Một số vấn đề về mở rộng trường luận văn tốt nghiệp đại học

1 Trờng đại học vinh Khoa TON - TRN TH PHNG THO MT S VN V M RNG TRNG Khoá luận tốt nghiệp đại học Vinh - 2011 Trờng đại học vinh Khoa TON - MT S VN V M RNG TRNG Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngời hớng dẫn: Ts o Th Thanh Hc Vinh - 2011 MC LC Trang LI NểI U CHNG 1: KIN THC CHUN B CHNG 2: M RNG TRNG 2.1 Trng nguyờn t v trng nguyờn t 2.2 M rng n 2.3 Kt ni nghim 10 2.4 Bc v m rng hu hn 12 2.5 M rng i s lp .14 2.6 Trng nghim v m rng kớn i s 16 CHNG 3: MT S BI TP P DNG 20 KT LUN 30 TI LIU THAM KHO 31 LI NểI U M rng trng l mt c bn ca i s v S hc T lõu, ny gn lin vi bi toỏn gii phng trỡnh, vo vic nghiờn cu lý thuyt Galois M rng trng l i tng chớnh nghiờn cu lý thuyt trng í tng chung l bt u t mt trng c s, xõy dng trng ln hn cha trng c s ú tha thờm mt s tớnh cht khỏc ngoi cỏc tớnh cht m trng c s cú Chng hn trng cỏc s thc R l m rng ca trng cỏc s hu t Q, trng cỏc s phc C l m rng ca trng cỏc s thc R Khúa lun c chia lm chng: Chng trỡnh by mt s kin thc c s; Chng trỡnh by mt s nh ngha, nh lý v mnh ; Chng l mt s bi ỏp dng Khúa lun ny ó h thng li mt s kt qu cng nh gii c mt s bi v: Trng nguyờn t v trng nguyờn t M rng n Kt ni nghim Bc v m rng hu hn M rng i s lp Trng nghim v m rng kớn i s Tỏc gi xin trõn trng cm n TS o Th Thanh H ó hng dn tn tỡnh v nghiờm tỳc, tỏc gi cú th hon thnh khúa lun ny Tỏc gi xin cm n cỏc thy cụ giỏo b mụn i s & Khoa Toỏn, ó tn tỡnh ging dy, giỳp v ch bo cho chỳng em cỏc sinh viờn khúa 48 Toỏn sut thi gian hc va qua di mỏi trng i hc Vinh thõn yờu Do kin thc v thi gian cú hn, Khúa lun khú trỏnh thiu sút, tỏc gi mong mun nhn c s ch bo ca cỏc thy cụ giỏo v s gúp ý ca cỏc bn sinh viờn Vinh, thỏng 05 nm 2011 Tỏc gi CHNG 1: KIN THC CHUN B 1.1 nh ngha trng Trng l mt hp K cú nhiu hn mt phn t, c trang b hai phộp toỏn cng v nhõn, ký hiu bi du (+) v du (.), tha cỏc quy tc sau: Phộp cng cú tớnh cht kt hp: (a + b) + c = a + (b + c) Phộp cng cú tớnh cht giao hoỏn: a + b = b + a Phộp cng cú phn t n v 0: K: a + = a Tn ti phn t i: a K, a K: a + ( a) = Phộp nhõn cú tớnh cht kt hp: (ab)c = a(bc) Phộp nhõn cú tớnh cht giao hoỏn: ab = ba Phộp nhõn cú phn t n v 1: K cho: a1 = a Tn ti nghch o: a K, a 0, a-1 K: aa-1 = Phộp cng v phộp nhõn tha lut phõn phi: a(b + c) = ab + ac; a, b, c K 1.2 nh ngha trng Gi s K l mt trng, A l mt ca K n nh vi hai phộp toỏn cng v nhõn trng K, ngha l: x, y A x + y A, xy A Gi s A l n nh i vi hai phộp toỏn cng v nhõn trng K Ta gi A l mt trng ca trng K nu A cựng vi hai phộp toỏn cm sinh trờn A, l mt trng 1.3 nh lý Gi s A l mt hp cú nhiu hn mt phn t ca trng K Khi ú, cỏc iu kin sau l tng ng: a) A l mt trng ca trng K b) x, y A x y A, x-1 1.4 A nh ngha c s ca trng Gi s K l mt trng ca trng E Khi ú ta núi E l mt trng m rng hay mt m rng ca trng K Cho K l mt trng cú n v Nu n1 vi mi s t nhiờn n thỡ ta núi trng K cú c s Trong trng hp ngc li, gi s nguyờn dng p nht cho p1 = l c s ca trng K Ta ký hiu c s ca trng K l Char(K) Vớ d: Char(Q) = vỡ n1 = n vi n N, n Char(R) = vỡ n1 = n vi n N, n Char(C) = vỡ n1 = n vi n N, n Char(Zp) = p vi p l s nguyờn t 1.5 Mnh Trong mt trng K vi c s nguyờn t p ta cú: (a + b)p = ap + bp 1.6 nh ngha Cho K l mt trng, K[x] l vnh a thc n x trờn K, f(x) K[x] vi bc n Ta gi f(x) l a thc bt kh quy trờn K hay K[x] nu f(x) khụng phõn tớch c thnh tớch ca hai a thc bc khỏc trờn K Trong trng hp ngc li, ta núi f(x) l a thc kh quy trờn trng K 1.7 nh lý Bezout Cho a thc f(x) K[x] Khi ú phn t u K l nghim ca f(x) nu v ch nu f(x) chia ht cho x u vnh a thc K[x] 1.8 Mnh Cỏc a thc bt kh quy R[x], R l trng s thc, l cỏc a thc bc nht hoc tam thc bc hai vi bit s < 1.9 nh lý c bn Mi a thc f(x) cú bc n ln hn bng trờn trng s phc u cú ớt nht mt nghim phc 1.10 Mnh Cỏc a thc bt kh quy C[x], vi C l trng s phc l cỏc a thc bc nht 1.11 Tiờu chun Eisenstein Gi s f(x) = a0 + a1x ++ anxn (n > 1) l a thc vi h s nguyờn Nu cú mt s nguyờn t p cho p khụng chia ht h s cao nht an nhng p chia ht cỏc h s cũn li v p2 khụng chia ht s hng t a0 thỡ f(x) l bt kh quy Q[x] 1.12 nh ngha Gi s X l mt nguyờn v X l mt trng Ta gi X l trng cỏc thng ca nguyờn X nu tn ta mt n cu nguyờn f : X X cho mi phn t ca X cú dng f(a)f(b)-1, ú a, b X, b 1.13 nh lý v s tn ti trng cỏc thng Gi s X l mt nguyờn Khi ú tn ti nht sai khỏc ng cu mt trng X v mt n cu nguyờn f : X X cho mi phn t ca X cú dng f(a)f(b)-1 vi a, b X, b Núi khỏc i trng cỏc thng ca nguyờn X l tn ti v nht sai khỏc mt ng cu trng CHNG 2: M RNG TRNG 2.1 Trng nguyờn t v trng nguyờn t 2.1.1 nh ngha Gi s K l mt trng, ta xột cỏc trng ca K Tp tt c cỏc trng ca K l mt hp khỏc rng (vỡ K l trng ca chớnh nú) Gi P l giao ca tt c cỏc trng ca K thỡ P l trng ca K khụng cha trng no ca K khỏc P v mi trng ca K u cha P Trng vi cỏc tớnh cht nh th c gi l trng nguyờn t ca trng K Nu K = P, thỡ K c gi l trng nguyờn t 2.1.2 Nhn xột Mi trng K u cha mt trng nguyờn t P Chng minh Gi P l giao ca tt c cỏc trng ca trng K Khi ú P l trng nht ca trng K Nu X l trng ca trng K thỡ P X Gi s A l trng ca trng P thỡ A l trng ca trng K (do P l trng ca trng K), suy P A Vy A = P nờn P l trng nguyờn t ca trng K Gi s B l trng nguyờn t ca trng K, suy P l trng ca B Do B l trng nguyờn t nờn B = P 2.1.3 nh lý Cho K l mụt trng v P l trng nguyờn t ca trng K Nu K cú c s thỡ K ng cu vi trng Q cỏc s hu t Nu K cú c s nguyờn t p thỡ P ng cu vi trng Zp cỏc s nguyờn mod p Chng minh n v ca trng K l 1K, P l trng nguyờn t ca trng K nờn phn t n v 1K P Xột ỏnh x f : Z K cho f(m) = m1K Ta chng minh c f l mt ng cu vnh Tht vy: m, n Z ta cú: f(m + n) = (m + n)1K = m1K + n1K = f(m) + f(n) f(mn) = (mn)1K = (m1K)(n1K) = f(m)f(n) Ht nhõn ca ng cu vnh f l Ker(f) = {m Z | f(m) = 0} Trong trng hp K cú c s 0, ta cú: m Ker(f) f(m) = m1K = m = Vy Ker(f) = hay f l n cu vnh Do ú ta thu c mt ng cu vnh: Z/Ker(f) Im(f), hay Z Im(f) = {m1K | m Z} ng cu vnh ny cm sinh mt ng cu gia trng cỏc thng ca vnh s nguyờn Z v trng cỏc thng ca Im(f) Do ú ta cú ng cu trng Q P, vỡ trng cỏc thng ca Z l Q, trng cỏc thng ca Im(f) l P Trong trng hp K cú c s nguyờn t p, ta cú: m Ker(f) f(m) = m1K = K m chia ht cho p m = pZ Vỡ vy Kerf = pZ Theo nh lý ng cu vnh ta cú: Z/Ker(f) Imf, hay Z/pZ Im(f) hay Zp Im(f) Do Zp l trng nờn Im(f) cng l trng Mt khỏc Im(f) l trng nht ca trng K nờn Im(f) = P Vy Zp P 2.1.4 Mnh Nu K l mt trng cú c s nguyờn t p thỡ ỏnh x f: a ap l mt t n cu ca trng K Chng minh Vi a, b K ta cú: f(a + b) = (a + b)p = ap + bp = f(a) + f(b) f(ab) = (ab)p = (ap)(bp) = f(a)f(b) Ngoi ra: vỡ f(1) = 1p = 0K nờn f khỏc t ng cu khụng ca K Vỡ vy f l mt t n cu ca trng K 2.2 M rng n 2.2.1 nh ngha Cho mt trng K, mt phn t u m rng E ca trng K Trng ca E sinh bi K v u, ký hiu K(u) c gi l mt m rng n ca trng K Cho K l mt trng v E l mt m rng ca trng K, mt phn t u l i s trờn K nu u l nghim ca mt a thc f K[x] Mt phn t u khụng i s trờn K c gi l siờu vit trờn K 10 Mt m rng n K(u) ca trng K c gi l m rng n siờu vit trờn K hay m rng n i s trờn K tu theo phn t sinh u E l siờu vit hay i s trờn K 2.2.2 Vớ d Vi K = Q Cỏc s: u = R l phn t i s trờn Q vỡ tn ti a thc f(x) = x Q[x] cho f( ) = u = , e l phn t siờu vit trờn Q 2.2.3 Mnh Cho mt trng K v mt phn t u thuc mt m rng ca K i) Nu u siờu vit trờn K thỡ m rng n K(u) ng cu vi trng K(x) cỏc phõn thc hu t theo mt bin x vi h t thuc K qua mt ng cu trng: : K(x) K(u) cho (x) = u, (a) = a, a K ii) Nu u l i s trờn K thỡ u l nghim ca mt a thc bt kh quy q K[x], v m rng n K(u) ng cu vi trng K[x]/(q) qua mt ng cu: u : K[x]/(q) K(u) cho u(x +(q)) = u, u(a + (q)) = a, a K Chng minh Lp ng cu vnh hu: K[x] K(u) f(x) f(u) Ta cú: Imhu = {hu(f(x)) | f(x) K[x]} = {f(u) | f(x) K[x]} = K[u] l vnh ca trng phõn thc K(u) Kerhu = {f(x) K[x] | hu(f(x)) = 0} = {f(x) K[x] | f(u) = 0} l iờan ca nguyờn K[x] i) Nu u l phn t siờu vit trờn K, mi a thc f(x) K[x] cho f(u) = kộo theo f = Do ú Kerhu = hay hu l mt n cu n cu hu cm sinh mt ng cu nguyờn h: K[x]/Kerh u = K[x] Imhu = K[u], ng cu ny kộo theo mt ng cu trng cỏc thng tng ng : K(x) K(u), ú: f ( x) K(x) = { g ( x) | f(x), g(x) K[x], g(x) 0} l trng phõn thc hu t K(u) l trng m rng n ca K sinh bi u 21 2.6.4 Mnh Cỏc phỏt biu sau õy l tng ng: i) K l mt trng kớn i s ii) Mi a thc f K[x] vi bc f 1, u cú mt c bc nht (x u) K[x] iii) Mi a thc f K[x] vi bc f u cú mt dng nhõn t hoỏ thnh nhng a thc bc mt f = c(x u1)(x un), ú c K*, ui K, i = 1,,n iv) Cỏc a thc bt kh quy ca K[x] ch gm cỏc a thc bc nht v) Khụng tn ti mt m rng n i s no ca K khỏc K 2.6.5 Mnh Tp hp A tt c cỏc s i s to thnh mt trng ca trng C cỏc s phc, v l mt m rng ca trng cỏc s hu t Q Chng minh t A = { C | u i s trờn Q} Ta cú: Q A, vỡ mi a Q l nghim ca a thc x a Q[x] Vi u, v A thỡ u, v l cỏc i s trờn Q nờn cỏc m rng n Q(u), Q(v) l m rng hu hn, cho nờn m rng lp Q(u, v) = Q(u) (v) cng cú bc hu hn Do ú theo nh lý 2.4.4 cỏc phn t u v, uv, (vi v v 0) ca trng Q(u, v) u l i s trờn trng Q, ngha l u thuc A Vy A l trng ca trng cỏc s phc C v A cha trng Q 2.6.6 Mnh Trng A cỏc s i s l mt trng kớn i s Chng minh Xột a thc bt k khỏc khụng f(x) = u0 + u1x ++ unxn A[x] bc n 1, cú cỏc h s ui l cỏc s i s Ta xột m rng lp F = Q(u0, u1,, un) Khi ú F l m rng hu hn ca Q Vỡ cỏc h s ca a thc f(x) thuc F, cho nờn mi nghim tu ý u ca f(x) u i s trờn F Do ú m rng n F(u) ca F cng l m rng bc hu hn ca Q Vỡ vy phn t u thuc F(u) l phn t i s trờn Q (theo nh lý 2.4.4), hay u l mt s i s, tc u A Vy A l mt trng kớn i s 2.6.7 nh lý Vi mi s nguyờn t p, tn ti mt trng kớn i s cú c s p 22 Chng minh Vi trng Zp cỏc s nguyờn mod p, s cỏc a thc khỏc khụng, bc n ca vnh Zp[x] l (p 1)pn Vỡ th ta cú th phõn Zp thnh lp: lp cỏc a thc bc nht f1(x) Zp[x], lp cỏc a thc bc hai f2(x) Zp[x], T dóy vụ hn cỏc lp a thc ny ca vnh a thc Zp[x], ta nh ngha mt dóy cỏc trng (Fn), n N, bng quy np nh sau: F0 = Z p Vi n 1, Fn l trng nghim ca a thc fn Fn - 1[x] Nh th, ta thu c mt dõy chuyn tng cỏc trng: F0 F1 F2 Ta t: F= n =0 Fn Hp F c trang b phộp cng v phộp nhõn: Vi bt k a, b F, tn ti mt trng Fn ca dõy chuyn trờn cho a, b Fn, nờn ta cú th nh ngha tng a + b v tớch ab f nh l tng v tớch ca a v b F n Rừ rng, F vi phộp cng v phộp nhõn nh vy l mt trng Hn na, vỡ trng F cha trng F = Zp nh l mt trng con, cho nờn trng F cng cú c s p chng minh F l trng kớn i s, ta gi s g(x) = a0 + a1x ++ arxr l mt a thc bt k cú bc r ca vnh a thc F[x] Khi ú tt c cỏc h t a i ca a thc g(x) s thuc vo trng nghim F n no ú ca mt a thc cú h t thuc trng Zp Do ú, cỏc h t a i ca g(x) u l phn t i s trờn Zp Vỡ vy m rng lp Zp(a0, a1,, ar) l mt m rng hu hn hay l m rng i s ca Zp Trong trng nghim N ca a thc g(x) trờn trng Zp(a0, a1,, ar), a thc g(x) phõn ró c thnh cỏc nhõn t tuyn tớnh: g(x) = c(x u1)(x u2)(x ur) Vỡ mi phn t ui u i s trờn Zp, nờn ui cú a thc bt kh quy cc tiu qi(x) Zp[x] a thc q = q1q2qr Zp[x] nhn cỏc ui ( i r ) lm nghim, ú q l mt bi khỏc khụng ca g 23 a thc q Zp[x] phõn ró c thnh nhõn t tuyn tớnh mt trng nghim Fm ca nú trờn mt trng Fm - no ú, dõy chuyn cỏc m rng trng ca F0 = Zp ó núi trờn Do ú, c g ca q phõn ró c vnh F m[x] F[x] Vỡ vy, mi a thc cú bc dng trờn trng F u phõn ró c thnh nhõn t tuyn tớnh trờn F Núi cỏch khỏc, F l mt trng kớn i s cú c s p, v l mt m rng i s ca trng Zp CHNG 3: MT S BI TP P DNG Bi Chng minh rng mi t ng cu khỏc khụng ca trng Zp u l ng cu ng nht Suy nh lý Fermat: vi mi s nguyờn a v s nguyờn t p, a p a (mod p) Gii Gi s f: Zp Zp l mt t ng cu ca trng Zp, ú ta cú f( ) = f( 1 ) = f( )f( ), ú f( )[f( ) ] = , hay f( ) = hoc f( ) = Trng hp f( ) = Vi k Zp, vi < k < p ta cú: f( k ) = f( k ) = f( )f( k ) = f( k ) = , suy f l t ng cu khụng ca trng Zp Trng hp f( ) = Vi k Zp, vi < k < p ta cú: () ( ) () () () f k = f + + + = f + f + + f = + + + = k Vy f( k ) = k , ú f l t ng cu ng nht ca trng Zp nh lý Fermat: Vỡ trng Zp cú c s nguyờn t p nờn ỏnh x f: a a p l t ng cu khỏc khụng ca trng Zp Do ú, f l t ng cu ng nht ca trng Zp Vỡ vy, a p a hay ap a (mod p) 24 Bi Cho K l mt trng, a K Chng minh rng: a) u l phn t i s trờn trng K v ch u + a l phn t i s trờn K b) u l phn t i s trờn trng K v ch u2 l phn t i s trờn K Gii a) Gi s u l phn t i s trờn trng K, ú tn ti a thc f(x) K[x] cho f(u) = Vi a tựy ý thuc K, ta t: g(x) = f(x a) K[x], g(x) 0, ta cú g(u + a) = f(u + a a) = f(u) = 0, hay g(u + a) = Do ú, u + a l phn t i s trờn trng K Ngc li, gi s u + a l phn t i s ca trng K Khi ú u + a + (a) = u l i s trờn K b) Gi s u2 l phn t i s, ú tn ti a thc f(x) Q[x] cho f(u2) = 0, tc l cú mt h thc tuyn tớnh khụng tm thng trờn Q, sau õy: a0 + a1u + + anu = 0, Q, i = 0, , n v 2n n a i =0 i Xột a thc g(x) = f(x2) = a0 + a1x2 ++ anx2n Q[x], ta cú g(u) = a0 + a1u2 ++ anu2n = f(u2) = T ú, suy u l phn t i s Ngc li, nu u2 l phn t siờu vit trờn K, thỡ vỡ mi a thc f(x) K[x] cú th vit f(x) = g(x2) + xh(x2); g, h K[x], v f(u) = kộo theo g = 0, h = tc f = 0, cho nờn ta suy u siờu vit trờn K Bi Gi s u l mt phn t i s trờn trng K Chng minh trc tip phn t nghch ca mi phn t khỏc ca mt m rụng n K(u) cú dng mt a thc theo u h t trờn K Gii u l mt phn t i s trờn trng K Gi q l a thc bt kh quy ti tiu ca u trờn K Theo Mnh 2.2.3 ta cú ng cu trng: u: K[x]/(q) K(u) tho u(x + (q)) = u, u(a + (q)) = a, a K Mi K cú dng mt a thc theo u l: = r(u) vi r K[x] v Vỡ nờn u khụng phi l nghim ca a thc r K[x] Do ú a thc r khụng l 25 bi ca a thc bt kh quy q ca u K[x] Khi ú r v q l hai a thc nguyờn t cựng nguyờn iờan chớnh K[x], cho nờn tn ti cỏc a thc s, t K[x] cho r.s + q.t = 1(H thc Bezout) t u vo hai v ca a thc ta c: .s(u) = hay -1 = s(u) Bi Tỡm mt t ng cu khỏc t ng cu ng nht cho mi trng Q( ), Q(i) Gii Ta cú a thc x2 Q[x] l a thc bt kh quy trờn trng Q, a thc ny cú nghim l v trờn R Trng Q( ) v Q( ) ln lt c sinh bi v , suy Q( ) Q( ) Theo nh lý 2.3.2 thỡ tn ti mt ng cu trng : Q( ) Q( ) cho ( ) = , (a) = a, a Q Vi z Q( ), z = a + b , a, b Q, ta cú (a + b ) = a b Ta cú a thc x2 + Q[x] l a thc bt kh quy trờn trng Q, a thc ny cú nghim l i v i trờn R Trng Q(i) v Q(i) ln lt c sinh bi i v i, suy Q(i) Q(i), (a) = a, a Q Vi z Q(i), z = a + bi , a, b Q, ta cú (a + bi ) = a bi Bi Tỡm mt trng gm cỏc s phc ng cu vi mi trng Q( ), Q( ) Gii u= , suy u l nghim ca a thc q(x) = x Q[x] Theo tiờu chun Eisenstein vi p = ta cú q(x) l a thc bt kh quy trờn Q Do ú q(x) l a thc ti tiu ca phn t u = trờn Q Ngoi nghim thc a thc ny cũn cú hai nghim phc , , ú = cos 2 + i sin 3 Suy ra, Q ( ) Q( ) Q( ) u= , suy u l nghim ca a thc q(x) = x Q[x] Theo tiờu chun Eisenstein vi p = ta cú q(x) l a thc bt kh quy trờn Q Do ú q(x) l a thc ti tiu ca phn t u = 4 trờn Q a thc q(x) ngoi cỏc nghim thc v cũn cú cỏc nghim phc i v i Do ú Q( ) Q(i ) 26 Bi a) Tỡm tt c cỏc a thc bc v bc bt kh quy ca Z2[x] b) Lp bng cng v bng nhõn cho mt trng cú phn t Gii a) Chỳ ý: a thc bc v bt kh quy vụ nghim f(x) = ax2 + bx + c, ú a, b, c Z2 = { , }, a f(x) bt kh quy trờn Z2 f(x) vụ nghim trờn Z2 () () f c c = f a + b + c a + b + a = a = b Vỡ a nờn a = b = c = c = Vy f(x) = x2 + x + l a thc bt kh quy bc ca Z2[x] f(x) = ax3 + bx2 + cx + d, ú a, b, c, d Z2 = { , }, a () () f d f a + b + c + d f(x) bt kh quy trờn Z2 f(x) vụ nghim trờn Z2 d = a + b + c + a = Vỡ a nờn a = b + c + d = a = a = b = b = Trng hp b = ta cú c c = d = d = suy ra, f(x) = x3 + x + a = a = b = b = Trng hp b = ta cú c c = d = d = suy ra, f(x) = x3 + x2 + 27 Vy cỏc a thc bc bt kh quy ca Z2[x] l f(x) = x3 + x + f(x) = x3 + x2 + b) Xột a thc f(x) = x2 + x + Z2[x] Ta cú f(x) vụ nghim trờn trng Z2 ú f(x) bt kh quy trờn trng Z2 Ta cú: Z[x]/(x2 + x + ) Z2(u), ú trng Z2(u) sinh bi nghim u ca x2 + x + , tc l trng Z2(u) thu c nh kt ni vi Z2 mt phn t u tha h thc u2 + u + = Vỡ mi phn t ca Z2(u) cú dng a + bu; a, b Z2 = { ,1 } nờn trng Z2(u) cú phn t: , , u, + u Vy ta cú bng cng v bng nhõn: Bng cng 0 1 u u 1+ u 1+ u 1+ u u 1+ u u 1+ u 1+ u 1 0 0 0 1 u u 1+ u 1+ u 1+ u 1 u Bng nhõn u 1+ u u u 1+ u u Bi Mi s sau õy thuc m rng n i s ca Q nờn l i s trờn Q i vi mi s tỡm a thc bt kh quy ti tiu Q[x] nhn s ú lm nghim: a) 2+ b) 5+2 c) +3 d) u2 + u, ú u l nghim ca x3 + 3x2 28 Gii a) u = + u2 = (2 + )2 u2 4(2 + ) + = u2 4u + = Vy u l nghim ca a thc q(x) = x 4x + Q[x], q(x) khụng cú nghim thuc Q nờn q(x) l a thc bt kh quy ti tiu ca phn t i s + b) u = + t v2 = v = Ta cú: u = v + v2 (u v2)2 = v2 u2 2uv2 + v4 = v2 u2 + v4 = (1+2u) v2 (u2 + 5)2 = (1 + 2u)2v4 (u2 + 5)2 = (1+ 2u)25 u4 10u2 20u + 20 = Q[x] Vy u l nghim ca a thc q(x) = x4 10x2 20x + 20 Q[x] M q(x) l a thc bt kh quy theo tiờu chun Eisenstein vi p = Do ú q(x) l a thc bt kh quy ti tiu ca phn t i s + u= c) + u3 = ( + )3 u3 6u = Vy u l nghim ca a thc q(x) = x3 6x Q[x] M q(x) l a thc bt kh quy theo tiờu chun Eisenstein vi p = Do ú q(x) l a thc bt kh quy ti tiu ca phn t i s +3 d) t v = u2 + u v2 = u4 + 2u3 + u2 = u(u3 + 3u2 3) u3 + u2 + 3u = (u3 + 3u2 3) + 4u2 + 3u = 4u2 + 3u = 4(u2 + u) u = 4v u u = v2 + 4v Ta cú: v3 = u6 + 3u5 + 3u4 + u3 = 15u2 + 9u 15 = 15( u2 + u) 6u 15 = 15v 6u = 15v 6( v2 + 4v 3) 15 = v2 9v suy v3 v2 + 9v + = Vy v l nghim ca a thc x3 6x2 + 9x + 3, a thc ny bt kh quy theo tiờu chun Eisenstein vi p = Bi Chng minh rng mi m rng hu hn ca trng R cỏc s thc hoc l trng R hoc l trng C cỏc s phc Gii Gi s F l m rng hu hn bt k ca trng s thc R, ú F l m rng i s trờn R Do ú, mi phn t thuc F u l phn t i s trờn R Vi mi u F, a thc cc tiu f u(x) ca u l a thc bt kh quy trờn R Vỡ vy, fu(x) 29 l nh thc bc nht hoc tam thc bc hai cú bit s < Vỡ u l nghim ca a thc fu(x), cho nờn ta cú F C Bõy gi, ta xột hai trng hp sau: Trng hp: fu(x) l nh thc bc nht trờn R, u F Gi s fu(x) = ax + b, (a, b R, a 0) Ta cú fu(u) = au + b = 0, ú suy u= b R, hay F R Vỡ vy, trng hp ny ta cú F = R a Trng hp: Tn ti phn t u F cho fu(x) l tam thc bc hai vi bit s < Khi ú, ta cú u = a + bi, (a, b R, b 0) Do ú F R(u) = R(a + bi) = R(i) = C Mt khỏc F C, vỡ vy trng hp ny ta cú F = R Bi Chng minh rng trng C cỏc s phc khụng cú m rng hu hn no khỏc C Gii Gi s F l m rng hu hn ca trng C cỏc s phc Khi ú mi u F thỡ u l phn t i s trờn C (theo nh lý 2.4.4) Do ú u l nghim ca a thc bt kh quy q C[x] (theo H qu 2.2.5) M C[x] cỏc a thc bt kh quy ch cú bc bng 1, tc l q = x + a C[x] Do ú u l nghim ca q nờn ta cú q(u) = 0, hay u + a = 0, suy u = a C Do ú u C hay F C Vỡ vy, ta cú F = C Bi 10 Nu F l mt m rng bc ca trng Q Chng minh rng nu F = Q( d ), ú d l mt s nguyờn khụng cú c bỡnh phng Gii Cho F l m rng bc hai ca Q v u F Cỏc phn t 1, u to thnh mt c s ca F trờn Q nu v ch nu u Q Do ú F = Q(u) vi u l nghim ca a thc bt kh quy f(x) = x2 + bx + c Q[x] t v = u + b Khi ú, ta cú: f(u) = b b b2 u + bu + c = (v ) + b(v ) + c = v + c = Vy Q(u) = 2 Q(v) vi v l nghim ca a thc bt kh quy x2 + c b2 = Q[x] Ta vit: v2 = 30 b2 c = a2d, vi a l s hu t khỏc v d l s nguyờn khụng cú c bỡnh phng t w = v b2 thỡ (aw)2 + c = w2 = d Ta cú Q(v) = Q(w) vi w l nghim a ca a thc bt kh quy x2 d Q[x] Vỡ vy ta cú F = Q(w), vi w = d Chng minh tớnh nht: Gi s Q( d ) = Q( d ), vi d v d l cỏc s nguyờn khụng cú c bỡnh phng, ú d = x + y d ; x, y Q T ú d= x2 + dy2 + 2xy d hay d = x2 + dy2, 2xy = Nu y = thỡ d = x2, iu ny khụng xy Nu x = thỡ d = dy2, ú d = d Bi 11 a) Chng minh rng cú ỳng (p2 p)/2 a thc bt kh quy bc vi h s dn u trờn trng K cú c s bt k b) Chng minh rng vi mi s nguyờn t p, tn ti mt trng cú c s p gm p2 phn t Gii a) S cỏc a thc n h bc trờn Zp l p2 Cỏc a thc bc kh quy trờn Zp cú dng: (x a)(x b) vi a, b Zp, a b v (x c)2 vi c Zp Suy ra, S a thc n h bc kh quy trờn Zp l: C p + C p = p ( p + 1) Vy s a thc n h bc bt kh quy trờn Zp l: p p ( p + 1) p ( p 1) = 2 b) Trờn trng Zp cú p2 a thc bc n h f(x) = a + a1x + x2, ú cú p ( p 1) a thc kh quy dng (x a)(x b) vi a, b Zp, a b v p a thc kh quy dng (x c)2 vi c Zp Vỡ vy s a thc n h bc bt kh quy trờn trng Zp l: p p( p 1) p ( p 1) p= 2 31 Vỡ p l s nguyờn t nờn p ( p 1) cho nờn trng Zp cú ớt nht mt a thc bc 2 n h bt kh quy q(x) Do ú tn ti mt m rng n F = Zp(u) ca Zp sinh bi mt nghim u no ú ca q(x), vi [F : Zp] = Vỡ vy, F l trng cú c s p gm p2 phn t Bi 12 Cho K l mt trng v q l mt a thc bt kh quy bc n ca K[x]; chng minh rng nu F l mt m rng hu hn ca K vi bc [F : K] = m cho (m, n) = thỡ q cng l mt a thc bt kh quy ca F[x] Gii Gi u l nghim ca a thc q mt m rng ca F, ta cú: [F(u) : F] n, v [K(u) : K] = n (vỡ q l a thc bt kh quy ca K[x]) Theo H qu 2.5.4 ta cú: [F(u) : K] = [F(u) : F][F : K] = [F(u) : F]m Mt khỏc, ta cng cú: [F(u) : K] = [F(u) : K(u)][K(u) : K] = [F(u) : K(u)]n Do ú, ta cú: [F(u) : F]m = [F(u) : K(u)]n Vỡ (m, n) = nờn [F(u) : F] n hay [F(u) : F] n T ú, ta cú: [F(u) : F] = n Vy, q l a thc bt kh quy vnh a thc F[x] Bi 13 Nu F l mt m rng ca trng K cú bc [F : K] = p (s nguyờn t), chng minh rng vi mi phn t u thuc F khụng thuc K, ngi ta cú: F = K(u) Gii Ly u thuc m rng F ca trng K, suy K(u) F (vỡ K(u) l trng ca trng F sinh bi K v u) Ta cú: [F : K] = [F : K(u)][K(u) : K], vi [K(u) : K] > Vỡ [F : K] = p, vi p l s nguyờn t, a thc trờn kộo theo [F : K(u)] = 1, vy F = K(u) Bi 14 Chng minh rng trng nghim ca mt a thc bc n cú bc nhiu nht bng n! Gii Nu f bc thỡ [N : K] = l c ca 1!(ỳng) Gi s bi toỏn ỳng vi mi f cú bc n 1, tc [N : K] l c ca (n 1)! Ta chng minh mi f bc n thỡ [N : K] l c ca n! 32 Ta thy N cng l trng nghim ca a thc g K(u)[x] trờn K(u), vi u l nghim ca f N v f = (x u)g, deg g = n Ta cú: [N : K] = [N : K(u)][K(u) : K] Nu f bt kh quy, suy [K(u) : K] = n Nu f khụng bt kh quy trờn K, suy f = ht; degh, degt < degf Gi N l trng nghim ca h N l trng nghim ca t trờn N [ N : K ] = [ N : N ][ N : K ] Suy [N : K] l c ca n! Bi 15 Chng minh rng trng K l trng úng i s nu v ch nu K khụng cú m rng hu hn no khỏc nú Gii Gi s K l mt trng úng i s, ngha l cỏc a thc bt kh quy trờn K ch gm cỏc a thc bc nht (theo Mnh 2.6.4) Gi s F l m rng bc hu hn bt k ca K, ú F l m rng i s trờn (theo H qu 2.4.6) Do ú, mi phn t u thuc F l nghim ca a thc bt kh quy q(x) no ú trờn K (theo Mnh 2.2.3 ii) Vỡ K úng i s nờn q(x) l a thc bc nht, ú u K Vỡ vy, F b cha K hay F trựng K Ngc li, gi s f(x) l mt a thc bt k trờn K, cú bc dng Ta ký hiu N l trng nghim ca f(x) trờn K Khi ú N l m rng hu hn ca K Theo gi thit ta cú N = K Vỡ vy f(x) cú nghim K, hay K l trng úng i s Bi 16 Cho a thc f(x) = x4 trờn Q Hóy xỏc nh trng nghim N ca f(x) trờn Q Tỡm bc v mt c s ca N trờn Q Gii t u = , m rng C ca Q ta cú f(x) = x4 = (x2 )(x2 + ) = (x )(x + )(x i )(x + i ) Vy, ta cú N = Q( , , i , i ) Do ú [N : Q] = [N : Q(u)][Q(u) : Q] Ta cú: [Q(u) : Q] = vỡ a thc f(x) = x bt kh quy trờn Q (theo tiờu chun Eisenstein vi p = 2) 33 Cũn [N : Q(u)] = vỡ a thc x2 + bt kh quy trờn Q(u) Tht vy, gi s ngc li nu x2 + kh quy trờn Q(u) thỡ nghim i ca nú s thuc Q(u), ú i l s l s thc Vỡ vy ta cú [N : Q] = [N : Q(u)][Q(u) : Q] = 2.4 = Mt c s ca N trờn Q(u) l {1, i}, mt c s ca Q(u) trờn Q l {1, u, u2, u3} Vy mt c s ca N trờn Q l: {1, u, u2, u3, i, iu, iu2, iu3} KT LUN Khúa lun ny ó h thng li mt s khỏi nim cú liờn quan n lý thuyt m rng trng nh: Trng nguyờn t v trng nguyờn t M rng n Kt ni nghim Bc v m rng hu hn M rng i s lp Trng nghim v m rng kớn i s v gii cỏc bi ỏp dng cho cỏc kt qu trờn 34 TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Thnh Quang (2005), Lý thuyt trng v lý thuyt Galois, i hc Vinh [2] Nguyn Thnh Quang (2003), Giỏo trỡnh S hc hin i, i hc [3] Birrkhoff v S Maclane (1979), Tng quan v i s hin i, Nh Vinh xut bn i s v Trung hc chuyờn nghip, H ni [4] Nguyn T Cng (2003), Giỏo trỡnh i s hin i, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni [5] Nguyn Hu Vit Hng (2001), i s tuyn tớnh, Nh xut bn i hc Quc gia H Ni 35 [6] Hong Xuõn Sớnh (2000), i s i Cng, Nh xut bn Giỏo dc H Ni [7] S Lang (1974), i s, Nh xut bn i hc v Trung hc chuyờn nghip, H Ni [...]... chứa trường Q 2.6.6 Mệnh đề Trường A các số đại số là một trường kín đại số Chứng minh Xét đa thức bất kỳ khác không f(x) = u0 + u1x +…+ unxn ∈ A[x] bậc n ≥ 1, có các hệ số ui là các số đại số Ta xét mở rộng lặp F = Q(u0, u1,…, un) Khi đó F là mở rộng hữu hạn của Q Vì các hệ số của đa thức f(x) thuộc F, cho nên mỗi nghiệm tuỳ ý u của f(x) đều đại số trên F Do đó mở rộng đơn F(u) của F cũng là mở rộng. .. hạn • Mở rộng đại số lặp • Trường nghiệm và mở rộng kín đại số và giải các bài tập áp dụng cho các kết quả trên 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Thành Quang (2005), Lý thuyết trường và lý thuyết Galois, Đại học Vinh [2] Nguyễn Thành Quang (2003), Giáo trình Số học hiện đại, Đại học [3] Birrkhoff và S Maclane (1979), Tổng quan về Đại số hiện đại, Nhà Vinh xuất bản Đại số và Trung học chuyên nghiệp, ... phần tử đại số trên trường K 2.5 Mở rộng đại số lặp 18 2.5.1 Định nghĩa Giả sử K là một trường; u1, u2,…, un ∈ E, với E là một mở rộng bất kỳ của trường K Ta ký hiệu K(u 1, u2,…, un) là trường con của E sinh bởi K và các phần tử u1, u2,…, un ∈ E Mở rộng K(u1, u2, …, un) của trường K được gọi là mở rộng lặp hay mở rộng bội của trường K và các phần tử u1, u2,…, un ∈ E 2.5.2 Nhận xét Mở rộng lặp K(u1, u2,…,... của một đa thức: 0 ≠ f(x) = a0 + a1x +…+ anxn ∈ K[x], deg f = n Vậy v là phần tử đại số trên K Theo Hệ quả 2.2.5, v là nghiệm của một đa thức bất khả quy q ∈ K[x] với bậc không vượt quá bậc của f = n = [F : K] 2.4.5 Hệ quả Mọi phần tử của mở rộng đơn đại số K(u) của trường K, là đại số trên K 2.4.6 Hệ quả Mọi mở rộng hữu hạn F trên trường K đều là mở rộng đại số trên trường K Chứng minh Giả sử F là mở. .. K[x] với bậc f ≥ 1 đều có một dạng nhân tử hoá thành những đa thức bậc một f = c(x – u1)…(x – un), trong đó c ∈ K*, ui ∈ K, i = 1,…,n iv) Các đa thức bất khả quy của K[x] chỉ gồm các đa thức bậc nhất v) Không tồn tại một mở rộng đơn đại số nào của K khác K 2.6.5 Mệnh đề Tập hợp A tất cả các số đại số tạo thành một trường con của trường C các số phức, và là một mở rộng của trường các số hữu tỷ Q Chứng... K(u1, u2,…, un) Do đó, suy ra N là một trường nghiệm của f ∈ K[x] 2.6.3 Định nghĩa Một trường K được gọi là một trường kín đại số (hay trường đóng đại số) nếu mọi đa thức 0 ≠ f ∈ K[x] với bậc f ≥ 1 đều có ít nhất một nghiệm trong K 21 2.6.4 Mệnh đề Các phát biểu sau đây là tương đương: i) K là một trường kín đại số ii) Mọi đa thức 0 ≠ f ∈ K[x] với bậc f ≥ 1, đều có một ước bậc nhất (x – u) trong K[x]... u đại số trên Q} Ta có: Q ⊂ A, vì mọi a ∈ Q là nghiệm của đa thức x – a ∈ Q[x] Với u, v ∈ A thì u, v là các đại số trên Q nên các mở rộng đơn Q(u), Q(v) là mở rộng hữu hạn, cho nên mở rộng lặp Q(u, v) = Q(u) (v) cũng có bậc hữu hạn Do đó theo Định lý 2.4.4 các phần tử u – v, uv, 1 (với v v ≠ 0) của trường Q(u, v) đều là đại số trên trường Q, nghĩa là đều thuộc A Vậy A là trường con của trường các số. .. dựng một trường lớn hơn chứa một nghiệm u của q Ta đã biết phương pháp này khi trường C các số phức được xây dựng từ trường R các số thực bằng cách kết nối thêm một nghiệm ảo của đa thức x2 + 1 Tổng quát, ta có: 2.3.1 Mệnh đề Nếu K là một trường và q là một đa thức bất khả quy của miền nguyên K[x], thì tồn tại một mở rộng đơn đại số F = K(u) sinh bởi K và một nghiệm u của q Chứng minh Vì q ∈ K[x] là một. .. đơn F(u) của F cũng là mở rộng bậc hữu hạn của Q Vì vậy phần tử u thuộc F(u) là phần tử đại số trên Q (theo Định lý 2.4.4), hay u là một số đại số, tức u ∈ A Vậy A là một trường kín đại số 2.6.7 Định lý Với mọi số nguyên tố p, tồn tại một trường kín đại số có đặc số p 22 Chứng minh Với trường Zp các số nguyên mod p, số các đa thức khác không, bậc n của vành Zp[x] là (p – 1)pn Vì thế ta có thể phân Zp... rằng mọi mở rộng hữu hạn của trường R các số thực hoặc là trường R hoặc là trường C các số phức Giải Giả sử F là mở rộng hữu hạn bất kỳ của trường số thực R, khi đó F là mở rộng đại số trên R Do đó, mọi phần tử thuộc F đều là phần tử đại số trên R Với mỗi u ∈ F, đa thức cực tiểu f u(x) của u là đa thức bất khả quy trên R Vì vậy, fu(x) 29 là nhị thức bậc nhất hoặc tam thức bậc hai có biệt số ∆ < 0 Vì ...2 Trờng đại học vinh Khoa TON - MT S VN V M RNG TRNG Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngời hớng dẫn: Ts o Th Thanh Hc Vinh - 2011 MC LC Trang