1.1. Định nghĩa. Giả sử E và F là các không gian định chuẩn. ánh xạ (toán tử)
tuyến tính f: E → F đợc gọi là toán tử compact nếu ảnh f(B) của hình cầu đơn vị đóng B trong E là compact tơng đối trong F.
1.2. Nhận xét. - Nếu f là toán tử compact thì
f = supx∈B f(x) = sup{. y : y ∈ f(B) } < ∞. Do vậy f liên tục.
- Toán tử compact nói chung là chặt chẽ hơn toán tử liên tục, do đó toán tử compact còn gọi là toán tử hoàn toàn liên tục.
1.3. Mệnh đề ([1]). Nếu f là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn E vào
không gian định chuẩn F thì các mệnh đề sau là tơng đơng a) f compact;
b) Nếu A là tập bị chặn trong E thì f(A) là tập compact tơng đối trong F; c) Nếu { }xn là dãy bị chặn trong E thì tồn tại dãy con { }xnk để dãy { ( )}
k
n x
f hội
tụ trong F.
1.4. Định lý. a) Nếu E hoặc F hữu hạn chiều thì mọi ánh xạ tuyến tính liên tục từ
E vào F đều compăct.
b) Nếu E vô hạn chiều thì ánh xạ đồng nhất trên E là liên tục nhng không compact.
Chứng minh. a) Nếu E là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, theo định lý Riesz (định lý I.4.6, [1]) thì E compact địa phơng.
Theo hệ quả I.1.5 ([1]) thì hình cầu đơn vị đóng B = {x∈E: x ≤1} là compact, nghĩa là hình cầu đơn vị đóng B trong E là compact tơng đối trong E. Vì f là ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F nên ảnh f(B) là compact tơng đối trong F, nghĩa là f compact.
Nếu F là không gian định chuẩn hữu hạn chiều, B là hình cầu đơn vị đóng trong E. Ta có f(B) = {f(x):x∈B}. Mặt khác, với mọi f(x) ∈ f(B), vì f là ánh xạ tuyến tính nên f(x) ≤ f . x ≤ f . Hay f(B)={f(x)∈F: f(x) ≤ f } là tập compact tơng đối trong F. Vậy f compact.
b) Nếu I là ánh xạ đồng nhất trên không gian vô hạn chiều E thì I là ánh xạ tuyến tính liên tục và I = 1. Với B là hình cầu đơn vị đóng trong không gian định chuẩn E, khi đó I(B) = B. Vì B compact tơng đối khi và chỉ khi E có số chiều hữu hạn. Do đó I liên tục nhng không compact.
1.5. Mệnh đề ([1]). Giả sử G →g E→f F →h H là một dãy các không gian
định chuẩn và các ánh xạ tuyến tính liên tục. Khi đó nếu f compact thì họ hofog compact.
1.6. Định lý. Nếu E là không gian định chuẩn và f ∈ L (E) là toán tử compact thì
gf và fg là compact với mọi g ∈ L (E).
Chứng minh. Với h là ánh xạ đồng nhất iE từ E lên E, áp dụng mệnh đề IV.1.5 ta có: E→g E →f E→iE E , iE, g, f ∈ L (E), f compact. Do đó iEofo g = f og là compact.
E→iE E →f E→g E, g, iE, f ∈ L (E), f compact. Do đó g of oiE = g of là compact.
1.7. Mệnh đề ([1]). Tập tất cả các toán tử compact từ không gian định chuẩn E
vào không gian định chuẩn F là một không gian vectơ con của L (E,F).
1.8. Mệnh đề ([1]). Giả sử E là một không gian định chuẩn, F là không gian
Banach, { }fn là một dãy các toán tử compact trong L (E) hội tụ đến f ∈ L (E,F). Khi đó f là một toán tử compact.
1.9. Mệnh đề ([1]). Giả sử f ∈ L (E,F) là một toán tử compact và g = 1 f. Nếu F–
và G là các không gian vectơ con đóng của E, với G ⊂F và g(F) ⊂G thì tồn tại a ∈ F\G sao cho a = 1 và f(a)− f(x) ≥ 21 với mọi x ∈ G.
1.10. Mệnh đề ([1]). Giả sử E là không gian định chuẩn, f ∈ L (E) là một toán tử
compact , g = 1 f. Khi đó–
a) g-1(0) là hữu hạn chiều; b) g(E) đóng trong E;
c) g(E) có đối chiều hữu hạn;
d) Nếu g-1(0) = { }0 thì g là một phép đồng phôi tuyến tính từ E lên g(E).
1.11. Mệnh đề ([2]). Nếu f: E → F là một toán tử compact từ không gian định
chuẩn E vào không gian định chuẩn F thì f biến (ánh xạ) mọi dãy hội tụ yếu trong E thành một dãy hội tụ mạnh trong F.
1.12. Mệnh đề ([2]). Giả sử E là một không gian Banach phản xạ và F là một
không gian định chuẩn tuỳ ý. Nếu toán tử tuyến tính f: E → F ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong E thành một dãy hội tụ (mạnh) trong F thì f là một toán tử compact.
1.13. Mệnh đề ([2]). a) Nếu E và F là hai không gian định chuẩn và f: E → F là
một toán tử compact thì toán tử liên hợp f*: F* → E* cũng là compact.
b) Ngợc lại, nếu toán tử f* là compact và F là không gian Banach thì f cũng là compact.
1.14. Mệnh đề ([2]).Nếu f là một toán tử compact từ không gian định chuẩn E vào
không gian định chuẩn F thì bao đóng ℜ(f) của miền giá trị R(f) của f là một không gian con đóng và khả li của f.