lên không gian tuyến tính thực Y và những phiếm hàm tuyến tính fi (i = 0,k)
trên X. Nếu f0(x) ≥ 0 với mọi x nghiệm đúng: Ax = 0, fi(x) ≥ 0, (i = 1,k ) thì sẽ
tồn tại một phiếm hàm tuyến tính λ trên Y và những số thực βi ≥ 0 (i = 1,k ) sao
cho f0 = λA + ∑ = k i 1 i β fi. Chứng minh.
Kí hiệu Z là không gian nghiệm của hệ Ax= 0 (tức là Z = kerA) và áp dụng định lý Farkas - Minkowski mở rộng với D = X = Z (x0 = 0) ta có các βi ≥ 0 (βi ∈ R) (i = 1,k) sao cho
(∀x ∈ Z) , f0(x) - ∑ = k i i 1 β fi(x) ≥ 0
Do Z là không gian nên bất đẳng thức trên cũng đúng với (- x) và fi (i = 0,k) là hàm tuyến tính nên từ đó ta có ϕ(x) = f0(x) - ∑ = k i 1 i β fi(x) = 0, ∀x nghiệm đúng Ax = 0. Ta xác định phiếm hàm λ trên Y bằng cách:
Với mỗi y ∈ Y, lấy x nghiệm đúng Ax = y (y tồn tại vì A toàn ánh). Đặt λ(y) = ϕ(x).
Nếu Ax1 = Ax2 = y thì A(x1-x2) = 0, nên ϕ(x1- x2) = 0 tức là ϕ(x1) = ϕ(x2) chứng tỏ λ(y) xác định đơn trị. Đồng thời với cách đặt ϕ(x) ta có ϕ là hàm tuyến tính và ϕ(x) = λ(Ax) với mọi x, nghĩa là ϕ = λA. Suy ra
λA = f0 - ∑
=
k
i 1 i
β fi(x) hay f0 = λA + ∑
=
k
i 1 i
β fi(x).
Đ5. Hàm Lagrange và định lý Kuhn - Tucker
Đặt D = {x ∈ Rn : fi(x) ≤ 0, i = 1,k} Dễ thấy D là một tập lồi.
Ta nói D thoả mãn điều kiện chính quy nếu với mỗi i (i = 1,k) tồn tại điểm xi ∈ D sao cho
fi(x) < 0.
(với điều kiện fi(x) cho tập các điểm bọc của D khác rỗng). Cho f là hàm lồi xác định trên D. Xét hàm
L(x, β) = f(x) + ∑ = k i i 1 β fi(x). Hàm L(x, β) gọi là hàm Lagrange.
Ta xét bài toán “Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) xác định trên D”.
Điểm (x*, β*), với x* ∈ D và β* = (β1*, ..., βk*) ≥ 0 đợc gọi là điểm yên ngựa của hàm Lagrange nếu thoả mãn
L(x*, β) ≤ L(x*, β*) ≤ L(x, β*) ∀x ∈ D, ∀β = (β1, ..., βk) ≥ 0.