Một số vấn đề về không gian Sobolev

Một số vấn đề về không gian Sobolev

- 1 - Lời cảm tạ  Thời gian thắm thoát thoi đưa, chớp mắt mà em đã hoàn thành bốn năm đại học. Nhớ ngày nào, đầu khóa học, ba còn đưa đến trường gặp thầy cô mới, bạn bè mới với bao bỡ ngỡ lo lắng. Vậy mà cuối cùng em cũng trải qua bốn năm học. Bốn năm học tập với biết bao khó khăn, vất vả, có những lúc vấp ngã em tưởng như mình không thể vượt qua. Nhưng mong muốn được làm luận văn khi tốt nghiệp đã thúc đẩy em phấn đấu nhiều trong học tập. Cuối cùng với kết quả đạt được trong các năm đầu, em được bộ môn phân công làm luận văn dưới sự hướng dẫn của thầy Phạm Gia Khánh. Được làm luận văn là một niềm vui, niềm vinh dự lớn đối với em. Nhưng bên cạnh đó cũng có không ít nỗi lo và gặp nhiều khó khăn, nào là khan hiếm tài liệu, thời gian hạn hẹp, mà kiến thức thì mới và tương đối khó… Nhưng với kiến thức mà em được thầy cô bộ môn trang bị trong các năm qua cùng với sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Phạm Gia Khánh cũng như sự động viên giúp đỡ của gia đình, bạn bè, cuối cùng cuốn luận văn cũng được hoàn thành. Em xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến thầy hướng dẫn, các thầy cô khác trong bộ môn, cùng gia đình và bạn bè. Cần Thơ, tháng 5 năm 2009 Người viết Sinh viên. Phạm Trần Nguyệt Thảo PHẦN MỞ ĐẦU   1. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như đã biết, việc nghiên cứu quá trình động trong tự nhiên cũng như trong xã hội thường dẫn đến việc khảo sát một hay nhiều phương trình đạo hàm riêng bằng việc định lượng hóa các đặc trưng của đối tượng nghiên cứu bằng các đại lượng toán học. Nhưng ta cũng dễ nhận thấy rằng các quy luật tự nhiên thường dẫn đến các hệ thức phi tuyến giữa các tham biến nên cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến. Tuy nhiên, khi đó xuất hiện những khó khăn toán học thực sự. Bởi vậy, khi xây dựng mô hình toán học chúng ta buộc phải bớt tính chính xác và bỏ qua những phần thêm phi tuyến bé hoặc chuyển sang tuyến tính hóa trong một lân cận của nghiệm đã cho bằng cách đưa bài toán về bài toán tuyến tính. Vẫn chưa đủ, để giải bài toán này ta lại có những sự thay đổi nhất định đối với giả thiết của bài toán tương ứng nghiệm của nó cũng có những thay đổi nhất định. Khi đó, việc tìm nghiệm cổ điển của bài toán mới vẫn còn rất phức tạp, vì thế, đầu tiên người ta xây dựng nghiệm suy rộng của nó, sau đó thiết lập độ trơn của chúng và chứng minh nó là nghiệm cổ điển của bài toán. Nói như vậy để thấy rằng, không gian nghiệm của bài toán được giải đã có nhiều thay đổi so với không gian nghiệm của bài toán thực tế ban đầu. Vì vậy, việc chọn các không gian hàm cho nghiệm của các bài toán có một vai trò quan trọng để đảm bảo tính đặt đúng của bài toán. Một không gian phiếm hàm tuyến tính được sử dụng rộng rãi trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng là không gian Sobolev. Có phần yêu thích toán học ứng dụng và được sự hướng dẫn gợi ý của thầy Phạm Gia Khánh để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa học cũng như bước đầu làm quen với “Phương trình đạo hàm riêng hiện đại” em đã quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về không gian Sobolev”. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu nhằm nắm được các định nghĩa, định lí, tính chất liên quan đến không gian Sobolev. Đặc biệt quan trọng và cũng là mục tiêu chính đó là xây dựng hệ thống ví dụ minh họa và giải các bài tập có liên quan đến nó. Qua đó, - 2 - giúp củng cố các kiến thức đã được học trong suốt 4 năm đại học như: giải tích 1, 2, không gian tôpô, độ đo và tích phân Lebesgue, giải tích hàm… 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Quá trình làm luận văn đã sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, nhưng chủ yếu là phương pháp tổng kết kinh nghiệm. Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét trong quá trình nghiên cứu lí thuyết. Đầu tiên, sau khi tìm được nguồn tài liệu tham khảo thì tổng hợp các kiến thức trong đó với các kiến thức sẵn có. Sau đó, tiến hành so sánh, phân tích chúng, chọn ra những kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đó đưa ra những nhận xét riêng. Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu một cách rõ ràng. Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá cũng được kết hợp sử dụng trong giải và sắp xếp các bài tập. Sau khi tổng hợp các bài tập từ các nguồn tư liệu khác nhau, sẽ tiến hành phân tích, so sánh, chọn lọc các bài tập hay phù hợp với nội dung lí thuyết sắp xếp chúng theo một trình tự hợp lí. Cuối cùng, tiến hành phân tích, đánh giá để giải một cách chi tiết, trình bày một cách rõ rang. 4. NỘI DUNG LUẬN VĂN Nội dung của luận văn gồm 2 chương. Chương 1. Gồm 4 §, trong đó §1. Không gian p L , §2. Biến đổi Fourier, §3. Hàm suy rộng, §4. Không gian Sobolev. Ở đây, chỉ tập trung giới thiệu một số định nghĩa, định lí, tính chất và các ví dụ có liên quan mà không quan tâm đến việc chứng minh các định lí, tính chất đó. Chương 2. Giải chi tiết và sắp xếp một cách tương đối hợp lí các bài tập có liên quan đến phần lí thuyết đã giới thiệu ở chương 1. - 3 - PHẦN NỘI DUNG   CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1. Không gian p L 1.1 Không gian p L Cho ( ) µ ,, S Ω là một không gian độ đo, trong đó Ω là một tập con mở của không gian Euclide n chiều R n , S là σ -đại số trên tập đo được Lebesgue và µ là độ đo Lebesgue. Cho ∞≤≤ p1 , ta định nghĩa không gian p L như sau Với ∞<≤ p1 , ta định nghĩa = p L { ff : là hàm đo được và ( ) ( ) ∞< ∫ Ω xdxf p µ } và ( ) ( ) ( ) ( ) p p p p p dfxdxff /1/1       =       = ∫∫ Ω µµ Với ∞= p , ta định nghĩa = ∞ L { ff : là hàm đo được và ( ) kxf ≤ hầu khắp nơi 0, > k } và ∞ f inf = { ( ) KxfK ≤> :0 hầu khắp nơi} Chú ý. Nói ( ) kxf ≤ hầu khắp nơi tương đương với nói rằng ( ) { }( ) 0: => Kxfx µ . Nếu gf , là hai hàm đo được thỏa ( ) ( ) xgxf = hầu khắp nơi thì f và g được xem là giống nhau. Do đó, 0 = p f khi và chỉ khi ( ) 0 = xf hầu khắp nơi, với ∞≤≤ p1 . Cho ∞≤≤ p1 , chỉ số q thỏa 1 11 =+ qp được gọi là số mũ liên hợp của p. Ta thấy, 1 = p thì ∞= q . Ngược lại, ∞= p thì 1 = q . 1.2 Một số định lí và bất đẳng thức 1.2.1 Bổ đề - 4 - Cho a, b là hai số thực không âm, p, q là cặp số mũ liên hợp. Khi đó, q b p a ab qp +≤ . 1.2.2 Bất đẳng thức Hoder. Nếu qp LgvàLf ∈∈ thì 1 Lfg ∈ và q p gffg ≤ 1 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∈∃ BA, R + sao cho ( ) ( ) qp xgBxfA = . 1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski. Nếu p Lgf ∈ , thì ppp gfgf +≤+ , với ∞≤≤ p1 . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi ∈∃ BA, R + , 0 22 ≠+ BA sao cho BgAf = . 1.2.4 Định lí. p L là không gian Banach. 1.2.5 Định lí. p L là không gian phản xạ, với ∞<< p1 . 1.3 Tích chập Cho ( ) Ω∈ 1 , Lgf , tích chập của f và g được định nghĩa là ( ) ( ) ( ) ∫ Ω −=∗ dyygyxfxgf 1.4 Giá của hàm 1.4.1 Định nghĩa. Cho f là một hàm liên tục trên R n . Giá của f , kí hiệu là supp f , là bao đóng của tập ( ){ } 0: ≠ xfx . Kí hiệu c C (R n ) là kí hiệu tập tất cả các hàm liên tục với giá compact. c C (R n ) thường được viết là D (R n ). 1.4.2 Ví dụ • Cho :f R → R được xác định ( )      ≤ > = − 0,0 0, 2 /1 x xe xf x Khi đó, ∞ ∈ Cf . • Cho :f R n → R được xác định - 5 - ( )      ≥ < = −− ax axe xf xaa ,0 , ))/(( 2 22 , với 22 1 2 . n xxx ++= Khi đó, ( ) ∈ xf D (R n ) và supp ( ) f { } axxaB ≤=⊆ :),0( . • Cho 0 > ε và định nghĩa ( ) ( ) εφεφ ε /xx n − = , với 1 L ∈ φ (R n ), 1 1 = φ và ( ) 0 ≥ x φ khi đó 1 1 = ε φ . Thật vậy, ( ) ( ) ( ) 1/ === ∫∫∫ − nnn RR n R dyydxxdxx φεφεφ ε , với ε /xy = . • Cho 0 > ε và định nghĩa ( ) ( ) εφεφ ε /xCx n − = , với ( ) ∫ = − n R dxxC φ 1 và : φ R n → R được cho bởi hàm ( )      ≥ < = −− 1,0 1, ))1/(1( 2 x xe x x φ Khi đó, ( ) x ε φ D ∈ (R n ) và supp ( ) ),0( εφ ε B = §2. Biến đổi Fourier 2.1 Kí hiệu • ( ) ∈= n xxxx , .,, 21 (R n ), ∑ = = n j jj xx 1 . ξξ , với ∈ ξ ,x (R n ). • ( ) ( ) n n dxdxdxxdm . 2 1 21 2/ π = đo được Lebesgue trên R n . • ( ) ( ) yxfxf y −= τ , với y thay đổi trên R n , ( ) ( ) λ λ λ / 1 xfxf n = , 0 > λ , ; 1 1 ff y = τ 11 ff = λ . • Cho 1 , Lgf ∈ (R n ), tích chập ( ) ( ) ( ) ∫ −=∗ n R dyygyxfxgf , 111 gfgf ≤∗ . • Đa chỉ số ( ) ∈= jn a,, .,, 21 αααα N, ∑ = = n j j a 1 α . Cho ∈ ξ R n , n n α αα α ξξξξ . 21 21 = với j j x ∂ ∂ =∂ , và n n D α αα α ∂∂∂= . 21 21 . - 6 - • Cho 1 Lf ∈ (R n ), biến đổi Fourier của f được định nghĩa là ( ) ( ) ( ) ∫ − = n R xi xdmexff ξ ξ ˆ . Với mỗi ∈ ξ R n , xi ex ξ − → là một hàm đặc trưng trong R n . 2.2 Tính chất cơ bản • 1 Lf ∈ (R n ), 1 ˆ ff ≤ ∞ . • 1 Lf ∈ (R n ), 0 ˆ Cf ∈ ( R n ). • 1 , Lgf ∈ (R n ), ( ) ( ) ( ) ( ) ξξξ gfgf ˆ ˆ ^ =∗ . • ( ) ( ) ( ) ξξτ ξ fef yi y ˆ ^ − = , ( ) ( ) ( ) ( ) ξτξ ξ ξ fxfe xi ˆ ^ 0 0 = và ( ) ( ) λξξ λ ff ˆˆ = . • Nếu 1 Lf ∈ (R n ) và 1 Lf j ∈∂ ( R n ) thì ( ) ( ) ( ) ξξξ fif jj ˆ ^ =∂ . Nếu 1 Lf ∈ (R n ) và 1 LfD ∈ α (R n ), k ≤∀ α , thì ( ) ( ) ( ) ( ) . ˆ ^ ξξξ α α fifD = • Nếu 1 Lf ∈ (R n ) và ( ) 1 Lxfx j ∈ (R n ) thì f ˆ khả vi đến j ξ và ( ) ( ) ( ) ( ) ξξ ^ ˆ xfixf jj −=∂ Nếu 1 Lf ∈ (R n ), 1 Lfx ∈ α (R n ) và fD ˆ α tồn tại, thì ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξξ α α ^ ˆ xfixfD −= 2.3 Ví dụ • (Gauss) ( ) 2/ 2 x ex − = φ ; ( ) 2/ 2 ˆ ξ ξφ − = e ; 2/1 2         = ∑ = n ij j xx . • (Poisson) ( ) ( ) ( )       += + 2/1 2 1/ n n xCx φ , với n C làm cho 1 1 = φ thì ( ) ξ ξφ − = e ˆ . • (Fejer) ( ) ( ) ∏ = = n j j j n x x CxK 1 2 2 2/ 2/sin ; ( ) ( ) ∏ −= n j K 1 1 ˆ ξξ . • (de la Vallie Pousin) (cho 1 = n ) ( ) ( ) ( ) xKxKxV λλλ −= 2 2 . Khi đó, ( )        ≤ ≤≤− ≤ = ξλ λξλ λ ξ λξ ξ λ 2,0 2,2 ,1 ˆ V . 2.4 Định lí đảo của biến đổi Fourier - 7 - Nếu 1 Lf ∈ (R n ) và 1 ˆ Lf ∈ (R n ) thì ( ) ( ) ( ) ξξ ξ dmefxf xi R n ∫ = ˆ hầu khắp nơi. 2.5 Định lí Plancherel Nếu 21 LLf ∩∈ (R n ) thì 2 ˆ Lf ∈ (R n ), 2 2 ˆ ff = và ánh xạ :F 21 LL ∩ (R n ) → 2 L (R n ) được cho bởi fFf ˆ = được thác triển thành một đẳng cự 2 L (R n ) → 2 L (R n ). 2.6 Không gian Schwartz S Không gian Schwartz S là không gian của các hàm tiêu chuẩn mà bất biến đối với các phép toán biến đổi, phép nhân cân bằng, mở rộng, nhân bởi hàm đặc trưng, tích ánh xạ, phép tính tích phân và phép biến đổi Fourier. Không gian Schwartz S được mô tả = S { ∞ ∈ C φ (R n ): ( ) ( ) βαφ βα ,,sup n R ∀∞< ∈ xDx x } Ở đây βα , là đa chỉ số. Một vài chú ý • Chú ý SD ⊂ nên S trù mật trong p L (R n ), ∞≤≤ p1 . Một hàm ( ) 2 x ex δ φ − = , 0 > δ thuộc S nhưng không thuộc D. • Cho một đa thức P và S ∈ φ , ( ) ( ) SxxP ∈ φ và ( ) SDP ∈ φ . • S ∈ φ khi và chỉ khi với mọi số nguyên 0 ≥ k và với mọi đa chỉ số β ta có ( ) ( ) xDx k φ β 2 1 + giới nội. • φφ ˆ → là song ánh từ S vào S . Khi đó, ta có các kết quả i. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ξφξφ α α ^ ˆ xixD −= . ii. ( ) ( ) ( ) ( ) ξφξξφ ββ ˆ ^ iD = . 2.7 Hàm suy rộng điều hòa - 8 - 2.7.1 Định nghĩa. Không gian tôpô đối ngẫu 'S của không gian Schwartz S được gọi là không gian của những hàm suy rộng điều hòa. 2.7.2 Ví dụ • Cho p Lf ∈ (R n ), ∞≤≤ p1 , định nghĩa CST f → : được xác định bởi ( ) ( ) ( ) ∫ == n R f dxxxffT φφφ , Khi đó, ( ) 'pp f fT φφ ≤ do đó f T là liên tục. • Nếu M ∈ µ (R n ) (Không gian của các độ đo giới nội thông thường, đối ngẫu của 0 C (R n )), xét ( ) ( ) ( ) ∫ = n R xdxT µφφ µ Khi đó 'ST ∈ µ . • Cho f là một hàm đo được trên R n sao cho với mọi số nguyên không âm k ta có ( ) p k Lfx ∈+ − 2 1 (R n ), với ∞≤≤ p1 . Khi đó, ( ) ( ) ( ) ∫ = n R f dxxxfT φφ xác định một hàm trong 'S , do ( ) ≤ φ f T ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ −− ++ n R kk dxxxxfx φ 22 11 nên hàm đã cho là hàm điều hòa. • Nếu µ là một độ đo thông thường trên R n sao cho ( ) Mx k ∈+ − µ 2 1 (R n ), theo cách xác định ở trên 'ST ∈ µ . Độ đo đã cho được gọi là độ đo điều hòa. 2.7.3 Định lí. Một hàm tuyến tính L trên S là một hàm điều hòa nếu và chỉ nếu tồn tại một hằng số 0 > C và số nguyên l, m sao cho ( ) ( ) SCL ml ∈∀≤ ∑ ≤≤ φφρφ βα βα , , , . 2.7.4 Toán tử trong S ′ . Cho T ∈ S’. • Phép tịnh tiến. Nếu h ∈ R n , định nghĩa ( )( ) ( ) STT hh ∈∀= − φφτφτ , thì 'ST h ∈ τ . - 9 - • Phép nhân với một phần tử của S. Cho S ∈ φ , định nghĩa ( )( ) ( ) φψψφ TT = . Khi đó, 'ST ∈ φ . Nếu P là một đa thức trên R n , PT được định nghĩa giống như trên cũng là một hàm điều hòa. • Phép phản xạ. ( ) ( ) φφ ~ ~ TT = . Khi đó, ST ∈ ~ . • Phép tính vi phân. Cho một đa chỉ số α , định nghĩa ( ) ( ) ( ) SDTTD ∈∀−= φφφ α α α ,1 (Công thức trên cho ta một phép tính tích phân). Do đó, 'STD ∈ α . • Tích chập. Cho S ∈ ψ định nghĩa ( ) ( ) ∧ ∗=∗ φψφψ TT . Khi đó, 'ST ∈∗ ψ . • Lúc đó, ta xét hàm ( ) ( ) ψτ x TxF = . Khi đó ∞ ∈ CF (R n ) và ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . φψφψτφψτφ ∗=== ∫∫∫ TdxxTdxxTdxxxF nnn R x R x R Điều này chỉ ra rằng, tích chập với một phần tử của S là một quá trình trơn. Với mọi hàm điều hòa T, thì ∞ ∈∗ CT φ . • Biến đổi Fourier. Định nghĩa ( ) ( ) , ˆ ˆ φφ TT = S ∈∀ φ . Khi đó, ' ˆ ST ∈ . Kết hợp phép biến đổi Fourier và phép vi tích phân, ta có i. ( ) ( ) ∧ −= TxiTD α α α ˆ ii. ( ) ( ) TiTD ˆ α α α ξ = ∧ 2.7.5 Ví dụ. Cho δ = T thỏa ( ) ( ) ( ) 0 φφδφ == T . Khi đó • ( ) ( ) x x φφδτ = • ( ) )0(' φφδ −=∂ j • ( ) ( ) 0 ˆˆ ,1 ˆ φφδδ == • ( ) x δφ ∗ = ( ) x φ • δφφ jj ∂∗=∂ , S ∈ φ , vi phân là một trường hợp đặc biệt của tích chập. §3. Hàm suy rộng 3.1 Không gian các hàm chuẩn ( ) Ω D 3.1.1 Định nghĩa. Một hàm tiêu chuẩn ( ) ( ) n xxxx , .,, 21 φφ = trên ⊆Ω R n là một hàm khả vi vô hạn trên Ω và triệt tiêu ở bên ngoài miền giới hạn, miền - 10 - [...]... với mọi φ ∈D (Rn) §4 Không gian Sobolev 4.1 Không gian Sobolev Cho Ω là một tập mở con của Rn có biên là ∂Ω Ta bắt đầu với định nghĩa 4.1.1 Định nghĩa 1 ≤ p ≤ ∞ Cho số nguyên m>0 và Không gian Sobolev được định nghĩa { } W m , p (Ω = u ∈Lp (Ω D αu ∈Lp (Ω α ≤ m ) ) ), p ) W m , p là tập hợp tất cả các hàm thuộc L (Ω có đạo hàm suy rộng đến m ) cũng thuộc L p (Ω ) Ta có D(Ω , không gian của tất cả các... (Ω là không gian tách được, với 1 ≤ p < ∞ • H m (Ω là không gian Hilbert tách được, với 1 ≤ p < ∞ ) 4.1.6 Định nghĩa D (Ω ) Cho 1 ≤ p < ∞, đặt W0m , p (Ω) bằng bao đóng của ) trong W m, p (Ω W0m , p (Ω là một không gian con đóng của W m , p (Ω ) ) ) Phần tử của W0m , p (Ω) gần giống trong không gian định chuẩn W m, p (Ω bằng những hàm thuộc C ∞(Ω ) có giá compact trên Ω W0m , p (Ω là không gian. .. Poincare không đúng với miền không giới nội Ví dụ, nếu lấy Ω = Rn và φ ∈D (Rn), xác định bởi  1, x ≤ 1 , 0 ≤ φ ≤1 φ ( x) =   0, x ≥ 2 Đặt φk ( x ) = φ ( x / k ) , thì φ k Trong khi φk 1, p , R n Lp ( R n )  = ∑D αφ k α =  1 1/ p p Lp ( R n )     ≥ µ( B(0, k )) →∞, → 0 , khi k → ∞ khi k → ∞ 4.2 Không gian đối ngẫu của không gian Sobolev Ở phần này ta xét không gian sobolev của số nguyên... 1, p ( Ω ) ∂f i Một ∂x i thì được xác định với một hàm suy rộng, là đạo hàm suy rộng của một phần tử trong Lq ( Ω ) Do đó, không gian đối ngẫu của W01, p ( Ω) được kí ) hiệu là W −1,q ( Ω Định lí trên cũng đúng với không gian đối ngẫu của W 1, p ( Ω ) (trừ trường hợp ta không giả sử f 0 = 0 ngay cả khi Ω giới nội), nhưng sự xác định với hàm suy rộng thì không thể Thật vậy, không gian đối ngẫu của... p ≤ ∞, W m , p (Ω là một không gian Banach * Xét không gian tích: ( L ( Ω) ) p  n+1 Với chuẩn u =  ∑ ui  i =1 n +1 1/ p   Lp ( Ω)  p = L p ( Ω) × × L p ( Ω), ((n +1) lần) , với u = (u1 , , u n +1 ) ∈( L p ( Ω) )  ∂u ∂u  m, p p Khi đó, ánh xạ u ∈W (Ω) → u, ∂x , , ∂x  ∈ ( L ( Ω) )   1 n   n +1 n +1 là một phép đẳng cự Ta có một số tính chất ) • W m, p (Ω là không gian phản xạ, với 1 ≤... δx liên tục trên W m, p (Ω , ) ( Ω) Suy ra δ x 0 ) D(Ω và tính liên ∈ W − m,q ( Ω ) , với m > n / p 0 Với mọi miền xác định Ω, hàm suy rộng Dirac thuộc không gian Sobolev của một số âm đủ lớn nào đó Bây giờ, ta định nghĩa không gian Sobolev cho một số thực s bất kì Định nghĩa Cho 1 ≤ p < ∞ , thì   u( x ) − u( y )   W s , p ( Ω) = u ∈ L p ( Ω) : ∈ L p ( Ω× Ω)  s +n / p x−y     Cho s = m +... n ) , trong đó αi , i =1,2, , n , là các số nguyên dương, khi đó α được gọi là một đa chỉ số Kí hiệu một số phép toán liên quan đến đa chỉ số α • n α = ∑α i i =1 • α!= ∏=1αi ! i n • x α = ∏ i =1 xiα i , x ∈ n Rn Cho hai đa chỉ số α = (α1 , α 2 , , α n ) , β = ( β1 , β 2 , , β n ) Khi đó, α ≤ β khi và chỉ khi αi ≤ βi , với mọi i =1, 2, … n , α là một đa chỉ số, ta định nghĩa phép toán vi phân D α là... đối ngẫu của không gian Sobolev Ở phần này ta xét không gian sobolev của số nguyên âm cũng như phân số 4.2.1 Định nghĩa Cho 1 ≤ p < ∞ , q là số mũ liên hợp của p Không gian đối ngẫu của không gian W0m , p (Ω) , với m là số nguyên lớn hơn 1, được kí hiệu là W − ,q m (Ω ) Như vậy, H −m ( Ω) m là không gian đối ngẫu của H ( Ω ) 0 - 19 - 4.2.2 Định lí Cho F ∈W −1, q ( Ω) , khi đó, tồn tại f 0 , f1 , ,... supp ( φ m ) ⊆ K với tất cả m, φ và tất cả đạo hàm của nó đều hội tụ đều đến 0 trên K m 3.3 Định nghĩa về hàm suy rộng Một hàm tuyến tính T trên D(Ω ) được gọi là một hàm suy rộng trên Ω nếu Tφm → 0 với mọi dãy rỗng {φm } trong Ω Không gian các hàm suy rộng được kí hiệu là ) D ' (Ω 3.4 Định lí Cho con mở Ω⊂ f là một hàm khả tích địa phương trên một tập Rn Định nghĩa T f (φ) = ∫ f ( x )φ( x )dx Ω Khi... ( ) Hay nói cách khác, i : W 1, p ( I ) →C ( I ) C I là một toán tử compact ) Trên không gian W m, p (Ω , ta định nghĩa nửa chuẩn u  = ∑ αu D m , p ,Ω a ≤  m 1/ p p L p   (Ω  )  được xem là đạo hàm cao nhất của không gian định chuẩn L p 4.1.12 Bổ đề (Bất đẳng thức Poincare) Cho Ω là một tập mở giới nội trong Rn Khi đó, tồn tại một số nguyên dương C = C ( Ω, p ) sao cho - 18 - u u → u 1, p . THỨC CHUẨN BỊ §1. Không gian p L 1.1 Không gian p L Cho ( ) µ ,, S Ω là một không gian độ đo, trong đó Ω là một tập con mở của không gian Euclide n. µφ , khi ∞→k . 4.2 Không gian đối ngẫu của không gian Sobolev Ở phần này ta xét không gian sobolev của số nguyên âm cũng như phân số. 4.2.1 Định nghĩa.