Một số vấn đề về tổ hợp và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————————- ĐINH THỊ GIANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TỔ HỢP VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————————- ĐINH THỊ GIANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TỔ HỢP VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HẮC HẢI Hà Nội, 2017 Mục lục Lời cảm ơn iii Lời cam đoan iv MỞ ĐẦU v NỘI DUNG 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các nguyên lý phép đếm 1.1.1 Nguyên lý cộng 1.1.2 Nguyên lý nhân 1.1.3 Nguyên lý bù trừ Khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.2.1 Hoán vị 1.2.2 Chỉnh hợp 1.2.3 Tổ hợp 1.3 Nhị thức Newton 1.4 Định nghĩa xác suất 10 1.2 1.4.1 Định nghĩa cổ điển xác suất 10 1.4.2 Định nghĩa thống kê xác suất 11 Một số toán tổ hợp 2.1 12 Một số phương pháp giải toán tổ hợp thường gặp 12 i 2.1.1 Sử dụng phép đếm, cơng thức hốn vị, chỉnh hợp, tổ hợp, ngun lý bù trừ 12 2.1.2 Sử dụng đạo hàm, tích phân để chứng minh đồng thức tổ hợp 18 2.2 2.1.3 Sử dụng công thức truy hồi 22 2.1.4 Sử dụng phương pháp đếm hai cách 26 Một số phương pháp nâng cao giải toán tổ hợp 29 2.2.1 Phương pháp sử dụng song ánh 29 2.2.2 Phương pháp số phức 33 2.2.3 Phương pháp quỹ đạo 38 2.2.4 Phương pháp hàm sinh 45 Một số ứng dụng tổ hợp xác suất thống kê 51 3.1 Ứng dụng lý thuyết chọn mẫu 51 3.2 Ứng dụng tốn tính xác suất bậc phổ thông 56 3.3 3.2.1 Ứng dụng chương trình tốn phổ thơng 56 3.2.2 Ứng dụng sinh học 60 Ứng dụng phép đếm nâng cao để tính xác suất 65 KẾT LUẬN 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO 72 ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Hắc Hải, giảng viên khoa Toán, Đại học Sư phạm Hà Nội trực tiếp giao đề tài hướng dẫn tơi tận tình, cho tơi kiến thức kinh nghiệm quý báu, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình thực hồn thành luận văn Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy giáo khoa Toán, Đại học Sư phạm Hà Nội dạy bảo tơi tận tình suốt q trình học tập khoa Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè bên tôi, cổ vũ, động viên, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn tốt nghiệp Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2017 Học viên Đinh Thị Giang iii Lời cam đoan Luận văn tơi hồn thành với hướng dẫn tiến sĩ Nguyễn Hắc Hải với cố gắng thân Trong trình thực tơi có tham khảo số tài liệu (có nói mục tài liệu tham khảo) Tơi xin cam đoan nội dung trình bày luận văn kết trình tìm hiểu, học tập tiếp thu hướng dẫn, dạy thầy Nguyễn Hắc Hải Những nội dung khơng trùng lặp với kết tác giả khác Hà Nội, ngày 20 tháng 12 năm 2017 Học viên Đinh Thị Giang iv Mở đầu Lý chọn đề tài Toán học tổ hợp lĩnh vực nghiên cứu từ sớm Hiện giáo dục phổ thơng, tốn học tổ hợp nội dung quan trọng, thường xuyên xuất đề thi Trung học phổ thông Quốc gia Mặc dù mức độ khơng khó học sinh gặp khó khăn giải tốn Còn kỳ thi Quốc gia Quốc tế, tốn tổ hợp ln có mặt thử thách thực với thí sinh Với mong muốn tìm hiểu sâu toán tổ hợp ứng dụng tổ hợp, lựa chọn đề tài nghiên cứu: “MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TỔ HỢP VÀ ỨNG DỤNG ” cho luận văn thạc sĩ Trong luận văn đề cập đến số toán tổ hợp tốn học phổ thơng, cụ thể toán tổ hợp sử dụng phương pháp đếm từ đến nâng cao ứng dụng tổ hợp xác suất Đây coi tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên học sinh THPT chủ đề Do hạn chế trình độ kiến thức thời gian nên tốn tổ hợp luận văn ít, chưa có nhiều tốn khó Ngồi luận văn khơng thể tránh khỏi sai sót, mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy bạn v Mục đích nghiên cứu Tổng hợp hệ thống lại phương pháp giải toán tổ hợp thường gặp, số phương pháp nâng cao giải toán tổ hợp ứng dụng tổ hợp xác suất.Từ góp phần hình thành tư giải tốn mang tính đại Xây dựng tài liệu phương pháp giải toán tổ hợp ứng dụng vào việc tính xác suất hay ứng dụng thực tế chọn mẫu Với hi vọng đóng góp phần nhỏ hệ thống vơ lớn tài liệu tổ hợp Và đặc biệt hi vọng kết nghiên cứu tập hợp luận văn ứng dụng tốt vào thực tế giảng dạy mơn Tốn bậc phổ thơng Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết tổ hợp bao gồm khái niệm phép đếm, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, nhị thức Newton số định nghĩa xác suất Nêu rõ số phương pháp giải toán tổ hợp thường gặp trình bày hệ thống số phương pháp nâng cao Nêu rõ ứng dụng tổ hợp xác suất để chọn mẫu, để giải tốn xác suất bậc phổ thơng toán học sinh học, và vận dụng phương pháp nâng cao để tính xác suất Đối tượng phạm vi nghiên cứu Tìm hiểu phương pháp giải toán tổ hợp toán tổ hợp kết tổ hợp bản, mơ hình xác suất cổ điển tài liệu toán tổ hợp tác giả nước Nghiên cứu kết đề tài ứng dụng toán tổ hợp báo, tạp chí ngồi nước vi Dự kiến đóng góp Luận văn tài liệu hệ thống đầy đủ, khoa học, dễ hiểu vấn đề tổ hợp ứng dụng xác suất Luận văn trình bày theo hướng từ lý thuyết qua giải ví dụ từ đơn giản đến phức tạp Vì tơi hi vọng cung cấp tài liệu hữu ích cho việc giảng dạy, bồi dưỡng HSG toán tổ hợp xác suất bậc THPT Phương pháp nghiên cứu Luận văn hoàn thiện dựa nghiên cứu lý thuyết nghiên cứu thực tiễn dựa vào phân tích tổng kết kinh nghiệm quan sát khoa học vii Nội dung Luận văn tốt nghiệp chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung cụ thể Chương 1, Chương 2, Chương luận văn phân bố sau: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các nguyên lý phép đếm 1.2 Khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.3 Nhị thức Newton 1.4 Định nghĩa xác suất Chương 2: Một số toán tổ hợp 2.1 Một số phương pháp giải toán tổ hợp thường gặp 2.2 Một số phương pháp nâng cao giải toán tổ hợp Chương 3: Một số ứng dụng tổ hợp xác suất thống kê 3.1 Ứng dụng lý thuyết chọn mẫu 3.2 Ứng dụng tốn tính xác suất bậc phổ thông 3.3 Ứng dụng phép đếm nâng cao để tính xác suất viii TH1 : a6 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 có C95 cách chọn TH2 : a6 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 có C75 cách chọn TH3 : a6 = a1 a2 a3 a4 a5 a6 có C55 cách chọn n(A) = C95 + C75 + C55 = 148 Do P (A) = 148 37 n(A) = = n(Ω) 34020 9.A9 Ví dụ 3.11 ( ĐỀ KSCL ÔN THI THPT QUỐC GIA LẦN NĂM 2014 − 2015 CỦA SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ) Xếp ngẫu nhiên học sinh nam học sinh nữ thành hàng ngang Tính xác suất để có học sinh nữ đứng cạnh Lời giải Gọi không gian mẫu Ω , A biến cố “xếp hai nữ đứng cạnh nhau” Ta có n(Ω) = 5! Đánh thứ tự vị trí cần xếp từ đến Để nữ đứng cạnh vị trí xếp hai nữ bốn trường hợp: (1; 2), (2; 3), (3; 4), (4; 5) Mỗi trường hợp số cách xếp 2!3! nên tất số cách xếp thỏa mãn hai nữ đứng cạnh n(A) = 4.2!3! Vậy xác suất cần t P (A) = 4.2!3! n(A) = = n(Ω) 5! Ví dụ 3.12 Có n thư n phong bì ghi sẵn địa Bỏ ngẫu nhiên thư vào phong bì Hỏi xác suất để xảy không thư địa ? 58 Lời giải Mỗi phong bì có n cách bỏ thư vào, nên có tất n! cách bỏ thư Vấn đề lại đếm cách bỏ thư cho không thư địa Gọi U tập hợp cách bỏ thư Am tính chất thư thứ m bỏ địa Khi theo cơng thức ngun lý bì trừ ta có: N = n! − N1 + N2 − + (−1)n Nn Nm (1 ≤ m ≤ n) số tất cách bỏ thư cho có m thư địa Nhận xét rằng, Nm tổng theo cách lấy m thư từ n lá, với cách lấy m thư, có (n − m)! cách bỏ để m thư địa chỉ, ta nhận n! 1 N = n! − + − + (−1)n , Cnm = k! 1! 2! n! tổ hợp chập m tập n phần tử Từ xác suất cần tìm Nm = Cnm (n − m)! = n! m!(n − m)! 1− 1 + − + (−1)n 1! 2! n! Ví dụ 3.13 Rút ngẫu nhiên 13 quân từ 52 quân Tính xác suất để 13 quân có "tứ quý" Lời giải 13 cách rút 13 quân từ 52 qn.Ta cần tìm số cách rút Có C52 có quân giống số Trước hết ta đếm số cách rút có tứ quý A cách rút (lấy A từ 48 lại) Với Rõ ràng có C48 khác Vì có 13 quân khác nên số cách rút có tứ quý ?? 13.C48 Trong lời giải trên, đếm lặp Cụ thể cách rút có hai tứ quý, chẳng hạn tứ quý A tứ quý K đếm hai lần, lần tứ quý A lần tứ quý K Nhưng ta đếm số tứ quý mà số lần gặp tứ quý Như lần đếm lặp tứ quý phải trừ Dễ thấy, số cách 59 Lý luận tiếp tục ta có số rút tứ quý A tứ quý K C44 xác cách rút có tứ quý : 13.C48 − C13 C44 + C13 C40 Vậy xác suất cần tìm là: P = 3.2.2 − C C + C C 13.C48 13 44 13 40 = 0.034 13 C52 Ứng dụng sinh học Xác suất toán mà từ sớm người quan tâm Trong hầu hết lĩnh vực đặc biệt di truyền học, việc xác định khả xảy kiện định điều cần thiết Thực tế học di truyền có nhiều câu hỏi đặt ra: Xác suất sinh trai hay gái bao nhiêu? Khả để sinh người theo mong muốn giới tính hay khơng mắc bệnh, tật di truyền dễ hay khó thực hiện? Mỗi người mang nhiễm sắc thể (NST) hay tỉ lệ máu ông (bà) nội ngoại mình? Vấn đề thật gần gũi mà lại không dễ, làm thường thiếu tự tin Bài tốn xác suất ln toán thú vị, hay trừu tượng nên phần lớn khó Để giải vấn đề kiến thức tổ hợp công cụ thiếu Trong phần tìm hiểu ứng dụng kiến thức tổ hợp để giải tốn tính xác suất sinh học 3.2.2.1 Tính xác suất đực nhiều lần sinh Mỗi lần sinh kiện hoàn toàn độc lập có hai khả xảy đực với xác suất Xác suất xuất đực, n lần sinh kết tổ hợp ngẫu nhiên, số khả xảy n lần sinh 2n Nếu ta gọi số đực a, số b ta có b = n − a Số tổ hợp a đực b kết Cna Vì b = n − a nên Cna = Cnb Vậy xác suất n lần sinh có a đực b 60 Cna 2n Ví dụ 3.14 Một cặp vợ chồng dự kiến sinh người a Nếu họ muốn sinh người trai người gái khả thực mong muốn bao nhiêu? b Tìm xác suất để lần sinh họ có trai gái Lời giải Mỗi lần sinh kiện hồn tồn độc lập, có khả xảy ra: đực với xác suất đó: a Khả thực mong muốn Số khả xảy lần sinh 23 Số tổ hợp trai gái là: C32 C31 ( trường hợp gái: trước, giữa, sau) ⇒ Khả để lần sinh họ có trai gái là: C32 = b Xác suất cần tìm tổng xác suất để có trai, gái trai, gái C31 23 C2 Xác suất sinh trai gái là: 33 Xác suất sinh trai gái : Vậy xác suất cần tìm C31 C32 C31 + = 2.( ) = 23 23 23 3.2.2.2 Xác định tần số xuất alen trội lặn trường hợp nhiều cặp gen dị hợp phân li độc lập, tự thụ Trường hợp bố mẹ có n cặp gen dị hợp phân li độc lập (hoặc thể có n cặp dị hợp, tự thụ) Vì n số cặp gen dị hợp nên số alen không gian 2n Số tổ hợp gen 2n 2n = 4n Gọi số alen trội (hoặc lặn) a nên số alen lặn (hoặc trội) 2n − a Vì cặp gen phân li độc lập (PLĐL) tổ hợp ngẫu nhiên nên ta có số tổ hợp gen có 61 a a alen trội (hoặc lặn) C2n Nếu có n cặp gen dị hợp, PLĐL, tự thụ tần số xuất tổ hợp gen có a alen trội (hoặc lặn) a C2n 4n Ví dụ 3.15 Chiều cao cặp gen PLĐL, tác động cộng gộp quy định Sự có mặt alen trội tổ hợp gen làm tăng chiều cao lên cm Cây thấp có chiều cao 150 cm Cho có cặp gen dị hợp tự thụ Xác định: a Tần số xuất tổ hợp gen có alen trội ; alen trội b Khả có có chiều cao 165 cm Lời giải a Tần số xuất ❼ Tổ hợp gen có alen trội a C61 C2n = = 4n 43 64 ❼ Tổ hợp gen có alen trội a C64 C2n 15 = = 4n 43 64 b Cây có chiều cao 165 cm thấp 165cm − 150cm = 15cm ⇒ có alen trội Vậy khả có có chiều cao 165 cm C63 20 = 64 62 3.2.2.3 Xác định số trường hợp thể lệch bội xảy đồng thời hai nhiều đột biến lệch bội Gọi n số cặp nhiếm sắc thể, ta có: Thể lệch bội đơn: Trường hợp đơn giản, lệch bội xảy cặp NST nên ta dễ dàng xác định số trường hợp Cn1 = n Thể lệch bội kép: Ta phải hiểu thể lệch bội kép tức đồng thời tế bào có hai thể lệch bội nhau.Thực chất số trường hợp thể kép Cn2 = n(n − 1) Đồng thời nhiều a thể lệch bội khác nhau: ❼ Với lệch bội thứ có n cách chọn ❼ Với lệch bội thứ có (n − 1) cách chọn ❼ Với lệch bội thứ có (n − 2) cách chọn ❼ Với lệch bội thứ a có (n − a + 1) cách chọn Do số trường hợp xảy n(n − 1)(n − 2) (n − a + 1) = n! = Aan (n − a)! Ví dụ 3.16 Bộ NST lưỡng bội loài 24 Xác định a Có trường hợp thể xảy ? b Có trường hợp thể kép xảy ra? c Có trường hợp đồng thời xảy đột biến; thể 0, thể thể 3? Lời giải 63 a Số trường hợp thể xảy 2n = 24 ⇒ n = 12 Số trường hợp thể Cn1 = n = 12 b Số trường hợp thể kép xảy Cn2 = n(n − 1) 12.11 = = 66 2 c Số trường hợp đồng thời xảy đột biến : thể 0, thể 1, thể Aan = n! 12! 12! = = = 12.11.10 = 1320 (n − a)! (12 − 3)! 9! 3.2.2.4 Tính xác suất tổ hợp gen khác nguồn gốc NST Để giải toán nguồn gốc NST lồi sinh sản hữu tính, ta cần hiểu chất cặp NST tương đồng: có nguồn gốc từ bố, có nguồn gốc từ mẹ Trong phần ta xét trường hợp bình thường, không xảy trao đổi chất hay chuyển đoạn NST, giảm phân tạo giao tử thì: Mỗi NST cặp tương đồng phân li giao tử nên tạo loại giao tử có nguồn gốc khác (bố mẹ) Do cặp NST có phân li độc lập, tổ hợp tự do, gọi n số cặp NST tế bào số giao tử khác nguồn gốc NST tạo lên 2n ⇒ Số tổ hợp loại giao tử qua thụ tinh 2n 2n = 4n Vì giao tử mang n NST từ n cặp tương đồng, nhận bên từ bố mẹ NST nhiều n NST nên số giao tử mang a NST bố (hoặc mẹ) Cna ⇒ Xác suất để giao tử mang a NST từ bố ( mẹ) Cna 2n Số tổ hợp gen có a NST từ ông (bà) nội (giao tử mang a NST bố) b NST từ ông (bà) ngoại (giao tử mang b NST từ mẹ) Cna Cnb 64 ⇒ Xác suất tổ hợp gen có mang a NST từ ông (bà) nội b NST từ ông (bà) ngoại Cna Cnb Cna Cnb = 2n 2n 4n Ví dụ 3.17 Bộ NST lưỡng bội người 2n 46 a Có trường hợp giao tử có mang NST từ bố? b Xác suất giao từ mang NST từ mẹ bao nhiêu? c Xác suất người mang NST ông nội 21 NST từ bà ngoại bao nhiêu? Lời giải a Số trường hợp giao tử mang NST từ bố Cna = C23 b Xác suất giao từ mang NST từ mẹ C23 Cna = 23 2n c Xác suất người mang NST ông nội 21 NST từ bà ngoại C 21 C23 Cna Cnb 23 = n 23 4 3.3 Ứng dụng phép đếm nâng cao để tính xác suất Trong chương trình bày số phương pháp nâng cao để giải toán tổ hợp phương pháp song ánh, phương pháp đa thức số phức, phương pháp quỹ đạo, hàm sinh Trong chương ta dụng kiến thức để giải số tốn tính xác suất Đầu tiên ta tìm hiểu ví dụ sử dụng phương pháp song ánh để tính xác suất 65 Ví dụ 3.18 Tính xác suất để chọn số từ tập 18 số nguyên dương cho cặp số số chọn có hiệu số số lớn số bé lớn hai Lời giải Gọi Ω không gian mẫu ⇒ n(Ω) = C18 C biến cố :"Một cặp số chọn có hiệu số số lớn số bé lớn 2." Để tính số phần tử biến cố C ta tiến hành làm sau Kí hiệu A tập hợp số số (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) thỏa mãn yêu cầu tốn Kí hiệu B tập hợp số phân biệt 14 số nguyên dương Ta xây dựng ánh xạ ϕ : A → B theo quy tắc sau: ϕ(a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) = (a1 , a2 − 1, a3 − 2, a4 − 3, a5 − 4), Trong a1 < a2 < a3 < a4 < a5 Vì a2 − a1 ≥ ⇒ a2 − ≥ a1 + > a1 a3 − a2 ≥ ⇒ a3 − ≥ a2 > a2 − a4 − a3 ≥ ⇒ a4 − ≥ a3 − > a3 − a5 − a4 ≥ ⇒ a5 − ≥ a4 − > a4 − a1 ≥ 1, a5 − ≤ 18 − = 14 Suy (a1 , a2 − 1, a3 − 2, a4 − 3, a5 − 4) ∈ B 66 Như vậy, với phần tử A ứng với phần tử B qua ánh xạ ϕ Tương tự , với (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 ) ∈ B tồn (b1 , b2 + 1, b3 + 2, b4 + 3, b5 + 4) ∈ A Suy phép tương ứng − A B Số phần tử A số phần tử B C14 ⇒ n(C) = C14 Vậy xác suất cần tìm là: P = C5 n(C) 2002 = 14 = = 0.23 n(Ω) 8568 C18 Tiếp theo tính xác suất tốn xếp hàng trình bày chương ví dụ (2.49), mở rộng trường hợp tổng quát trước bán vé người bán vé có c tiền loại 50000 đồng Ví dụ 3.19 Có m + n người hàng mua vé xem kịch có n người mang tiền loại 50000 đồng m người mang tiền loại 100000 đồng với n ≥ m Mỗi vé giá 50000 đồng Trước lúc bán, người bán vé có c tiền loại 50000 đồng Tính xác suất để m + n người mua vé khơng có người phải chờ tiền thừa Lời giải Gọi Ω không gian mẫu Gọi C biến cố: " m + n người mua vé khơng có người phải chờ trả tiền thừa" Giả sử người mua vé hàng theo cách Ta đặt    +1 người mua vé thứ i có 50000đồng ei =   −1 người mua vé thứ i có 100000đồng Khi Sk = e1 + + ek hiệu số số lượng người có tiền 50000 đồng số người có tiền 100000 đồng có k người hàng 67 Trên mạng lưới kẻ ô vuông hệ trục tọa độ Oxy ta vẽ điểm Ak (k, Sk ), (k = 1, 2, 3, , m+n) xét đường gấp khúc nối điểm O(0; 0) với điểm Am+n (m+n; n−m) mà qua điểm A1 , A2 , , Am+n−1 Ta gọi đường gấp khúc quỹ đạo, tương ứng với cách hàng người mua vé Tổng số quỹ đạo n Cm+n n ⇒ n(Ω) = Cm+n Chú ý quỹ đạo tương ứng với cách hàng người mua vé để chờ trả tiền thừa với giả thiết trước bán vé, người bán vé có c tiền mệnh giá 50000 đồng quỹ đạo từ điểm O(0; 0) đến điểm Am+n (m + n; n − m) không cắt đường thẳng y = −(c + 1) Rõ ràng số quỹ đạo cắt đường thẳng số quỹ đạo từ điểm B(0; −2(c + 1)) đến điểm Am+n (m + n; n − m) tức c+n+1 m−c−1 Cm+n = Cm+n Vậy số quỹ đạo cần tìm hay số cách xếp m + n người mua vé để người phải chờ để trả tiền thừa m−c−1 m n(C) = Cm+n − Cm+n Vậy xác suất cần tìm P (C) = C m − C m−c−1 n(C) = m+n n m+n n(Ω) Cm+n Ta tiếp tục sử dụng phương pháp quỹ đao để tính xác suất tốn vơ tiếng tốn bỏ phiếu Ví dụ 3.20 ( Bài toán bỏ phiếu) Trong lần bầu cử , ứng cử viên A a phiếu bầu, ứng cử viên B b phiếu bầu (a > b) Cử tri bỏ phiếu liên tiếp Tính xác suất bỏ phiếu để ứng cử viên A luôn ứng cử viên B số phiếu bầu Lời giải 68 Gọi Ω không gian mẫu Gọi C biến cố: " Ứng cử viên A luôn ứng cử viên B số phiếu bầu" Ta đặt ei =    +1 phiếu thứ i bầu cho A   −1 phiếu thứ i bầu cho B Đặt Sk = e1 + + ek Ta xét quỹ đạo với điểm O(0; 0), (1; S1 ), (k; Sk ), , (a + b; Sa+b ) Ở Sa+b = a − b Rõ ràng cách bỏ phiếu tương ứng với quỹ đạo xác định Mỗi quỹ đạo gồm a + b đoạn thẳng có a đoạn hướng lên Tổng số quỹ a đạo Ca+b a ⇒ n(Ω) = Ca+b Ứng cử viên A dẫn đầu quỹ đạo tương ứng qua điểm (1; 1) khơng cắt trục hồnh Số quỹ đạo n+1−m m Cm+n n+1 n = a − 1, m = b Do số cách bỏ phiếu phải tìm a − + − b a−1 a−b a Ca+b−1 = C a−1+1 a + b a+b ⇒ n(C) = a−b a C a + b a+b Vậy xác suất để ứng cử viên A luôn ứng cử viên B số phiểu bầu a−b a Ca+b n(C) a−b P = = a + ba = n(Ω) Ca+b a+b Dưới ví dụ ứng dụng phương pháp hàm sinh để giải toán xác suất Ví dụ 3.21 Tính xác suất để chia 10 bóng giống cho đứa trẻ, cho đứa nhận bóng ? 69 Lời giải Gọi Ω không gian mẫu Gọi A biến cố: " Mỗi đứa trẻ nhận hai bóng" Ta có số cách chia 10 bóng cho đứa trẻ là: C13 ⇒ n(Ω) = C13 = 715 Để xác định số phần tử biến cố A ta sử dụng phương pháp hàm sinh Đầu tiên ta tìm hàm sinh cho số cách chia bóng cho đứa trẻ Giả thiết cho đứa nhận hai bóng nên ta suy cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận cách đứa trẻ nhận Vậy hàm sinh cho cách chia x2 + x3 + x4 + Áp dụng quy tắc xoắn ta tìm hàm sinh cho cách chia bóng cho đứa trẻ F (x) = x2 + x3 + x4 + = x8 + x + x2 + x3 + = x8 (1 − x)4 = x8 k C4+k−1 xk n≥0 k C3+k xk+8 = n≥0 ⇒ Số cách chia 10 bóng hệ số x10 C52 = 10 ⇒ n(A) = 10 Vậy xác suất cần tìm P = 10 n(A) = = n(Ω) 715 143 70 KẾT LUẬN Luận văn MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔ HỢP VÀ ỨNG DỤNG phân loại số dạng tập tổ hợp sử dụng phép đếm từ đến nâng cao Ngoài đưa ứng dụng tổ hợp lý thuyết chọn mẫu hay ứng dụng tính xác suất bậc phổ thơng qua việc chọn lọc số toán tổ hợp hay phù hợp với học sinh trung học phổ thông ơn tập chuẩn bị tham gia vào kì thi THPT Quốc Gia hay tham gia kì thi học sinh giỏi quốc gia, quốc tế toán ứng dụng tổ hợp sinh học, ứng dụng phép đếm nâng cao để tính xác suất Rõ ràng tốn tổ hợp khó, khơng có khuôn mẫu định cho việc giải, đòi hỏi sáng tạo, tư khơng ngừng từ phía người đọc Mặt khác tốn thường kích thích cho việc hình thành tư tốn học kĩ trình bày, giải vấn đề học sinh Ngoài việc phát triển kĩ này, tốn tổ hợp mang tính thực tế tính thẩm mỹ cao, đem lại cho học sinh đam mê, hứng thú Tôi tin tốn tổ hợp ln thú vị đem đến tranh luận hấp dẫn thể loại toán khác Hướng phát triển thời gian tới , tập trung nghiên cứu sâu phép đếm nâng cao toán thi Olympic toán rời rạc Luận văn nhiều thiếu sót hạn chế, tơi mong nhận góp ý quý thầy cô bạn đọc 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đình Thành Cơng, Nguyễn Văn Hưởng(2015), Cơng phá đề thi học sinh giỏi chuyên đề toán rời rạc tổ hợp, NXB Tổng hợp thành phố Hồ Chí Minh [2] Nguyễn Hắc Hải, Phạm Văn Kiều, Vũ Viết Yên(2011), Giáo trình xác suất thống kê, NXB Đại học Sư phạm [3] Đào Hữu Hồ(1996), Giáo trình xác suất thống kê , NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [4] Phan Huy Khải(2014), Các toán tổ hợp, NXB Giáo dục Việt Nam [5] Hồng Chí Thành(2000), Giáo trình tổ hợp, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [6] A.T Benjamin, J.J Quinh(2011), Proof that Really Count- The Art of Combinatorial Proof , Mathematical Association of America [7] Diễn đàn MathScope http://forum.mathscope.org/index.php 72 ... gia Quốc tế, toán tổ hợp ln có mặt thử thách thực với thí sinh Với mong muốn tìm hiểu sâu toán tổ hợp ứng dụng tổ hợp, lựa chọn đề tài nghiên cứu: “MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TỔ HỢP VÀ ỨNG DỤNG ” cho luận... phương pháp giải toán tổ hợp thường gặp 2.2 Một số phương pháp nâng cao giải toán tổ hợp Chương 3: Một số ứng dụng tổ hợp xác suất thống kê 3.1 Ứng dụng lý thuyết chọn mẫu 3.2 Ứng dụng tốn tính xác...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI —————————————- ĐINH THỊ GIANG MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TỔ HỢP VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC