Sự đối ngẫu của các điều kiện liên tục và rời rạc trong phạm trù môđun

Bộ giáo dục và đào tạo Tr ờng đại học vinh ---------- Lê thị Thu hằng Sự đối ngẫu của các điều kiện liên tục và rời rạc trong phạm trù môđun Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyết số Mã số: 60 46 05 2 Vinh, 2004 Luận văn đ ợc hoàn thành tại Tr ờng Đại học Vinh Ng ời h ớng dẫn khoa học: TS. Chu Trọng Thanh Phản biện 1: PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng Phản biện 2: PGS. TS. Nguyễn Thành Quang 3 Luận văn đợc bảo vệ trớc Hội đồng chấm luận văn Thạc sỹ, tại Trờng Đại học Vinh, vào hồi giờ ngày tháng.năm 200. Có thể tìm đọc luận văn tại Th viện Trờng Đại học Vinh. 4 Mục lục Trang Trang phụ bìa 1 Mục lục 2 Bảng các ký hiệu 3 Mở đầu 4 Chơng I Các kiến thức cơ sở về lý thuyết vành và môđun 1.1. Môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt yếu 1.2. Môđun con bù - giao, môđun con bù - cộng 1.3. Môđun xạ ảnh, môđun nội xạ 1.4. Môđun noether, môđun artinian 1.5. Môđun đơn, môđun nửa đơn 1.6. Phạm trù [M] 1.7. Môđun suy biến 1.8. Một số lớp vành và các đặc trng của chúng Chơng II Sự đối ngẫu của các điều kiện liên tục và điều kiện rời rạc của các môđun 2.1. Một số kết quả đối ngẫu trong phạm trù môđun 2.2. Các kết quả đối ngẫu của các điều kiện (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ), và (D 1 ), (D 2 ), (D 3 ). Kết luận của luận văn Tài liệu tham khảo 7 7 8 9 11 11 12 13 14 16 17 20 39 40 5 Bảng các ký hiệu Các ký hiệu về lý thuyết vành và môđun chủ yếu chúng tôi dựa theo Anderson - Fuller [4], Dung - Huynh - Smith - Wisbauer [5], Mohamed - Mĩller [9], Sharpe - Vamos [13]. A M: A là môđun con của M. A e M: A là môđun con cốt yếu của M. A << M: A là môđun con đối cốt yếu của M. A M: A là tập hợp con của M. A M : A là hạng tử trực tiếp của môđun M. ACC: điều kiện chuỗi tăng. DCC: điều kiện chuỗi giảm. E(M): bao nội xạ của môđun M. E A (M) : bao A - nội xạ của môđun M. J(M): căn của môđun M. Soc(M): đế của môđun M. : tổng trực tiếp của các môđun. : tổng của các môđun N- xạ ảnh: thuộc tính xạ ảnh đối với môđun N. N - nội xạ: thuộc tính nội xạ đối với môđun N. R R : vành R xét nh môđun phải trên chính nó. [M]: phạm trù con đầy của Mod-R sinh bởi M. r(A): linh hoá tử của tập hợp A. Z(M): môđun con suy biến của môđun M. - bù, H - bù: các kiểu thuộc tính khả bù. K- bù: đối ngẫu của H- bù. 6 Mở Đầu Có hai hớng chính để nghiên cứu lý thuyết vành. Hớng thứ nhất nghiên cứu vành bằng cách xét các cấu trúc nội tại của vành nh các vành con, các iđêan, các phần tử luỹ đẳng, các phần tử luỹ linh, nghiên cứu căn và đế của vành, nghiên cứu các lớp vành thoả mãn một số tính chất nào đó nh vành giao hoán, vành địa phơng, vành noether, vành artinian, . Hớng thứ hai nghiên cứu các tính chất của vành xuất phát từ việc nghiên cứu các ảnh hởng qua lại giữa tính chất của vành với tính chất của các môđun trên vành đó. Hớng nghiên cứu này dẫn đến vấn đề nghiên cứu các lớp môđun đợc lựa chọn để mô tả tính chất vành, theo hớng nghiên cứu này ta có hai bài toán thờng đợc đặt ra nh sau: Bài toán 1. Cho biết vành R có thuộc tính (T) và (A) là một lớp R- môđun nào đó, có thể khẳng định gì về tính chất của lớp môđun (A) ? Bài toán 2. Cho R là một vành và (A) là một lớp các R- môđun nào đó. Nếu mọi môđun thuộc (A) đều có một thuộc tính (P) xác định, khi đó có thể suy ra đợc tính chất gì của vành R ? Vấn đề sẽ trở nên thú vị nếu kết quả nghiên cứu hai bài toán trên dẫn đến một điều khẳng định: Vành R có thuộc tính (T) khi và chỉ khi lớp R - môđun (A) có thuộc tính (P). Trong trờng hợp đó ta nói rằng đã đặc trng thuộc tính (T) của vành R bởi thuộc tính (P) của lớp R- môđun (A). Về mặt lịch sử nghiên cứu thì hớng thứ nhất phát triển sớm hơn và đã thu đợc nhiều kết quả quan trọng, hớng thứ hai xuất hiện muộn hơn nhng đang là một h- ớng nghiên cứu đợc nhiều ngời quan tâm. Từ năm 1960 lại nay nhiều tác giả đã thu đợc các đặc trng cho các lớp vành, vành nửa đơn, vành noether, vành artinian, QF - vành, vành PF, vành Co - H, ., bằng các thuộc tính của các lớp môđun đợc lựa chọn một cách thích hợp. Vì những ứng dụng của các lớp môđun vào việc nghiên cứu đặc trng vành mà việc nghiên cứu các lớp môđun trở nên hấp dẫn và thu đợc nhiều kết quả mới. 7 Trong các lớp môđun thì lớp các môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh có vai trò quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành và môđun. Từ trớc đến nay các lớp môđun này vẫn là những đối tợng truyền thống đợc nghiên cứu liên tục. Các kết quả tìm thấy đợc sử dụng để mô tả cấu trúc vành. Về sau các tác giả đã tìm cách mở rộng các lớp môđun trên để áp dụng vào việc nghiên cứu một số lớp vành rộng hơn. Các lớp môđun liên tục và tựa liên tục đợc định nghĩa qua các điều kiện (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ) là các mở rộng thật sự của lớp môđun nội xạ. Cùng với việc mở rộng lớp môđun nội xạ, ngời ta cũng mở rộng lớp môđun xạ ảnh. Năm 1963 Mares đa ra khái niệm môđun bù - cộng, Fleury định nghĩa khái niệm môđun hổng năm 1974. Bằng cách sử dụng các điều kiện (D 1 ), (D 2 ), (D 3 ) đối ngẫu với các điều kiện (C 1 ), (C 2 ), (C 3 ), Mohamed và Singh (1977) đã định nghĩa môđun rời rạc, Oshiro (1983) định nghĩa khái niệm môđun tựa rời rạc. Đối với vành hoàn chỉnh, lớp môđun tựa rời rạc và môđun rời rạc là các mở rộng của lớp môđun xạ ảnh. Luận văn này đặt vấn đề nghiên cứu các lớp môđun thoả mãn các điều kiện liên tục và các lớp môđun thoả mãn các điều kiện rời rạc, trên cơ sở đối ngẫu về định nghĩa và các thuộc tính, và nghiên cứu sự ứng dụng của các lớp môđun đó vào việc nghiên cứu đặc trng cho các lớp vành quen biết nh lớp vành nửa đơn, SI, SC, Sự nghiên cứu các lớp môđun nói trên đợc thực hiện theo h- ớng chỉ ra một cách tờng minh sự đối ngẫu của các thuộc tính mà các môđun thuộc các lớp đó thoả mãn, đồng thời chỉ ra trong một số trờng hợp có thể dùng sự đối ngẫu đó để từ một tính chất của lớp môđun này dự đoán một tính chất của lớp môđun kia, thậm chí có thể dùng cách chứng minh của kết quả trong lớp môđun này gợi ý cho ý tởng chứng minh kết quả đối ngẫu với nó trong lớp môđun kia. Theo hớng nghiên cứu trên, luận văn đợc trình bày thành hai chơng. 8 Chơng I dành cho việc nhắc lại một số khái niệm và kết quả đã biết về các lớp vành và môđun và sắp xếp các kết quả đó thành từng cặp đối ngẫu nhau nhằm làm cơ sở cho chơng sau. Chơng II chủ yếu đợc viết trên cơ sở tổng hợp các kết quả của [9], [15]. Nội dung chính của chơng này là trình bày các kết quả đối ngẫu với nhau trong hai lớp môđun (tựa) liên tục và (tựa) rời rạc cùng một số ứng dụng của chúng vào nghiên cứu vành và môđun. Luận văn đợc thực hiện và hoàn thành tại trờng Đại học Vinh, dới sự hớng dẫn của thầy giáo TS. Chu Trọng Thanh. Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc trớc sự giúp đỡ tận tình của thầy, giúp chúng tôi mạnh dạn suy nghĩ trong quá trình nghiên cứu đề tài. Nhân dịp này, chúng tôi xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học của trờng Đại học Vinh, nhóm seminar vành và môđun, các học viên lớp Cao học 10 - Đại số, gia đình và tất cả các bạn bè đã tạo điều kiện giúp đỡ chúng tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn. Cuối cùng, do năng lực nghiên cứu còn nhiều hạn chế nên luận văn sẽ không thể tránh khỏi những tồn tại, chúng tôi mong nhận đợc sự góp ý chân tình của thầy giáo, cô giáo cùng tất cả các bạn. 9 Chơng I Các kiến thức cơ sở về lý thuyết vành và môđun Trong luận văn này chúng tôi chỉ xét các vành R kết hợp, có đơn vị. Phạm trù các môđun phải đơn nguyên trên R đợc ký hiệu là Mod-R. Các R- môđun phải M sẽ đợc nói gọn là môđun M. Khi vành R đợc xét nh một môđun phải trên chính nó ta sẽ ký hiệu là R R . Các khái niệm, tính chất cơ bản và ký hiệu về lý thuyết vành và môđun chủ yếu chúng tôi sử dụng trong các tài liệu tham khảo, Anderson - Fuller [4], Dung - Huynh - Smith - Wisbauer [5], Mohamed - Mĩller [9], Sharpe - Vamos [13]. 1.1. Môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt yếu 1.1.1. Định nghĩa. Cho A là một môđun con của M. A đợc gọi là môđun con cốt yếu (essential) trong M nếu với mỗi môđun con X 0 của M ta luôn có A X 0. Trong trờng hợp này ta cũng nói M là một mở rộng cốt yếu (essential extension) của A và đợc ký hiệu là A e M. Một mở rộng cốt yếu M của A đợc gọi là mở rộng cốt yếu thực sự (proper essential extension) nếu M A. Môđun M đợc gọi là đều (uniform) nếu mọi môđun con khác 0 của M là môđun con cốt yếu của M. Môđun con A đợc gọi là đóng (closed) trong M nếu A không có một mở rộng cốt yếu thực sự trong M. Nói khác đi, A gọi là đóng trong M nếu với mọi môđun con B của M mà A e B thì B = A. Môđun con B của M đợc gọi là bao đóng (closure) của môđun con A trong M nếu B là môđun con tối đại trong M sao cho A là cốt yếu trong B. Nhận xét. (xem [9]) Bao đóng của môđun con A trong M luôn tồn tại. 1.1.2. Định nghĩa. Giao của tất cả các môđun con cốt yếu của môđun M đợc gọi là đế (socle) của M và ký hiệu là Soc(M). 10 Nhận xét. (xem [4]) Soc(M) = { K M K tối tiểu trong M } 1.1.3. Định nghĩa. Cho A là môđun con của M. Môđun A đợc gọi là bé (small) hay đối cốt yếu (superfluous) trong M nếu với mọi môđun con thực sự X của M thì A + X M, và đợc ký hiệu là A << M. Môđun M sao cho mọi môđun con thực sự của M là môđun bé trong M đ- ợc gọi là môđun hổng (hollow). 1.1.4. Định nghĩa. Cho môđun M, ta gọi căn (radical) của môđun M là giao của tất cả các môđun con tối đại của M, ký hiệu J(M). Nhận xét. ( xem [4]) J(M) = { L M L là đối cốt yếu trong M }. 1.2. Môđun con bù - giao, Môđun con bù - cộng 1.2.1. Định nghĩa. Cho A là môđun con của M. Môđun con A' của M tối đại trong số các môđun con của M có giao với A bằng không đợc gọi là bù -giao (complement) của A trong M. Môđun con B của M đợc gọi là môđun con bù - giao (complement submodule) nếu tồn tại một môđun A của M sao cho B là bù - giao của A trong M. Nhận xét. (xem [9]) Bù - giao của một môđun trong M luôn tồn tại nhng nói chung không duy nhất. 1.2.2. Tính chất. 1) Cho A là môđun con của M, môđun B là bù - giao của A thì: (i) B đóng trong M. (ii) B A e M. 2) (i) Mỗi môđun con A của M tồn tại môđun con đóng (bù - giao) B sao cho A là môđun con cốt yếu trong B. (ii) Nếu A là môđun con đóng trong B và B là môđun đóng trong M thì A là môđun con đóng trong M. 11 . trng của chúng Chơng II Sự đối ngẫu của các điều kiện liên tục và điều kiện rời rạc của các môđun 2.1. Một số kết quả đối ngẫu trong phạm trù môđun 2.2. Các. các điều kiện liên tục và điều kiện rời rạc của các môđun Các môđun nói đến trong chơng này đều đợc giả định là các môđun trên vành R, với R là một vành cho