Một số vấn đề về không gian sn mêtric hoá dược

Mục lục Trang Lời nói đầu Chương Các không gian với sn - lưới 1.1 Kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Nhận xét 1.1.3 Định nghĩa 1.1.4 Định nghĩa 1.1.5 Định nghĩa 1.1.6 Định nghĩa 1.1.7 Định nghĩa 1.1.8 Định nghĩa 1.1.9 Định nghĩa 1.2 sn - lưới mối quan hệ với loại lưới khác 1.2.1 Mệnh đề 1.2.2 Mệnh đề 10 1.2.3 Mệnh đề 10 1.2.4 Mệnh đề 11 1.3 Đặc trưng không gian với sn -lưới đếm theo điểm 11 1.3.1 Bổ đề 11 1.3.2 Định lý 11 1.3.3 Định lý 13 1.3.4 Bổ đề 14 1.3.5 Định lý 15 1.3.6 Bổ đề 18 1.3.7 Định lý 18 1.3.8 Hệ 20 Chương Không gian sn - mêtric hoá 21 2.1 Các khái niệm tính chất 21 2.1.1 Định nghĩa 21 2.1.2 Định nghĩa 21 2.1.3 Định nghĩa 21 2.1.4 Định nghĩa 21 2.1.5 Mệnh đề 22 2.2 Các đặc trưng không gian sn - mêtric hoá 23 2.2.1 Bổ đề 23 2.2.2 Định lý 23 2.2.3 Định lý 24 2.2.4 Hệ 24 2.2.5 Bổ đề 24 2.2.6 Bổ đề 24 2.2.7 Bổ đề 24 2.2.8 Định lý 25 2.2.9 Bổ đề 27 2.2.10 Bổ đề 27 2.2.11 Định lý 27 2.3 Các định lý ánh xạ không gian sn - mêtric hoá 29 2.3.1 Bổ đề 29 2.3.2 Hệ 30 2.3.3 Bổ đề 30 2.3.4 Định lý 30 2.3.5 Bổ đề 33 2.3.6 Định lý 33 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 lời nói đầu Lý thuyết phủ, đặc biệt phủ đếm theo điểm nhiều chuyên gia tôpô giới quan tâm sn - lưới giới thiệu nghiên cứu S.Lin[8], rộng cs - lưới hẹp sở yếu Dựa vào tính chất sn - lưới người ta đưa khái niệm không gian snf - đếm được, sn - mêtric hóa nghiên cứu đặc trưng không gian Hướng nghiên cứu thu hút quan tâm nhiều tác giả, người đạt kết đáng kể lĩnh vực phải kể đến S.Lin, Y.Ge, Y.Tanaka, Zh.Luo, Mục đích tiếp cận hướng nghiên cứu để tìm hiểu tính chất, mối quan hệ sn - lưới với loại lưới khác, tính chất không gian với sn - lưới không gian sn - mêtric hóa Với mục đích trên, luận văn viết thành hai chương Chương Các không gian với sn - lưới Phần đầu chương dành cho việc trình bày số khái niệm kết loại lưới, loại không gian tôpô, loại ánh xạ đặc biệt cs - lưới, cs* - lưới, ánh xạ compăc, σ - ánh xạ, mà chương cần dùng luận văn Phần thứ hai, trình bày tính chất sn - lưới với loại lưới khác Phần thứ ba, trình bày đặc trưng không gian với sn - lưới đếm theo điểm Chương Không gian sn - mêtric hóa Phần thứ nhất, dành cho việc bổ sung thêm số khái niệm kết cần dùng sau Phần thứ hai, trình bày số điều kiện để không gian tôpô sn - mêtric hóa thông qua tính chất sn - lưới Phần thứ ba, trình bày số đặc trưng không gian sn - mêtric hóa ảnh không gian mêtric qua ánh xạ đặc biệt Các kết luận văn chủ yếu có tài liệu tham khảo, hệ thống trình bày theo bố cục mới, chứng minh chi tiết nhiều kết mà tài liệu không chứng minh chứng minh vắn tắt như: Mệnh đề 1.2.2, Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.2.4 Bên cạnh đưa số kết Định lý 1.3.5, Định lý 1.3.7, Hệ 1.3.8 Định lý 2.2.11 Luận văn hoàn thành khoa Đào tạo Sau đại học, Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng Nhân dịp xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy cảm ơn thầy giáo tổ giải tích giảng dạy, bảo cho suốt thời gian học tập nghiên cứu Cũng cho gửi lời cảm ơn thầy giáo khoa Toán, khoa Sau đại học, bạn bè gia đình tạo điều kiện thuận lợi cho hoàn thành luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô giáo bạn bè để luận văn ngày hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2008 Tác giả chương không gian với sn -lưới Trong mục đưa tính chất bản, mối quan hệ số loại lưới, đặc biệt sn - lưới, cs - lưới, k - lưới, sn - lưới , số tính chất liên quan Trong luận văn này, không giải thích thêm không gian hiểu T1 , qui ánh xạ toàn ánh liên tục 1.1 Kiến thức chuẩn bị Mục trình bày kiến thức cần dùng luận văn 1.1.1 Định nghĩa ([11]) Giả sử X không gian tôpô P phủ X (1) P gọi k - lưới tập compact K lân cận V K tồn họ hữu hạn F P cho K ⊂ ∪F⊂ V Trong ta viết ∪F thay cho ∪{P : P ∈ F} (2) P gọi cs - lưới với x ∈ X V lân cận x, dãy {xn } hội tụ tới x tồn P ∈ P cho {xn ; n m}∪{x} ⊂ P ⊂ V với m ∈ N∗ (3) P gọi cs* - lưới x ∈ X, lân cận V x, dãy {xn } ⊂ X mà xn → x tồn dãy {xnk } P ∈ P cho {xnk ; k ∈ N ∗ }∪{x}⊂ P ⊂ V (4) X gọi ℵ không gian X có k - lưới σ - hữu hạn địa phương 1.1.2 Nhận xét cs - lưới ⇒ cs∗ - lưới 1.1.3 Định nghĩa([10]) Giả sử X không gian tôpô P ⊂ X (1) Dãy {xn } gọi có đuôi P hay P từ lúc xn → x tồn m ∈ N ∗ cho {xn ; n m} ∪ {x}⊂ P (2) Giả sử x ∈ X P gọi lân cận dãy x {xn } ⊂ X mà xn → x {xn } có đuôi P Nói cách khác, P lân cận dãy x dãy {xn } ⊂ X mà xn → x tồn m ∈ N cho xn ∈ P với n ≥ m (3) P gọi mở dãy X P lân cận dãy điểm thuộc P (4) X gọi không gian dãy tập mở dãy X mở X (5) X gọi không gian Fréchet, A ⊂ X x ∈ A, tồn dãy A hội tụ đến x (6) Không gian tôpô X gọi không gian paracompăc, phủ mở X tồn phủ mịn mở hữu hạn địa phương 1.1.4 Định nghĩa ([3]) Giả sử P họ tập X (1) P họ đếm theo điểm (tương ứng hữu hạn theo điểm) x ∈ X x thuộc đếm (tương ứng thuộc hữu hạn) phần tử P (2) P họ - đếm (tương ứng - hữu hạn) P ∈ P P giao với đếm (tương ứng hữu hạn) phần tử thuộc P (3) P họ đếm (tương ứng hữu hạn) địa phương x ∈ X tồn lân cận U x cho U giao với không đếm (tương ứng hữu hạn) phần tử P (4) P họ σ - (P) ∞ P = ∪ Pn , n=1 Pn họ có tính chất (P ) với n ∈ N ∗ (5) Họ P = {Pα : α ∈ ∧} gọi bảo tồn phép lấy bao đóng di truyền (nói gọn HCP ) nếu: cl(∪ {Bα : α ∈ ∧ }) = ∪ {clBα : α ∈ ∧ }, với ∧ ⊂ ∧ Bα ⊂ Pα với α ∈ ∧ , clB kí hiệu bao đóng tập B (6) P gọi bảo tồn bao đóng di truyền yếu hay đơn giản WHCP {x(P ) ∈ P : P ∈ P} họ HCP (7) Không gian tôpô X gọi k - không gian X xác định phủ gồm tập compăc 1.1.5 Định nghĩa ([2]) Giả sử X không gian tôpô x ∈ X Tập {x} gọi Gδ - tập tồn đếm tập mở {Un } cho ∞ {x} = Un n=1 1.1.6 Định nghĩa ([10]) Giả sử P = ∪{Px : x ∈ X} phủ X thoả mãn hai điều kiện sau (a) Px lưới x nghĩa x ∈ ∩Px lân cận U x X tồn P ∈ Px cho P ⊂ U , ta viết ∩Px thay cho ∩{P : P ∈ Px } (b) Nếu U, V ∈ Px tồn W ∈ Px cho W ⊂ U ∩ V (1) P gọi sở yếu X với G ⊂ X, x ∈ G tồn P ∈ Px cho P ⊂ G G tập mở X Khi Px gọi sở yếu x (2) P gọi sn - lưới X phần tử thuộc Px lân cận dãy x Khi ta gọi Px sn - lưới x 1.1.7 Định nghĩa ([13]) Giả sử X không gian tôpô (1) X gọi g - mêtric hoá (tương ứng sn - mêtric hoá được) X có sở yếu (tương ứng sn - lưới) σ - hữu hạn địa phương (2) X gọi gf - đếm (tương ứng snf - đếm được) X có sở yếu (tương ứng sn - lưới) P= Px x∈X cho Px đếm với x ∈ X 1.1.8 Định nghĩa ([13]) Giả sử P phủ không gian X, kí hiệu Ints (∪F) = {x ∈ X : ∪ F lân cận dãy x} P gọi có tính chất (B) với x ∈ X, lân cận U x tồn họ hữu hạn F P cho: (i) x ∈ Ints (∪F) ⊂ ∪F ⊂ U (ii) x ∈ ∩F 1.1.9 Định nghĩa ([9]) Giả sử X không gian tôpô, P phủ X (1) P gọi phủ X, với x ∈ X, P họ đếm (P)x P lưới x, (P)x = {P ∈ P : x ∈ P } (2) P gọi sn - lưới (tương ứng sở yếu đều, cs - lưới đều) P thoả mãn hai điều kiện: P sn - lưới (tương ứng sở yếu, cs - lưới) P phủ 1.2 sn - lưới mối quan hệ với loại lưới khác Mục trình bày mối quan hệ sn - lưới, sn - lưới với sở yếu, cs - lưới , cs∗ - lưới, 1.2.1 Mệnh đề Giả sử P phủ không gian tôpô X Khi (1) ⇒ (2) ⇒ (3) ⇒ (4), (1) P sở yếu, (2) P sn - lưới, (3) P cs - lưới, (4) P cs* - lưới Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử P sở yếu X Khi ta cần chứng minh P ∈ Px lân cận dãy x Thật vậy, giả sử tồn P0 ∈ Px mà P0 không lân cận dãy x Khi tồn dãy {xn } ⊂ X \ P0 , {xn } hội tụ tới x Ta có {xn } không tập đóng x ∈ / {xn }, X \ {xn } không tập mở Mặt khác, ta lại có {xn } ∪ {x} tập đóng nên X \ ({xn } ∪ {x}) mở Do P sở yếu nên a ∈ X \ {xn } ∪ {x} tồn P ∈ Pa mà P ⊂ X \ ({xn } ∪ {x}) ⊂ X \ {xn } Xét x ta lại có P0 ∈ Px P0 ⊂ X \ {xn } Theo giả thiết P sở yếu nên X \ {xn } tập mở Mâu thuẫn với giả thiết Vậy P sn - lưới (2) ⇒ (3) Giả sử {xn } ⊂ X mà xn → x Khi với P ∈ Px tồn n0 ∈ N cho {xn ;n n0 } ∪ {x} ⊂ P Mặt khác lân cận mở tuỳ ý x {xn ;n {xn ;n n0 } ⊂ V nên n0 } ∪ {x} ⊂ V Vậy P cs - lưới (3) ⇒ (4) Giả sử {xn } ⊂ X mà xn → x Vx lân cận mở x Khi tồn n0 ∈ N P ∈ P cho {xn ;n m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ Vx Do tồn {xnk } cho {xnk ; k∈N } ⊂ {xn } ⊂ Vx hay {xnk } ∪ {x} ⊂ P ⊂ Vx Vậy P cs∗-lưới ✷ 10 1.2.2 Mệnh đề ([9]) Nếu X không gian dãy sn - lưới X sở yếu Chứng minh Giả sử P sn - lưới P = ∪{Px ; x ∈ X} Khi P thoả mãn hai điều kiện Định nghĩa (1.1.6) Ta cần chứng minh A mở X khi, với x ∈ A tồn P ∈ Px cho P ⊂ A Giả sử A mở X Khi đó, với x ∈ A A lân cận mở chứa x nên tồn P ∈ Px cho P ⊂ A Ngược lại giả sử A ⊂ X mà x ∈ A tồn P ∈ Px cho P ⊂ A A không mở, tức X \ A không đóng Khi tồn dãy {xn } ⊂ X \ A cho xn → x mà x ∈ / X \ A hay x ∈ A Mặt khác theo giả thiết, tồn P ∈ Px cho P ⊂ A Vì P sn - lưới nên P lân cận dãy x Do tồn n0 ∈ N cho xn ∈ P ⊂ A với n n0 Điều mâu thuẫn với {xn } ⊂ X \ A Vậy A mở X ✷ 1.2.3 Mệnh đề ([9]) Nếu X không gian với sở yếu X không gian gf - đếm Chứng minh Giả sử P = ∪{Px : x ∈ X} sở yếu X Ta cần chứng minh X có sở yếu P = ∪{Px : x ∈ X}, Px đếm với x ∈ X Với x ∈ X, lấy P1 , P2 ∈ Px Vì P sở yếu nên tồn P3 ∈ Px cho P3 ⊂ P1 ∩ P2 Khi đó, từ P1 , P2 , P3 ∈ Px , suy tồn P4 ∈ Px cho P4 ⊂ P1 ∩ P2 ∩ P3 Tiếp tục lập luận tương tự ta xây dựng tập Px ⊂ Px với Px = {P1 , P2 , P3 , } thoả mãn Pn ⊂ n i=1 Pi với n ∈ N Vì P sở yếu nên Px lưới x Nếu U, V ∈ Px hiển nhiên tồn W ∈ Px cho W ⊂ U ∩V Giả sử G ⊂ X cho với x ∈ G, tồn P ∈ Px cho 26 Do dặt Px = st(x, Fn ) Khi Px ⊂ U Fx lưới x Bây ta chứng minh Fx thoả mãn hai điều kiện lại sn lưới - Ta có st(x, Fn ) , st(x, Fm ), m, n ∈ N ∗ xảy trường hợp sau: (a) Bx ∩ Pn = ∅ , Bx ∩ Pm = ∅ ; (b) Bx ∩ Pn = ∅ , Bx ∩ Pm = ∅; (c) Bx ∩ Pn = ∅ , Bx ∩ Pm = ∅ ; (d) Bx ∩ Pn = ∅ , Bx ∩ Pn = ∅ Ta cần chứng minh trường hợp (b), trường hợp khác tương tự Thật vậy, Bx ∩ Pn = ∅ nên tồn Pn ∈ Bx ∩ Pn Vì Bx ∩ Pm = ∅ nên U = X − ∪{P ∈ Pm : x ∈ / P } lân cận mở x U ⊂ st(x, Fm ) Nên tồn Pl ∈ Bx ∩ Pl cho Pl ⊂ U ⊂ st(x, Fm ) tồn Pk ∈ Bx ∩ Pk cho Pk ⊂ Pn ∩ Pl Mặt khác Bx ∩ Pn = ∅, Bx ∩ Pk = ∅ nên x ∈ / Fn , x ∈ / Fk Chú ý Pn Pk rời rạc Ta có Pn = st(x, Fn ), Pk = st(x, Fk ), Pk ⊂ Pn ∩ Pl ⊂ st(x, Fn ) ∩ st(x, Fm ) - st(x, Fn ) lân cận dãy x với n ∈ N ∗ Giả sử L dãy hội tụ tới x Nếu Bx ∩ Pn = ∅ tồn P ∈ Bx ∩ Pn Vì P lân cận dãy x nên L có đuôi P , suy L có đuôi st(x, Fn ) hay st(x, Fn ) lân cận dãy x với n ∈ N ∗ Nếu Bx ∩ Pn = ∅ , U = X − ∪{P ∈ Pn : x ∈ / P } lân cận mở x Vì L có đuôi U Vì U ⊂ st(x, Fn ) nên L có đuôi st(x, Fn ) Điều chứng tỏ st(x, Fn ) lân cận dãy x với n ∈ N Từ kết chứng minh ta kết luận st(x, Fn ), n ∈ N sn - lưới x Do {Fn } sn - lưới - điểm hữu hạn địa phương 27 (2) ⇒ (3) Hiển nhiên (3) ⇒ (1) Giả sử X có sn - lưới - điểm {Fn } HCP Khi Fn HCP với n ∈ N Từ suy X snf - đếm Chúng ta cần chứng minh ∪{Fn : n ∈ N } cs∗ - lưới X (do Bổ đề 2.2.6) Giả sử L dãy X hội tụ tới x U lân cận x Vì {st(x, Fn ) : n ∈ N } lưới x nên tồn n ∈ N cho x ∈ st(x, Fn ) ⊂ U Vì st(x, Fn ) lân cận dãy x nên L ⊂ st(x, Fn ) từ lúc Theo Bổ đề 2.2.7 tồn F ⊂ Fn x ∈ F cho L thường xuyên gặp F Do tồn dãy S L cho S ⊂ F Điều chứng tỏ ∪{Fn : n ∈ N } cs∗ - lưới x ✷ 2.2.9 Bổ đề ([1]) Nếu X không gian Fréchet lân cận dãy x ∈ X lân cận X Chứng minh Giả sử U lân cận dãy x ∈ X U không lân cận x Khi x ∈ X\U Do đó, từ X không gian Fréchet suy tồn dãy {xn } ⊂ X\U cho xn → x Vì U lân cận dãy X nên tồn n0 ∈ N cho {xn : n ≥ n0 } ⊂ U Ta có điều mâu thuẫn Vậy U lân cận x ✷ 2.2.10 Bổ đề ([12]) Nếu P họ - đếm tập không gian X biểu diễn P = ∪{Pα : α ∈ ∧} Pα họ đếm với α ∈ ∧ α = β (∪Pα ) ∩ (∪Pβ ) = ∅ 2.2.11 Định lý Nếu X không gian Fréchet với sn - lưới đếm X có sở σ - rời rạc, X mêtric hóa Chứng minh Giả sử P = ∪{Px : x ∈ X} sn - lưới đếm X Khi đó, P ∈ Px lân cận dãy x Vì X không gian 28 Fréchet nên theo Bổ đề 2.2.9, P ∈ Px lân cận x Do x ∈ intP ⊂ P với P ∈ Px Đặt U = {intP : P ∈ P} Từ P - đếm suy U - đếm Do đó, theo Bổ đề 2.2.10, tồn tập số ∧ cho U = ∪{Uα : α ∈ ∧}, Uα đếm α, β ∈ ∧ mà α = β (∪Uα ) ∩ (∪Uβ ) = ∅ (1) Vì Uα đếm nên ta viết Uα = {Uα,1 , Uα,2 , }, α ∈ ∧ Đặt Vn = {Uα,n : α ∈ ∧}, n = 1, 2, V = ∪{Vn : n = 1, 2, } Khi đó, ta có V = U từ (1) suy Vn họ mà phần tử đôi rời Để hoàn thành chứng minh Định lý ta chứng tỏ V sở σ - rời rạc X Với x ∈ X lân cận U x, P sn - lưới nên tồn P ∈ Px cho x ∈ P ⊂ U Do x ∈ intP ⊂ P ⊂ U Đặt V = intP Khi V ∈ U = V Do V sở X Mặt khác, với x ∈ X tồn U ∈ V cho x ∈ U Khi tồn m ∈ N cho U ∈ Vm U = Uα,m với α thuộc ∧ Vì phần tử Vn đôi rời với n ∈ N nên U giao với 29 không phần tử Vn với n = 1, 2, Do họ Vn ✷ rời rạc Vậy V sở σ - rời rạc X 2.3 Các định lý ánh xạ không gian sn - mêtric hoá Mục trình bày đặc trưng không gian sn - mêtric hoá ảnh không gian mêtric qua ánh xạ đặc biệt 2.3.1 Bổ đề ([6]).Nếu X π ảnh thương - dãy không gian mêtric X có sn - lưới - điểm X có snf - đếm Chứng minh Giả sử f : M → Y π - ánh xạ thương dãy, (M, d) không gian mêtric Đặt Pn = {f (B(z, 1/n)) ; z ∈ M } với n ∈ N ∗ (a) {Pn } sn - lưới - điểm X Với x ∈ U mở X f π - ánh xạ nên tồn n ∈ N cho d(f −1 (x), M − f −1 (U )) > 1/n với m ∈ N tồn m cho m ≥ 2n Pm phủ x Do tồn z ∈ M cho x ∈ f (B(z, 1/m)) Rõ ràng f −1 (x) ∩ B(z, 1/m) = ∅ B(z, 1/n) ⊂ f −1 (U ) Thật giả sử ngược lại tồn y ∈ B(z, 1/n) ∩ (M − F −1 (U )) Ta lấy t ∈ f −1 (x) ∩ B(z, 1/m) d(t, y) d(t, z) + d(z, y) < 2/m 1/n Điều mâu thuẫn với giả thiết B(z, 1/n) ⊂ f −1 (U ) Khi st(x, Pm ) ⊂ U hay Pn sn - lưới - điểm (b) st(x, Pn ) lân cận dãy x với x ∈ X n ∈ N Giả sử S dãy hội tụ tới x Do f ánh xạ thương nên tồn dãy L hội tụ tới t ∈ f −1 (x) ⊂ M cho f (L) = S , S dãy S Ta đặt B = B(t, 1/m) Khi f (B) ∈ Pn , B mở x L có đuôi 30 B nên S = f (L) có đuôi f (B) ⊂ st(x, Pn ) S thường xuyên gặp st(x, Pn ) hay st(x, Pn ) lân cận dãy x Ta đặt Px = st(x, Pn ), P = ∪Px Khi P snf - đếm X ✷ 2.3.2 Hệ ([6]) Các π- ánh xạ đóng bảo tồn không gian mêtric Chứng minh Giả sử f : X → Y π - ánh xạ đóng X không gian mêtric Khi Y không gian Fréchet với k- lưới σ- HCP Vì f ánh xạ đóng nên f ánh xạ thương - dãy (theo Bổ đề 1.8 [6]) Theo Bổ đề 2.2.6 Y không gian snf - đếm được, Y không gian snmêtric hóa Vì theo Bổ đề 1.5 [6] Y không gian mêtric ✷ 2.3.3 Bổ đề ([6]) Giả sử f : X → Y ánh xạ, {yn } dãy hội tụ tới y ∈ Y Nếu {Bk } lưới giảm x ∈ f −1 (y) {yn } thường xuyên gặp f (Bk ) với k ∈ N , tồn dãy {xk } hội tụ tới x cho {f (xk )} dãy {yn } Chứng minh Do {yn } thường xuyên gặp f (B1 ) nên tồn n1 cho yn1 ∈ f (B1 ) Chọn x1 ∈ f −1 (yn1 ) ∩ B1 Khi ta xây dựng dãy {xk } cho k ∈ N dãy {ynk } thường xuyên f (Bk ) tồn nk+1 ∈ N với nk+1 > nk cho ynk+1 ∈ f (Bk+1 ) Do ta chọn xk+1 ∈ f −1 (ynk+1 )∩Bk+1 Khi đó, ta có {f (xk )} = {ynk } ⊂ {yn } ⊂ {yn } với xk ∈ Bk , k ∈ N ∗ {Bk } lưới x, xk hội tụ tới x ✷ 2.3.4 Định lý ([6]) Giả sử X không gian tôpô Khi ta có tính chất sau tương đương (1) X sn - mêtric hoá (2) X σ - ảnh thương - dãy, compăc không gian mêtric (3) X σ, π - ảnh, thương - dãy không gian mêtric 31 Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử X sn - mêtric hoá Khi X có sn - lưới - đếm hữu hạn địa phương Pn Ta viết Pn = {Pα : α ∈ An } với n {An } tôpô rời rạc Với n ta đặt Fn = { Pαi : αi ∈ Ai , i = 1, 2, }, i n Z = a = {αn } ∈ An , Pαn lưới tạixa ∈ X n∈N Khi Fn hữu hạn địa phương, Z không gian mêtric với mêtric xác định sau d(a, b) = a = bd(a, b) = 1/min{n ∈ N, αn = βn }nếu a = b Xét ánh xạ f : Z → X f (a) = xa Khi f ánh xạ Bây ta cần chứng minh f σ - ảnh, compăc, ánh xạ thương - dãy (a) f ánh xạ thương - dãy Thật với x ∈ X S dãy hội tụ tới x, với n ∈ N st(x, Pn ) lân cận dãy x, S có đuôi st(x, Pn ) Mặt khác Pn hữu hạn điểm nên tồn dãy S ⊂ S cho S cuối phần tử thuộc Pn Ta xét L = L0 = {xn : n ∈ N ∪ {x}} dãy hội tụ tới x Với n ∈ N ta chọn αn ∈ An dãy Ln ⊂ L0 cho Ln ⊂ Ln−1 Ln cuối Pαn ∈ Pn Đặt z = (αn ) ∈ An , Zn = {{βk ∈ Z}: βk = αk , k n∈N Khi {zn } sở z Pαk , n ∈ N f (zn ) = k n Ta có {Zn } sở x, với b = (βk ) ∈ Zn suy f (b) ∈ Pβk ⊂ k∈N Pαk k n n} 32 Pαk y ∈ f (Zn ) ⊂ Pαk k n k n tồn c = (γk ) ∈ Z cho f (c ) = y Với k ∈ N đặt γk = αn suy k n, γk = γk k > n Đặt c = (γk ) ta có y ∈ c ∈ Z f (c) = y, c ∈ Zn suy y ∈ f (Zn ) hay n∈N k n Pαk Pγn Vì ⊂ f (Zn ) Do cách xác định dãy Ln , nên Ln cuối Pαk với k n Ln cuối Pαk = f (Zn ) Do L thường xuyên f (Zn ) nên theo Bổ đề 2.3.3 ta có tồn dãy {zn } hội tụ tới z cho {f (zn )} dãy L Vậy f ánh xạ thương - dãy (b) f ánh xạ compăc Với x ∈ X Đặt Bn = {α ∈ An : x ∈ Pα } Khi Bn tập hữu hạn nên Bn tập compăc compăc n∈N An Mặt khác ta có f −1 (x) = n∈N n∈N Bn tập Bn Thật với a ∈ f −1 (x) f (a) = x, a = (γ”n ) với Pγ”n lưới x Khi (γ”n ) ∈ n∈N Bn Ngược lại với b = (bn ) ∈ n∈N Bn ta có Pbn lưới x nên f (b) = x suy b ∈ f −1 (x) Từ ta có f ánh xạ copmăc (c) f σ - ánh xạ Đặt B(α1 , α2 , αn ) = {βk ∈ Z : βk = αk , k n}, (αi ) ∈ Z, n ∈ N Khi {B(α1 , α2 , , αn )} sở Z chứng minh tương tự (a) ta có Pαk ∈ Fn f B(α1 , α2 , , αn ) = k n Mặt khác Fn hữu hạn địa phương nên {f (B(α1 , α2 , α3 , αn )) : (αi ) ∈ Z , n ∈ N } 33 σ - hữu hạn địa phương Hay f σ - ánh xạ (3) ⇒ (1) Giả sử Z không gian mêtric f : Z → X σ, πánh xạ ánh xạ thương - dãy Theo Bổ đề 2.3.1 ta có X snf - đếm Theo Bổ đề 2.2.6 ta cần chứng minh X có cs∗ - lưới σ - HCP Do f σ - ánh xạ nên tồn sở B cho f (B) σ - hữu hạn địa phương ta cần chứng minh f (B) cs∗ - lưới X Giả sử S dãy hội tụ X U tập mở chứa x f ánh xạ thương - dãy tồn dãy L hội tụ tới z cho f (L) dãy S Khi z ∈ f −1 (x) ⊂ f −1 (U ) B sở Z nên tồn B ∈ B cho z ∈ B ⊂ f −1 (U ) Vì L có đuôi B f (L) có đuôi f (B) ⊂ f f −1 (U ) = U Điều kéo theo S thường xuyên f (B) ⊂ f (B) Vậy f (B) cs∗ - lưới X ✷ 2.3.5 Bổ đề ([9]) Với không gian X điều kiện sau tương đương (1) X sn - mêtric hóa (2) X có sn - lưới σ - rời rạc (3) X ℵ - không gian snf - đếm 2.3.6 Định lý ([9]) Với không gian X điều kiện sau tương đương (1) X sn - mêtric hóa (2) X σ - ảnh, compăc, phủ - dãy không gian mêtric (3) X σ - ảnh, 1- phủ - dãy không gian mêtric Chứng minh (1) suy (2) Giả sử X sn - mêtric hóa Theo Bổ đề 2.3.5, X có sn - lưới σ - rời rạc F Vì X quy nên giả thiết phần tử F đóng X Đặt F = ∪{Bi : i ∈ N } = ∪{Fx : x ∈ X}, 34 Bi họ rời rạc tập đóng X Fx sở yếu x Với i ∈ N , ta đặt Qi = {x ∈ X : Fx ∩ Bi = ∅} Pi = Bi ∪ {Qi , X}, P = ∪{Pi : i ∈ N } Khi Pi phủ hữu hạn địa phương X P cs - lưới σ - hữu hạn địa phương X Giả sử Pi = {Pα : α ∈ Ai }, Pi khép kín với phép giao hữu hạn X ⊂ Pi ⊂ Pi+1 với i ∈ N Với i ∈ N Ai ta xét tôpô rời rạc Khi Ai không gian mêtric Đặt M= α = (αi ) ∈ Ai : {Pαi : i ∈ N } ⊂ P lưới x(α) ∈ X (1) i∈N Trên M ta xét tôpô cảm sinh tôpô n∈N Ai Khi M không gian mêtric Vì X không gian Hausdoff, x(α) tồn X với α ∈ M Ta xác định ánh xạ f : M → X công thức f (α) = x(α) với α ∈ M Bởi P cs - lưới σ - rời rạc nên f toàn ánh Với α = (αi ) ∈ M, f (α) = x(α) Giả sử V lân cận mở x(α) X Khi đó, tồn n ∈ N cho x(α) ∈ Pαn ⊂ V Đặt W = {c ∈ M : tọa độ thứ n c αn } 35 Khi W lân cận mở α M f (W ) ⊂ Pαn ⊂ V Do f liên tục Ta chứng minh f ánh xạ phủ - dãy, compăc σ - ánh xạ (i) f ánh xạ phủ - dãy Với dãy {xn } hội tụ tới x0 X Có thể giả thiết số hạng {xn } đôi rời xn = x0 với n Đặt K = {xm : m = 0, 1, } giả sử V lân cận mở K X Giả sử A họ Pi Ta nói họ A có tính chất F (K, V ) thỏa mãn (a) A hữu hạn, (b) Với P ∈ A ta có ∅ = P ∩ K ⊂ P ⊂ V ; (c) Với z ∈ K, tồn Pz ∈ A cho z ∈ Pz ; (d) Nếu x0 ∈ P ∈ A K \ P hữu hạn Vì P cs - lưới σ - hữu hạn địa phương nên họ A tồn giả thiết {A ⊂ Pi : A có tính chất F (K, X)} = {Aij : j ∈ N } Với n ∈ N , đặt Pn = Aij (2) i,j≤n Khi Pn ⊂ Pn Pn có tình chất F (K, X) Với i ∈ N ∗ , m ∈ N = {0, 1, } xm ∈ K tồn αim ∈ Ai cho xm ∈ Pαim ∈ Pi Đặt βm = (αim ) ∈ Ai i∈N 36 Dễ dàng chứng minh {Pαim : i ∈ N } lưới xm X Khi đó, tồn βm ∈ M cho f (βm ) = xm với m ∈ N Với i ∈ N ∗ tồn n(i) ∈ N ∗ cho αin ≥ αi0 n ≥ n(i) Do dãy {αin } hội tụ tới αi0 Ai Do dãy βn hội tụ tới β0 M Vì f ánh xạ phủ dãy (ii) f ánh xạ compăc Với x ∈ X, đặt {α ∈ Ai : x ∈ Pα L= ∩ M (3) n∈N Vì {α ∈ Ai : x ∈ Pα } hữu hạn nên L tập compăc M Vì f −1 (x) = L nên f ánh xạ compăc (iii) f σ - ánh xạ Với n ∈ N αn ∈ An , đặt V (α1 , , αn ) = β ∈ M : với i ≤ n tọa độ thứ i β αi (4) Giả sử B = {V (α1 , , αn ) : αi ∈ Ai (i ≤ n), n ∈ N ∗ } Khi B sở M Để chứng minh f σ - ánh xạ cần chứng tỏ với n ∈ N ∗ αn ∈ An f (V (α1 , , αn ) = Pαi i≤n Bởi theo kết f (B) σ - hữu hạn địa phương Với n ∈ N ∗ , αn ∈ An i ≤ n f (V (α1 , , αn )) ⊂ Pαi 37 nên f (V (α1 , , αn )) ⊂ Pαi i≤n Mặt khác, với x ∈ i≤n Pαi tồn β = (βj ) ∈ M cho f (β) = x Với j ∈ N ∗ , Pβj ∈ Pj ⊂ Pj+n nên tồn αj+n ∈ Aj+n cho Pαj+n = Pβj Lấy α = (αj ) ta có α ∈ V (α1 , , αn ) f (α) = x Như Pαi ⊂ f (V (α1 , , αn )) i≤n Từ ta có f (V (α1 , , αn )) = Pαi i≤n ✷ Do f σ - ánh xạ (2) suy (3) Ta có ánh xạ compăc phủ - dãy không gian mêtric ánh xạ 1- phủ- dãy (3) suy (1) Giả sử f : M → X σ - ánh xạ -phủ - dãy, M không gian mêtric Vì f σ - ánh xạ nên f (B) σ hữu hạn địa phương X với B sở M Với x ∈ X tồn βx ∈ f −1 (x) thỏa mãn Định nghĩa 2.1.4 [6] Đặt Px = {f (B) : βx ∈ B ∈ B}, P = ∪{Px : x ∈ X} (5) Khi P sn - lưới X Vì P ⊂ f (B) nên P sn - lưới σ - hữu hạn địa phương Do X sn - mêtric hóa ✷ 38 kết luận Luận văn đạt kết sau Hệ thống lại khái niệm tính chất sn- lưới, mối quan hệ sn- lưới với loại lưới khác, đặc trưng không gian với sn- lưới không gian sn- mêtric hóa Chứng minh chi tiết số kết có tài liệu tham khảo chứng minh chứng minh vắn tắt Mệnh đề 1.2.2, Mệnh đề 1.2.3, Mệnh đề 1.2.4 Đưa chứng minh số kết Định lý 1.3.5, Định lý 1.3.7 Hệ 1.3.8,Định lý 2.2.11 39 tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Trọng Đạt (2005), Các phủ không gian tôpô luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [2] Lại Thị Hạnh (2007), Một số vấn đề không gian gf - đếm , luận văn thạc sĩ, Đại học Vinh [3] V.Arhangel’skii(1966), Mappings and spaces, Russian Math Surveys 21, 115-162 [4] J.R.Boonne and F.Siwiec (1976), Sequential quotient mappings, Czech Math 26, 174 - 182 [5] S.P.Franklin (1965) , Spaces in which sequences suffice, Fun.Math 57, 107 - 115 [6] Y.Ge (2003), Characterizations of sn - metrizable spaces, Publication De L’institut Mathématique 74,121-128 [7] Y Ge and Jian - Sheng Gu (2004), On π - images of separable metric spaces, Mathematical Sciences 10, 65-71 [8] S.Lin (1997), A note on the Arens’ spaces and sequential fan, Topology 81,185-196 [9] Zh.Luo (2005), sn - metrizable spaces and related matters , International Journal of Mathematical Siciences, 16, 2523 - 2531 [10] J.J.Li and W.Y.Cai (2000), Note on sequence - coverings mappings, Act Math Sinica, 45 no 4, 757 - 762(Chinese) [11] P.O’.Meara (1971), On paracompactness in function spaces with the compact - open topology , Proc Amer Math Soc 29,183-189 40 [12] F.Siwiec (1974), On defining a spaces by a weak base Pacific J Math, 52, 233-245 [13] Y.Tanaka (2001), Theory of k - network II, General Topology 11, 27-46 [...]... Các đặc trưng của không gian sn - mêtric hoá được 2.2.1 Bổ đề ([9]) Giả sử X là lhông gian tôpô các điều kiện sau là tương đương (1) X là sn - mêtric hoá được (2) X có sn - lưới σ - rời rạc (3) X là không gian snf - đếm được và ℵ - không gian 2.2.2 Định lý ([9]) Một không gian có sn - lưới đếm được địa phương là không gian sn - mêtric hoá được 24 Chứng minh Giả sử X là không gian có sn - lưới đếm được... 1.3.3 ta có X là không gian snf đếm được với k - lưới σ - đếm được địa phương Do X là không gian paracompăc nên theo Định lý 1.3.4 thì X là snf - không gian và ℵ không gian Mặt khác, theo Bổ đề 1.3.1 ta có X là sn - mêtric hóa được ✷ 2.2.4 Hệ quả ([9]) Một không gian paracompăc với sn - lưới σ đếm được địa phương là không gian sn - mêtric hoá được Chứng minh Ta có, một không gian có sn - lưới σ - đếm... X là không gian có snf - đếm được và k - lưới σ - đếm được địa phương Mặt khác theo Định lý 2.2.3 ta có X là snf - đếm được và ℵ - không gian nên theo Bổ đề 2.2.1 ta có X là không gian sn- mêtric hóa được ✷ 2.2.5 Bổ đề ([6]) Giả sử P là phủ có tính chất σ - HCP Nếu P là cs* - lưới thì P là k - lưới của X 2.2.6 Bổ đề ([8]) Không gian tôpô X là sn - mêtric hoá được khi và chỉ khi X là không gian snf... X ✷ 2.3.5 Bổ đề ([9]) Với không gian X các điều kiện sau là tương đương (1) X là sn - mêtric hóa được (2) X có sn - lưới σ - rời rạc (3) X là ℵ - không gian và snf - đếm được 2.3.6 Định lý ([9]) Với không gian X các điều kiện sau là tương đương (1) X là sn - mêtric hóa được (2) X là σ - ảnh, compăc, phủ - dãy của một không gian mêtric (3) X là σ - ảnh, 1- phủ - dãy của một không gian mêtric Chứng minh... đó P là snf - đếm được của X ✷ 2.3.2 Hệ quả ([6]) Các π- ánh xạ đóng bảo tồn không gian mêtric Chứng minh Giả sử f : X → Y là π - ánh xạ đóng và X là không gian mêtric Khi đó Y là không gian Fréchet với k- lưới σ- HCP Vì f là ánh xạ đóng nên f là ánh xạ thương - dãy (theo Bổ đề 1.8 [6]) Theo Bổ đề 2.2.6 Y là không gian snf - đếm được, do đó Y là không gian snmêtric hóa được Vì vậy theo Bổ đề 1.5 [6]... theo Định lý 1.3.2 ta có X là không gian snf - đếm được với k - lưới đếm được địa phương do đó X là k - không gian với k - lưới đếm được địa phương do đó X là ℵ - không gian, nên từ Bổ đề 2.2.1 thì X là sn - mêtric hoá được ✷ 2.2.3 Định lý ([9]) Không gian paracompăc với sn - lưới σ - đếm được địa phương là sn - mêtric hóa được Chứng minh Giả sử X là không gian paracompăc với sn - lưới σ - đếm được địa... phần tử của Vn đôi một rời nhau với mỗi n ∈ N nên U chỉ có thể giao với 29 không quá một phần tử của Vn với mỗi n = 1, 2, Do đó mỗi họ Vn ✷ là rời rạc Vậy V là cơ sở σ - rời rạc của X 2.3 Các định lý ánh xạ về không gian sn - mêtric hoá được Mục này trình bày các đặc trưng của không gian sn - mêtric hoá được bởi ảnh của các không gian mêtric qua các ánh xạ đặc biệt 2.3.1 Bổ đề ([6]).Nếu X là π... mỗi x ∈ X, hay X là không gian gf - đếm được ✷ 1.2.4 Mệnh đề ([9]) Với không gian tôpô X hai điều kiện sau là tương đương (1) X có cơ sở yếu đều (2) X là không gian dãy với sn - lưới đều Chứng minh (1) suy ra (2) Giả sử điều kiện (1) được thoả mãn Khi đó theo Mệnh đề 1.2.3 thì X là không gian gf - đếm được và do đó theo [17] thì X là không gian dãy Mặt khác mỗi cơ sở yếu trong X là sn - lưới nên ta có... tại x, vì thế xk hội tụ tới x ✷ 2.3.4 Định lý ([6]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó ta có các tính chất sau là tương đương (1) X là sn - mêtric hoá được (2) X là σ - ảnh thương - dãy, compăc của không gian mêtric (3) X là σ, π - ảnh, thương - dãy của không gian mêtric 31 Chứng minh (1) ⇒ (2) Giả sử X là sn - mêtric hoá được Khi đó X có sn - lưới sao - đếm được hữu hạn địa phương Pn Ta viết Pn = {Pα... được thoả mãn Khi đó, vì X là không gian dãy nên mỗi sn - lưới trong X là cơ sở yếu Từ đó suy ra (1) được thoả mãn ✷ 1.3 Đặc trưng của các không gian với sn - lưới đếm được theo điểm Mục này chúng ta sẽ trình bày một số đặc trưng của không gian với sn - lưới đếm được địa phương hoặc σ - đếm được địa phương thông qua cs - lưới, k - lưới 1.3.1 Bổ đề ([6]) Giả sử X là không gian tôpô Khi đó các tính chất ... trưng không gian sn - mêtric hoá 2.2.1 Bổ đề ([9]) Giả sử X lhông gian tôpô điều kiện sau tương đương (1) X sn - mêtric hoá (2) X có sn - lưới σ - rời rạc (3) X không gian snf - đếm ℵ - không gian. .. không gian ℵ không gian Mặt khác, theo Bổ đề 1.3.1 ta có X sn - mêtric hóa ✷ 2.2.4 Hệ ([9]) Một không gian paracompăc với sn - lưới σ đếm địa phương không gian sn - mêtric hoá Chứng minh Ta có, không. .. Định lý ([9]) Một không gian có sn - lưới đếm địa phương không gian sn - mêtric hoá 24 Chứng minh Giả sử X không gian có sn - lưới đếm địa phương theo Định lý 1.3.2 ta có X không gian snf - đếm