Lí thuyết co rút trong phạm trù các không gian mêtric với các ánh xạ liên tục và liên tục đều địa phương

Mục lục Trang Lời nói đầu . 2 Chơng I. Co rút và tính chất cơ bản Đ 1. Co rút . 3 Đ 2. Các loại co rút khác . . 9 Chơng II. Thác triển ánh xạ Đ 1. Phủ . . 12 Đ 2. Tổng quát hoá định lý Tietze 14 Đ 3. Nhúng không gian metric vào không gian định chuẩn .17 Chơng III. Co rút tuyệt đối và co rút lân cận tuyệt đối trong không gian metric Đ 1. Định nghĩa các không gian AR và ANR .19 Đ 2. Quan hệ giữa co rút tuyệt đối và co rút lân cận tuyệt đối với thác triển các ánh xạ . . 23 Đ 3. Hợp các AR không gian và các ANR - không gian 24 Chơng IV. Co rút lân cận đều địa phơng Đ 1. ánh xạ liên tục đều địa phơng . 27 Đ 2. Phân hoạch đơn vị . 32 Đ 3. Hợp hai ARUL không gian . 37 Kết luận . . 42 Tài liệu tham khảo . . 43 1 Lời nói đầu Lý thuyết co rút là một trong những chuyên đề của sinh viên hệ cử nhân khoa học, là lý thuyết có liên quan đến cả hai ngành chính của tôpô là Lý thuyết tôpô và Tôpô đại số. Lý thuyết co rút do K. Borsuk đặt ra trong nửa đầu thế kỷ XX đã giúp giải quyết đợc rất nhiều các vấn đề của giải tích liên quan đến bài toán thác triển ánh xạ của Tôpô vô hạn chiều. Trong khuôn khổ của một khoá luận tốt nghiệp hệ cử nhân khoa học ngành toán, khoá luận đề cập và hệ thống lại các kiến thức cơ bản của lý thuyết co rút đã đợc học, từ đó mở rộng lý thuyết co rút trong phạm trù các không gian metric với các ánh xạ liên tục (đã đợc học) sang phạm trù các không gian metric với các ánh xạ liên tục đều địa phơng. Khoá luận đợc trình bày trong 4 chơng. Chơng I. Co rút và tính chất cơ bản Chơng II. Thác triển ánh xạ Chơng III. Co rút tuyệt đối và co rút lân cận tuyệt đối trong không gian metric Chơng IV. Co rút lân cận đều địa phơng. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hớng dẫn, các thầy cô giáo trong Khoa Toán, Trờng Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ, quan tâm đến việc học tập, rèn luyện và cổ vũ tác giả hoàn thành khoá luận này. Mặc dầu đã có nhiều cố gắng trong việc trình bày cả về nội dung, hình thức, in ấn song chắc chắn khoá luận này không tránh khỏi những sai sót. Tác giả mong đợc sự quan tâm góp ý của các thầy, cô giáo và các bạn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 5/2005 Tác giả 2 Chơng I Co rút và tính chất cơ bản Trong phần này, khi nói về không gian và ánh xạ, ta hiểu là không gian tôpô và ánh xạ liên tục. Đ 1. co rút 1.1. Định nghĩa và ví dụ về co rút. Xét ánh xạ f: X Y và một không gian con A của không gian X. Đặt g = f /A, nghĩa là g(x) = f(x) với mọi x A, g đợc gọi là ánh xạ thu hẹp của f trên A và f đợc gọi là ánh xạ thác triển của g lên X. Nếu ánh xạ h: A X là một ánh xạ nhúng, nghĩa là h(a) = a với mọi a A, thì cái thu hẹp g = f /A của ánh xạ thỏa mãn hệ thức giao hoán: f o h = g trong sơ đồ: Bài toán thác triển đặt ra là: với một ánh xạ cho trớc g: A Y xác định trên không gian con A của một không gian X, trong điều kiện nào thì có một thác triển lên toàn bộ X. Nói riêng, nếu Y = A, g = id là ánh xạ đồng nhất trên A thì ta đợc một trờng hợp đặc biệt quan trọng của bài toán thác triển mà ta gọi là bài toán co rút. 1.1.1. Định nghĩa. Nếu ánh xạ đồng nhất id: A A có một thác triển r: X A thì A đợc gọi là một cái co rút của X, ánh xạ r đợc gọi là một phép co rút của X lên A, ký hiệu là r: X A. 3 A Y X h f g Nói cách khác, một phép co rút của không gian X lên không gian con A của X là một ánh xạ r: X A sao cho r(a) = a với mọi a A. Một không gian con A của không gian X đợc gọi là một cái co rút của X nếu tồn tại một phép co rút r: X A. Dễ thấy rằng mỗi không gian X là một cái co rút của chính nó và phép co rút ở đây là ánh xạ đồng nhất trên không gian X. Nếu không gian con A của X chỉ gồm một điểm a, thì ánh xạ duy nhất f:X A, f(x) = a với mọi x X là một phép co rút. Vậy không gian chỉ gồm một điểm của X là một cái co rút của X. Ta gọi đó là một cái co rút tầm thờng của X. Xét các ví dụ về co rút không tầm thờng. 1.1.2. Ví dụ. Giả sử S n-1 là mặt cầu của hình cầu đơn vị (n-1) - chiều E n trong không gian Euclide R n . Gọi X là không gian nhận đợc từ E n bằng cách bỏ đi một điểm trong. Không mất tính tổng quát ta giả sử rằng bỏ đi điểm gốc O. Khi đó S n-1 là cái co rút của X. Thật vậy, ta có phép co rút r: X S n-1 đợc xác định: x )/, .,/,/( xxxxxx n21 với (x 1 , x 2 , . , x n ) X và ký hiệu x là khoảng cách từ x tới O. Với mỗi x S n-1 ta có x = 1 do đó: r(x) = )/, .,/,/( 21 xxxxxx n = (x 1 , x 2 , . , x n ) = x. 1.1.3.Ví dụ. Xét tích tôpô X = A ì B của hai không gian con khác rỗng A và B. Lấy điểm b 0 B. Không gian A có thể đợc xem nh là một không gian con của không gian tích X bằng cách nhúng A vào X qua ánh xạ h: A X đợc xác định bởi: h(a) = (a, b 0 ) với mỗi a A. Rõ ràng phép chiếu tự nhiên f: X A, với X = A ì B cho phép co rút của X lên A. 4 1.2. Các tính chất của co rút. 1.2.1. ánh xạ lũy đẳng. Giả sử X là không gian cho trớc. Xét tập hợp = X X = {f: X X }. Với hai ánh xạ f , g tùy ý, thì cái hợp thành g 0 f luôn đợc xác định và là một ánh xạ thuộc . Nh vậy, phép toán: (f, g) g 0 f xác định một phép nhân kết hợp trong . Các luỹ đẳng của hệ thống nhân sẽ đợc gọi là các ánh xạ lũy đẳng của X. Nói khác đi, ánh xạ e: X X đợc gọi là ánh xạ lũy đẳng nếu e 0 e = e. 1.2.1.1. Mệnh đề. Nếu r: X A là phép co rút và h: A X là ánh xạ nhúng thì ánh xạ hợp thành e = h 0 r: X X là lũy đẳng. Chứng minh. Do r: X A là phép co rút nên r(a) = a với mọi a A. Do đó ánh xạ hợp thành r 0 h: A A là ánh xạ đồng nhất id trên A. Ta có e 0 e = (h 0 r) 0 (h 0 r) = h 0 (r 0 h) 0 r = h 0 e 0 r = h 0 e 0 r = h 0 r = e điều này chứng tỏ e là ánh xạ lũy đẳng. Nh vậy mỗi co rút của X là một ánh xạ lũy đẳng nếu nó đợc xét nh là ánh xạ từ X lên chính nó. Giả sử cho một ánh xạ lũy đẳng e: X X, đặt A = e(x). Xét ánh xạ r: X A, xác định bởi r(x) = e(x). Khi đó ta có mệnh đề. 1.2.1.2. Mệnh đề. ánh xạ r là một phép co rút của X lên A. Chứng minh. Do e là lũy đẳng, nên e 0 e = e. Giả sử a là điểm tùy ý trong A. Vì A = e(X) nên có một điểm x X sao cho e(x) = a. Vậy r là phép co rút. 1.2.1.3. Hệ quả. Mỗi ánh xạ lũy đẳng của X là một phép co rút của X lên ảnh của nó trong X, và ảnh của X qua ánh xạ lũy đẳng đó là một cái co rút của X. 1.2.2. Tính đóng. 5 1.2.2.1. Định lý. Mỗi cái co rút của một không gian Hausdorff X là đóng trong X. Chứng minh. Giả sử A là cái co rút tùy ý của không gian Hausdorff X. Ta chứng minh X \ A = B là mở trong X. Giả sử r: X A là phép co rút, b là điểm tùy ý trong B. Khi đó r(b) = a A. Do a A, b B nên a b. Vì X là không gian Hausdorff nên tồn tại hai tập mở U và V của X sao cho a U, b V và U V = . Theo tính liên tục của co rút r, nghịch ảnh r -1 (U V) là một tập mở chứa điểm b. Ta suy ra rằng W = r -1 (U) V là một tập mở chứa b. Ta phải chứng minh rằng W là tập con của B. Giả sử x W khi đó x V và x r -1 (U). Điều này kéo theo r(x) U. Vì U V = nên r(x) x. Vậy x B, chứng tỏ rằng W là tập con của B. Ta có điều phải chứng minh. Một tính chất P của không gian đợc gọi là di truyền nếu mỗi không gian con của một không gian có tính chất P cũng có tính chất P. Tính chất P đợc gọi là di truyền yếu nếu mỗi một không gian con đóng của một không gian có tính chất P cũng có tính chất P. Ta biết rằng các T i Không gian, với i = 1, 2, 3, 3 2 1 , có tính chất di truyền và không gian T 4 có tính chất di truyền yếu, nên từ định lý 1.2.2.1 ta có hệ quả sau. 1.2.2.2. Hệ quả. Giả sử X là T i không gian, i = 1, 2, 3, 4, thì mỗi co rút của nó đều là T i không gian, i = 1, 2, 3, 4, 1.2.3. Tính chất điểm bất động. 1.2.3.1. Định nghĩa. Một không gian X đợc gọi là có tính chất điểm bất động nếu mỗi ánh xạ f: X X có điểm bất động, nghĩa là có một điểm p X sao cho f (p) = p. 6 Theo định lý điểm bất động Brouwer, hình cầu n - chiều E n trong không gian Euclide R n có tính chất điểm bất động, biên S n-1 của hình cầu E n không có tính chất điểm bất động. Thật vậy, do các mặt cầu (n-1) - chiều trong không gian R n là đồng phôi với nhau, nên không mất tính tổng quát, giả sử S n-1 có tâm là gốc tọa độ O. Ta có: f: S n-1 S n-1 (x 1 , ., x n ) = x f(x) = (-x 1 , -x 2 , ., - x n ) Rõ ràng x > 0, và với ánh xạ f ở trên thì không tồn tại x nào để f(x) = x. 1.2.3.2. Định lý. Phép co rút bảo toàn tính chất điểm bất động. Chứng minh. Giả sử X là một không gian có tính chất điểm bất động và r: X A là phép co rút tùy ý của X lên A. Ta sẽ chứng tỏ rằng A có tính chất điểm bất động. Để chứng tỏ điều này ta giả sử g = h 0 f 0 r: X X với h: A X là ánh xạ nhúng. Do X có tính điểm bất động nên tồn tại x X để g(x) = x. Vì g(x) = h 0 f 0 r(x) = f [r(x)] A, điều này kéo theo rằng điểm bất động của g phải thuộc A. Do đó r(x) = x và x = g(x) = f [r(x)] = g(x). Điều này chứng tỏ rằng x là điểm bất động của f 0 vì f là ánh xạ tùy ý, nên A có tính điểm bất động. Từ ví dụ và định lý này ta suy ra đợc rằng biên (n 1) chiều là mặt cầu S n-1 của hình cầu E n không là co rút của E n . 1.2.4. Tính liên thông địa phơng. 1.2.4.1.Định nghĩa. Một không gian X đợc gọi là không gian liên thông địa phơng tại p X nếu và chỉ nếu mỗi một lân cận của p chứa một lân cận liên thông của p. Không gian X đợc gọi là liên thông địa phơng nếu nó liên thông địa phơng tại mỗi điểm của nó. 1.2.4.2.Mệnh đề. Mỗi một co rút của không gian liên thông địa phơng là liên thông địa phơng. 7 Chứng minh. X là không gian liên thông địa phơng, A là co rút của X với phép co rút r: X A. Ta chứng minh A liên thông địa phơng. Giả sử p là một điểm tùy ý của A, N là một lân cận tùy ý cho trớc của p trong A. Do r liên tục, U = r -1 (N) là lân cận của p trong không gian X. Vì X là liên thông địa phơng tại p nên U chứa lân cận liên thông V của p trong không gian X. Đặt M = r(V). Vì M chứa lân cận V A của p trong A và M là ảnh liên tục của tập liên thông V, nên M là một lân cận liên thông của p trong không gian A. Ta có M = r(V) r(U) = N nên A là liên thông địa phơng tại p. Vì p là điểm tùy ý của A nên liên thông địa phơng. Bây giờ ta định nghĩa liên thông địa phơng theo chiều n, với n 0 là số nguyên cho trớc (theo nghĩa đồng luân): Xét biên n - chiều là mặt cầu S n của hình cầu đơn vị E n+1 (n+1) - chiều trong không gian Euclide (n+1) - chiều R n+1 . Một không gian X đợc gọi là liên thông địa phơng theo chiều n tại điểm p X, nếu với mỗi lân cận U của p đều chứa một lân cận V của p sao cho mỗi ánh xạ f: S n V đều có một thác triển f: E n+1 U. Không gian X liên thông địa phơng theo chiều n với mỗi n 0 tại mỗi điểm của nó đợc gọi là liên thông địa phơng theo chiều n. 1.2.4.3. Mệnh đề. Mỗi co rút A của không gian liên thông địa phơng theo chiều n cũng là không gian liên thông địa phơng theo chiều n. Chứng minh. Giả sử r: X A là phép co rút. Xét điểm p tùy ý của A và một lân cận N cho trớc của p trong A. Do r là liên tục và r(p) = p trong A, nên nghịch ảnh U = r -1 (N) là một lân cận của p trong không gian X vì X là liên thông địa phơng theo chiều n, nên U chứa một lân cận V của p trong không gian X sao cho với mỗi ánh xạ của S n vào V có một thác triển lên E n+1 vào U. Khi đó M = V A là một lân cận của p trong không gian A và đợc chứa trong N. 8 Giả sử g: S n M là một ánh xạ cho trớc tùy ý. Vì M là tập con của V nên f có một thác triển f # : E n+1 U. Ta xác định ánh xạ f * : E n+1 N bằng cách lấy f * (x) = r [f # (x)] với mỗi điểm x E n+1 . Khi đó f * là một thác triển của f. Điều này chứng tỏ rằng A là liên thông địa phơng theo chiều n tại mỗi điểm p A Đ2. Các loại co rút khác 2.1. Tính co rút đợc địa phơng và toàn cục. 2.1.1. Định nghĩa. Một không gian X đợc gọi là co rút đợc, nếu có một ánh xạ đồng luân h: I ì X X với I = [0;1] sao cho h(1,x) là ánh xạ hằng và h(0, x) là ánh xạ đồng nhất. Nói cách khác, không gian X là co rút đợc nếu ánh xạ đồng nhất của X đồng luân với ánh xạ hằng. Ta thờng ký hiệu ánh xạ đồng luân h: I ì X X là h t : X X với 0 t 1. 2.1.2. Mệnh đề. Mỗi một co rút của không gian co rút đợc gọi là co rút đợc. Chứng minh. Giả sử X là một không gian co rút đợc và A là cái co rút đợc của X, với phép co rút r: X A. Ta chứng minh A là co rút đợc. Do X là co rút đợc nên tồn tại ánh xạ đồng luân h t : X X (0 t 1), sao cho h 0 là ánh xạ đồng nhất, h 1 là ánh xạ hằng. Ta xác định một đồng luân k t : A A ( 0 t 1) nh sau: k t = r 0 h 0 i với i: A X là ánh xạ nhúng. Rõ ràng k 0 là ánh xạ đồng nhất, k t là ánh xạ hằng. Vậy A là co rút đợc. Từ định lý trên ta suy ra rằng mặt cầu (n - 1) chiều S n-1 của hình cầu n - chiều E n không là co rút của E n . 2.2. Co rút đợc địa phơng. Một không gian X đợc gọi là co rút đợc địa phơng tại p X nếu với mỗi lân cận U của p, tồn tại một lân cận V U của p và đồng luân h t : V U (0 t 1) sao 9 cho h 0 là ánh xạ nhúng h 1 là ánh xạ hằng. Nói khác đi, một không gian X là co rút đợc địa phơng tại p X nếu mỗi lân cận U của p chứa một lân cận V của p mà nó co rút đợc trong U. Một không gian X đợc gọi là co rút đợc địa phơng nếu nó là co rút đợc địa phơng tại mỗi điểm của nó. 2.2.1. Mệnh đề. Mỗi một co rút của không gian co rút đợc địa phơng là co rút đợc địa phơng. Chứng minh. Giả sử X là không gian co rút đợc địa phơng, A là co rút đợc của X, với phép co rút r: X A. Ta sẽ chứng minh rằng A là co rút đợc địa phơng. Giả sử p là điểm tùy ý thuộc A và N là lân cận tùy ý của p trong A. Do r liên tục và r(p) = p nên nghịch ảnh r -1 (N) = U là lân cận của p trong X. Do X là co rút đợc địa phơng tại p, nên tồn tại một lân cận V của p là tập con của U trong không gian X và một đồng luân h t : V U ( 0 t 1) sao cho h 0 và h 1 lần lợt là ánh xạ đồng nhất và ánh xạ hằng. Ta có M = V A là một lân cận của p trong A. Vì M = r(M) r(N) r(U) =N nên M N. Xác định một đồng luân k t : M N ( 0 t 1) bằng cách lấy k t (x) = r [h t (x)] với mỗi x M và mỗi t. Rõ ràng rằng k 0 là ánh xạ nhúng, k 1 là ánh xạ hằng. Vì p là điểm tùy ý của A nên A là co rút đợc địa phơng. 2.3. Co rút biến dạng. Một co rút A của không gian X đợc gọi là co rút biến dạng của X nếu tồn tại một phép co rút r: X A sao cho ánh xạ hợp thành h 0 r: X X của r và ánh xạ nhúng h: A X là đồng luân với ánh xạ đồng nhất trên X. Nói cách khác, một không gian con A của không gian con X là một co rút biến dạng của X nếu và chỉ nếu tồn tại một đồng luân f t : X X (0 t 1) sao cho f 0 là ánh xạ đồng nhất, f 1 là ánh xạ lũy đẳng mà f 1 (X) = A. Nếu đồng luân f t thỏa mãn điều kiện f t (a) = a với mọi a A và với mọi t [0, 1] thì A đợc gọi là co rút biến dạng mạnh của X. 10