Một số vấn đề về không gian giả ơclit 2 chiều chỉ số 1

Trờng đại học vinh Khoa toán ----------- ----------- Một số vấn đề về không gian giả ơclit 2- chiều chỉ số 1 khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân khoa học toán Cán bộ hớng dẫn: GVCC. Trơng Đức Hinh Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Thuỷ Lớp: 42B1 - toán 1 Vinh, 2005 Lời nói đầu Trong một số tài liệu học tập dùng cho sinh viên (chẳng hạn [1], [3], [4]) các tác giả đã đề cập sơ bộ đến lý thuyết không gian giả Ơclit n-chiều chỉ số k. Liên quan đến lĩnh vực đó, trong khóa luận này của mình tác giả đã thực hiện công việc nghiên cứu với tựa đề: Một số vấn đề về không gian giả Ơclit 2-chiều chỉ số 1. Mục đích của khóa luận này là hệ thống hóa và cụ thể hóa một số vấn đề thuộc lý thuyết không gian giả Ơclit 2- chiều chỉ số 1, đồng thời đi sâu tìm kiếm, nghiên cứu một số tính chất của không gian này mà tác giả cha thấy trình bày trong các tài liệu hiện hành. Khóa luận đợc bố cục nh sau: - Lời nói đầu - Chơng I. Các không gian Ơclit và giả Ơclit. - Chơng II. Không gian giả Ơclit 2-chiều chỉ số 1. - Kết luận. - Các tài liệu tham khảo. - Mục lục. Chơng I: Dành cho việc trình bày một số lý thuyết chung về các không gian Ơclit và giả Ơclit để chuẩn bị cho việc trình bày những vấn đề cụ thể riêng đối với không gian giả Ơclit 2-chiều chỉ số 1 trong chơng II. Trong khuôn khổ cho phép của khóa luận, tại chơng II tác giả chỉ đề cập tới các vấn đề sau đây: khái niệm không gian giả Ơclit 2-chiều chỉ số 1 (kí hiệu không gian này bởi E 1 2 và không gian vectơ liên kết của nó bởi 2 E 1 2 ) là mục tiêu trực chuẩn trong nó, đờng thẳng trong E 1 2 , một số tính chất của E 1 2 , đờng tròn trong E 1 2 ), phép quay mục tiêu chuẩn trong E 1 2 và cuối cùng là ví dụ về không gian E 1 2 . Bản khóa luận này đợc hoàn thành vào cuối tháng 4 năm 2005 tại khoa Toán, trờng Đại học Vinh. Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối các thầy cô giáo trong khoa nói chung và thầy hớng dẫn - Thầy Tr- ơng Đức Hinh nói riêng. Tác giả cuối cùng xin có lời cảm ơn chân thành đối với bạn bè và gia đình, những ngời đã tạo điều kiện để tác giả vợt qua mọi khó khăn và hoàn thành nhiệm vụ. Chắc chắn rằng khóa luận không tránh khỏi còn những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đợc sự góp ý của các quý vị, thầy cô và các bạn. Xin chân thành cảm ơn! Tác giả 3 Chơng I. Các Không gian Ơclit và giả Ơclit Chơng này dành cho các không gian Ơclit và giả Ơclit nói chung. Những vấn đề cụ thể riêng đối với không gian giả Ơclit 2-chiều chỉ số 1 sẽ đợc trình bày trong chơng II. Đ 1. Khái niệm về không gian Ơclit 1.1. Tích vô hớng 1.1.1. Định nghĩa tích vô hớng. Cho R - Không gian vectơ V. ánh xạ : : VxV R ( x , y ) ( x , y ) (viết gọn là x . y ) đợc gọi là một tích vô hớng trên V, nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i. là ánh xạ song tuyến tính, tức là: ( x + 'x , y ) = ( x , y ) + ( 'x , y ) [hay ( x + 'x ). y = x . y + 'x y ] ( x , y + 'y ) = ( x , y ) + ( x , 'y ) [hay x ( y + 'y ) = x y + x 'y ] đối với , R và x , 'x , y , 'y V. ii. có tính chất đối xứng, tức là: ( x , y ) = ( y , x ) (hay x . y = y . x ). iii. không suy biến, tức là: 4 Với x V, x 0 , y V sao cho ( x , y ) 0 (hay x . y 0 ). Số ( x , y ), tức là x . y , đợc gọi là tích vô hớng của x và y . Số ( x , x ), tức là x . x , đợc gọi là bình phơng vô hớng của x và ký hiệu là x 2 . 1.1.2. Các định nghĩa khác Hai vectơ x , y V đợc gọi là hai vector trực giao (hoặc vuông góc) với nhau nếu x . y = 0 2 x đợc gọi là độ dài của vector x và thờng viết là x = 2 x 1.1.3. Nhận xét. Tích vô hớng của không gian vector Ơclit cũng thỏa mãn định nghĩa tích vô hớng này. 1.2.1. Định nghĩa. Cho không gian n-chiều n A liên kết với R - không gian vector n A . Nếu đã cho trên không gian vectơ n A một tích vô hớng thì không gian afin n A (liên kết với n A ) cùng với tích vô hớng đó đợc gọi là một không gian Ơclit. Lúc này ta viết n E và n E thay cho n A và n A . 1.2.2. Định nghĩa. Với hai điểm A , B thuộc không gian Ơclit n E ta gọi là khoảng cách giữa A và B là số độ dài của vectơ AB và ký hiệu khoảng cách đó là A B . Nh vậy, ta có thể viết: = A B = AB = 2 AB 1.3. Không gian Ơclit chân chính và không gian giả Ơclit 1.3.1. Định nghĩa. Không gian Ơclit đợc gọi là không gian Ơclit chân chính nếu với mọi x 0 đều có x 2 > 0 . 5 1.3.2. Định nghĩa. Không gian Ơclit đợc gọi là không gian giả Ơclit nếu nó không phải là không gian Ơclit chân chính [nh vậy nếu n E là một không gian giả Ơclit và x n E thì x 2 có thể là một số âm, số dơng hoặc bằng không (tùy từng vectơ x nhất định )]. Nh vậy: Trong không gian giả Ơclit độ dài của vectơ và do đó khoảng cách giữa 2 điểm có thể là một số thực và cũng có thể là một số thuần ảo. 1.4. Nhận xét. Không gian Ơclit trớc đây mà chúng ta xét đến chính là không gian Ơclit chân chính. 6 Đ2. tenxơ trong không gian Ơclit Mỗi không gian Ơclit đều là không gian afin, do đó mỗi điều trong không gian afin đều có đối với không gian Ơclit. Ngoài ra, trong không gian vectơ liên kết '' E của không gian Ơclit còn có tích vô hớng là cái mà trong không gian afin không có. Vì vậy, Tenxơ trong không gian Ơclit còn có những vấn đề riêng. Dới đây là những vấn đề riêng đó. 2.1. Tenxơ trong không gian Ơclit 2.1.1. Định nghĩa Giả sử n E là một không gian Ơclit n - chiều liên kết với R-không gian vectơ n E mà tích vô hớng trên n E là và giả sử { 1 e , ., n e } là cơ sở trong n E . Đặt ( i e , j e ) = ij g . Có thể kiểm tra thấy rằng ij g là một tenxơ trong không gian vectơ n E và tenxơ ij g đợc gọi là tenxơ mêtric của không gian Ơclit đang xét. 2.1.2. Tính chất. a. Tenxơ mêtric có tính chất đối xứng nghĩa là ij g = ji g . Thật vậy: Vì ij g = i e . j e = j e . i e = ji g (do tính chất đối xứng của tích vô h- ớng trong n E . b. Điều kiện không suy biến trong định nghĩa tích vô hớng tơng đ- ơng với det( ij g ) 0 . Thật vậy: Nếu điều kiện này không thỏa mãn, tức là tồn tại vectơ x 0 sao cho x . y = 0 , với mọi vectơ y . Đẳng thức này đợc viết lại dới dạng tọa độ nh sau: 7 ji n ji ij yxg = 1, = 0 , với 1 y , 2 y , ., n y (trong đó 1 x , 2 x , ., n x không đồng thời bằng không). = n j 1 ( i n i ij xg = 1 ) j y = 0 , với 1 y , 2 y , ., n y (trong đó 1 x , 2 x , ., n x không đồng thời bằng không). i n i ij xg = 1 = 0 (trong đó 1 x , 2 x , ., n x không đồng thời bằng không), nj ,1 = . =+++ =+++ =+++ 0 . 0 . 0 . 2 2 1 1 2 2 22 1 12 1 2 21 1 11 n nnnn n n n n xgxgxg xgxgxg xgxgxg Hệ trên gồm n phơng trình tuyến tính thuần nhất đối với i x . Vì x 0 nên i x không đồng thời bằng không (tức là hệ có nghiệm không tầm thờng) do đó định thức các hệ số bằng không. det( ij g ) = 0 . c. Chú ý: Chiều thuận của mệnh đề trên chính là: đối với tenxơ mêtric ij g của không gian Ơclit ta luôn có định thức det( ij g ) 0 2.2. Tenxơ mêtric phản biến trong không gian Ơclit. 2.2.1. Nhận xét. Giả sử trong không gian vectơ n E , cho cơ sở { } n i i e 1 và ứng với cơ sở đó ta lập ma trận nghịch đảo )( ij g của ma trận )( ij g . Đối với bất kỳ cơ sở { } n i i e 1' ' = nào của n E cũng làm tơng tự nh vậy. Ta sẽ chứng minh rằng ij g là một tenxơ phản biến cấp hai, nghĩa là chứng minh khi đổi cơ sở theo các công thức: 8 i e = ' 1' ' i n i i i eA = 'i e = i n i i i eA = 1 ' thì '' ji g = ijj j n ji i i gAA ' 1, ' = . (1) Để đơn giản ta chứng minh (1) theo kiểu sau đây: Nh đã nói, ứng với cơ sở { } n i i e 1 = ta lập đợc ma trận )( ij g nghịch đảo của ma trận )( ij g . Sau đó, khi chuyển sang cơ sở mới { } n i i e 1' ' = ta biến đổi )( ij g theo công thức (1) và chứng tỏ rằng ma trận )( '' ji g nhận đợc theo cách đó chính là nghịch đảo của ma trận )( '' ji g . Thật vậy: Vì )( ij g là tenxơ hiệp biến cấp hai nên: '' ji g = ij j j n ji i i gAA ' 1, ' = . ij g = pq q j n qp p i gAA ' 1, ' = . (2) Mặt khác, )( ij g là nghịch đảo của ma trận )( ij g nên tích của 2 ma trận này là ma trận đơn vị, tức là: = n j jk ij gg 1 = i k (3) Từ đó, ta suy ra: = n j kj ji gg 1' '' '' = pq q k p j ij n qpjij j j i i gAAgAA '' 1,,,,' '' = [do (1) và (2)] = pq ijq k p j n qpjij j j i i ggAAAA '' 1,,,,' '' = 9 = pq ijp j q k n qpji i i ggAA ' 1,,, ' = = jq ijq k n qji i i ggAA ' 1,, ' = = i q q k n ji i i AA ' 1, ' = [do (3)] = i k n i i i AA ' 1 ' = = ' ' i k . Suy ra: '' 1' '' kj n j ji gg = = ' ' i k (4) Hệ thức (4) chứng tỏ rằng ma trận )( '' ji g là ma trận nghịch đảo của ma trận )( '' ji g . Nh vậy, ta đã chứng minh đợc ij g là một tenxơ phản biến cấp 2. 2.2.2. Định nghĩa. Tenxơ phản biến cấp hai ij g đợc gọi là tenxơ mêtric phản biến của không gian Ơclit n E . 2.3. Nâng và hạ chỉ số của tenxơ trong không gian Ơclit. Đối với thành phần của mỗi tenxơ trong không gian Ơclit ngời ta qui - ớc đánh số các chỉ số trên và dới theo một thể thống nhất. Chẳng hạn: . k lij a là tenxơ ba lần hiệp biến và một lần phản biến các chỉ số thứ 1,2,4 của nó là các chỉ số hiệp biến và chỉ số thứ 3 của nó chỉ số phản biến. 2.3.1. Phép nâng chỉ số của tenxơ Từ một tenxơ đã cho, chẳng hạn . k lij a , sử dụng tenxơ mêtric phản biến ij g ta tạo ra một tenxơ mới (cũng bằng cách nhân và co rút nh sau): 10 . số vấn đề về không gian giả Ơclit 2- chiều chỉ số 1. Mục đích của khóa luận này là hệ thống hóa và cụ thể hóa một số vấn đề thuộc lý thuyết không gian giả. khái niệm không gian Ơclit n - chiều chỉ số k và không gian giả Ơclit n -chiều chỉ số k. 5 .1. Mệnh đề. Nếu trong không gian Ơclit n -chiều có một mục tiêu