Một số vấn đề về không gian các ánh xạ liên tục

1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ---------------- Nguyễn Thị Thiều Hoa Một số vấn đề về không gian các ánh xạ liên tục Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 60.46.01 Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học Vinh 2006 2 mục lục Trang mục lục 1 Lời mở đầu 2 Đ 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản. 4 Đ 2. Các tính chất đơn giản của không gian C(X, Y). 11 Đ 3. Tính paracompact của không gian C(X, Y). 14 Đ 4. Không gian C(X, Y) với các phủ đếm đợc theo điểm . 30 KếT LUậN 49 TàI LIệU THAM KHảO 50 lời nói đầu Các vấn đề cơ bản về các phủ đếm đuợc theo điểm trong không gian mêtric tổng quát đã đợc các nhà Toán học nh Burke, Gruenhage, Michael, 3 Tanaka . quan tâm từ những năm 1970. Trong những năm gần đây, các vấn đề nói trên đuợc nghiên cứu sâu hơn trong các không gian tôpô đặc biệt (T 1 và chính qui) bởi các nhà Toán học nh Pengfei Yan, Tanaka, Shou Lin . Dựa vào sự tồn tại và tính chất của các phủ để phân loại các không gian tôpô và nghiên cứu các tính chất của chúng là một trong những lĩnh vực đợc nhiều ngời quan tâm. Các kết quả về không gian các ánh xạ liên tục có nhiều trong các công trình của Arenxơ, Buocbaki, Tiuki, P. O'meara . Trong [7] P.O'meara đã dựa vào tính chất của các phủ để đa ra một điều kiện đủ để không gian C(X, Y) các ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y là không gian paracompact. Mục đích của luận văn là nghiên cứu các tính chất của không gian C(X, Y) liên quan đến các phủ đếm đợc theo điểm và tính paracompact của không gian C(X, Y). Với mục đích trên luận văn đợc trình bày theo các mục nh sau Đ 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản. Đ 2. Các tính chất đơn giản của không gian C (X, Y). Đ 3. Tính paracompact của không gian C(X, Y). Đ 4. Không gian C(X, Y) với các phủ đếm đợc theo điểm. Trong Đ 1, chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm và các kết quả cơ bản làm cơ sở cho các mục tiếp theo. Trong Đ 2, đầu tiên chúng tôi giới thiệu về không gian các ánh xạ liên tục C(X, Y) với tôpô compactmở. Tiếp theo, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản của không gian C(X, Y). Chứng minh chi tiết các Mệnh đề 2.2, 2.3, 2.4. Các Mệnh đề này đã có trong các tài liệu tham khảo tuy nhiên cha có chứng minh hoặc chứng minh còn vắn tắt. Trong Đ 3, chúng tôi chứng minh chi tiết một số kết quả về tính paracompact của không gian C(X, Y) đã đợc đa ra trong tài liệu tham khảo [7] . 4 Trong Đ 4, đầu tiên chúng tôi đa ra các điều kiện để tồn tại knlới, knlới đếm đợc theo điểm và knlới hữu hạn địa phơng nh Định lý 4.1, Hệ qủa 4.3, Định lý 4.5 và định lý 4.6. Sau đó, chúng tôi đa ra điều kiện để C(X, Y) là không gian nh Hệ quả 4.7, Định lý 4.8. Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày về phủ đếm đợc theo điểm xác định C(X, Y) nh Định lý 4.5, tính mêtríc hóa đợc của không gian C(X, Y) nh Hệ quả 4.7. Các kết quả chính của mục này đã đợc đăng trên Tạp chí Khoa học của trờng Đại học Quốc gia Hà Nội, số 4 năm 2004, trang 11-18 (xem [ ] 3 ). Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo, PGS.TS Đinh Huy Hoàng. Tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy, xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa sau đại học Trờng Đại học Vinh cùng tất cả các bạn bè đã động viên giúp đỡ tác giả trong thời gian qua. Tuy nhiên do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong đợc quý thầy cô và bạn bè đóng góp ý kiến. Vinh, tháng 11 năm 2006 Tác giả Đ1. Các khái niệm và tính chất cơ bản 5 Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn. 1.1. Định nghĩa. Giả sử B là một họ các tập mở của không gian tôpô X . B đợc gọi là cơ sở tôpô của X nếu với mỗi x X và mọi lân cận U của x đều tồn tại V B sao cho x V U. 1.2. Định nghĩa. Họ v các tập con của không gian tôpô (X, ) đợc gọi là tiền cơ sở của tôpô nếu X = { V : V v } và họ tất cả các giao hữu hạn các phần tử của v lập thành cơ sở của tôpô . 1.3. Định nghĩa. Giả sử A là tập con của không gian tôpô X . Tập con U trong X đợc gọi là lân cận của A trong X nếu tồn tại V mở trong X sao cho A V U. Trờng hợp A = {x} thì lân cận U của A đợc gọi là lân cận của điểm x X . 1.4. Định nghĩa. Giả sử x là một điểm của không gian tôpô X . Họ B(x) những lân cận của x gọi là một cơ sở tại điểm x nếu với mỗi lân cận V của x, tồn tại một tập hợp U (x) sao cho U V. 1.5. Định nghĩa. Giả sử A và P là các tập con của không gian tôpô X và A P. A đợc gọi là mở (đóng) trong P nếu tồn tại W mở (đóng) trong X sao cho A = P W. 1.6. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là T 1 không gian nếu với mỗi cặp điểm phân biệt x, y X tồn tại lân cận U của x sao cho y U. 6 1.7. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là T 2 không gian nếu với mỗi cặp điểm phân biệt x, y X đều tồn tại một lân cận U của x và một lân cận V của y sao cho U V = . 1.8. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là chính qui nếu với mỗi điểm x X và tập đóng F trong X không chứa x đều tồn tại hai tập mở U và V sao cho x U, F V và U V = . 1.9. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là thoả mãn tiên đề đếm đ- ợc thứ nhất nếu X có cơ sở lân cận đếm đợc tại mỗi điểm x X . 1.10. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là thoả mãn tiên đề đếm đ- ợc thứ hai nếu X có một cơ sở đếm đợc. 1.11. Định nghĩa. Không gian mêtric X đợc gọi là khả li nếu tồn tại một tập con đếm đợc và trù mật trong X. 1.12. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là mêtric hoá đợc nếu tồn tại một mêtric trên X sao cho tôpô sinh bởi mêtric này trùng với tôpô ban đầu của không gian X. 1.13. Định nghĩa. Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là một phủ của A X nếu A {P: P P }. Ta viết P thay cho {P: P P }. Nếu P = {P: P mở trong X} thì P đợc gọi là phủ mở của X . Nếu P = {P: P compact trong X } thì P đợc gọi là phủ compact của X. 1.14. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là compact nếu mỗi phủ mở của X đều có một phủ con hữu hạn. 7 Tập hợp A của không gian tôpô X đợc gọi là compact nếu không gian con A của X là một không gian compact, tức là A là không gian compact với tôpô cảm sinh. 1.15. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là compact địa phơng nếu với mỗi x X đều tồn tại một lân cận U của x sao cho U là một tập compact của X . 1.16. Định nghĩa. Giả sử P là một phủ của không gian tôpô X . Ta nói X đợc xác định bởi phủ P hoặc P xác định X nếu U là mở (đóng) trong X khi và chỉ khi U P là mở (đóng) trong P với mọi P P. 1.17. Định nghĩa. Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là phủ đếm đợc theo điểm nếu với mỗi điểm của X thuộc không quá đếm đợc các P P. 1.18. Định nghĩa. Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là saođếm đợc nếu với mỗi P P giao khác rỗng với không quá đếm đợc các phần tử thuộc P. 1.19. Định nghĩa. Phủ P của không gian tôpô X đợc gọi là bất khả qui nếu mọi họ con của P đều không phủ đợc X . 1.20. Định nghĩa. Giả sử P là một phủ của không gian tôpô X . Ký hiệu P < là họ tất cả các tập con hữu hạn của P. Khi đó i) P đợc gọi là lới của không gian tôpô X nếu với mỗi x X và mọi tập mở U trong X chứa x, luôn tồn tại F P < sao cho 8 x F U. ii) P đợc gọi là klới của không gian tôpô X nếu mỗi tập K U với U mở và K compact trong X, luôn tồn tại F P < sao cho K F U. iii) P đợc gọi là knlới của không gian tôpô X nếu mỗi tập K U với U mở và K compact trong X, luôn tồn tại F P < sao cho K ( F) 0 F U. iv) P đợc gọi là giả cơ sở của không gian tôpô X nếu mỗi tập K U với U mở và K compact trong X , luôn tồn tại P P sao cho K P U. v) P đợc gọi là cslới nếu với bất kỳ {x n } là dãy trong X hội tụ tới x X và U là một lân cận của x thì tồn tại n N và P P sao cho {x} {x m : m n} P U. 1.21. Định nghĩa. Giả sử S là một họ các tập con của không gian tôpô X. S đợc gọi là tiền lới của X nếu họ tất cả các giao hữu hạn các phần tử của S là một lới của X . 1.22. Định nghĩa. i) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là hữu hạn địa phơng nếu với mỗi điểm x X tồn tại một lân cận U của x chỉ cắt hữu hạn các phần tử của P. 9 ii) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là hữu hạn địa phơng nếu P = = 1n P n , trong đó mỗi P n là hữu hạn địa phơng. 1.23. Định nghĩa. i) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là rời rạc nếu với mỗi điểm x X tồn tại một lân cận U của x sao cho U có giao với nhiều nhất một phần tử của P. ii) Họ P các tập con của không gian tôpô X đợc gọi là rời rạc nếu P = = 1n P n , trong đó mỗi P n là rời rạc. 1.24. Định nghĩa. Phủ B của không gian tôpô X đợc gọi là cái mịn hay cái làm mịn của phủ U nếu mỗi phần tử của phủ B đợc chứa trong phần tử nào đó của phủ U. 1.25. Định nghĩa. Không gian chính qui X đợc gọi là paracompact nếu mỗi phủ mở của X đều có cái mịn hữu hạn địa phơng mở. 1.26. Định nghĩa. T 1 không gian, chính qui X đợc gọi là không gian nếu X có một klới hữu hạn địa phơng. 1.27. Định nghĩa. T 1 không gian, chính qui X đợc gọi là 0 không gian nếu X có một klới đếm đợc. 1.28. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian nếu X có một lới hữu hạn địa phơng. 10 1.29. Định nghĩa. Giả sử S là tiền cơ sở của không gian tôpô X và P là họ hữu hạn địa phơng của X . P đợc gọi là S - k - lới của không gian tôpô X nếu K U với U S và K compact trong X, luôn tồn tại F P < sao cho K F U. 1.30. Định nghĩa. Họ {A : } các tập con của không gian tôpô X đ- ợc gọi là có tính chất HCP nếu { } { } ':B':B = với bất kỳ ' và B A với mỗi '. 1.31. Định nghĩa. Không gian tôpô X đợc gọi là 1 compact nếu mọi tập con đóng, rời rạc của X đều không quá đếm đợc. 1.32. Định nghĩa. Dãy phần tử {x n } của không gian tôpô X đợc gọi là hội tụ đến phần tử x 0 của X nếu với một lân cận bất kỳ U của x 0 , luôn tồn tại một số tự nhiên n 0 sao cho với mọi n, nếu n n 0 thì x n U. Khi đó ta viết n lim x n = x 0 hoặc x n x 0 . 1.33. Định nghĩa. ánh xạ f: X Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y đợc gọi là liên tục nếu nghịch ảnh của tập con mở bất kỳ trong Y là mở trong X. 1.34. Định nghĩa. ánh xạ f: X Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y đợc gọi là ánh xạ phủ compact nếu với mỗi tập compact C trong Y đều tồn tại một tập compact K trong X sao cho f(K) = C. 1.35. Định nghĩa. Song ánh f: X Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y đợc gọi là phép đồng phôi nếu f và f -1 : Y X đều là những ánh xạ liên tục.