Một số vấn đề về không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số là hằng số

1 Mục lục Lời nói đầu Chơng 1. kiến thức chuẩn bị 1.1. Dãy số 1.2. Không gian vectơ 1.3. Không gian Mêtric 1.4. Không gian Banach 1.5. Không gian Hilbert Chơng 2. Không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số là hằng số 2.1. Công thức tổng quát của các phần tử trong không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp một D(a) 2.2. Công thức tổng quát của các phần tử trong không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai D(a, b) 2.3. Công thức tổng quát của các phần tử trong không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp ba D(a, b, c) 2.4. Một số bài tập áp dụng 2.5. Các bài tập tham khảo Chơng 3. Tôpô trên không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai D(a,b) 3.1. Mêtric trên không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai D(a, b) 3.2. Chuẩn trên không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai D(a, b) 3.3. Tích vô hớng trên không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai D(a, b) Kết luận Tài liệu tham khảo 2 Lời Lời Lời Lời nói nói nói nói đầu đầuđầu đầu Giải tích Toán học là một trong những môn học cơ bản của chơng trình Toán, đóng vai trò quan trọng trong việc học tập ngành Toán. Lý thuyết giới hạn là một trong những vấn đề cơ bản của Giải tích Toán học có thể nói về tầm quan trọng của lý thuyết giới hạn đối với Giải tích một cách ngắn gọn Không có giới hạn thì Giải Tích không tồn tại. Mỗi khái niệm của Giải Tích đều là giới hạn theo một nghĩa nào đó. Do đó lý thuyết giới hạn đóng vai trò nền móng của môn học này. Trong lý thuyết giới hạn vấn đề quan trọng cần thiết đợc quan tâm đến là lý thuyết giới hạn dãy số, vấn dề này xuyên suốt toàn bộ học phần Giải Tích Toán học nên đối với sinh viên học toán cần thiết phải quan tâm đến vấn đề này. Lý thuyết giới hạn dãy số không chỉ đợc đề cập trong chơng trình học ở bậc cao đẳng, đại học mà còn đợc đề cập trong chơng trình Toán trung học phổ thông. Đặc biệt là trong các kỳ thi học sinh giỏi ở phổ thông, các kỳ thi Olympic giữa các trờng đại học và cao đẳng cả nớc- mảng sinh hoạt sôi động hiện nay. Ngay từ lớp 11 trong chơng trình Toán học của bậc trung học phổ thông học sinh đã đợc tìm hiểu khá sớm những khái niệm cơ bản của dãy số: Định nghĩa, tính đơn điệu, bị chặn, giới hạn các em cũng đã đợc học về hai loại dãy số đơn giản dãy số cộng và dãy số nhân. Trong chơng trình giải tích của bậc Đại học sinh viên tiếp tục nghiên cứu một cách kĩ lỡng hơn những khái niệm đó của dãy số. Mặc dù vậy cũng không đi sâu nghiên cứu những loại dãy cụ thể mà chỉ xét những khái niệm chung của dãy tổng quát. Với nhiều bài toán liên quan đến dãy số việc tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số nhìn chung là rất cần thiết. Việc này cho phép chúng ta dễ dàng hơn trong việc xem xét các tính chất khác của chúng. Tuy nhiên đối với một dãy bất kì việc tìm công thức tổng quát của dãy số rồi từ đó xem xét các tính chất khác của nó nh: tính bị chặn, hội tụ không đơn giản. 3 Chính vì thế trong đề tài này tôi trình bày về một cách thiết lập công thức số hạng tổng quát của không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số không đổi cấp một, cấp hai, cấp ba. Trên không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai chúng tôi trang bị cho các không gian này một Mêtric, một chuẩn, một tích vô hớng và tìm hiểu tính đầy đủ của nó. Ngoài phần mở đầu, phần mục lục, tài liệu tham khảo và phần kết luận khoá luận gồm ba chơng: Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị. Chơng 2. Không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số là hằng số. Chơng 3. Tôpô trên không gian dãy truy hồi tuyến tính cấp hai. 4 Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1. Dãy số 1.1.1. Định nghĩa 1 Một dãy số là một ánh xạ từ N vào K (K = R hoặc K = C ). Thay cho kí hiệu ( ) : n u n u N K ta thờng kí hiệu { } n n N u hay { } 0 n n u hay { } n n u Một dãy thực (Tơng ứng: phức ) là một dãy số sao cho: , n n N u R (Tơng ứng: C). Với mỗi , n n N u đợc gọi là số hạng thứ n của dãy. Mỗi ánh xạ từ { } 0 , n N n n vào K, với 0 n K cố định cũng đợc gọi là một dãy số; Phần lớn các khái niệm đợc khảo sát chỉ đề cập đến các n u (từ một thứ tự nào đó). 1.1.2. Định nghĩa 2 1. Ta nói là dãy { } n n N u hội tụ đến l K khi và chỉ khi với 0 > , 0 n N sao cho với n N , 0 n n n u l . 2. Ta nói dãy số { } n n N u hội tụ khi và chỉ khi tồn tại l K sao cho { } n n N u hội tụ đến l, nghĩa là l K sao cho 0 > , 0 n N , n N , 0 n n n u l . 3. Ta nói dãy số { } n n N u phân kì khi và chỉ khi nó không hội tụ nghĩa là: 0 0 , 0, , , ( ) n l K n N n N n n u l > . Chú ý rằng { } n n N u hội tụ đến l khi và chỉ khi dãy ( ) n n N u l hội tụ đến 0. 1.1.3. Định nghĩa 3 1. Ta nói một số thực A là một chặn trên của một dãy thực { } n n N u khi và 5 chỉ khi: , n A n N u . Ta nói một số thực A là một chặn dới của một dãy thực { } n n N u khi và chỉ khi: , n A n N u . 2. Một dãy thực { } n n N u đợc gọi bị chặn trên (Tơng ứng bị chặn dới) khi và chỉ khi tồn tại một số thực A, sao cho A là một chặn trên (Tơng ứng một chặn dới) của { } n n N u . 3. Một dãy phức đợc gọi là bị chặn nếu và chỉ nếu tồn tại M R + sao cho: , n n N u M . 1.1.4. Định nghĩa 4 Cho dãy số { } n n N u , { } k n u là dãy con của nó thoả mãn + Tồn tại lim k n k u l = . + Đối với mọi dãy con { } k m u khác mà ' lim k m k u l = thì ' l l . Khi đó l đợc gọi là giới hạn trên của dãy { } n n N u , kí hiệu là lim n u . Tơng tự ý nghĩa cho giới hạn dới lim n u . Ta có: a. Luôn tồn tại lim n u + hơn nữa nếu { } n n N u không bị chặn trên thì lim n u = + . b. Nếu { } n n N u bị chặn trên bởi M thì lim n u M . c. lim lim lim n n n l u u l = = = . 1.1.5. Định nghĩa 5 Dãy { } n n N u là dãy Cauchy nếu 0 > , * 0 n N , , m 0 : n n > n m u u . Dãy số { } n n N u là dãy Cauchy 0 > , * 0 n N , 0 : n n > , 0. n n p u u p + 6 Dãy { } n n N u là dãy Cauchy khi và chỉ khi nó hội tụ. 1.1.6. Mệnh đề Mọi dãy hội tụ đều bị chặn. 1.2. Không gian vectơ 1.2.1. Định nghĩa 1 Tập hợp V mà các phần tử đợc kí hiệu bởi , , đợc gọi là một không gian vectơ trên một trờng số K, nếu trên V xác định phép cộng hai phần tử của V và phép nhân một phần tử của V với một số thuộc K sao cho các điều kiện sau đợc thoả mãn đối với mọi , , của V, mọi số k và l của K: 1. + = + ; 2. ( ) ( ) + + = + + ; 3. 0 V sao cho 0 a a + = ; 4. Với mỗi có một phần tử kí hiệu là thoả mãn đẳng thức ( ) 0 + = ; 5. ( ) k k k + = + ; 6. ( ) k l k l + = + ; 7. ( ) ( ) ; kl k l = 8. 1. ; = Mỗi phần tử V đợc gọi là một vectơ, 0 đợc gọi là vectơ không, đợc gọi là vectơ đối của vectơ . 1.2.2. Định nghĩa 2 Giả sử V là không gian vectơ trên trờng số K, W là tập con khác của V đợc gọi là không gian con của V nếu W cũng là không gian vectơ trên K đối với hai phép toán đã cho trên V. 1.2.3. Định nghĩa 3 7 Cho m vectơ 1 2 , , , m của không gian vectơ trên trờng K (m 1). 1. Nếu 1 1 2 2 m m k k k = + + + , , 1, i k K i m = thì ta nói là tổ hợp tuyến tính của m vectơ đã cho. 2. Hệ m vectơ 1 2 , , , m đợc gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại m số 1 2 { , , , } m k k k không đồng thời bằng không sao cho: 1 1 2 2 0 m m k k k + + + = . (1) 3. Hệ m vectơ 1 2 , , , m đợc gọi là độc lập tuyến tính nếu từ đẳng thức (1) suy ra bắt buộc phải có 1 2 0 m k k k = = = = . 1.2.4. Định nghĩa 4 1. Một không gian vectơ trên trờng K đợc gọi là không gian sinh bởi hệ vectơ { } 1 2 ( ) , , , m = . Nếu mỗi V đều là một tổ hợp tuyến tính của hệ vectơ ( ) , khi đó hệ vectơ này đợc gọi là hệ sinh của không gian vectơ V. 2. Một hệ sinh độc lập tuyến tính của không gian vectơ đợc gọi là một cơ sở của không gian vectơ V. 3. Số các vectơ của một cơ sở của không gian vectơ V đợc gọi là số chiều của không gian vectơ V, kí hiệu: dimV. Ta chỉ xét các vectơ trên trờng K sinh bởi một hệ hữu hạn vectơ 4. Hệ quả : trong không gian vectơ n chiều ( 1 n ) mọi hệ gồm n vectơ độc lập tuyến tính đều là cơ sở. 1.2.5. Định lý Giả sử V là không gian vectơ trên trờng số K, W là một tập con khác của V các mệnh đề sau tơng đơng i) W là không gian con của V; ii) Với , W, k K, ta có: + W; k W; 1.3. Không gian Mêtric 1.3.1. Định nghĩa 1 8 Giả sử X là một tập tuỳ ý khác cho trớc. Ta gọi hàm số : X ì X R là một Mêtric (hay là khoảng cách ) trên X nếu hàm số này thoả mãn 3 tiên đề sau đây: i) ( , ) 0 x y , với , x y X ; ( , ) 0 x y = khi và chỉ khi x y = . ii) ( ) ( ) , , x y y x = , với , x y X . iii) ( , ) ( , ) ( , ) x z x y y z + , với , , x y z X . Khi đó tập X cùng với Mêtric đã cho đợc gọi là không gian Mêtric kí hiệu là (X, ). 1.3.2. Định nghĩa 2 1. Dãy { } n n N x trong không gian Mêtric X đợc gọi là dy cơ bản hay dãy Cauchy nếu , lim ( , ) 0 m n m n x x = , nói cách khác { } n n N x là dãy cơ bản khi và chỉ khi 0 > , 0 0 , : , ( ) m n n m n n x x < . * Tính chất: Trong không gian Mêtric mọi dãy hội tụ là giới nội. 2. Không gian Mêtric X đợc gọi là không gian Mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của X đều hội tụ trong X. 1.4. Không gian Banach 1.4.1. Định nghĩa 1 Giả sử K là trờng số thực R hoặc trờng số phức C. Tập hợp X khác rỗng cùng với hai ánh xạ ( gọi là phép cộng và phép nhân vô hớng): Phép cộng xác định trên X ì X và lấy giá trị trong X, (x, y) x + y với mọi , x y X . Phép nhân vô hớng xác định trên K ì X và lấy giá trị trong X, ( , ) . x x với mọi K, mọi x X. Đợc gọi là không gian tuyến tính (hoặc không gian vectơ) nếu các điều kiện sau đây đợc thoả mãn: 1. X cùng với phép cộng là một nhóm Abel, tức là : a) x + y = y + x với mọi x, y X. b) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y X. 9 c) Tồn tại một phần tử 0 của X sao cho x + 0 = x với mọi x X. d) Với mỗi phần tử x của X, tồn tại một phần tử - x của X sao cho x + (-x) = 0. 2. (x + y) = x+ y với mọi K, mọi x, y X. 3. ( + à ) x = x + à x với mọi , à K, mọi x X. 4. ( à )x = ( à x) với mọi , à K, mọi x X. 5. 1.x = x với mọi x X. Nếu K = R thì X đợc gọi là không gian tuyến tính thực, nếu K = C thì X đợc gọi là không gian tuyến tính phức. 1.4.2. Định nghĩa 2 Giả sử X là không gian tuyến tính thực hoặc phức, một hàm thực kí hiệu . : , X R x x đợc gọi là một chuẩn trên X nếu nó thoả mãn các điều kiện sau: i) 0, ; 0 0 x x X x x = = . ii) , , . x x K x X = iii) , , x y x y x y X + + . Số x đợc gọi là chuẩn của phần tử x. Không gian tuyến tính X cùng với một chuẩn trên X đợc gọi là không gian tuyến tính định chuẩn kí hiệu là (X, . ). 1.4.3. Định nghĩa 3 Giả sử (X, . ) là một không gian tuyến tính định chuẩn. Dễ dàng thấy rằng hàm số thực xác định trên X ì X bởi công thức ( , ) x y x y = là một Mêtric. Nh vậy không gian tuyến tính định chuẩn là một không gian Mêtric, và đợc gọi là không gian Mêtric sinh bởi chuẩn. 1.4.4. Định nghĩa 4 Giả sử (X, . ) là một không gian tuyến tính định chuẩn 10 + Dãy { } n n N x X đợc gọi là hội tụ về x X , nếu 0 , n N sao cho: 0 n n thì n x x < , kí hiệu n x x khi n hay lim n n x x = . + Dãy { } n n N x X đợc gọi là dy cơ bản hay dãy Cauchy nếu 0 , n N sao cho 0 , m n n > ta có n m x x < hay lim 0 n m n m x x = . 1.4.5. Định nghĩa 5 Không gian tuyến tính định chuẩn (X, . ) đầy đủ với Mêtric sinh bởi chuẩn gọi là một không gian Banach. 1.5. Không gian Hilbert 1.5.1. Định nghĩa 1 Giả sử X là một không gian tuyến tính trên trờng K và .,. : X X K < > ì , ( , ) , x y x y < > là một hàm số (phức hoặc thực tuỳ theo X là không gian phức hoặc thực), đợc gọi là tích vô hớng trên X nếu nó thoả mãn các điều kiện: ) , , , , ) , , , , , , ) , , , , , , 4 ) , 0, , 0 0 i x y x y x y X ii x y z x z y z x y z X iii x y x y x y z X K i x x x X x x x < > = < > < + > = < > + < > < > = < > < > < > = = Số , x y < > đợc gọi là tích vô hớng của hai phần tử x và y. Không gian X cùng với một tích vô hớng đợc gọi là không gian Unita kí hiệu là (X, .,. < > ) 1.5.2. Định nghĩa 2 Nếu (X, .,. < > ) là một không gian Unita thì hàm số , x x x = < > , x X đợc gọi là một chuẩn trên X, ta gọi là một chuẩn sinh bởi tích vô hớng. 1.5.3. Định nghĩa 3 Không gian Unita đợc gọi là khôg gian Hilbert nếu với mỗi chuẩn sinh bởi tích vô hớng thì ( , . ) X là không gian Banach. [...]... thiệu các định nghĩa, định lí về dãy số, không gian vectơ, không gian Mêtric, không gian Banach, không gian Hilbert, Những kiến thức vận dụng để chứng minh các phần sau 11 Chơng 2 Không gian các d y truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số là hằng số 2.1 Công thức tổng quát trong không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp một D(a) 1 Định nghĩa: Gọi K là tập hợp các số thực R hoặc tập hợp những số phức... của các phần tử trong không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp hai D(a,b) 1 Định nghĩa: Gọi K là tập hợp các số thực R, hoặc tập hợp các số phức C Với ( a, b ) K 2 , kí hiệu D(a,b) là tập hợp các dãy {un }nN trong K sao cho: un+ 2 = a un+1 + bun , n N 13 (**) đợc gọi là không gian dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số không đổi 2 Mệnh đề: D(a,b) là một K - không gian vectơ và có số. .. hoặc tập hợp những số phức C với a K , kí hiệu D(a) là tập hợp các dãy {un}n N trong K sao cho un+1 = a un , n N (*) gọi là không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất với hệ số không đổi 2 Mệnh đề: D(a) là không gian vectơ có số chiều là 1 a D(a) là K - không gian vectơ Thật vậy + D(a) ( dãy số 0 =( 0, 0, , 0 ) thuộc D(a)) (Lu ý: Không gian X là một K- không gian vectơ khi và chỉ khi ,... ) Với = r1 , = Arg (r1 ) 2.3 Công thức tổng quát của các phần tử trong không gian các dãy truy hồi tuyến tính cấp ba D(a,b,c) 1 Định nghĩa K là tập hợp các số thực R, hoặc tập hợp các số phức C, với ( a, b, c ) K 3 ; kí hiệu D(a, b, c) là tập hợp các dãy {un }nN trong K sao cho: un+3 = aun+ 2 + bun+1 + cun , n N (***) Đợc gọi là không gian các dãy truy hồi tuyến tính thuần nhất cấp ba với hệ số. .. n }nN là một cơ sở của không gian D(a) nên {xn }n N D(a), , {xn }n N = {a n}n N , n N + n = 0 suy ra x0 = a Vậy xn = x0 a n , n N hay {xn }n N = x0{a n }n N Trong phần này tôi bổ xung thêm về dãy truy hồi tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số là hằng số: Với mỗi phần tử a K , kí hiệu D ' (a) là tập hợp các dãy số {un }nN trong K sao cho un+1 = a un + b , với n N Dãy số {un... D(a) là K - không gian vectơ b D(a) có số chiều là một + Hiển nhiên dãy số thoả mãn (*) là dãy số nhân với số hạng đầu u0 và công bội là a , un = uo a n , n N + Nếu a = 0 thì un+1 = 0.un = 0, n N với số hạng đầu là u0 , khi đó D(a) sinh bởi dãy số ( 1, 0, , 0 ) + Nếu a 0 thì {a n }n N là một cơ sở của không gian vectơ một chiều D(a) 12 c Thiết lập công thức số hạng tổng quát của không gian D(a)... Vậy un = 3 2 n 1 +3 B i tập 2: Với giá trị nào của a, b thì dãy { xn }nN với x0 = a ; xn+1 = 1 + bxn hội tụ Giải Đây là dãy truy hồi tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số là hằng số Nếu b =1, { xn }n N là cấp số cộng với công sai d = 1, dãy phân kì ra + Nếu b 1, số hạng tổng quát của dãy có dạng xn = A.bn + B 1 A = a 1 b A+ B = a Với n = 1; n = 2 ta có hệ : Ab + B = ba B = 1 1... n )} ( với A, B, C R, = r , = Arg (r ), 22 1 = A, 2 = 1 ( B iC ) ) 2 2.4 Một số b i tập áp dụng B i tập 1: Tìm công thức xác định số hạng tổng quát của dãy số đợc cho bởi: u1 = 0; un = un1 + 3 , n 2 2 Giải Đây là dãy truy hồi tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số là hằng số Nên {un }nN 1 có dạng un = A 2 n 1 +B A+ B = 0 A = 3 1 3 B = 3 A + B = 2 2 Với n = 1; n = 2 ta có hệ 1... }nN đợc gọi là dãy truy hồi tuyến tính cấp một không thuần nhất với hệ số không đổi Cách tìm số hạng tổng quát: Nếu a = 1 thì un+1 = a un + b là cấp số cộng Giả sử a 1 cho K (sẽ chọn sau) và dãy {vn }n N xác định bởi: n N , vn = un + Ta có: n N , vn+1 = un+1 + = a un + b + = a (vn ) + b + = a vn + ((1 a) + b) Khi chọn = b , ta thấy {vn }n N là một dãy nhân với công bội là a, vậy: a... lim B i tập 11: (Thi Olympic toán_2001 ) cho các số dãy {an }n N Các số không âm thoả mãn p > 0, q > 0, p + q < 1 Và an+ 2 p an+1 + q an , n N Chứng minh rằng dãy hội tụ và tính giới hạn của dãy Giải Xét dãy {un }n N xác định bởi u0 = a0 , u1 = a1 , un+2 = p un+1 + q un với n N Khi đó {un }n N là dãy truy hồi tuyến tính cấp hai với hệ số là hằng số Phơng trình đặc trng r 2 pr q = 0 có hai