MỤC LỤC..........................................................................................1 LỜI NÓI ĐẦU...................................................................................2 Chương 1. Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ............................4 1.1. Nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ............................................4 1.2. Các quan hệ Green trên nửa nhóm...............................................5 1.3. Các quan hệ Green trên nửa nhóm các phép biến đổi đầy đủ......8 Chương 2. Hạng của nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự.......................................................................................................11 2.1. Nửa nhóm các phép biến đổi bảo toàn thứ tự.............................11 2.2. Nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận bảo toàn thứ tự...............13 2.3. Nửa nhóm các phép biến đổi bộ phận bảo toàn thứ tự chặt.......16 KẾT LUẬN......................................................................................17 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................18
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN XN TIẾN SỰ PHÂN TÍCH CỦA CÁC MƠĐUN TỰA LIấN TC THNH TNG TRC TểM TT luận văn thạc sĩ toán học Chuyên ngành: Đại Số V Lý thuyết sè M· sè: 60.46.05 Ngêi híng dÉn khoa häc PGS.TS Lê Quốc Hán Vinh 2010 Lun c hon thnh trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Ngô Sỹ Tùng Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Thành Quang Phản biện 2: PGS TS Ngô sĩ Tùng Luận văn bảo vệ Hội đồng chầm luận văn thạc sỹ Đại học Vinh lúc giờ, ngày tháng năm 2010 Có thể tìm hiểu Luận văn thư viện trường Đại học Vinh MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ 1.1 Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ 1.2 Các quan hệ Green nửa nhóm .5 1.3 Các quan hệ Green nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ Chương Hạng nửa nhóm phép biến đổi bảo tồn thứ tự .11 2.1 Nửa nhóm phép biến đổi bảo toàn thứ tự 11 2.2 Nửa nhóm phép biến đổi phận bảo tồn thứ tự .13 2.3 Nửa nhóm phép biến đổi phận bảo toàn thứ tự chặt .16 KẾT LUẬN 17 TÀI LIỆU THAM KHẢO .18 LỜI NÓI ĐẦU Giả sử X n 1, 2, , n , giả sử Tn nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ X n , giả sử Sing n Tn : im n 1 nửa nhóm tất tự ánh xạ suy biến X n n : x, y X n x ΣSing Giả sử On � y x y nửa nhóm Sing n gồm tất tự ánh xạ suy biến bảo tồn thứ tự X n Nửa nhóm nghiên cứu [6], chứng minh 2n � �n � k n! � On � � , với ký hiệu � � Cn n k !(n k )! � � �k � Năm 1976, Howie M.John chứng tỏ rằng, tập hợp tất luỹ đẳng On có lực lượng f n , f 2n số Fibônaxi thứ 2n Họ chứng minh : On sinh tập hợp E1 luỹ đẳng với số khuyết (Số khuyết phần tử Tn xác định n im ) Giả sử S nửa nhóm hữu hạn, hạng S xác định rank S A : A �S , A S Nếu S sinh tập hợp luỹ đẳng E nó, hạng luỹ đẳng S xác định : idrank S A : A �E , A S Mục đích luận văn dựa báo On the ranks of certain semigroups of order-preserving transformations tác giả Gomes Howie đăng tạp chí Semigroup Forum năm 1992, để tìm hiểu hạng hạng luỹ đẳng On nửa nhóm POn �� On Σ: dom X n , x, y dom x y x y tất phép biến đổi bảo toàn thứ tự phận X n (loại trừ ánh xạ đồng nhất), nhận giá trị hạng hạng luỹ đẳng Đồng thời quan tâm đến nửa nhóm SPOn POn \ On ánh xạ bảo toàn thứ tự phận chặt X n hạng 2n Nửa nhóm khơng sinh luỹ đẳng vấn đề hạng luỹ đẳng không đặt Luận văn trình bày thành hai chương: Chương Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ Trình bày khái niệm tính chất nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ quan hệ Green nửa nhóm, nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ Chương Hạng nửa nhóm phép biến đổi bảo toàn thứ tự Chỉ hạng, hạng luỹ đẳng nửa nhóm phép biến đổi bảo tồn thứ tự On , POn SPOn Luận văn thực hoàn thành trường Đại học Vinh, hướng dẫn PGS.TS Lê Quốc Hán Nhân dịp tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới PGS.TS Lê Quốc Hán, người định hướng nghiên cứu, thường xuyên quan tâm, tạo điều kiện thuận lợi, với lời động viên khích lệ tác giả suốt q trình học tập nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán, khoa Sau Đại học, thầy giáo, cô giáo tổ Đại số nhóm Seminar chun ngành động viên, giúp đỡ tơi trình viết chỉnh sửa luận văn Mặc dù cố gắng, song luận văn tránh khỏi hạn chế thiếu sót, chúng tơi mong nhận đóng góp q báu từ thầy giáo, cô giáo bạn để luận văn hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẦY ĐỦ Trong chương nhắc lại khái niệm tính chất Lý thuyết nửa nhóm liên quan đến chương sau 1.1 Nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ Giả sử S tập hợp tuỳ ý Khi ánh xạ f : S �S � S gọi phép tốn hai ngơi miền xác định S Với cặp thứ tự x, y S S , ảnh f ( x, y ) gọi tích hai phần tử x y Chúng ta ký hiệu đơn giản xy thay cho f ( x, y ) 1.1.1.Định nghĩa Cặp ( S , f ) ( hay ( S ,.) , đơn giản S không gây nhầm lẫn ) gọi nhóm Một nhóm S gọi nửa nhóm, phép tốn có tính chất kết hợp, nghĩa với x, y, z �S có ( xy ) z x( yz ) 1.1.2 Định nghĩa Một nửa nhóm S gọi vị nhóm, S có đơn vị Đơn vị vị nhóm S thường ký hiệu 1s hay đơn giản Đối với nửa nhóm S xác định vị nhóm S cách bổ sung đơn vị cho S , S khơng có đơn vị , S vị nhóm �S � S1 � , S khơng phải vị nhóm �S � 1nếu phần tử đơn vị ( ), �S Giả sử S nửa nhóm tuỳ ý Phần tử z �S gọi phần tử không bên trái zy z , y �S Tương tự, z �S gọi phần tử không bên phải yz z , y �S gọi phần tử không vừa phần tử khơng bên trái vừa phần tử không bên phải S Phần tử e �S gọi luỹ đẳng e e Tập tất luỹ đẳng S ký hiệu E ES 1.1.3 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm A tập khơng rỗng S Khi A gọi nửa nhóm S A đóng kín phép lấy tích, nghĩa với x, y �A có xy �A 1.1.4 Bổ đề Giả sử Ai | i �I họ nửa nhóm tuỳ ý A I Ai khơng rỗng Khi A nửa nhóm S cho i�I S Đối với tập không rỗng X nửa nhóm S , ký hiệu X S giao tất nhóm S chứa X Theo Bổ đề 1.1.4, X S nửa nhóm S gọi nửa nhóm sinh X , nửa nhóm bé S chứa X Trong trường hợp nửa nhóm S xác định rõ ràng ngữ cảnh xét, ta viết X thay cho X S Nếu X x1 , x2 , tập hữu hạn hay vơ hạn đếm được, ta ký hiệu x1 , x2 , thay cho x1 , x2 , s Nói riêng, X tập đơn tử, X x ta viết X thay cho X S 1.1.5 Định lý Giả sử X tập khơng rỗng nửa nhóm � S Thế X S U X n x1 x2 xn | n �1, xi �X n 1 1.1.6 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm hữu hạn Khi hạng S xác định : rank S A : A �S , A S Nếu S sinh tập hợp luỹ đẳng E nó, hạng luỹ đẳng S xác định bởi: idrank S A : A �E , A S 1.2 Các quan hệ Green nửa nhóm 1.2.1 Định nghĩa Giả sử S nửa nhóm ta định nghĩa quan hệ L, R, J sau S : a L b � S 1a S 1b a R b � aS bS a J b � S 1aS S 1bS 1 S a, aS S 1aS iđêan trái, phải iđêan S sinh a Theo định nghĩa, a L b � s, s ' �S : a sb b s ' a a R b � r , r ' �S : a br b ar ' Từ định nghĩa trực tiếp suy quan hệ L, R J quan hệ tương đương S Thực ra, L tương đẳng phải R tương đẳng trái S Với x �S , ta ký hiệu Lx L - lớp tương đương chứa x : Lx { y �S | x L y } Tương tự, Rx J x ký hiệu lớp tương đương theo R J tương ứng chứa x 1.2.2 Định lý Các quan hệ L R giao hoán: L oR = R o L 1.2.3 Định nghĩa Giả sử L R quan hệ tương đương xác định theo Định nghĩa 1.2.1 Ta xác định quan hệ S bởi: D =L oR = R o L H = R �L Khi H quan hệ tương đương lớn S chức L R theo Lý thuyết tập hợp Ta chứng minh D quan hệ tương đương bé chứa L R Thật vậy, L R quan hệ tương đương nên D =L oR quan hệ tương đương Hơn nữa, x L x x R x với x �S nên L �D R �L Nếu C quan hệ tương đương S chứa L �R D �C, nên D quan hệ tương đương bé chứa L R 7 Biểu đồ bao hàm quan hệ Green cho hình sau với ý D �J J D L R H Ký hiệu Dx H x D - lớp H - lớp tương ứng chứa x �S Khi với x , có Lx �Rx H x 1.2.4 Bổ đề Đối với nửa nhóm S , ta có x D y �ǹ��ǹ� Lx R y Hơn Dy UL y y�Dx UR y�Dx y Ly Rx Bây giờ, ta nêu bổ đề Green hệ Giả sử S nửa nhóm với s �S xác định 1 ánh xạ: s : S � S , s z sz , z �S 1.2.5 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm, x L y giả sử s, s ' �S cho sx y s ' y x Thế (i) s : Rx � Ry s ' : Ry � Rx song ánh 1 (ii) s ' s hàm ngược s hạn chế Rx (iii) s bảo toàn H - lớp, nghĩa mọi: u , v �Rx : u H v � s u H s v Nói riêng, s ánh xạ H - lớp H z (với z �Rx ) song ánh vào H - lớp H s ( x ) Dạng đối ngẫu Bổ đề 1.2.5 chứng minh tương tự Ở r : S � S xác định r ( z ) zr , z �S 1.2.6 Bổ đề Giả sử S nửa nhóm, y R x giả sử r , r ' �S cho yr z zr ' y Thế (i) r : Ly � Lz r ' : Lz � Ly song ánh 1 (ii) r ' r hàm ngược r hạn chế Ly (iii) r bảo toàn R- lớp, nghĩa w R y (w) w �Ly 1.2.7 Hệ (i) Giả sử e �ES lũy đẳng Nếu x L e xe x Nếu x R e ex x (ii) Mỗi H - lớp chứa không luỹ đẳng 1.2.8 Hệ Các H - lớp nằm D - lớp có lực lượng, nghĩa tồn song ánh H x H y x D y Kết sau Định lý định vị Miller Clifford (1956) 1.2.9 Định lý Giả sử x, y �S Thế xy �Rx �Ly � Ry �Lx chứa luỹ đẳng Trong Định lý Green sau đây, G gọi nhóm nửa nhóm S G nửa nhóm mà thân G nhóm 1.2.10 Bổ đề Giả sử e, f �ES Thế với x �Re �L f tồn y �R f �Le cho xy e yx f 1.2.11 Định lý Giả sử H H - lớp nửa nhóm S Thế điều kiện sau tương đương (i) H chứa luỹ đẳng (ii) Tồn x, y �H cho xy �H (iii) H nhóm S 1.3 Các quan hệ Green nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X tập hợp tuỳ ý Ký hiệu TX tập hợp tất ánh xạ từ X lên X Khi TX với phép nhân ánh xạ nửa nhóm Nửa nhóm TX gọi nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ X 1.3.2 Định nghĩa Giả sử TX nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ X Ta gắn phần tử thuộc TX với hai khái niệm: 1 Miền giá trị X phép biến đổi Phân hoạch o 1 tập X liên kết với , tức quan hệ tương đương X xác định sau: x y x, y �X x y W Giả sử ánh xạ tự nhiên từ X lên tập X / lớp W tương đương X theo mod Khi ánh xạ x � x ánh xạ - từ X / lên X Từ suy X / X Bản số gọi hạng phép biến đổi 1 Nếu y �X �TX ta định nghĩa y tập tất x �X mà x y 1.3.3 Bổ đề Với , �TX tồn phép biến đổi �TX cho X �X Do L X X 1.3.4 Bổ đề Với , �TX tồn �TX cho � Do R 1.3.5 Bổ đề Giả sử phân hoạch tập X giả sử Y tập X cho X / Y Khi tồn phép biến đổi �TX cho X Y 1.3.6 Bổ đề Hai phần tử thuộc nửa nhóm TX D -lớp tương đương chúng có hạng 1.3.7 Định lý Giả sử TX nửa nhóm tồn phép biến đổi tập X i Trong TX quan hệ D L trùng ii Tồn tương ứng - tập hợp tất iđêan TX tập tất số r �X cho iđêan 10 tương ứng với r gồm tất phần tử thuộc TX mà hạng không vượt r iii Tồn tương ứng - tập tất D - lớp TX tập tất số r �X cho D - lớp Dr ứng với r gồm tất phần tử thuộc TX mà hạng r iv Giả sử r số �X Tồn tương ứng - tập tất L- lớp chứa Dr tập tất tập Y X lực lượng r , cho L- lớp tương ứng với tập Y gồm tất phần tử thuộc TX mà Y miền giá trị v Giả sử r số �X Tồn tương ứng - tập tất R- lớp chứa Dr tập tất phân hoạch tập X mà X / r , cho R- lớp tương ứng với gồm tất phần tử thuộc TX mà phân hoạch với chúng trùng với vi Giả sử r số �X Tồn tương ứng - tập tất H - lớp chứa Dr tập tất cặp ,Y , phân hoạch tập X Y tập X mà X / Y r cho H - lớp ứng với cặp ,Y , gồm tất phần tử thuộc TX mà phân hoạch liên kết với chúng trùng với miền giá trị trùng với Y 1.3.8 Định lý Giả sử Y tập tập X giả sử phân hoạch X cho Y X / Giả sử H H -lớp TX ứng với cặp ,Y i H chứa luỹ đẳng Y giao với lớp tương đương X mod theo phần tử ii H chứa luỹ đẳng H nhóm đẳng cấu với nhóm đối xứng GY tập Y 11 CHƯƠNG HẠNG CỦA NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI BẢO TỒN THỨ TỰ 2.1 Nửa nhóm phép biến đổi bảo toàn thứ tự 2.1.1 Định nghĩa ký hiệu Giả sử X n 1, 2, , n Ký hiệu Tn nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ X n Ký hiệu Sing n Tn : im tự ánh xạ suy biến X n n 1 nửa nhóm tất ΣSing n : x, y Ký hiệu On � Xn x y x y nửa nhóm Sing n gồm tất tự ánh xạ suy biến bảo toàn thứ tự X n Rõ ràng On nửa nhóm quy Tn ,chúng ta có On : L im im R ker ker J | im || im | Như On , giống thân Tn , hợp J -lớp J1 , J , , J n 1 J r �On : im r Chúng dành quan tâm đặc biệt J- lớp J n 1 chóp đỉnh nửa nhóm Đối lập với Sing n , nửa nhóm On khơng tuần hồn (nghĩa H - lớp tầm thường); lần cố định im ker có ánh xạ bảo tồn thứ tự với ảnh hạt nhân cho trước Dễ dàng thấy ker -lớp tập lồi C C, x X n , theo nghĩa x, y Σ� z y kéo theo z �C Như vậy, cách ký hiệu i, j tương đương X n mà lớp không chứa phần tử i, j , thấy Rlớp J -lớp J n 1 đánh số n tương đương 1, ,| 2,3 |, ,| n 1, n | Các L - lớp tương ứng với n ảnh 12 X n \ 1 , X n \ 2 , , X n \ n Như J n 1 n(n 1) Phần tử ( ) H - lớp xác định tương đương i, i 1 tập X n \ k luỹ đẳng X n \ k đường hoành (hay đường cắt chéo ) i, i 1 , nghĩa k i k i 1 Phần tử với hạt nhân i, i 1 ảnh X n \ k i i k k+1 n � � � �nếu k �i 1 i i k k+1 n � � k-1 k i i+1 n � � � �nếu k �i k-1 k+1 i+1 i+1 n � � Trong trường hợp đầu ta nói phần tử giảm viết [k � k � � i ] ; trường hợp sau ta nói phần tử khơng giảm viết [k � k � � i 1] Có n luỹ đẳng giảm i � i 1 (i 2,3, , n) n luỹ đẳng giảm i � i 1 (i 1, 2,3, , n 1) Như E1 �On : im n 1, tập hợp tất luỹ đẳng J n 1 , E1 2n Từ kết On E1 trực tiếp suy 2.1.2 Bổ đề Giả sử On nửa nhóm tự ánh xạ suy biến bảo toàn thứ tự X n Thế rank On �2n idrank On �2n Từ suy hạng On phải nhỏ số phần tử L - lớp J n 1 Như vậy: 2.1.3 Bổ đề rank O n �n Đối với i 1, 2, , n ký hiệu luỹ đẳng không giảm ei Ký hiệu phần tử (không luỹ đẳng) giảm n � n � � 1 On , giả sử A e1 , e2 , , en 1 , Thế ta có 13 2.1.4 Bổ đề Tất phần tử không giảm J n 1 thuộc A Chứng minh Kiểm tra trực tiếp k � k � � i 1 i � i 1 i � i k � k 1 tích luỹ thừa khơng giảm W 2.1.5 Bổ đề Tất phần tử luỹ đẳng giảm J n 1 thuộc A Bây sử dụng Bổ đề 2.1.5 để chứng tỏ tất phần tử giảm J n 1 nằm A Như � A �On Do J n 1 � A , On E1 � J n 1 On A với | A | n Từ kết với Bổ đề 2.1.4 suy 2.1.6 Định lý Giả sử n �2 giả sử On nửa nhóm ánh xạ suy biến bảo tồn thứ tự X n Thế rank On n 2.1.7 Định lý Giả sử n �2 Thế idrank O n n 2.2 Nửa nhóm phép biến đổi phận bảo tồn thứ tự Chúng tơi trình bày lại số ý tưởng tổ hợp dẫn đến biểu thức thứ tự nửa nhóm POn Giả sử định tương đương tập X m lồi (convex) lớp tập lồi X m , giả sử nói trọng số r | X m / | r Một tương đương lồi với số r xác định giao r " biên " m không gian 1, 2, , m (Như vậy, chẳng hạn, tương đương lồi với số X mà lớp 1, 2,3 , 4 {5, 6} xác định hai biên, và 5) Suy số tương đương lồi với m 1� � � Bây giờ, r 1, 2, , n giả sử r 1 � � trọng số X m � Wr �POn :| dom | r Một dom chọn, im cần phải tập X n với | im | s �r , ker 14 quan hệ tương đương dom với trọng số s Như r r 1� n r �� n �r 1� �n � � �� n | Wr | �� � �� � � Bây �� � � � hệ số x r s 1 �� s �s 1� s s �� s 1 � � � � r n� r 1� � n r 1� � � n r 1 n r 1 x x x , �� � � � � � s� s 1� � r � s 1 � � n n� n r 1� � � | PO | Từ suy � n �� � � (+1trong vế trái thực tế r� r 1 � � r � cách đếm bao gồm ánh xạ đồng X n , mà bị loại trừ khỏi Pon ) Cuối cùng, từ chuỗi tổ hợp 1 x n � n r 1 � �r �� x ( x 1) � r r 0 � � nhận 2.2.1 Định lý |POn|+1 hệ số x n khai triển chuỗi (1+x)n(1-x)-n Số POn tăng mạnh theo n Một số giá trị n cho bảng : n | POn | 37 191 100 Kết tiết 2.2.2 Định lý Giả sử n �2 Thế rank POn= 2n , POn nửa nhóm phép biến đổi phận bảo toàn thứ tự Xn 2.2.3 Bổ đề rank POn �2n 2.2.4 Bổ đề Đối với r 1, 2, , n , có [r,r] �[r+1,r+1][r+1,r+1] 15 2.2.5 Bổ đề Nếu �s �n 1, [r,s] �[r,r][n,s] Ta có (đối với tất s �n ) : n, s � n, n 1 Điều này, với Bổ đề 2.2.4 2.2.5 quan sát tiến hành J n 1 n, n 1 � n, n 1 , suy 2.2.6 Bổ đề J n 1 POn Bây giờ, i 2,3, , n giả sử i phần tử thuộc n 1, n 1 ánh xạ X n \ i lên X n \ i 1 theo cách bảo toàn thứ tự; tương tự 1 ánh xạ X n \ 1 lên X n \ n Như vậy, chẳng hạn, n 4� 134� 4� 3� � � � � 1 � ,2 � , 3 � � , � � � � 123 � 4� 4� 4� � � � � Giả sử BP 1 , , , n , BT 1 , , , n , i ή i� i 1 n, n 1 Giả sử B BP �BT Chúng ta chứng tỏ B , bao gồm 2n phần tử, tập sinh POn Chính xác hơn, chứng tỏ J n 1 � B , điều với Bổ đề 2.2.6, cho ta kết cần tìm Trước hết, chứng tỏ 2.2.7 Bổ đề [n,n-1] � B 2.2.8 Bổ đề [n-1,n-1] � BP � B 2.2.9 Định lý Nửa nhóm POn sinh luỹ đẳng Hạng luỹ đẳng 3n F POn Điều suy idrank PO n �3n Để chứng tỏ khơng có tập hợp luỹ đẳng với lực lượng nhỏ sinh POn , trước tập sinh phải phủ n R -lớp n 1, n 1 Các luỹ đẳng 1 , , , n có tính chất này, thực tế 2.2.10 Bổ đề 16 có luỹ đẳng nằm n 1, n 1 có tính chất Do tập sinh luỹ đẳng tuỳ ý POn phải chứa D Dễ dàng thấy không tập thực E1 sinh On Bây giả sử � n, n 1 1 k , , , , k �F E1 �D Khi phải có �E1 , ngược lại dom n Giả thiết , , , k nằm E1 , j ( với j �2 ) phần tử không nằm E1 Thế dom j im 1 j 1 , trương hợp ngược | im 1 j 1 |�n Thế j đồng lại im � im 1 j 1 1 j 1 j 1 Tiếp tục lập luận vậy, thấy phần tử D tích thực tế thừa Từ tích thay tích rút gọn 1' 2' 'j 1' , 2' , , 'j �E1 Suy tập sinh tuỳ ý bao gồm luỹ đẳng J n 1 ( nghĩa tập tuỳ ý F ) phải chứa đầy đủ phần tử E1 để sinh tất phần tử E1 Như thấy trước đây, phép chứng minh Định lý 2.1.6, điều có nghĩa tất phần tử thuộc E1 phải có mặt 2.3 Nửa nhóm phép biến đổi phận bảo toàn thứ tự chặt Tập SPOn POn \ On ánh xạ phận bảo toàn thứ tự X n nửa nhóm (thực tế iđêan phải) POn Chúng ta chứng minh 2.3.1 Định lý Giả sử SPOn nửa nhóm ánh xạ phận bảo toàn thứ tự chặt X n Thế rank SPOn 2n 2.3.2 Bổ đề [n-1,n-2] �[n-1,n-1] G [n-2,n-2] 2.3.3 Bổ đề Đối với r 2,3, , n , có [r,r-1] �[r+1,r][r-1,r-1] �[r+1,r+1][r+1,r] 2.3.4 Bổ đề Đối với �r �n �s �r , có [r,s] �[r,r-1][r-1,s] 17 KẾT LUẬN Luận văn hồn thành cơng việc sau: Hệ thống lại khái niệm tính chất nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ, quan hệ Green nửa nhóm quan hệ Green nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ Chứng minh chi tiết kết hạng hạng luỹ đẳng nửa nhóm nửa nhóm phép biến đổi đầy đủ tập hữu hạn Cụ thể : - Giả sử On nửa nhóm ánh xạ suy biến bảo tồn thứ tự, đó: rand On n idrand On 2n (Định lý 2.1.6, Định lý 2.1.7) - Giả sử POn nửa nhóm phép biến đổi bảo tồn thứ tự phận, đó: rand POn 2n idrand POn 3n (Định lý 2.2.2, Định lý 2.2.9) - Giả sử SPOn nửa nhóm ánh xạ phận bảo tồn thứ tự, đó: rank SPOn 2n ( Định lý 2.3.1) nếu S vị nhóm 18 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] A.H.Cliphớt - G.B.Prestơn (1976), Lý thuyết nửa nhóm, Bản dịch tiếng Việt Trần Văn Hạo Hoàng Kỳ, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp, Hà Nội [2] Lê Quốc Hán (2008), Giáo trình lý thuyết nửa nhóm lý thuyết nhóm, Trường Đại Học Vinh Tiếng Anh [3] G.U., Garba (1990), Idempotents in partial transformation semigroups, Proc Royal Soc Edinburgh A 116, 359-366 [4] Gomes, M S Gracinda and John M Howie (1987), On the ranks of certain fiite semigroup of transformations, Math Proc Cambridge Phil Soc 101, 395-403 [5] Gracinda M S Gomes and John M Howie (1992), On the ranks of certain semigroups of order - preserving transformations, Semigroup Forum 45, 272-282 [6] John M., Howie (1971), Products of idempotents in certain semigroup of tranformations, Proc Edinburgh Math Soc (2) 17, 223-236 [7] John M., Howie and Robert B McFadden (1990), Idempotent rank in finite full transformation semigroups, Proc Royal Soc Edinburgh A 114 , 161-167 [8] V H Fernandes, M M Jesus, V Maltsev and J D Mitchell (2010), Endomotphounus of the semigroup of order - preserving mapping, Semigroup Forum, Published online: 26 March, Springer, 1-9 ... đồng lại im � im 1 j 1 1 j 1 j 1 Tiếp tục lập luận vậy, thấy phần tử D tích thực tế thừa Từ tích thay tích rút gọn 1' 2' 'j 1' , 2' , , 'j �E1 Suy tập... lớp chứa Dr tập tất cặp ,Y , phân hoạch tập X Y tập X mà X / Y r cho H - lớp ứng với cặp ,Y , gồm tất phần tử thuộc TX mà phân hoạch liên kết với chúng trùng với miền giá... thiện Chúng xin chân thành cảm ơn Vinh, tháng 10 năm 2010 Tác giả CHƯƠNG NỬA NHÓM CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI ĐẦY ĐỦ Trong chương chúng tơi nhắc lại khái niệm tính chất Lý thuyết nửa nhóm liên quan đến chương