Một số vấn đề về hàm lồi và ứng dụng trong giải tích lồi

Lời nói đầu Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng việc nghiên cứu lý thuyết toán học nói chung, toán cực trị ngành toán học ứng dụng nói riêng Hàm lồi kiến thức giải tích lồi Việc nghiên cứu, tìm hiểu hàm lồi ứng dụng giải tích lồi cần thiết Vì chọn đề tài Một số vấn đề hàm lồi ứng dụng giải tích lồi Mục đích đề tài nêu lên số nội dung hàm lồi định lý quan trọng giải tích lồi Khoá luận đợc chia làm hai chơng: Chơng trình bày kiến thức vấn đề liên quan đến hàm lồi Chơng trình bày số định lý quan trọng giải tích lồi Khoá luận đợc thực hoàn thành trờng Đại học Vinh với giúp đỡ, hớng dẫn nhiệt tình chu đáo thầy giáo TS Trần Xuân Sinh ý kiến đóng góp thầy giáo thuộc tổ Điều khiển khoa Toán Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến thầy hớng dẫn thầy giáo tổ Điều khiển thầy giáo khoa Toán tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập hoàn thành khoá luận Vinh, 4- 2004 Tác giả Chơng Hàm lồi Đ1 Định nghĩa ví dụ 1.1 Tập lồi 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X không gian tuyến tính, R tập số thực 1.1.1.1 Tổ hợp lồi Cho điểm x , x , , x R Điểm x = k n k i x i =1 i , i 0, k i = X i =1 gọi tổ hợp lồi hệ điểm cho 1.1.1.2 Đoạn thẳng Cho điểm x1, x2 Rn Tập hợp điểm tổ hợp lồi hai điểm cho gọi đoạn thẳng nối x1, x2, ký hiệu [x1, x2] Nghĩa [x1, x2] = {x Rn : x = x1 + (1 - )x2, 1} 1.1.1.3 Tập hợp lồi Tập hợp M Rn đợc gọi tập lồi tổ hợp lồi hai điểm thuộc M thuộc M Nghĩa Với x1, x2 M, R, x1 + (1 - )x2 M Chú ý: Tập đợc xem tập lồi Từ khái niệm đoạn thẳng cho thấy: Tập M lồi đoạn thẳng nối điểm thuộc M nằm trọn M A (Mlồi x1, x2 M [x1, x2] M) A M không lồi B B M lồi Ví dụ: Các nửa không gian tập lồi Các tam giác hình tròn tập lồi Hình cầu đơn vị không gian Banach tập lồi 1.1.1.4 Hớng chấp nhận đợc Cho tập hợp M lồi điểm x0 M Hớng z Rn đợc gọi chấp nhận đợc từ x0 tồn cho x0 + z M , với [0, 1] 1.1.1.5 Phơng vô tận Hớng z Rn đợc gọi phơng vô tận tập lồi M xuất phát từ x0 M x0 + z M, 1.1.1.6 Điểm cực biên Cho tập lồi M, điểm x M đợc gọi điểm cực biên M x biểu diễn thành tổ hợp lồi thực hai điểm thuộc M Nghĩa không tồn x1, x2 M mà X = x1 + (1 - )x2, < < 1.1.1.7 Nón lồi a) Định nghĩa nón Tập K X đợc gọi nón có đỉnh O O K với x K, > x K K đợc gọi nón có đỉnh x0, K - x0 nón có đỉnh O b) Định nghĩa nón lồi Nón K có đỉnh O đợc gọi nón lồi, K tập lồi, có nghĩa x, y K, , > x + ày K Ví dụ: Các tập sau Rn {(1, , n) Rn : i 0, i = 1, , n} (orthant không âm) {(1, , n) Rn : i > 0, i = 1, , n} (orthant dơng) nón lồi có đỉnh O Đó nón lồi quan trọng Rn 1.1.1.8 Siêu phẳng Cho vectơ c Rn số thực Tập hợp {xRn:c,x = } đợc gọi siêu phẳng xác định c 1.1.1.9 Nửa không gian Tập hợp {x Rn : x, c } đợc gọi nửa không gian giới hạn siêu phẳng {x Rn : x, c = } 1.1.1.10 Tập lồi đa diện Cho nửa không gian Mi = {x Rn: x, ci i} Dễ dàng thấy tập Mi tập lồi Tập M = Mi gọi tập lồi đa diện (I hữu hạn) iI Nếu tập lồi đa diện phơng vô tận gọi đa diện lồi 1.1.2 Tính chất 1.1.2.1 Mệnh đề Giả sử A Rn ( I) tập lồi, với I tập số Khi đó, tập A = A lồi I Chứng minh Lấy x1, x2 A Khi x1, x2 A ( I) Với I, A lồi x1 + (1 - )x2 A , ( [0, 1]) Ta suy x1 + (1 - )x2 A Từ định nghĩa 1.1.1.3 ta nhận đợc mệnh đề sau: 1.1.2.2 Mệnh đề Cho tập lồi Ai Rn, i R (i = 1, m ) Khi 1A1 + 2A2 + + mAm tập lồi 1.1.2.3 Mệnh đề Giả sử Yi không gian tuyến tính, tập lồi Ai Yi (i = 1, m ) Khi tích Đề cac A1ìA2ì ìAm tập lồi Y1ìY2ì ìYm 1.1.2.4 Mệnh đề Cho ánh xạ tuyến tính T: R n R n Khi a) A lồi thuộc R n T(A) lồi b) B lồi thuộc R n nghịch ảnh T-1(B) B tập lồi Từ định nghĩa 1.1.1 ta có đính lý sau: 1.1.2.5 Định lý Giả sử tập A lồi thuộc Rn, với x1, , xm A, theo đó, A chứa tất tổ hợp lồi x1, , xm Chứng minh Ta chứng minh quy nạp Với m = 2, với 1, 0, + = 1, x1, x2 A, theo định nghĩa 1.1.3 ta có 1x1 + x2 A Giả sử kết luận với m = k Ta chứng minh với x1, , xm A, i (i = 1, , k+1), k +1 i i =1 = 1, x = 1x1 + + kxk + k+1xk+1 A Có thể xem nh k +1 < 1, k +1 = = = k = ta có x A Khi - k +1 = + + k > i (i = 1, 2, , k) k +1 Bởi k i i =1 = 1, theo giả thiết quy nạp ta có k +1 y= i k x1 + + xk A k +1 k +1 với điểm y A xk +1 A ta có - k +1 > , (1 - k +1) + k +1 = Do (1 - k +1)y + k +1xk +1 A 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1.1 Cho tập hợp M Rn, hàm f : M R Tập hợp epif = {x M, r R ; (x, r) R n +1 : f(x) r} gọi đồ thị (epigraph) hàm f Hàm f đợc gọi lồi M tập epif lồi R nìR 1.2.1.2 Miền hữu hiệu (effective danain) hàm f, kí hiệu domf, đợc định nghĩa nh sau domf = {x M : f(x) < + } 1.2.1.3 Nếu tập domf f(x) > - (x M) hàm f đợc gọi thờng (proper) 1.2.1.4 Hàm f đợc gọi lõm tập lồi M (concave on M) - f lồi M Nhận Xét: (1) Từ định nghĩa 1.2.1.2 ta có Hàm f lồi domf lồi Thật vậy, tập domf hình chiếu epif M domf = {x M : f(x) < +} = {x : r R, (x, r) epif} Nh vậy, qua ánh xạ tuyến tính tập lồi epif có ảnh tập domf Do domf lồi (2) Từ định nghĩa 1.2.1.4 suy Hàm f lồi M - f lõm M 1.2.2 Các ví dụ Ví dụ 1: Hàm affine Rn có dạng f(x) = a, x + (a Rn, R) hàm lồi tập lồi M Thật vậy, ta có epif = {x M, a Rn, r R, (x, r) R n ì R : f(x) r} = {x M, a Rn, , r R; (x, r) Rn ì R : a, x + r} Ta thấy, đồ thị nửa không gian Rn ì R không chứa đờng thẳng đứng, epif tập lồi f(x) hàm lồi, hay f(x) = a, x + hàm lồi Ví dụ 2: Chuẩn Euclide hàm lồi Rn ||x|| = x, x ( = x12 + + xn2 ) x = (x1, x2, , xn) Rn Chứng minh Lấy (x(*), r) epi(||.||) nghĩa ||x(*)|| r, x(*) M lồi (y(*), s) epi(||.||) nghĩa ||y(*)|| s, y(*) M lồi Xét (x, r) + (1- )(y, s) (x, r) + (1- )(y, s) = (x, r) + (1- )y, (1- )s) Ta có = (x + (1- )y; r + (1- )s Mặt khác, ||.|| hàm tuyến tính nên ||x + (1- )y|| = ||x|| + ||(1- )y|| (*) = ||x|| + (1- )||y|| = r + (1- )s Suy Hay ||x + (1- )y|| r + (1- )s x + (1- )y epi(||.||) Do epi(||.||) tập lồi, nên || || hàm lồi Vậy ||X|| = x, x ( = x12 + x22 + + xn2 ) hàm lồi Rn Ví dụ 3: Hàm biến bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a > 0) hàm lồi Chứng minh Lấy (x, r) epif nên f(x) r hay ax2 + bx + c r, (y, s) epif nên f(y) s hay ay2 + by + c s Xét (x, r) + (1- )y Ta có (x, r) + (1- )y = (x, r) + (1- )(y, s) = (x + (1- )y; r + (1- )s) Mặt khác f[x + (1- )y] = f(x) + (1- )f(y) r + (1- )s, suy f(x + (1- )y) r + (1- )s Nghĩa (X + (1- )y ; r + (1- )s) epif ((X, r) + (1- )(y, s)) epif Vậy epif tập lồi, suy f hàm lồi Hay f(x) = ax2 + bx + c (a > 0) hàm lồi Ví dụ 4: Giả sử f hàm giá trị thực khả vi liên tục hai lần tập lồi M R Nếu ma trận Hessian: n f Qx = x x i j (với x M, Qx ma trận đạo hàm riêng cấp hai) bán xác định dơng (x M), tức z, Qxz 0, (z Rn, x M) hàm f hàm lồi Ví dụ 5: Giả sử M Rn, M Khi hàm (indicatos function) (.\ M) hàm lồi 0, x M (x\ M) = +, x M Ví dụ 6: Hàm tựa (sup-port function) tập lồi M Rn (M ) đợc xác định S(X\ M) = sup y, x y M hàm lồi Ví dụ 7: Hàm khoảng cách tập lồi M Rn (M ) inf ||x - y|| dM(x) = y M hàm lồi Đ2 Các tính chất 1.2.1 Tính chất Cho X tập lồi Hàm f lồi X f(x + (1- )y) f(x) + (1- )f(y), 1, x, y X Chứng minh (2.1) a) Giả sử f hàm lồi Không tính tổng quát xem nh (0, 1) với (x, r) epif , (y, s) epif , (0, 1) Do epif tập lồi nên ta có (x, r) + (1- )(y, s) = [x + (1- )y, r + (1- )s] epif Do f[x + (1- )y] r + (1- )s Lấy r = f(x), s = f(y) ta đợc f(x + (1- )y) f(x) + (1- )f(y) b) Ngợc lại, giả sử (2.1) Lấy (x, r) epif, (y, s) epif, [0,1], ta chứng minh (x, r) + (1- )(y, s) epif Thật vậy, (x, r) epif nên f(x) r (y, s) epif , suy f(y) s Từ f[x + (1- )y] f(x) + (1- )f(y) r + (1- )s Tức [x + (1- )y , r + (1- )s] epif Hay (x, r) + (1- )(y, s) epif 1.2.2.Tính chất (Bất đẳng thức Jensen) Cho X tập lồi Khi f hàm lồi i (i = 1, k ), k i = i =1 1, x1, , xk X ta có f(1x1 + + kxk) 1f (x1) + + kf(xk) Chứng minh Trớc hết ta thấy với x X, i 0, i (2.2) k i i =1 = k i xi X i =1 Rõ ràng f có tính chất nh bất đẳng thức nêu theo tính chất 1.2.1 ta có f hàm lồi Ta cần chứng minh điều ngợc lại, nghĩa cho f lồi k f i x i i =1 k i f ( x i ) i =1 Ta quy nạp theo k Rõ ràng k = định lý Giả sử định lý với k, ta chứng minh định lý với (k +1) Ta có k +1 i f i x = i =1 k f i x i + k +1 x k +1 i 0, i =1 k i = i =1 k i k +1 = f k +1 x + (1 k +1 ) xk i =1 k +1 k i Kí hiệu i = , rõ ràng i i = 1, k +1 i =1 k i i =1 k = i = i = i=1 = k +1 i =1 k +1 k +1 k +1 k Theo giả thiết quy nạp k k i =1 i =1 i xi X f( i xi) Do 10 k i f(xi) i =1 k +1 f i x i k +1f(xk +1) + (1 -k +1) i =1 k +1f(x k +1 k +1f(x k +1 k f i x i i =1 k ) + (1 -k +1) i f(xi) i =1 i f(xi) i =1 k +1 k ) + (1 -k +1) k +1 i f(xi) i =1 1.2.3 Hệ Cho X tập lồi Hàm f : X [-, +] lồi f(x + (1 -)y) r + (1 -)s, [0, 1] x, y X thoả mãn f(x) r, f(y) s Chứng minh Điều kiện cần: Cho f lồi chứng minh f(x + (1 -)y) r + (1 -)s Theo tính chất 1.2.1 ta có f(x + (1 -)y) f(x) + (1 -)f(y) r + (1 -)s (vì f(x) r, f(y) s) Điều kiện đủ: Cho f(x + (1 -)y) r + (1 -)s chứng minh f lồi Lấy (x, r) epif, (y, s) epif Khi f(x) r, f(y) s Để chứng minh f lồi ta cần chứng minh f(x + (1- )y) f(x) + (1- )f(y) Theo (2.3) ta có f(x + (1- )y) x + (1- )s Từ suy (x + (1- )y) , r + (1- )s) epif Chọn f(x) = r; f(y) = s, ta đợc f(x + (1- )y) f(x) + (1- )f(y) 1.2.4 Tính chất Giả sử f hàm lồi X, [-, +] Khi tập mức {x : f(x) < à} {x : f(x) à} lồi Chứng minh a) Lấy x1, x2 {x : f(x) < à}, ta có f(x1) < à; f(x2) < 11 (2.3) Từ hệ 1.2.3 suy f(x1 + (1- )x2) < + (1- )à = à, ( (0, 1)) Ta suy x1 + (1- )x2 {x : f(x) < à} Vậy {x : f(x) < à} tập lồi tập b) Tơng tự nh a), ta có {x : f(x) à} tập lồi 1.2.5 Hệ Giả sử f hàm lồi X, R ( I), I tập số Khi đó, A = {x X : f(x) , I} lồi Chứng minh Đặt A = {x X : f(x) } Theo tính chất 1.2.4, A lồi A = A lồi I Định nghĩa Hàm f xác định tập lồi X đợc gọi dơng (poritively homogencous), với x X, (0, +), ta có f(x) = f(x) 1.2.6 Tính chất Hàm dơng f : X (-, +) lồi f(x + y) f(x) + f(y), (x,y X) Chứng minh Điều kiện cần: Cho f hàm lồi, ta cần chứng minh f(x + y) f(x) + f(y) (x, y X) Thật vậy, X lồi nên x, y X x+ y X Mặt khác f lồi nên x+ y f Do f dơng nên [f(x) + f(y)] f ( x) + f ( y ) x+ y x+ y = f(x) + f(y) f =2f 2 Từ suy f(x + y) f(x) + f(y) Điều kiện đủ: Giả sử f(x + y) f(x) + f(y), (x, y X), ta cần chứng minh f hàm lồi 12 2.1.2.1 Hệ Với giả thiết nêu, hàm lồi f xác định M thoả mãn hệ thức p, q, y + f(u) (u = (x,y) M) điều kiện cần đủ có số thực a cho p a q u = (x,y) M ay + f(u) Trờng hợp 2: Giả sử tập lồi M nhận điểm O điểm tơng đối, tức ứng với y M, có số > 0, cho -y M điều kiện ban đầu bổ đề Hoàng Tuỵ đợc thoả mãn Mặt khác f hàm lồi đồng O điều kiện n aiyi có i =1 n aiyi i =1 Do ta có a, y = n i =1 aiyi = 0, y = M Từ ta có hệ sau: 2.1.2.2 Hệ Nếu M tập lồi, nhận O làm điểm tơng đối điều kiện cần đủ để tồn vectơ a R2 cho p a q a,y = 0, y M p, q, y 0, y M Trờng hợp 3: Nếu M tập hợp nghiệm hệ phơng trình Ax 0, A ma trận cấp m ì n p = q, ta có hệ (gọi bổ đề Farkas): 2.1.2.3 Hệ (Bổ đề Farkas) Muốn cho p, x với x nghiệm Ax 0, điều kiện cần đủ tồn vectơ z Rk, cho z p = A*z (trong A* ma trận chuyển vị A) Đ Định lý Hahn - Banach 2.2.1 Một số kiến thức sở 2.2.1.1 Không gian tuyến tính Một tập hợp X đợc gọi không gian tuyến tính ứng với cặp phần tử x, y X, theo quy tắc đó, ta đợc phần tử thuộc X, ta gọi tổng x y (ký hiệu x + y) Khi ứng với phần tử x X số thực , theo quy tắc đó, ta đợc phần tử thuộc X, gọi tích x với (Ký hiệu x) Đồng thời quy tắc vừa nêu phải thõa mãn điều kiện sau: i) Tính giao hoán: x + y = y + x 21 ii) Tính kết hợp: (x + y) + z = x + (y + z) iii) Tồn phần tử không (ký hiệu 0) cho x + = + x = x, với x X iv) ứng với x X, tồn X phần tử đối x (ký hiệu - x) cho x + (-x) = v) Phần tử đơn vị: 1.x = x.1 = x vi) (x) = ()x (, số bất kỳ) vii) ( + )x = x + x viii) (x + y) = x + y 2.2.1.2 Không gian định chuẩn Một không gian tuyến tính X ứng với x X, ta có số ||x||, gọi chuẩn nó, cho với x, y X số thực thoả mãn điều kiện i) ||x|| > x ||x|| = x = ii) ||ax|| = ||x|| iii) ||x + y|| ||x|| + ||y|| Khi không gian tuyến tính X đợc gọi không gian định chuẩn 2.2.1.3 Dãy Cho không gian định chuẩn X, dãy {xn} gọi dãy lim xn xm = n , m 2.2.1.4 Không gian Banach Không gian Banach X (còn gọi không gian đủ) không gian định chuẩn X có dãy hội tụ 2.2.1.5 Phiếm hàm, phiếm hàm tuyến tính Cho không gian tuyến tính X Một số hàm f(x) xác định X mà lấy giá trị thực (hoặc phức) đợc gọi phiến hàm X Nếu với x, x1, x2 X R thoã mãn + f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) + f(x) = f(x) Khi X gọi phiếm hàm tuyến tính 2.2.1.6 Không gian liên hợp Cho phiếm hàm tuyến tính f liên tục, xác định không gian định chuẩn X Khi chuẩn f đợc xác định f = sup f ( x ) x =1 Tập hợp phiếm hàm tuyến tính liên tục không gian tuyến tính định chuẩn X lập thành không gian tuyến tính định chuẩn X* X* đợc gọi không gian liên hợp X 22 2.2.1.7 Dới tuyến tính, sơ chuẩn Cho không gian tuyến tính X, hàm f : X R đợc gọi dới tuyến tính f(x1+x2) f(x1) + f(x2), với x1, x2 X f(x) = f(x), x X Một phiếm hàm dới tuyến tính f đợc gọi sơ chuẩn với số ( thực phức tuỳ vào không gian ta xét) ta có f(x) = || f(x) 2.2.1.8 Cho tập M X, điểm a M đợc gọi điểm bọc M với vectơ t X, tồn số > cho toàn đoạn thẳng nối (a - t) với (a + t) nằm trọn M Cho tập lồi M, điểm x0 M đợc gọi điểm M với x M tồn y M mà x0 = x + (1 - )y, (0 < < 1) Chú ý: Nếu tập M có điểm điểm bọc M điểm 2.2.1.9 Hình chiếu Cho tập lồi M Rn, v Rn, ta gọi p hình chiếu v M ký hiệu p = p(v), p M xv = ||v - p|| = xinf M Khi đợc gọi khoảng cách từ v tới M Ta có tính chất sau: + Cho M tập lồi đóng thuộc Rn, với v M, tồn hình chiếu p = p(v) M + Muốn cho điểm p = (pi) M hình chiếu v M, điều kiện cần đủ với x = (xi) M ta có x - p, v - p x, v - p v - p + x - v, x - p ||x - p||2 ||x - p|| ||v - p|| Việc chứng minh xem [1] 2.2.1.10 Tiên đề Zorn Nếu tập S đợc phần tập đợc tuyến tính S có cận S phải có phần tử tối đại 2.2.2 Định lý Hahn- Banach 2.2.2.1 Định lý Cho phiếm hàm tuyến tính f, xác định không gian M không gian tuyến tính thực X Nếu có hàm dới tuyến tính xác định X, cho f(x) (x) (x M) 23 tồn phiếm hàm tuyến tính F(x) xác định X cho 1) F khuếch f, nghĩa F(x) = f(x) (x M) 2) F(x) (x) (x X) Chứng minh Cho f1, f2 phiếm hàm tuyến tính xác định tơng ứng hai không gian M1, M2 X Nếu M1 M2, f1(x) = f2(x), x M1, f2(x) (x), x M2, ta kí hiệu f1 < f2 Ta cần tồn hàm F xác định X có f < F (theo nghĩa < nh nêu) Gọi C = {Phiếm hàm tuyến tính g: f < g} Khi C f C đợc phần liên hệ < Nếu P tập hợp đợc tuyến tính S cận phiếm hàm có miền xác định hợp tất miền xác định phiếm hàm g P trùng với giá trị phiếm hàm g miền xác định g Vậy theo tiên đề Zorn, C phải có phần tử tối đại F Ta chứng minh miền xác định F toàn không gian X Khi F thoả mãn yêu cầu định lý Giả sử ngợc lại, có phần tử x0 X không thuộc miền xác định M F Ta xét tập hợp Q = M ì R, đặt p = -, q = + với z = (x,y) Q (x M, y R) ta có (z) F(x), z = (x, y) Q : p, q, y - F(x) + (z) (Ta đồng z = (x, y) M ì R với điểm x + yx0 X, (z) = (x + yx0)) Mà h(z) = - F(x) + (z) hiển nhiên hàm lồi, theo bổ đề Hoàng Tụy phải có số thực t nghiệm z = (x, y) = Q, ty - F(x) + (z) Đặt F1(z) = F(x) - ty với z = x + yx0 (y R) ta đợc phiếm hàm tuyến tính F1 xác định không gian M1 sinh hợp M x0, nghiệm (z M) F1(z) (z) Nh F1 F F1 < F, trái với tính chất tối đại F 2.2.2.2 Hệ Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định không gian M không gian định chuẩn X khuếch thành phiếm hàm tuyến tính liên tục F, xác định toàn X, mà có ||F|| = ||f|| 24 Chứng minh Với x M, ta có |f(x| ||f||.||x|| Vì (x) = ||f||.||x|| sơ chuẩn, thoả mãn yêu cầu định lý Hahn - Banach, f khuếch thành F cho |F(x)| ||f||.||x||, (x X) Do ||F|| ||f|| Mặt khác, F(x) = f(x), x M, nên ||F|| ||f|| Vậy ||F|| = ||f|| 2.2.2.3 Hệ Với phần tử x0 không gian định chuẩn X, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f cho f(x0) = || x0|| ||f|| = Chứng minh Ta có f(x0) = || x0|| phiếm hàm tuyến tính liên tục xác định không gian tạo nên tất vectơ có dạng x0, ||f|| = Do đó, áp dụng hệ 2.2.2.1 ta suy hệ 2.2.2.3 Đ3 Định lý tách Giả sử X không gian lồi địa phơng, X* không gian liên hợp X, tức không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X 2.3.1 Định nghĩa Tập hợp M X thoả mãn đờng thẳng qua hai điểm M nằm M đợc gọi đa tạp tuyến tính M Chú ý: Khái niệm đa tạp tuyến tính khái niệm tập affine không gian hữu hạn chiều Lấy x* X*, x* 0, R kí hiệu: H(x*, ) = {x X : x*, x = } H+(x*, ) = {x X : x*, x } H-(x*, ) = {x X : x*, x } 2.3.2 Định nghĩa Với x* X*, R, tập H(x*, ) đợc gọi siêu phẳng X Các tập H+(x*, ) H-(x*, ) đợc gọi nửa không gian sinh siêu phẳng H(x*, ) Nhận xét: H(x*, ) đa tạp tuyến tính đóng có đối chiều 1, khái niệm siêu phẳng trùng với khái niệm siêu phẳng không gian hữu hạn chiều chơng 2.3.3 Định nghĩa Cho tập hợp A, B X Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục x* tách A B tồn số thực cho x*, y x*, x, (x A, y B) Nếu (*) có dạng x*, y < < x*, x, (x A, y B) 25 (*) ta nói x* tách ngặt A B Siêu phẳng đóng H(x*, ) = {x X : x*, x = } đợc gọi siêu phẳng tách A B Các tập A B nêu nh đợc gọi tách đợc Chú ý: (*) tơng đơng với x*, y x*, x, (x A, y B) 2.3.4 Định lý tách thứ Giả sử A, B hai tập lồi không gian lồi địa phơng X, A B = , intA Khi tồn x* X*, x* 0, tách A B Chứng minh Ta có intA tập lồi (theo Giải tích lồi - Phan Huy Khải, Đỗ Văn Lu, tr.7 mệnh đề 1.5) Vì (intA) B = nên (intA) - B lồi mở (intA) - B Khi tồn siêu phẳng đóng H = {x : x*, x = 0} (theo định lý 3.1 tr 68 Giải tích lồi - Phan Huy Khải, Đỗ Văn Lu) chứa không gian tuyến tính {0} không cắt (intA) - B Ta có x* liên tục, H đóng Hơn nữa, x* x* = H = X, H siêu phẳng X Ta lại có (intA) - B nằm nửa không gian sinh H, chẳng hạn nửa không gian Khi x*, x - y > 0, (x intA, y B) Do x*, x x*, y (x int A = A , y B), x*, x x*, y (x A, y B) 2.3.5 Hệ Giả sử A, B tập lồi X, intA Khi đó, A B tách đợc (intA) B = Chứng minh a) Giả sử (intA) B = Khi đó, theo định lý tách thứ tồn x* X* cho x*, x x*, y , (x intA, y B) Do x* liên tục, A int A , ta có x*, x x*, y (x A, y B), tức x* tách A B b) Giả sử x* X* tách A B, tức x*, x x*, y, (x A, y B) Nếu nh tồn x intA, y B thoả mãn x*, x = x*, y x* 0, ta tìm đợc x1 lân cận U x (U intA), cho 26 x*, x1 > x*, y Bất đẳng thức mâu thuẫn với giả thiết Vì x*, x < x*, y, (x intA, y B) Suy (intA) B = 2.3.6 Định lý tách thứ hai Giả sử tập A không gian lồi, đóng không gian lồi địa phơng X x0 A Khi đó, tồn x* thuộc X* tách ngặt A x0 Chứng minh Bởi X \ A mở x0 X \ A tồn lân cận lồi U cho x0 + U X \ A, tức (x0 + U) A = Theo định lý tách thứ nhất, tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục x* tách x0 + U A, tức x*, y x*, x0 + x*, z, (y A, z U) Do x* 0, ta có * - = inf z U x , z < Vậy x*, y x*, x0 - , (y A) Suy x* tách ngặt A x0 2.3.7 Hệ Giả sử X không gian lồi địa phơng Houssdoff , A X Khi đó, coA trùng với giao tất nửa không gian chứa A Gọi tơng giao tất nửa không gian chứa A M Do nửa không gian lồi đóng, nửa không gian chứa A chứa coA Do coA M Mặt khác, x coA theo định lý tách thứ hai, tồn nửa không gian chứa coA không chứa x Vậy x M Do coA = M 2.3.8 Hệ Giả sử X không gian lồi địa phơng Houssdorff, A X lồi Khi bao đóng A theo tôpô xuất phát A đóng theo tôpô yếu X Chứng minh Theo định nghĩa tôpô yếu, tập hợp phiếm hàm tuyến tính liên tục theo tôpô xuất phát trùng Do đó, tất nửa không gian đóng yếu áp dụng hệ suy điều phải chứng minh 2.3.9 Hệ (Định lý Mazur) Giả sử X không gian Banach, A X, x0 thuộc bao đóng yếu A Khi đó, tồn dãy tổ hợp lồi phần tử A hội tụ đến x0 theo chuẩn 27 Chứng minh Giả sử coA bao lồi đóng A theo tôpô metric X Theo hệ vừa nêu ta có coA đóng yếu Vậy x0 coA = coA Điều có nghĩa dãy phần tử coA hội tụ đến x0 theo chuẩn Đ4 Định lý Farkas - Minkowski Định lý sau đợc gọi định lý Farkas - Minkowski mở rộng 2.4.1 Định lý Cho f(x), gi(x) (i = 1, 2, , k) hàm lồi, xác định tập lồi M Rn Nếu hệ có nghiệm, đồng thời hệ gi(x) < 0, i = 1, k xM gi(x) 0, i = 1, k f(x) < vô nghiệm M, tồn số thực i 0, i = 1, k cho x M thoả mãn gi(x) ta có f(x) + k i gi(x) i =1 Chứng minh Theo điều kiện định lý ta có tập D = {x M: gi(x) 0, i = 1, k } tập lồi thoả mãn điều kiện quy Xét hàm L(x, ) = f(x) + k i gi(x) D i 0, i = 1, k i =1 Theo định lý Kuhn - Tucker (xem [1], tồn x* D * để (x*, *) điểm yên ngựa hàm L(x, ), tức ta có f(x ) + * k k i gi(x ) f(x ) + * * i =1 i =1 * i gi(x ) f(x) + * với x D = (i) Theo giả thiết định lý ta suy f(x ) f(x) + * k i* gi(x) i =1 theo giả thiết x D, ta có f(x) nên f(x*) 28 k i* gi(x) i =1 f(x) + Do k i* gi(x) i =1 Chọn i = i* , ta có điều phải chứng minh 2.4.2 Hệ Cho ánh xạ tuyến tính thực A từ không gian tuyến tính thực X lên không gian tuyến tính thực Y phiếm hàm tuyến tính f i (i = 0, k ) X Nếu f0(x) với x nghiệm đúng: Ax = 0, fi(x) 0, (i = 1, k ) tồn phiếm hàm tuyến tính Y số thực i (i = 1, k ) cho f = A + k i fi i =1 Chứng minh Kí hiệu Z không gian nghiệm hệ Ax = (tức Z = kerA) áp dụng định lý Farkas - Minkowski mở rộng với D = X = Z (x0 = 0) ta có i (i R) (i = 1, k ) cho (x Z) , f0(x) - k i fi(x) i =1 Do Z không gian nên bất đẳng thức với (- x) fi (i = 0, k ) hàm tuyến tính nên từ ta có (x) = f0(x) - k i fi(x) = 0, x nghiệm Ax = i =1 Ta xác định phiếm hàm Y cách: Với y Y, lấy x nghiệm Ax = y (y tồn A toàn ánh) Đặt (y) = (x) Nếu Ax1 = Ax2 = y A(x1-x2) = 0, nên (x1- x2) = tức (x1) = (x2) chứng tỏ (y) xác định đơn trị Đồng thời với cách đặt (x) ta có hàm tuyến tính (x) = (Ax) với x, nghĩa = A Suy A = f - k i fi(x) i =1 hay f0 = A + k i fi(x) i =1 Đ5 Hàm Lagrange định lý Kuhn - Tucker Cho f1, f2, , fk hàm lồi 29 Đặt D = {x Rn : fi(x) 0, i = 1, k } Dễ thấy D tập lồi Ta nói D thoả mãn điều kiện quy với i (i = 1, k ) tồn điểm xi D cho fi(x) < (với điều kiện fi(x) cho tập điểm bọc D khác rỗng) Cho f hàm lồi xác định D Xét hàm L(x, ) = f(x) + k i fi(x) i =1 Hàm L(x, ) gọi hàm Lagrange Ta xét toán Tìm giá trị nhỏ f(x) xác định D Điểm (x*, *), với x* D * = ( 1* , , k* ) đợc gọi điểm yên ngựa hàm Lagrange thoả mãn L(x*, ) L(x*, *) L(x, *) x D, = (1, , k) 2.5.1 Định lý (Định lý Kuhn - Tucker) Giả sử tập lồi D thoả mãn điều kiện quy (fi(x) < 0) Để x* D điểm cực tiểu hàm lồi f điều kiện cần đủ tồn * Rk, * cho (x*, *) điểm yên ngựa hàm Lagrange L(x, ) tập hợp Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử x* điểm cực tiểu hàm lồi f cho Xét tập không gian Rk +1 z , z0 f(x*) P = z , z S = S ( x) x R n z , z0 f(x) S(x) = z , z F(x) với F(x) = (f1(x), f2(x), , fk(x)); z = (zi) Rn, z F(x) zi fi(x) i = 1, k , z0 R z0 f(x*) Dễ thấy P S tập lồi Kí hiệu z , z0 f(x*) P0 = z , z P0 tập điểm bọc P, đồng thời P0 S = 30 Theo định lý tách tồn phiếm hàm tuyến tính tách hai tập hợp P S, nghĩa tồn vectơ (k +1) chiều u0 cho u0z0 + u, z u0w0 + u, w u z w với S P0 z w Do điểm với thành phần không âm có môđun lớn tuỳ ý thuộc tập P0 nên ta có u0 u Chọn z0 = f(x), z = F(x) = (f1, , fk), w0 = f(x*), w = với x Rn ta có u0f(x) + u, F(x) u0f(x*) u0 Nếu u0 = ta có u, F(x) 0, x Rn Mà nên u u u Từ u, F(x) F(x) với ui > 0, ta đợc F(x) = 0, x Rn trái với giả thiết u quy Nghĩa u0 = suy u = trái với u Vậy u0 > Đặt * = u u0 Khi f(x*) f(x) + *, F(x), x Rn Lấy x = x* ta đợc: *, F(x*) (a) Nhng * nên F(x) = (f1, , fk) Mà (f1, , fk) Do (f1, , fk) = Từ *, F(x*) = (b) Với 0, ta có , F(x*) Từ (a), (b), (c) ta nhận đợc đợc (c) f(x*) + , F(x*) f(x*) + *, F(x*) f(x) *, F(x*) Hay L(x*, ) L(x*, *) L(x, *), x D, = (1, , k) 31 Vậy (x*, *) điểm yên ngựa hàm Lagrange L(x, ) Điều kiện đủ: Cho (x*, *) điểm yên ngựa hàm L(x, ), nghĩa L(x*, ) L(x*, *) L(x, *), x D, = (1, , k) Hay f(x*) + k i fi(x*) f(x*) + i =1 k i* fi(x*) f(x) + i =1 k i* fi(x) (*) i =1 Từ bất đẳng thức bên trái ta có k i fi(x*) i =1 k i* fi(x*) i =1 Vì * bất đẳng thức với nên fi(x*) hay k i* fi(x*) i =1 Từ ta có k i* fi(x*) i =1 Mặt khác k i* fi(x) i =1 Do từ vế phải (*) ta có f(x ) f(x) + * k i* fi(x) f(x), x D i =1 Suy x* điểm cực tiểu f(x) D 2.5.2 Hệ Nếu hàm f(x) fi(x), i = 1, , k hàm lồi, khả vi liên tục tập = {x | x 0} cặp (x*, *) điểm yên ngựa hàm Lagrange L(x, ) miền x 0, 0, điều kiện cần đủ L* i) 0, xi i = 1, n L* ii) xi = , i = 1, n xi 32 L* iii) , i = 1, n i iv) xi* , i = 1, n v) * * L i i = , i = 1, n vi) i* , i = 1, n , L* L* * * kí hiệu cho đạo hàm L theo xi lấy giá trị (x , ), kí xi i hiệu cho đạo hàm L theo i lấy giá trị (x*, *) Chứng minh Điều kiện cần: Giả sử tồn x* 0, * 0, (x*, *) điểm yên ngựa hàm L(x, ) Sử dụng bất đẳng thức bên phải (*) ta có xi* điểm cực tiểu hàm biến L(xi, *) với xi Từ đó, L hàm lồi, suy ta có i) iii) Với điều kiện iv) vi) rõ ràng L tuyến tính với Điều kiện đủ: Giả sử có điều kiện i) vi) Vì f fi hàm lồi nên L(x, ) hàm lồi theo x, với x 0, theo tính chất hàm lồi ta có L* L(x, ) L(x , ) + x x , x * * * * Từ từ điều kiện định lý ta có L(x, *) L(x*, *) Do điều kiện định lý hàm L tuyến tính với ta có bất đẳng thức bên trái 33 Kết luận Với đề tài nêu Một số vấn đề hàm lồi ứng dụng Giải tích lồi, vấn đề rộng lớn, phạm vi ứng dụng hàm lồi phong phú đa dạng, bao gồm nhiều lĩnh vực khác Chúng hạn chế ứng dụng hàm lồi Giải tích lồi Trong thời gian ngắn ngủi lực nhiều hạn chế, góp đợc số nội dung sau: Hệ thống đợc kiến thức sở hàm lồi vấn đề liên quan (Đ1, chơng 1) Phát biểu chứng minh tính chất, định lý, hệ hàm lồi (Đ2 chơng 1) Phát biểu chứng minh định lý quan trọng hàm lồi giải tích lồi (chơng 2) Chúng hy vọng thu đợc kết bổ ích sau thực luận văn Để có đợc tiến sau lần tập dợt nghiên cứu này, ngời viết mong muốn nhận đợc nhiều ý kiến đóng góp, xây dựng thầy, cô giáo bạn bè tài liệu tham khảo [1] Carmanov, Quy hoạch toán học, (bản dịch GS.TS Trần Vũ Thiệu PGS.TS Bùi Thế Tâm), Tạp chí Vận trù học, số 32, 1975 [2] Đỗ Văn Lu - Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2000 [3] Trần Xuân Phợng, Một số ứng dụng định lý Hahn - Banach Giải tích lồi lý thuyết tối u, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh, 2002 34 [4] R T Rockafellar, Convex analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 [5] Trần Xuân Sinh, Bài giảng Cơ sở Giải tích lồi ứng dụng, Đại học Vinh, 2003 [6] Trần Vũ Thiệu, Cơ sở Giải tích lồi, Bài giảng Cao học, Khoa Toán, Đại học Khoa học tự nhiên thuộc ĐHQG Hà Nội, 2003 [7] Hoàng Tuỵ, Convex analysis and global optimization, Kluwer Academic Publishers, Boston / London / Dordrecht, 1998 [8] Hoàng Tuỵ, Hàm thực Giải tích hàm (Giải tích đại), NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2003 35 [...]... các hàm lồi nên L(x, ) là hàm lồi theo x, với x 0, do đó theo tính chất của hàm lồi ta có L* L(x, ) L(x , ) + x x , x * * * * Từ đó và từ điều kiện của định lý ta có L(x, *) L(x*, *) Do điều kiện của định lý và hàm L tuyến tính với ta có bất đẳng thức bên trái 33 Kết luận Với đề tài đã nêu Một số vấn đề về hàm lồi và ứng dụng trong Giải tích lồi, đây là một vấn đề rộng lớn, phạm vi ứng dụng. .. của hàm lồi rất phong phú và đa dạng, bao gồm nhiều lĩnh vực khác nhau Chúng tôi chỉ hạn chế ứng dụng của hàm lồi trong Giải tích lồi Trong thời gian ngắn ngủi và năng lực còn nhiều hạn chế, chúng tôi chỉ mới góp đợc một số nội dung sau: 1 Hệ thống đợc những kiến thức cơ sở của hàm lồi và các vấn đề liên quan (Đ1, chơng 1) 2 Phát biểu và chứng minh các tính chất, định lý, hệ quả cơ bản của hàm lồi. .. học, số 32, 1975 [2] Đỗ Văn Lu - Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2000 [3] Trần Xuân Phợng, Một số ứng dụng của định lý Hahn - Banach trong Giải tích lồi và lý thuyết tối u, Luận văn Thạc sĩ Toán học, Đại học Vinh, 2002 34 [4] R T Rockafellar, Convex analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 [5] Trần Xuân Sinh, Bài giảng Cơ sở Giải tích lồi và ứng dụng, ... lồi trên Rn Chứng minh áp dụng tính chất 1.2.3 ta suy trực tiếp kết quả Chơng 2 Một số định lý quan trọng về hàm lồi Trong giải tích lồi có 5 mệnh đề quan trọng, bao gồm 1 Bổ đề Hoàng Tụy 2 Định lý Tách 3 Định lý Hahn - Banach 4 Bổ đề Farkas- Mincôpski 5 Định lý Lagrăng Đ1 Bổ đề Hoàng Tụy Cho không gian Rn (n hữu hạn) và các vectơ p = (p1, p2, , pn), q = (q1, q2, , qn), trong đó pi : các số thực lấy... Tính chất lồi của hàm không giống tính chất đóng Cụ thể nếu hàm f lồi thì tất cả các tập mức dới của nó là lồi Nhng điều ngợc lại không đúng Chẳng hạn: Hàm f(x) = x3 (x R) có tất cả các tập mức lồi, nhng f không lồi trên R Hàm f(x) = x 1 2 , (x R) có tất cả các tập mức lồi nhng f không lồi 1.2.15 Tính chất Cho (X ì R) là tập lồi trong Rn+1, và f(x) = inf{à R : (x, à) (X ì R)} Khi đó f là hàm lồi trên... là hàm lồi, theo bổ đề Hoàng Tụy phải có một số thực t nghiệm đúng z = (x, y) = Q, ty - F(x) + (z) 0 Đặt F1(z) = F(x) - ty với mọi z = x + yx0 (y R) ta sẽ đợc một phiếm hàm tuyến tính F1 xác định trên không gian M1 sinh bởi hợp của M và x0, và nghiệm đúng (z M) F1(z) (z) Nh thế F1 F và F1 < F, trái với tính chất tối đại của F 2.2.2.2 Hệ quả Một phiếm hàm tuyến tính liên tục f xác định trên một. .. 0 Vậy f(x) + f(-x) 0 1.2.8 Tính chất Cho fi (i = 1, , m) là các hàm lồi xác định trên tập lồi X Kí hiệu f(x) = f1(x) + f2(x) + + fm(x) f = f1 + f2 + + fm Khi đó f là hàm lồi (Hay tổng của các hàm lồi là hàm lồi) Chứng minh Theo tính chất 1.2.3 ta cần chứng minh f(x + (1- )y) f(x) + (1- )f(y), ( [0, 1] Theo giả thiết vì fi là hàm lồi nên fi(x + (1- )y) fi(x) + (1- )fi(y) Do đó f(x + (1- )y) =... 1.2.9 Tính chất Cho f là hàm liên tục, khả vi xác định trên tập lồi X Rn Khi đó, f là hàm lồi khi và chỉ khi f(y), x - y f(x) - f(y), (x,y X), trong đó f(y) = f y1 , , f yn ( ) 13 Chứng minh Giả sử có f(y), x - y f(x) - f(y), (x,y X), ta chứng minh f là lồi Với bất kỳ x, y X và [0, 1], đặt z = y + (1- )x Do X lồi nên z X Với x và z ta có f(x) - f(z) f(z), x - z (a) Với y và z ta có f(y) - f(z)... đợc chứng minh 2.1.2 Các trờng hợp riêng của bổ đề Hoàng Tụy Trờng hợp 1: Khi p, q, y là các số thực, từ bổ đề Hoàng Tụy ta có hệ quả 20 2.1.2.1 Hệ quả Với giả thiết đã nêu, nếu một hàm lồi f xác định trên M thoả mãn hệ thức p, q, y + f(u) 0 (u = (x,y) M) thì điều kiện cần và đủ là có một số thực a sao cho p a q và u = (x,y) M thì ay + f(u) 0 Trờng hợp 2: Giả sử tập lồi M nhận điểm O là điểm trong. .. trình Ax 0, trong đó A là ma trận cấp m ì n và p = q, ta có hệ quả (gọi là bổ đề Farkas): 2.1.2.3 Hệ quả (Bổ đề Farkas) Muốn cho p, x 0 với mọi x nghiệm đúng Ax 0, điều kiện cần và đủ là tồn tại một vectơ z Rk, sao cho z 0 và p = A*z (trong đó A* là ma trận chuyển vị của A) Đ 2 Định lý Hahn - Banach 2.2.1 Một số kiến thức cơ sở 2.2.1.1 Không gian tuyến tính Một tập hợp X đợc gọi là một không gian ... Với đề tài nêu Một số vấn đề hàm lồi ứng dụng Giải tích lồi, vấn đề rộng lớn, phạm vi ứng dụng hàm lồi phong phú đa dạng, bao gồm nhiều lĩnh vực khác Chúng hạn chế ứng dụng hàm lồi Giải tích lồi. .. (i = 1, , m) hàm lồi xác định tập lồi X Kí hiệu f(x) = f1(x) + f2(x) + + fm(x) f = f1 + f2 + + fm Khi f hàm lồi (Hay tổng hàm lồi hàm lồi) Chứng minh Theo tính chất 1.2.3 ta cần chứng minh f(x... chí Vận trù học, số 32, 1975 [2] Đỗ Văn Lu - Phan Huy Khải, Giải tích lồi, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2000 [3] Trần Xuân Phợng, Một số ứng dụng định lý Hahn - Banach Giải tích lồi lý thuyết