Một số vấn đề về lí thuyết toán tử

trờng đại học vinh Khoa toán - - rịnh thị hơng Một số vấn đề lý thuyết toán tử Khoá luận tốt nghiệp đại học cử nhân khoa học ngành toán Chuyên ngành giải tích Ngời hớng dẫn: pgs.ts Trần Văn ÂN vinh - 2004 Mục lục Trang Lời nói đầu Chơng I Toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn I Toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn II Toán tử liên hợp không gian định chuẩn III Phổ toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn IV Không gian liên hợp 10 Chơng II Toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert 16 I Toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert 16 II Toán tử tự liên hợp không gian Hilbert 18 III Phổ toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert Chơng III Toán tử dơng, toán tử chiếu 20 22 I Toán tử dơng 22 II Toán tử chiếu 25 Chơng IV Toán tử compact 28 I Toán tử compact không gian định chuẩn 28 II Toán tử compact không gian Hilbert 30 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35 Lời nói đầu Không gian định chuẩn, không gian Banach, không gian Hilbert với ánh xạ tuyến tính liên tục làm tảng để xây dựng giải tích hàm, ngành toán học bắt đầu xây dựng muộn (cách gần kỷ) nhng đợc xem nh ngành toán học cổ điển Trong khoảng thời gian ấy, giải tích hàm tích luỹ đợc cho nội dung phong phú, phơng pháp kết giải tích hàm xâm nhập vào ngành toán học khác có liên quan có sử dụng đến công cụ giải tích không gian vectơ Theo việc mở rộng kết ánh xạ (toán tử) tuyến tính liên tục đợc phát triển lên bớc trình thu hẹp điều kiện toán tử tuyến tính không gian nói đa cho nhiều kết thú vị Trong khuôn khổ khoá luận này, tác giả giới thiệu phần nhỏ vấn đề lý thuyết toán tử, từ cho ta thấy cách nhìn tổng quan lý thuyết toán tử không gian định chuẩn, không gian Banach không gian Hilbert Khoá luận phần mục lục, lời nói đầu, kết luận tài liệu tham khảo nội dung khoá luận đợc chia làm chơng Cụ thể nh sau - Chơng I Trình bày khái niệm kết toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn, toán tử liên hợp, phổ toán tử tuyến tính liên tục, không gian liên hợp - Chơng II Trình bày khái niệm kết toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert, toán tử tự liên hợp không gian Hilbert, phổ toán tử tuyến tính liên tục không gian Hilbert - Chơng III Trình bày khái niệm kết toán tử dơng, toán tử chiếu - Chơng IV Trình bày khái niệm kết toán tử compact Tác giả xin chân thành cảm ơn tới thầy cô giáo tổ giải tích, đặc biệt PGS.TS Trần Văn Ân, tập thể lớp 41B Toán giúp đỡ tận tình góp ý cho tác giả để hoàn thành đợc khoá luận Vì thời gian hoàn thành khoá luận ngắn trình độ hiểu biết tác giả hạn chế nên khoá luận tránh khỏi khiếm khuyết Tác giả mong nhận đợc góp ý thầy cô giáo bạn bè ngày tiến Vinh, ngày 20 tháng năm 2004 Tác giả chơng I Toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn I.Toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn 1.1 Định nghĩa Giả sử E, F hai không gian định chuẩn trờng số K(thực hay phức) ánh xạ ( toán tử ) f : E F đợc gọi tuyến tính với phần tử x, y E số , K ta có: f(x + y) = .f(x) + .f(y) - Nếu f : E F ánh xạ tuyến tính liên tục theo mêtric sinh chuẩn E F f đợc gọi ánh xạ( toán tử) tuyến tính liên tục Trong trờng hợp F trờng số K f : E F đợc gọi phiếm hàm tuyến tính liên tục - Nếu f : E F song ánh tuyến tính liên tục hai chiều f đợc gọi đẳng cấu không gian định chuẩn E F 1.2 Mệnh đề ([1]) Giả sử f ánh xạ tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F Khi mệnh đề sau tơng đơng: a) f liên tục đều; b) f liên tục; c) f liên tục điểm E; d) f bị chặn, tức tồn số k > cho: f ( x ) k x ; với x E 1.3 Mệnh đề ([1]) Đẳng cấu đại số f : E F đẳng cấu tồn số dơng a b cho: a x f ( x ) b x với x E 1.4 Định lý Giả sử f : E F đẳng cấu đại số Để f : F E liên tục, điều kiện cần đủ tồn số h > cho f ( x) h x với x E Chứng minh Giả sử f liên tục, theo mệnh đề I.1.2 tồn số k > để với y F ta có f ( y ) k y Với x E, x = f 1(f(x)), ta có x = f ( f ( y ) ) k f ( x ) Vì với k = f ( x ) h x h Ngợc lại, giả sử f ( x ) h x ta cần chứng minh f-1 liên tục Thật vậy, với số > bất kỳ, chọn = .h Khi với m, n F mà m n < , m = f (f-1(m)), n = f (f-1(n)), ta có mn = f Suy ( f ( m) ) f ( f ( n) ) 1 ( f ( m) f ( n) ) 1 1 1 = f ( f ( m ) f ( n ) ) h ( f ( m ) f ( n ) ) mn h < h = Nghĩa f-1 liên tục h 1.5 Định nghĩa Giả sử E không gian vectơ , hai chuẩn xác định E Nếu chuẩn gây nên tôpô E hai chuẩn đợc gọi tơng đơng với Nhận xét Hai chuẩn không gian vectơ E tơng đơng với ánh xạ đồng iE : (E, ) (E, ) phép đẳng cấu 1.6 Định lý Hai chuẩn không gian tuyến tính E tơng đơng tồn số dơng a, b cho a x x b x với x E Chứng minh Giả sử chuẩn hai chuẩn không gian tuyến tính E Ta đợc hai không gian định chuẩn (E, ) (E, ) Vì tơng đơng với ánh xạ đồng đẳng cấu tôpô iE : E E iE-1 : E E liên tục tồn số a > 0, b > cho a x x b x (theo mệnh đề I.1.3) 1.7 Hệ Tính Banach không gian định chuẩn không thay đổi ta thay chuẩn xuất phát chuẩn tơng đơng 1.8 Mệnh đề([1]) Nếu f : E F g : F G ánh xạ tuyến tính liên tục gof ánh xạ tuyến tính liên tục g f g f 1.9 Mệnh đề([1]) Với moị f L (E,F) ta có f ( x ) = sup x f ( x) x f ( x) = = sup x sup f ( x ) với x E hàm f f chuẩn L (E,F) x =1 1.10 Định lý Toán tử tuyến tính f : E F từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F liên tục tập hợp giá trị mặt cầu (tuỳ ý) giới nội Chứng minh Thật vậy, giả sử f ( x ) N với x thuộc mặt cầu (x0,r) = {x E : x x0 = r} Ta cần chứng minh f liên tục Lấy x E mà x = 1, x0 + rx x0 = r x = r nên x0 + r.x thuộc mặt cầu (x0,r) Do ta có f ( rx + x0 ) N Hơn f ( rx + x0 ) = r f ( x ) + r f ( x0 ) N Ta suy f ( x ) sup x f ( x) x ( N + f ( x0 ) ) Theo mệnh đề I.1.9 r f ( x ) ( N + f ( x ) ) Vậy f liên tục = sup x =1 r II Toán tử liên hợp không gian định chuẩn 2.1 Định nghĩa Giả sử E F hai không gian định chuẩn f : E F toán tử tuyến tính liên tục Khi xác định đợc ánh xạ f : F E cho công thức f*(y)[x] = y[f(x)] với x E, y F* Toán tử f : F* E* xác định nh gọi toán tử liên hợp toán tử f : E F 2.2 Định lý Giả sử f : E F toán tử tuyến tính liên tục f : F* E* toán tử liên hợp f Khi f toán tử tuyến tính liên tục Chứng minh Với số , K, số m, n F , số x E ta có [f*(m + n )](x) = (m + n)[ f(x)] = .m[f(x)] + .n[f(x)] = [.f*(m) + .f*(n)](x) Mặt khác theo mệnh đề I.1.8 ta có f ( m) = m f = sup x =1, xE ( m f )( x ) m f Do f f Vậy f* : F* E* ánh xạ tuyến tính liên tục 2.3 Định lý Giả sử E, F, G ba không gian định chuẩn, f , g h L (E,F) L (F,G) Ta có a) (.f)* = .f*, với số K; b) (f + g )* = f* + g*; c) (h f)*= f* h* Chứng minh a, b) Hiển nhiên ( suy từ tính chất ánh xạ tuyến tính) c) Với x E z G* ta có (h f)*(z)[x] = z[(h f)(x)] = z[h[f(x)]] = h*(z)[f(x)] = f*[h*(z)](x) = (f* h*)(z)[x] Vậy (h f)* = f* h* 2.4 Mệnh đề([2]) Giả sử f** toán tử liên hợp toán tử f* Khi thu hẹp f** lên E toán tử f, tức (f**)(x) = f(x) với x E 2.5 Mệnh đề([2]) Giả sử E, F hai không gian định chuẩn f L (E,F) a) Nếu f có toán tử ngợc liên tục f f* có toán tử ngợc liên tục (f*)-1 = ( f )* b) Giả sử E không gian Banach f* có toán tử ngợc bị chặn Khi f có toán tử ngợc bị chặn F không gian Banach III Phổ toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn 3.1 Đại số L (E) L (E) = L (E,E) không gian định chuẩn toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E Trên L (E) xác Cho E không gian định chuẩn trờng K Ký hiệu định ba phép toán: L (E) x L (E) L (E), (f,g) f + g, cho ( f + g )(x) = f(x) + g(x), với f, g L (E), x E - Nhân vô hớng: KxL (E) L (E), (,f ) .f, cho (.f)(x) = .f(x), với K, f L (E), x E - Nhân (hợp thành): L (E)x L (E) L (E), (f,g) f g, cho (f g)(x) = f[g(x)], với f, g L (E), x E Khi (L (E), +, ) lập thành vành trờng số K không gian L (E) đại số Hơn đại số L (E) đại số định chuẩn chuẩn L (E) thoả mãn - Phép cộng: điều kiện f g f g Nếu E không gian Banach L (E) đại số Banach Ký hiệu = iE ánh xạ đồng E Ta có f = f = f, với f L (E) Phần tử gọi đơn vị L (E) Phần tử f L (E) đợc gọi khả nghịch tồn g L (E) cho g f = f g = Phần tử g xác định nh gọi nghịch đảo f ký hiệu f-1 Với f L (E) n N ta viết f n = f f f (n lần f ) Một hàm xác định lân cận điểm K nhận giá trị L (E) đợc gọi giải tích lân cận viết f() = ( ) n =0 n f n ; fn L (E) 3.2 Phổ tồn giá trị phổ 3.2.1 Định nghĩa Giả sử E không gian định chuẩn L (E) = L (E,E) Số K gọi quy f L (E) - f = .1 f phần tử khả nghịch L (E) Trong trờng hợp ngợc lại ta nói thuộc phổ f Ký hiệu tập số quy f S(f) phổ f (f) 3.2.2 Nhận xét - S(f) (f) = S(f) (f) = K - Số đợc gọi giá trị riêng ánh xạ tuyến tính f L (E) tồn x E, x cho x f(x) = Trong trờng hợp - f không khả nghịch, giá trị riêng f (f) 3.2.3 Mệnh đề ([1]) Nếu L (E) đại số Banach với f L (E) phổ f tập compact K, hàm ( - f )-1 hàm giải tích tập mở S(f) K Hơn K = C, tức E không gian phức (f) 3.2.4 Hệ Với f L (E), (f) { : f } 3.2.5 Hệ Nếu S(f) d( , (f)) ( f ) 3.2.6 Định lý Giả sử f toán tử tuyến tính bị chặn không gian định chuẩn E giá trị riêng f Không gian riêng { x E : f ( x ) = .x } ứng với giá tri riêng n= không gian đóng E Chứng minh Vì f ánh xạ tuyến tính liên tục không gian định chuẩn E nên f - ánh xạ tuyến tính liên tục Tập điểm { 0} trờng số K tập đóng, ta cần chứng minh: n = { x E : f ( x ) = .x } = { x E : f ( x ) .x = } = ( f - )-1(0) không gian E n tồn E f(0) = = Với x, y n số , K ta có ( f - )( .x + .y ) = f( .x + .y ) - ( .x + .y ) = .( f - )(x) - .( f - )(y) = Vậy n không gian đóng E 3.3 Bán kính phổ Ta gọi bán kính phổ f L (E) số (f) = sup{ : ( f ) } 3.3.1 Mệnh đề ([1]) Nếu L (E) đại số Banach f 10 L (E) bán kính phổ Chơng III Toán tử dơng, toán tử chiếu I Toán tử dơng 1.1 Định nghĩa Giả sử E không gian Hilbert f toán tử dơng < f(x) L (E) Toán tử f đợc gọi x > với x E 1.2 Định lý Mỗi toán tử dơng tự liên hợp Chứng minh Vì f toán tử dơng nên với x E < f(x) x > Theo mệnh đề II.2.2 ta có f toán tử tự liên hợp 1.3 Định lý Với toán tử tuyến tính liên tục f L (E) toán tử f* f toán tử dơng Chứng minh Giả sử f toán tử có < f*of(x) L (E) Khi với x E ta f(x) > Hay f* f toán tử dơng x > = < f(x) 1.4 Mệnh đề ([1]) ( Bất đẳng thức Cauchy Schwartz tổng quát) Nếu f toán tử dơng < f(x) y >2 < f(x) x E Đặc biệt, < f(x) y > với x, y E x>.< f(y) 1.5 Mệnh đề ([1]) Nếu f toán tử dơng f (x) L (E) f < f(x) x > với x > = f(x) = với x E 1.6 Định lý Nếu f toán tử dơng { x n } dãy phần tử E cho < f(xn) xn > f(xn) Chứng minh Với y = f(xn), theo mệnh đề II.1.4 ta có < f(xn) f(xn) >2 = f ( xn ) < f(xn) Do f ( x n ) f < f(xn) xn > < f(f(xn)) f(xn) > < f(xn) xn > f f ( xn ) f ( xn ) = < f(xn) xn > f f ( xn ) xn > 0, hay f ( xn ) 0, nghĩa f(xn) Ta viết f f toán tử dơng viết f g g f f g 24 1.7 Mệnh đề ([2]) Giả sử f toán tử dơng không gian Hilbert E < f ( x) x > ; M = sup < f ( x) x > Đặt m = xinf E ; x =1 xE ; x =1 a) f = M; b) m (f), M (f) (f) [m,M] 1.8 Định lý Quan hệ số thứ tự lớp ánh xạ tự liên hợp L (E) Hơn nữa, g f h tự liên hợp g + h f + h; f c số dơng c.f Chứng minh Ta cần chứng minh quan hệ lớp ánh xạ tự liên hợp L (E) thoã mãn tính chất sau: - Tính phản xạ Với toán tử tự liên hợp f < (f - f)(x) x > = < (f(x) f(x)) x > = < f(x) L (E) ta có x > < f(x) x>=0 với x E Do f f hay f f - Tính phản đối xứng Nếu f g g f < (f - g)(x) x > < (g - f)(x) x > < g(x) Do < f(x) > = < g(x) x > với x E x > < g(x) x > Khi < (f(x) g(x)) x > < f(x) x > hay < f(x) x > = nên < (f - g)(x) x x > = 0, với x E Theo mệnh đề III.1.5 (f - g)(x) = với x E, nghĩa f = g - Tính bắc cầu Với toán tử tự liên hợp f, g, h Ta có < (h - f)(x) x > = < ((h - g) + (g - f))(x) = < (h - g)(x) L (E) thoã mãn f g g h x> x > + < (g - f)(x) x > với x E, hay h f 0, tức h f Nếu f g h tự liên hợp ta có (f + h) ( g + h) = f g 0, (f + h) ( g + h) Nếu f c số dơng, với x E 25 < (cf)(x) x > = < c.f(x) x > = c.< f(x) x > 0, c.f 1.9 Mệnh đề ([1]) Giả sử f toán tử dơng không gian Hilbert Khi tồn toán tử dơng cho = f Toán tử đợc gọi dơng toán tử f ký hiệu f 1.10 Mệnh đề ([1]) a) Nếu g toán tử liên hợp tuỳ ý, g giao hoán đợc với f g giao hoán đợc với f b) Nếu f g toán tử dơng giao hoán đợc với fog toán tử dơng 1.11 Mệnh đề ([5]) Giả sử E không gian Hilbert f liên hợp Nếu < f(x) L (E) toán tử tự x > với x E < f(x0) x0 > > với x thuộc E f toán tử dơng 1.12 Định lý Giả sử E không gian Hilbert phức f dơng f toán tử tự liên hợp (f) L (E) Ta có f toán tử [0, + ) Chứng minh Giả sử f toán tử dơng Theo định lý III.1.2 f toán tử tự liên hợp < f ( x) x > ; M = sup < f ( x) x > (f) Đặt m = xinf E ; x =1 xE ; x =1 Vì < f(x) x > với x nên m Vậy (f) [m,M] [0, + ) Ngợc lại, giả sử f toán tử tự liên hợp (f) < f(x) [m,M] [0, + ) Khi < f ( x) x > (f) x> R, với x E m = xinf E ; x =1 Do m 0, hay < f(x) x > với x E mà x = Vậy f = sup : x < x x > 26 x> Chứng minh Vì f toán tử dơng nên theo bất đẳng thức Cauchy-Schwartz tổng quát ta có < f(x) y >2 < f(x) x > < f(y) y > với x, y E Đặt y = f(x) ta có f (x) f < f(x) f = sup x0 f ( x) x f ( x) x x >, với x E Mà 2 f < f(x) x >, hay f sup < f ( x) x > x0 < xx> , với x E Mặt khác, từ < f(x) Vậy f = sup x0 x > f x nên f sup < f ( x) x > < f ( x) x > x < xx> , với x E II Toán tử chiếu Giả sử E không gian Hilbert, F không gian đóng E Khi vectơ x E đợc viết cách dới dạng x = y + z, y F z F 2.1 Định nghĩa Toán tử f: E F đợc gọi toán tử chiếu f = pF với pF phép chiếu trực giao E lên không gian đóng F E Nhận xét Nếu f : E F phép chiếu lên không gian E với x = y + z E ta có f(x) = f (y + z ) = y 2.2 Định lý a) Nếu f toán tử chiếu I f = p F toán tử chiếu; b) Mỗi toán tử chiếu toán tử dơng Chứng minh a) Giả sử E không gian Hilbert F không gian đóng E Với x E x = y + z, y F z F Ta có (I f)(x) = (I - f)(y + z) = y + z f(y + z) = y + z y = z F , với x E Theo bổ đề III.2.3 ([1]), F không gian đóng E Vậy I f = p F toán tử chiếu b) Nếu f = pF toán tử chiếu, với x E ta có 27 < pF(x) x - pF(x)> = < pF(x) x > < pF(x) pF(x) > = Vì pF(x) = y F, x - pF(x) = z F , mà F F nên < pF(x) Do < pF(x) x > = < pF(x) x - pF(x) > = pF(x)> với x E Vậy f = pF toán tử d- ơng 2.3 Mệnh đề ([1]) Để p L (E) toán tử chiếu, điều kiện cần đủ p = p* p2=p 2.4 Mệnh đề ([2]) Giả sử p1 p2 hai toán tử chiếu không gian Hilbert E lần lợt lên hai không gian đóng M1 M2 Các mệnh đề sau tơng đơng: a) M1 M2; b) p1 p2 = p2 p1= 0; c) p1 + p2 toán tử chiếu Khi p1 + p2 toán tử chiếu lên M1 M2 2.5 Mệnh đề ([2]) Giả sử p1 p2 hai toán tử chiếu không gian Hilbert E lần lợt lên hai không gian đóng M1 M2 Các mệnh đề sau tơng đơng: a) M1 M2; b) p1 p2 = p1 hay p2 p1= p1; c) p1 p2 ( Hay p2 p1 toán tử dơng); d) p2 p1 toán tử chiếu Khi p2 p1 toán tử chiếu lên phần bù trực giao M M2, không gian đợc ký hiệu M2 M1 2.6 Mệnh đề ([2]) Giả sử M1 M2 hai không gian đóng không gian Hilbert E Đặt M = M1 M2; N1 = M1 M; N2 = M2 N, gọi p, p1, p2 lần lợt toán tử chiếu lên M, M1 M2 Các mệnh đề sau tơng đơng: a) N1 N2; b) p1 p2 giao hoán với nhau, tức p1 p2 = p2 p1; c) p1 p2 toán tử chiếu Khi đó: 1) p1 p2 = p; 2) p1 + p2 - p1 p2 toán tử chiếu lên M N1 N2 = M1 N2 = M2 N1 28 2.7 Định lý Giả sử f toán tử chiếu từ không gian E lên không gian đóng F E f = Chứng minh Với x E x = y + z, y F z F Vì y z nên x 2 = < (y + z) 2 (y + z) > = y + z Do f (x) = y x Vì f 2 ánh xạ tuyến tính liên tục nên f Nếu x F f(x) = x Do f (x) = x f = x sup , xE f ( x) x Suy f = 2.8 Định lý Giả sử E hai không gian Hilbert, f phép chiếu trực giao < f(x) L (E) phép chiếu, f x > = f (x) với x E Chứng minh Giả sử f phép chiếu trực giao lên không gian đóng F E Với x E ta có x = y + z = f(x) + (1 - f)(x), y F z F Do < f(x) x > = < f(x) = < f(x) (f(x) + (1 -f)(x)) > f(x) > + < f(x) (1 -f)(x) > = f (x) Ngợc lại, giả sử f phép chiếu thoả mãn điều kiện Khi f (x) = < f(x) x > với x E Theo định lý III.1.2 f tự liên hợp, tức f* = f Mặt khác, từ f (x) = < f(x) f(x) > = < f(x) với x E nên ta có < (f2(x) f(x)) f*(x) > = < f2(x) x > = < f(x) x> x > = < (f2 f)(x) x > = với x E Theo mệnh đề III.1.5 (f2 f)(x) = với x E, hay f2 = f Theo mệnh đề III.2.3 ta có f toán tử chiếu 2.9 Định nghĩa Giả sử E không gian Hilbert Toán tử f L (E) đợc gọi chuẩn tắc f* f = f f* 2.10 Định lý Giả sử E không gian Hilbert f L (E) phép chiếu Toán tử f phép chiếu trực giao f toán tử chuẩn tắc Chứng minh Giả sử f phép chiếu trực giao lên không gian đóng F E Theo mệnh đề III.2.3 f tự liên hợp, f* f = f f = f f* hay f chuẩn tắc Ngợc lại, giả sử f phép chiếu chuẩn tắc Khi f phép chiếu, nên 29 { f ( x) x E} = { y F y = f ( x), x E} = { x E x f ( x) = 0} = n (1 - f) Do { y E y = f ( x), x E} không gian đóng E Vì f toán tử chuẩn tắc nên n (f) = { x E f ( x) = 0} = { y E y = f ( x), x E} = ( f ) Với x E x (f) = = f(x) + (1 - f)(x) Ta thấy (1 -f)(x) = x f(x) n (f) (vì f(x) (f)) (1 -f)(x) ( f ) Vậy f toán tử chiếu Chơng IV Toán tử compact I Toán tử compact không gian định chuẩn 1.1 Định nghĩa Giả sử E F không gian định chuẩn ánh xạ (toán tử) tuyến tính f: E F đợc gọi toán tử compact ảnh f(B) hình cầu đơn vị đóng B E compact tơng đối F 1.2 Nhận xét - Nếu f toán tử compact f = sup f ( x) = sup{ y : y f (B ) xB } < Do f liên tục - Toán tử compact nói chung chặt chẽ toán tử liên tục, toán tử compact gọi toán tử hoàn toàn liên tục 1.3 Mệnh đề ([1]) Nếu f toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F mệnh đề sau tơng đơng a) f compact; b) Nếu A tập bị chặn E f(A) tập compact tơng đối F; c) Nếu { x n } dãy bị chặn E tồn dãy {x } nk để dãy { f ( x n )} hội k tụ F 1.4 Định lý a) Nếu E F hữu hạn chiều ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F compăct b) Nếu E vô hạn chiều ánh xạ đồng E liên tục nhng không compact Chứng minh a) Nếu E không gian định chuẩn hữu hạn chiều, theo định lý Riesz (định lý I.4.6, [1]) E compact địa phơng 30 Theo hệ I.1.5 ([1]) hình cầu đơn vị đóng B = { x E : x 1} compact, nghĩa hình cầu đơn vị đóng B E compact tơng đối E Vì f ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F nên ảnh f(B) compact tơng đối F, nghĩa f compact Nếu F không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B hình cầu đơn vị đóng E Ta có f(B) = { f ( x) : x B} Mặt khác, với f(x) f(B), f ánh xạ tuyến tính nên f (x) f x f Hay f ( B ) = { f ( x ) F : f ( x) f } tập compact tơng đối F Vậy f compact b) Nếu I ánh xạ đồng không gian vô hạn chiều E I ánh xạ tuyến tính liên tục I = Với B hình cầu đơn vị đóng không gian định chuẩn E, I(B) = B Vì B compact tơng đối E có số chiều hữu hạn Do I liên tục nhng không compact g f h 1.5 Mệnh đề ([1]) Giả sử G E F H dãy không gian định chuẩn ánh xạ tuyến tính liên tục Khi f compact họ h ofog compact 1.6 Định lý Nếu E không gian định chuẩn f g f f g compact với g L (E) toán tử compact L (E) Chứng minh Với h ánh xạ đồng i E từ E lên E, áp dụng mệnh đề IV.1.5 i g f ta có: E E E E , iE, g, f E L (E), f compact Do i ofo g = E f og compact i f g E E E E, g, iE, f E L (E), f compact Do g of oiE = g of compact 1.7 Mệnh đề ([1]) Tập tất toán tử compact từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F không gian vectơ L (E,F) 1.8 Mệnh đề ([1]) Giả sử E không gian định chuẩn, F không gian Banach, { f n } dãy toán tử compact Khi f toán tử compact 31 L (E) hội tụ đến f L (E,F) 1.9 Mệnh đề ([1]) Giả sử f L (E,F) toán tử compact g = f Nếu F G không gian vectơ đóng E, với G F g(F) G tồn a F\G cho a = f (a) f ( x) với x G 1.10 Mệnh đề ([1]) Giả sử E không gian định chuẩn, f L (E) toán tử compact , g = f Khi a) g-1(0) hữu hạn chiều; b) g(E) đóng E; c) g(E) có đối chiều hữu hạn; d) Nếu g-1(0) = { 0} g phép đồng phôi tuyến tính từ E lên g(E) 1.11 Mệnh đề ([2]) Nếu f: E F toán tử compact từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F f biến (ánh xạ) dãy hội tụ yếu E thành dãy hội tụ mạnh F 1.12 Mệnh đề ([2]) Giả sử E không gian Banach phản xạ F không gian định chuẩn tuỳ ý Nếu toán tử tuyến tính f: E F ánh xạ dãy hội tụ yếu E thành dãy hội tụ (mạnh) F f toán tử compact 1.13 Mệnh đề ([2]) a) Nếu E F hai không gian định chuẩn f: E F toán tử compact toán tử liên hợp f*: F* E* compact b) Ngợc lại, toán tử f* compact F không gian Banach f compact 1.14 Mệnh đề ([2]) Nếu f toán tử compact từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F bao đóng ( f ) miền giá trị R(f) f không gian đóng khả li f II toán tử compact không gian Hilbert 32 2.1 Định lý Giả sử { en } sở trực chuẩn không gian Hilbert E Tập Q E compact tơng đối Q tập bị chặn chuỗi < x e n n =1 > en hội tụ Q đến tổng Chứng minh Giả sử Q tập compact tơng đối E Khi Q tập compact Do Q hoàn toàn bị chặn Vì Q < xe chứng minh chuỗi n =1 n Q nên Q hoàn toàn bị chặn Ta > e n hội tụ đến tổng Q Thật vậy, với > tuỳ ý, Q tập hoàn toàn bị chặn nên Q bị phủ họ hữu hạn hình cầu bán kính /2, tức tồn hữu hạn phần tử x 1,,xn E cho Q m B ( xn , ) Với x E, chuỗi n =1 lý V.2.7 ([2]) Đặt Rn(x) = < xe k = n +1 < xe n =1 n > e n hội tụ đến x theo định > e k với n N Ta có limRn(x) = 0, với k x E Do tồn số tự nhiên N cho với n N Rn ( xi ) < /2, với i = 1,2, ,m Ta lại có Mà Rn ( x x i ) Rn(x) = Rn(x) - Rn(xi) + Rn(xi) = Rn(x - xi) + Rn(xi) = < Rn(x - xi) Rn(x - xi) >1/2 = < < x x i e k >e k k = n +1 = ( < x x k = n +1 =( i < x x k = n +1 i e k >e k >1/2 e k >.< x x i e k > )1/2 < x x i e k > )1/2 x xi (theo bất đẳng thức Bessel) k = n +1 Do Rn (x ) x xi + Rn ( xi ) /2 với n N Vậy chuỗi < xe n =1 n > e n hội tụ đến tổng Q 2.2 Định lý Nếu E không gian Hilbert, f compact f toán tử compact 33 L (E) toán tử f*of Chứng minh Gọi B hình cầu đơn vị đóng không gian Hilbert Giả sử { x n } dãy phần tử hình cầu đơn vị đóng B Vì f* of toán tử compact nên tồn dãy { xn {( f * of )( xn k k } dãy { x n } để dãy { (f*of)( xn ) } hội tụ E Do đó, k } dãy Cauchy f ( x nk ) f ( x nh ) = < ( f ( x n ) f ( x n ) k h ( )> ( f ( x nk ) f x nh = < f ( xn xn ) f ( xn xn ) > = < ( x nk x nh ) k h k h * xn xn f o f (x n k - x n h ) k h (f*of ) ( x nk x nh ) > * (f of )(x n k ) - (f of )(x n h ) L (E)), hay { f ( x )} k, h , ( Vì x nk , x nh B nên xn xn f*of k 2. nk h dãy Cauchy E Vì E không gian đầy đủ nên { f ( xn )} hội tụ Vậy f(B) tập k compact tơng đối E, hay f toán tử compact 2.3 Hệ Nếu f toán tử compact tuỳ ý từ không gian Hilbert E vào không gian Hilbert F f = goh, h: E E toán tử dơng bị chặn E, E F đẳng cự phận với miền gốc ( f * ) = (h) ( f ) g: E miền ảnh F Chứng minh Trớc hết ta chứng minh f toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Hilbert E vào không gian Hilbert F f = g h, h : E E toán tử dơng bị chặn E, g : E F đẳng cự phận với miền gốc ( f * ) = (h) E miền ảnh ( f ) F Vì f* f toán tử dơng nên theo mệnh đề III.1.9 tồn toán tử dơng h = (f* f)1/2 Với x E ta có h(x) < (f* f)(x) x > = < f(x) = < h(x) h(x) > = < h2(x) f(x) > = f (x) Vậy h(x) = f (x ) x > = với x E ~ ~ Lập ánh xạ g : (h) (f) cho g (y) = f(x), với y (h) y = h(x) Khi g~ ánh xạ tuyến tính g~ đẳng cự Gọi g suy rộng g~ lên toàn (h) E Khi g : (h) ( f ) toán tử đẳng cự Vì g( (h) ) không gian đóng ( f ) 34 g( (h) ) g( (h)) = (f) nên ( f ) = g( (h) ) Nếu x E (h) = n (f) ta đặt g(x) = Do ta xác định đợc toán tử đẳng cự phận g : E F với miền gốc (h) E miền ảnh ( f ) F Ta phải chứng minh ( f * ) = (h) Thật vậy, từ đẳng thức h(x) (h) = < (f* f)(x) x > ta suy h(x) (f* f)(x) Do (f* f) (f*) hay (h) n (f) = n (h) = E x ( f * ) Nhng x ( f * ) = E (h) , hay x (h) Vậy ( f * ) n (f) (h) , hay (h) = ( f * ) Cuối từ định nghĩa g ta suy f = h g Vì f toán tử compact nên tuyến tính liên tục Do viết đợc dới dạng 2.4 Định lý Toán tử h xác định nh compact Chứng minh Giả sử h toán tử compact Khi với B hình cầu đơn vị đóng E ta có h(B) tập compact tơng đối E Vì h(B) h(E) = R(h) (h) nên h(B) không compact tơng đối (h) Do g toán tử dơng bị chặn g: (h) ( f ) nên f(B) = go(h(B)) không compact tơng đối ( f ) , hay f(B) không compact tơng đối F, mâu thuẫn Vậy h toán tử compact 2.5 Mệnh đề ([2]) Giả sử E F hai không gian Hilbert, f L (E,F) toán tử compact Khi tồn dãy số dơng {xn} dần đến 0, hệ trực chuẩn { en } E hệ trực chuẩn { f n } F cho, với x E ta có ( x e ).e n =1 n n + x0 với f(x0) = 0; f(x) = ( x e ) f n =1 n n n 2.6 Mệnh đề ([2]) Nếu E F hai không gian Hilbert tuỳ ý, toán tử compact f L (E,F) giới hạn L (E,F) dãy toán tử hữu hạn chiều 35 36 Kết luận Khoá luận giải đợc số vấn đề sau Trình bày khái niệm kết toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn, không gian Hilbert, toán tử liên hợp, toán tử tự liên hợp, phổ toán tử tuyến tính liên tục Trình bày khái niệm kết toán tử dơng, toán tử chiếu toán tử compact Chứng minh đợc số định lý hệ toán tử tuyến tính liên tục mà tài liệu tham khảo cha trình bày trình bày nhng vắn tắt Chỉ đợc mối quan hệ toán tử tuyến tính liên tục với toán tử tự liên hợp, toán tử dơng, toán tử chiếu toán tử compact Vấn đề khoá luận đặt Mở rộng khái niệm kết toán tử tuyến tính liên tục không gian định chuẩn nói riêng cho không gian véctơ tôpô 37 Tài liệu tham khảo [1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, NXB GD 2000 [2] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, NXB ĐH & THCN, 1978 [3] Hoàng Tuỵ, Giải tích đại (Tập 2, 3), NXB GD 1979 [4] Nguyễn Văn Khuê - Lê Mậu Hải, Bài tập giải tích hàm, NXB Đại học quốc gia,1999 [5] Nguyễn Xuân Liêm, Bài tập giải tích hàm, NXB GD 2001 38 [...]... Mệnh đề ([1]) Giả sử f là một toán tử dơng trong không gian Hilbert Khi đó tồn tại duy nhất toán tử dơng sao cho 2 = f Toán tử đợc gọi là căn dơng của 1 toán tử f và ký hiệu là f 2 1.10 Mệnh đề ([1]) a) Nếu g là một toán tử liên hợp tuỳ ý, g giao hoán đợc với f 1 thì g cũng giao hoán đợc với f 2 b) Nếu f và g là các toán tử dơng giao hoán đợc với nhau thì fog là một toán tử dơng 1.11 Mệnh đề ([5])... là không gian Hilbert và f toán tử dơng nếu < f(x) L (E) Toán tử f đợc gọi là x > 0 với mọi x E 1.2 Định lý Mỗi toán tử dơng là tự liên hợp Chứng minh Vì f là toán tử dơng nên với mọi x E thì < f(x) x > 0 Theo mệnh đề II.2.2 ta có f là toán tử tự liên hợp 1.3 Định lý Với mọi toán tử tuyến tính liên tục f L (E) toán tử f* f là toán tử dơng Chứng minh Giả sử f là toán tử bất kỳ trong có < f*of(x)... mệnh đề sau tơng đơng: a) M1 M2; b) p1 p2 = 0 hoặc p2 p1= 0; c) p1 + p2 là một toán tử chiếu Khi đó p1 + p2 là toán tử chiếu lên M1 M2 2.5 Mệnh đề ([2]) Giả sử p1 và p2 là hai toán tử chiếu của không gian Hilbert E lần lợt lên hai không gian con đóng M1 và M2 Các mệnh đề sau tơng đơng: a) M1 M2; b) p1 p2 = p1 hay p2 p1= p1; c) p1 p2 ( Hay p2 p1 là một toán tử dơng); d) p2 p1 là một toán tử chiếu... compact 1.7 Mệnh đề ([1]) Tập tất cả các toán tử compact từ không gian định chuẩn E vào không gian định chuẩn F là một không gian vectơ con của L (E,F) 1.8 Mệnh đề ([1]) Giả sử E là một không gian định chuẩn, F là không gian Banach, { f n } là một dãy các toán tử compact trong Khi đó f là một toán tử compact 31 L (E) hội tụ đến f L (E,F) 1.9 Mệnh đề ([1]) Giả sử f L (E,F) là một toán tử compact và... yếu trong E thành một dãy hội tụ mạnh trong F 1.12 Mệnh đề ([2]) Giả sử E là một không gian Banach phản xạ và F là một không gian định chuẩn tuỳ ý Nếu toán tử tuyến tính f: E F ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong E thành một dãy hội tụ (mạnh) trong F thì f là một toán tử compact 1.13 Mệnh đề ([2]) a) Nếu E và F là hai không gian định chuẩn và f: E F là một toán tử compact thì toán tử liên hợp f*: F*... Hilbert và f liên hợp Nếu < f(x) L (E) là một toán tử tự x > 0 với mọi x 0 của E và < f(x0) x0 > > 0 với một x 0 thuộc E nào đó thì f là toán tử dơng 1.12 Định lý Giả sử E là không gian Hilbert phức và f dơng khi và chỉ khi f là một toán tử tự liên hợp và (f) L (E) Ta có f là toán tử [0, + ) Chứng minh Giả sử f là toán tử dơng Theo định lý III.1.2 thì f là toán tử tự liên hợp < f ( x) x > ; M = sup... Chứng minh Giả sử f là toán tử tuyến tính liên tục trong không gian Hilbert E Với bất kỳ số (f), vì ( 1 - f)* = 1 f* và ( 1 - f) có toán tử nghịch đảo khi và chỉ khi 1 f* có toán tử nghịch đảo nên (f*) Vậy ( f ) = (f*) 3.2 Mệnh đề ([2]) Mọi giá trị riêng của một toán tử tự liên hợp f đều là thực 22 3.3 Mệnh đề ([2]) Giả sử và à là hai giá trị riêng khác nhau của toán tử tự liên hợp f Khi... là toán tử chiếu Chơng IV Toán tử compact I Toán tử compact trong không gian định chuẩn 1.1 Định nghĩa Giả sử E và F là các không gian định chuẩn ánh xạ (toán tử) tuyến tính f: E F đợc gọi là toán tử compact nếu ảnh f(B) của hình cầu đơn vị đóng B trong E là compact tơng đối trong F 1.2 Nhận xét - Nếu f là toán tử compact thì f = sup f ( x) = sup{ y : y f (B ) xB } < Do vậy f liên tục - Toán tử. .. một toán tử tự liên hợp 2.4 Mệnh đề ([2]) Giả sử { f n } L (E) và f L (E) là những toán tử tự liên hợp và thoã mãn điều kiện f1 f2 fn f, thì dãy { f n } hội tụ theo điểm đến toán tử tự liên hợp g L (E) với g f Nếu T là một toán tử tuyến tính liên tục tuỳ ý giao hoán với tất cả các f n , n = 1,2, thì T cũng giao hoán với g 2.5 Mệnh đề ([2]) Giả sử E là một không gian Hilbert a) Nếu f là một toán. .. Theo mệnh đề III.1.5 thì (f2 f)(x) = 0 với mọi x E, hay f2 = f Theo mệnh đề III.2.3 ta có f là toán tử chiếu 2.9 Định nghĩa Giả sử E là không gian Hilbert Toán tử f L (E) đợc gọi là chuẩn tắc nếu f* f = f f* 2.10 Định lý Giả sử E là không gian Hilbert và f L (E) là một phép chiếu Toán tử f là một phép chiếu trực giao khi và chỉ khi f là một toán tử chuẩn tắc Chứng minh Giả sử f là một phép chiếu ... gian Hilbert Chơng III Toán tử dơng, toán tử chiếu 20 22 I Toán tử dơng 22 II Toán tử chiếu 25 Chơng IV Toán tử compact 28 I Toán tử compact không gian định chuẩn 28 II Toán tử compact không gian... x E, y F* Toán tử f : F* E* xác định nh gọi toán tử liên hợp toán tử f : E F 2.2 Định lý Giả sử f : E F toán tử tuyến tính liên tục f : F* E* toán tử liên hợp f Khi f toán tử tuyến tính... 23 Chơng III Toán tử dơng, toán tử chiếu I Toán tử dơng 1.1 Định nghĩa Giả sử E không gian Hilbert f toán tử dơng < f(x) L (E) Toán tử f đợc gọi x > với x E 1.2 Định lý Mỗi toán tử dơng tự liên