  P > ε ÷< ∞ ∑  ÷ b n =1 n   ∞ (2.6) ' ' Theo Bổ đề 2.1.3 ( a j X j − a j EX j ) phụ thuộc toạ độ âm cặp, nên ta có:  ∑ n ( a j X 'j − a j EX 'j ) E  j =1 ∑  bn n =1  ∞  ∞ n ∞ n ÷ ≤ ∑ ∑ a 2jVar ( X 'j ) ≤ ∑ ∑ a 2j EX 'j ÷ n=1 bn2 j =1 n =1 bn2 j =1  (2.7) Theo (i), với số d > thì: ∞ ∞ n '2 ∞ '2 ∞ 1 a EX = a EX ≤ d EX 'j ∑ ∑ ∑ ∑ j j j j ∑ n =1 bn j =1 j =1 n =1 bn j =1 c j ∞ ( ) ∞ ( = d ∑ P X j > c j + d ∑ E ( X 2j ) I X j ≤ c j j =1 j =1 c j ) (2.8) 19 Chúng ta thấy số hạng bên phải (2.8) hữu hạn suy từ (iv) Chú ý (iv) tương đương với ∞ ∑ nP ( c n =1 n −1 < X ≤ cn ) < ∞ (2.9) Do đó, theo (ii) (2.9), ta có ∞ ∞ 1 j E ( X j ) I ( X ≤ c j ) = ∑ ∑ E ( X 12 ) I ( cn−1 < X ≤ cn ) ∑ j =1 c j j =1 c j n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ 1 ≤ c P c < X ≤ c ( ) ∑ ∑ n n − 1 n 2 j =n c j n =1 j =n c j = ∑ E ( X 12 ) I ( cn−1 < X ≤ cn ) ∑ n =1 (2.10) ∞ ≤ C ∑ nP ( cn−1 < X ≤ cn ) < ∞ n =1 C số dương Bởi vậy, từ (2 10) số hạng thứ hai bên phải (2.8) hữu hạn (2.7), (2.8) bất đẳng thức Chebysev, (2.6) đúng, tức là, (2.5) Cuối cùng, từ định nghĩa X n , ta có: ∞ ∞ n =1 n =1 ∑ P ( X n ≠ X n' ) = ∑ P ( X > cn ) < ∞ (suy từ (iv)) ' Vì P  X n ≠ X n i.o. = ta thu (2.4) từ (2.5) Định lý 2.2.2 Giả sử { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đôi một, phân phối { an, n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1} dãy số thoả mãn an > 0;0 < bn ↑ ∞ , đồng thời thỏa mãn điều kiện sau (i) (ii) bn / an ↑ ,  b  bn b → ∞ , n = O  inf j ≥n j ÷  nan nan ja j ÷   n (iii) ∑a j =1 j = O ( nan ) Nếu thêm điều kiện (i) (iv) Bổ đề 2.2.1 thỏa mãn, tức 20 ∞ ∑1 / b j =n j = O ( / bn2 ) , ∞ ∑ P( a X n n =1 n > bn ) < ∞ ta có luật mạnh số lớn (2.4) , tức ∑ n j =1 ajX j bn h c c  →0 Chứng minh Giả sử c0 = 0, cn = bn / an , n ≥ Ta xác định X n' = X n I  X n ≤ cn  + cn I [ X n > cn ] − cn I [ X n < −cn ] Theo chứng minh Định lý [2], từ (ii) ta có  bn   ÷  an   aj  ∑ j =n  b j ∞ ∞  ≤ Cn ∑ = O ( n ) , ÷ ÷ j =n j  (2.11) Nghĩa điều kiện (ii) Bổ đề 2.2.1 thỏa mãn ; từ (ii) (iii) suy n ∑a j =1 j = ο ( bn ) (2.12) Cuối kiểm tra điều kiện (v) Bổ đề 2.2.1 Giả sử n > N ≥ Ta có bn n ( ) n n a j EX ≤ ∑ a j E X j I X j ≤ c j + ∑ b j P ( X j > c j ) ∑ bn j =1 bn j =1 j =1 ' j (2.13) Số hạng thứ hai bên phải (2.13) ο (1) suy từ (iv) Bổ đề 2.2.1 bổ đề Kronecker Từ điều kiện (i), (ii), (iii) ta có số hạng thứ hai bên phải (2.13) làm trội cN bn n ∑aj + C j =1 n ∑ kP { c k = N +1 k −1 < X ≤ ck } , n > N ≥ (2.14) 21 Ta có số hạng bên phải (2.14) hội tụ h.c.c n → ∞ suy từ (2.12) số hạng thứ hai hội tụ h.c.c N → ∞ suy từ (iv) Bổ đề 2.2.1 Do đó, điêu kiện (v) Bổ đề 2.2.1 thỏa mãn Vậy, theo Bổ đề 2.2.1 ta có dãy { X n , n ≥ 1} tuân theo luật mạnh số lớn (2.4) , tức là: ∑ n j =1 ajX j bn h c c  →0 Định lí hồn tồn chứng minh 2.3 Luật yếu số lớn Bổ đề 2.3.1 Giả sử { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phân phối, {a n, n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1} dãy số thoả mãn an > 0; < bn → ∞ Đặt cn = bn / an , X nj = X j I  X j ≤ cn  + cn I  X j > cn  − cn I  X j < −cn  ;1 ≤ j ≤ n; n ≥ Nếu  b  nP  X > n  = o ( 1) an   (2.15) Khi đó, ta có luật yếu số lớn ∑ n j =1 a j ( X j − X nj ) bn P  →0 Chứng minh Với ε > tuỳ ý ta có:  n a (X −X )  j nj n   ∑ j =1 j  P > ε  ≤ P U X j ≠ X nj   bn  j =1      n { } ≤ ∑ P X j > cn ≤ nP { X > cn } = o ( 1) j =1 Suy điều phải chứng minh (2.16) 22 Bổ đề 2.3.2 [2] Giả sử { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiê phân phối, { an, n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1} dãy số thoả mãn an > 0; < bn → ∞ giả sử điều kiện sau thỏa mãn: bn b ↑, n ↓, an nan n ∑a j =1 j = o( b n ) n ∑ j =1  b2  = O  nn ÷ 2  ∑ aj ÷ j aj  j =1  b 2j (2.17) bn b ↑, n → ∞ , an nan  b2  a = o ( nb ) , ∑ n 2 = O  n n ÷ ∑  ∑ a 2j ÷ j aj j =1 j =1  j =1  n j b 2j n n (2.18) bn ↑ , nan n ∑a j =1 j = o ( nan2 ) (2.19) Khi đó, điều kiện (2.15) suy đẳng thức sau n ∑a P{ X j j =1 > cn } = o ( an2 ) (2.20) Và n ∑a j =1 j X 12 I { X ≤ cn } = o ( bn2 ) , (2.21) cn = bn / cn Bổ đề 2.3.3 Giả sử { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đôi một, phân phối, {a n, n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1} dãy số thoả mãn an > 0; < bn → ∞ giả sử điều kiện (2.17) (2.18) (2.19) thỏa mãn Khi điều kiện (2.15) suy luật yếu số lớn 23 ∑ n j =1 a j ( X nj − EX nj ) P  →0 , bn (2.22) đó, X nj = X j I  X j ≤ cn  + cn I  X j > cn  − cn I  X j < −cn  ; ≤ j ≤ n; n ≥ Chứng minh Ta có dãy { X nj − EX nj } dãy biến ngẫu ngiên phụ thuộc tọa độ âm đơi Theo Bổ đê 2.3.2 với ε > ta có  ∑ n a j ( X nj − X nj )   j =1  P >ε≤ 2 E bn   ε bn n ∑a ( X j =1 j nj − EX nj ) (Do bất đẳng thức Chebyshev) ≤ 2 ε bn n ∑a E ( X j =1 j − EX njj ) nj (Do phụ thuộc toạ độ âm đôi một) ≤ 2 ε bn ≤ 2 ε bn ≤ 2 ε bn n ∑a E( X ) j =1 n j nj ( ) a EX I X j ≤ cn + 2 ∑ ε bn j =1 n j j ∑ a c P{ X n j =1 a E X I ( X ≤ cn ) + 2 ∑ ε bn j =1 j 2 j n n ∑ a P{ X j =1 j > cn j > cn } = o ( 1) Được suy từ (2.20) (2.21) Suy (2.22) thỏa mãn Từ Bổ đề 2.3.1 Bổ đề 2.3.3, ta thu kết sau: } 24 Định lý 2.3.4 Giả sử { X n , n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đôi một, phân phối; {a n, n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1} dãy số thoả mãn an > 0; < bn → ∞ , n ≥ giả sử điều kiện (2.17) (2.18) (2.19) Bổ đề 3.3.2 thỏa mãn Nếu điều kiện (2.15 ) thỏa mãn, ta có luật yếu số lớn ∑ n j =1 a j ( X j − EX nj ) bn P  →0 , đó, X nj = X j I  X j ≤ cn  + cn I  X j > cn  − cn I  X j < −cn  ;1 ≤ j ≤ n; n ≥ cn = bn / cn Chứng minh Theo Bổ đề 2.3.1 ta có: ∑ n j =1 a j ( X j − X nj ) bn P  →0 Theo Bổ đề 2.3.3 ta có: ∑ n j =1 a j ( X nj − EX nj ) P  →0 bn Suy ra: ∑ j=1 a j ( X j − X nj ) n bn + ∑ n j =1 a j ( X nj − EX nj ) bn P  →0 Ta có: ∑ a ( X j − X nj ) j =1 j n bn ∑ + a ( X nj − EX nj ) j =1 j n bn ∑ = n j =1 a j ( X j − X nj + X nj − EX nj ) bn 25 ∑ = Vậy ∑ n j =1 n j =1 a j ( X j − EX nj ) bn a j ( X j − EX nj ) bn P  →0 Định lý chứng minh KẾT LUẬN Luận văn thu kết sau: - Chứng minh số kết từ [8]; Matula [6]; - Đưa số điều kiện cho luật mạnh số lớn tổng quát dạng (∑ n j =1 ) h c c a j X j / bn  → , an > 0;0 < bn ↑ ∞ ; {a n, n ≥ 1} , { bn , n ≥ 1} dãy số với 26 - (∑ n Nghiên ) cứu luật yếu P a X j − / bn  → , = j =1 j số (∑ lớn n j =1 tổng quát dạng ) a j X nj và: X nj = X j I  X j ≤ cn  + cn I  X j > cn  − cn I  X j < −cn  , với cn = bn / an > TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Adler, A and Rosalsky, A., Some general strong laws for weighted sums of stochastically dominated random variables, Stochastic Anal Appl (1987), 1-16 [2] Adler, A., Rosalsky, A, and Taylor, R L On the weak law of large number for normed weighted sums of iid random variables, Internat J Math Sci 14 (1991), 191-202 27 [3] Adler, A and Rosalsky, A., A weak law for normed weighted sums of random elements in Rademacher Type p Banach space, 37 (1991), 259-268 [4] Chow, Y S and Teicher, H., Probability Theory: Independence, Interchangeability, Martingales, 2nd ed., Spring-Verlag, New York, (1988) [5] Feller, W., A limiting theorem for random variables with innite moments, Amer J.Math 68 (1946), 257-262 [6] Matula, P., A note on the almost sure convergence of sums of negatively dependent random variables, Statist Probab Lett 15 (1992), 209-213 [7] Tea-Sung Kim and Jong IL Beak, The strong laws of large numbers for weighted sums of pairise negatively quadrant dependent radom variables, J.Korean Mat Soc 36(1999), No 1, pp 37 - 49 [8] Tea-Sung Kim and Hyun - Chull Kim, On the laws of large numbers for weighted sums of pairise negatively quadrant dependent radom variables, J.Korean Mat Soc 38(2001), No 1, pp 55 - 63 [9] N V Quảng, Đ T H Thuý (2007), Mở rộng số định lý giới hạn cho biến ngẫu nhiên phụ thuộc âm phụ thuộc tuyến tính, Tạp chí khoa học, Đại học Vinh, tập XXXVI, số 4A, 2007 [10] N V Quảng, Xác suất thống kê, NXB- ĐHQGHN Hà Nội, 2007 ... Luật yếu số lớn 1.3 Luật mạnh số lớn Chương II Luật số lớn cho tổng có trọng số biến ngẫu nhiên phụ thuộc toạ độ âm đôi Trong chương chúng tơi trình bày luật mạnh số lớn luật yếu số lớn cho tổng. .. I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 4 1.1 Các số đặc trưng biến ngẫu nhiên 1.2 Các dạng hội tụ xác suất 1.3 Luật yếu số lớn 1.4 Luật mạnh số lớn 10 Chương 2: LUẬT SỐ LỚN CHO TỔNG CÓ TRỌNG SỐ CỦA CÁC BIẾN... Dãy biến ngẫu nhiên { X i } i =1 phụ thuộc âm tập hữu hạn n phụ thuộc âm n - Dãy biến ngẫu nhiên { X i } i =1 phụ thuộc âm đôi với i ≠ j X j , X j phụ thuộc âm Định nghĩa 2.1.2.[7] Dãy biến ngẫu