Một số vấn đề về không gian sobolev

Lời cảm tạ  Thời gian thắm thoát thoi đưa, chớp mắt mà em hoàn thành bốn năm đại học Nhớ ngày nào, đầu khóa học, ba đưa đến trường gặp thầy cô mới, bạn bè với bao bỡ ngỡ lo lắng Vậy mà cuối em trải qua bốn năm học Bốn năm học tập với khó khăn, vất vả, có lúc vấp ngã em tưởng khơng thể vượt qua Nhưng mong muốn làm luận văn tốt nghiệp thúc đẩy em phấn đấu nhiều học tập Cuối với kết đạt năm đầu, em môn phân công làm luận văn hướng dẫn thầy Phạm Gia Khánh Được làm luận văn niềm vui, niềm vinh dự lớn em Nhưng bên cạnh có khơng nỗi lo gặp nhiều khó khăn, khan tài liệu, thời gian hạn hẹp, mà kiến thức tương đối khó… Nhưng với kiến thức mà em thầy cô môn trang bị năm qua với hướng dẫn nhiệt tình thầy Phạm Gia Khánh động viên giúp đỡ gia đình, bạn bè, cuối luận văn hoàn thành Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến thầy hướng dẫn, thầy cô khác môn, gia đình bạn bè Cần Thơ, tháng năm 2009 Người viết Sinh viên Phạm Trần Nguyệt Thảo -1- PHẦN MỞ ĐẦU  LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Như biết, việc nghiên cứu trình động tự nhiên xã hội thường dẫn đến việc khảo sát hay nhiều phương trình đạo hàm riêng việc định lượng hóa đặc trưng đối tượng nghiên cứu đại lượng toán học Nhưng ta dễ nhận thấy quy luật tự nhiên thường dẫn đến hệ thức phi tuyến tham biến nên cần phải xét phương trình vi phân phi tuyến Tuy nhiên, xuất khó khăn tốn học thực Bởi vậy, xây dựng mơ hình tốn học buộc phải bớt tính xác bỏ qua phần thêm phi tuyến bé chuyển sang tuyến tính hóa lân cận nghiệm cho cách đưa tốn tốn tuyến tính Vẫn chưa đủ, để giải tốn ta lại có thay đổi định giả thiết toán tương ứng nghiệm có thay đổi định Khi đó, việc tìm nghiệm cổ điển tốn phức tạp, thế, người ta xây dựng nghiệm suy rộng nó, sau thiết lập độ trơn chúng chứng minh nghiệm cổ điển tốn Nói để thấy rằng, khơng gian nghiệm tốn giải có nhiều thay đổi so với khơng gian nghiệm tốn thực tế ban đầu Vì vậy, việc chọn khơng gian hàm cho nghiệm tốn có vai trò quan trọng để đảm bảo tính đặt tốn Một khơng gian phiếm hàm tuyến tính sử dụng rộng rãi lý thuyết phương trình đạo hàm riêng khơng gian Sobolev Có phần u thích tốn học ứng dụng hướng dẫn gợi ý thầy Phạm Gia Khánh để hoàn thành luận văn tốt nghiệp khóa học bước đầu làm quen với “Phương trình đạo hàm riêng đại” em định chọn đề tài “Một số vấn đề không gian Sobolev” MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Mục đích nghiên cứu nhằm nắm định nghĩa, định lí, tính chất liên quan đến không gian Sobolev Đặc biệt quan trọng mục tiêu xây dựng hệ thống ví dụ minh họa giải tập có liên quan đến -2- Qua đó, giúp củng cố kiến thức học suốt năm đại học như: giải tích 1, 2, khơng gian tơpơ, độ đo tích phân Lebesgue, giải tích hàm… PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Q trình làm luận văn sử dụng kết hợp nhiều phương pháp nghiên cứu, chủ yếu phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cụ thể, kết hợp phương pháp tổng hợp, so sánh, phân tích, nhận xét q trình nghiên cứu lí thuyết Đầu tiên, sau tìm nguồn tài liệu tham khảo tổng hợp kiến thức với kiến thức sẵn có Sau đó, tiến hành so sánh, phân tích chúng, chọn kiến thức trọng tâm, đáng ghi nhớ, từ đưa nhận xét riêng Cuối cùng, tổng hợp, trình bày lại theo ý hiểu cách rõ ràng Phương pháp tổng hợp, phân tích, so sánh, đánh giá kết hợp sử dụng giải xếp tập Sau tổng hợp tập từ nguồn tư liệu khác nhau, tiến hành phân tích, so sánh, chọn lọc tập hay phù hợp với nội dung lí thuyết xếp chúng theo trình tự hợp lí Cuối cùng, tiến hành phân tích, đánh giá để giải cách chi tiết, trình bày cách rõ rang NỘI DUNG LUẬN VĂN Nội dung luận văn gồm chương Chương Gồm §, §1 Khơng gian L p , §2 Biến đổi Fourier, §3 Hàm suy rộng, §4 Không gian Sobolev Ở đây, tập trung giới thiệu số định nghĩa, định lí, tính chất ví dụ có liên quan mà khơng quan tâm đến việc chứng minh định lí, tính chất Chương Giải chi tiết xếp cách tương đối hợp lí tập có liên quan đến phần lí thuyết giới thiệu chương -3- PHẦN NỘI DUNG  CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ §1 Khơng gian Lp 1.1 Khơng gian L p Cho , S ,   không gian độ đo,  tập mở không gian Euclide n chiều Rn, S  -đại số tập đo Lebesgue  độ đo Lebesgue Cho  p   , ta định nghĩa không gian L p sau Với  p   , ta định nghĩa L p  { f : f hàm đo  f x   p d  x    } f p p    f x  d  x     1 / p  p    f d    1 / p  Với p   , ta định nghĩa L  { f : f hàm đo f  x   k hầu khắp nơi , k  } f Chú ý Nói   inf { K  : f  x   K hầu khắp nơi} f x   k hầu khắp nơi tương đương với nói  x : f  x   K   Nếu f , g hai hàm đo thỏa f  x   g  x  hầu khắp nơi f g xem giống Do đó, f p  f  x   hầu khắp nơi, với  p   Cho  p   , số q thỏa 1   gọi số mũ liên hợp p p q Ta thấy, p  q   Ngược lại, p   q  -4- 1.2 Một số định lí bất đẳng thức 1.2.1 Bổ đề Cho a, b hai số thực không âm, p, q cặp số mũ liên hợp Khi đó, ab  a p bq  p q 1.2.2 Bất đẳng thức Hoder Nếu f  L p g  Lq fg  L1 fg  f p g q p q Dấu “=” xảy  A, B  R+ cho A f  x   B g  x  1.2.3 Bất đẳng thức Minkowski Nếu f , g  L p f g p  f p  g p , với  p   Dấu “=” xảy  A, B  R+, A  B  cho Af  Bg 1.2.4 Định lí L p khơng gian Banach 1.2.5 Định lí L p không gian phản xạ, với  p   1.3 Tích chập Cho f , g  L1   , tích chập f g định nghĩa f  g x    f  x  y g  y dy  1.4 Giá hàm 1.4.1 Định nghĩa Cho f hàm liên tục Rn Giá f , kí hiệu supp f , bao đóng tập x : f x   0 Kí hiệu C c (Rn) kí hiệu tập tất hàm liên tục với giá compact n n C c (R ) thường viết D (R ) 1.4.2 Ví dụ  Cho f : R  R xác định e 1/ x , x  f x    0 ,x  Khi đó, f  C  -5-  Cho f : Rn  R xác định e(  a2 /( a  x )) , x  a f x    , với x  x12   x n2 ,x a 0 Khi đó, f  x   D (Rn) supp  f   B (0, a )   x : x  a  Cho   định nghĩa    x     n  x /   , với   L1 (Rn),     x     Rn  Thật vậy,   x dx   n   n  x /  dx   n   y dy  , với y  x /  R R  Cho   định nghĩa    x   C  n  x /   , với C 1     x dx R n  : Rn  R cho hàm e ( 1/(1 x )) , x   x    , x 1 0 Khi đó,   x   D (Rn) supp    B(0,  ) §2 Biến đổi Fourier 2.1 Kí hiệu n  x   x1 , x2 , , xn   (Rn), x.   x j j , với x,   (Rn) j 1  dm x   n dx1 dx2 dxn đo Lebesgue R n/2 2    y f  x   f  x  y  , với y thay đổi Rn, f   x   y f  f 1; f f g  f  Đa  f n f , g  L1 (R ),  Cho f x /  ,   , n tích chập f  g x    n f  x  y g  y dy , R g số    ,  , , n , a j  N, n   aj j 1    11  2  n n với  j   , D    11  2  n n x j -6- Cho   Rn ,  Cho f  L1 (Rn), biến đổi Fourier f định nghĩa fˆ     n f  x e  ix dm x  R Với   Rn, x  e  ix hàm đặc trưng Rn 2.2 Tính chất n f  L1 (R ), fˆ    f  n n f  L1 (R ), fˆ  C ( R )  n f , g  L1 (R ),  f  g ^    fˆ  gˆ     f ^    e  iy y   fˆ   , e i x f x  ^      fˆ   fˆ    fˆ    Nếu f  L1 (Rn)  j f  L1 ( Rn)  j f ^    i j fˆ   Nếu f  L1 (Rn) D  f  L1 (Rn),    k , D  f ^    i  fˆ    Nếu f  L1 (Rn) x j f  x   L1 (Rn) fˆ khả vi đến  j  j fˆ     ix j f  x ^   Nếu f  L1 (Rn), x  f  L1 (Rn) D  fˆ tồn tại,    D  fˆ     ix  f  x  ^   2.3 Ví dụ  (Gauss)   x   e  x /2 ; ˆ   e      (Poisson)   x   C n /  x 2  /2  n  ; x    x 2j   j i   n 1 /   , với C n  1/ làm cho   ˆ   e   n  (Fejer) K  x   C n  j 1 sin x j / x / 2 j   n ; Kˆ    1   j  (de la Vallie Pousin) (cho n  ) V  x   K 2  x   K   x  Khi đó, 1 ,      Vˆ    2  ,     2   0 , 2    -7- 2.4 Định lí đảo biến đổi Fourier Nếu f  L1 (Rn) fˆ  L1 (Rn) f  x    fˆ  e ix dm  hầu khắp nơi R n 2.5 Định lí Plancherel n f  L1  L2 (R ) Nếu n fˆ  L2 (R ), fˆ  f 2 ánh xạ n n F : L1  L2 (R )  L2 (R ) cho Ff  fˆ thác triển thành đẳng cự L2 (Rn)  L2 (Rn) 2.6 Không gian Schwartz S Không gian Schwartz S không gian hàm tiêu chuẩn mà bất biến phép toán biến đổi, phép nhân cân bằng, mở rộng, nhân hàm đặc trưng, tích ánh xạ, phép tính tích phân phép biến đổi Fourier Không gian Schwartz S mô tả  n  S  {   C  (R ): sup x  D    x   ,  ,  } xR n Ở  ,  đa số Một vài ý  Chú ý D  S nên S trù mật L p (Rn),  p   Một hàm   x   e  x ,   thuộc S không thuộc D  Cho đa thức P   S , P x  x   S P D   S    S với số nguyên k  với đa số  ta  có 1 x  D  x giới nội k     ˆ song ánh từ S vào S Khi đó, ta có kết   i D  ˆ    ix    x  ^   ii D   ^   i  ˆ  -8- 2.7 Hàm suy rộng điều hòa 2.7.1 Định nghĩa Khơng gian tơpơ đối ngẫu S ' không gian Schwartz S gọi khơng gian hàm suy rộng điều hòa 2.7.2 Ví dụ  Cho f  L p (Rn),  p   , định nghĩa T f : S  C xác định T f    f ,    n f  x   x dx R Khi đó, T f    f p  p' T f liên tục  Nếu   M (Rn) (Không gian độ đo giới nội thông thường, đối ngẫu C0 (Rn)), xét T     n  x d  x  R Khi T  S '  Cho f hàm đo Rn cho với số ngun khơng  âm k ta có  x  k n f  L p (R ), với  p   Khi đó, T f     n f  x   x dx R xác định hàm S ' , T f     R n 1  x   k f x   x đo thông  k   x  dx nên hàm cho hàm điều hòa  Nếu 1  x  k  độ thường Rn cho   M (Rn), theo cách xác định T  S ' Độ đo cho gọi độ đo điều hòa 2.7.3 Định lí Một hàm tuyến tính L S hàm điều hòa tồn số C  số nguyên l, m cho L   C    ,   S  ,  l ,   m -9- 2.7.4 Toán tử S Cho T  S’  Phép tịnh tiến Nếu h  Rn, định nghĩa  h T    T   h ,   S  hT  S '  Phép nhân với phần tử S Cho   S , định nghĩa T    T   Khi đó, T  S ' Nếu P đa thức Rn, PT định nghĩa giống hàm điều hòa ~ ~ ~  Phép phản xạ T    T   Khi đó, T  S  Phép tính vi phân Cho đa số  , định nghĩa    D  T     1 T D   ,   S (Công thức cho ta phép tính tích phân) Do đó, D  T  S '  Tích chập Cho   S định nghĩa   T    T     Khi đó,  T  S'  Lúc đó, ta xét hàm F  x   T  x  Khi F  C  (Rn)  F x xdx   T    xdx  T     x dx  T     Rn Rn x Rn x Điều rằng, tích chập với phần tử S trình trơn Với hàm điều hòa T,   T  C    Biến đổi Fourier Định nghĩa Tˆ    T ˆ ,   S Khi đó, Tˆ  S ' Kết hợp phép biến đổi Fourier phép vi tích phân, ta có i D Tˆ   i   x T   ii D T   i     Tˆ  2.7.5 Ví dụ Cho T   thỏa T         0 Khi   x       x    j      ' (0)  ˆ  1, ˆ    ˆ0      x  =   x    j     j  ,   S , vi phân trường hợp đặc biệt tích chập - 10 - Và  g a  f x    f  y dy  g x  y  f  y dy   x  y   a a   Biểu thức cho trở thành g a  f  x   g b x  Suy g a  f     gˆ b   Hay gˆ a   fˆ    gˆ b   Từ  b    a   ˆ  e  f    e b a  Ta a ba   fˆ    e b Mà f x    Vậy f  x   2  ix  fˆ  e d  2 a b  a    b  2  a be  b  a   e ix d  a b  a    ba    ix  e d    b  a e   b x  b  a    a b  a  b x  b  a    Bài 21 Cho f  L1 (R) Đặt a       f  x  cosx dx b       f x sin x dx  Nếu f liên tục, chứng minh  f  x    a   cosx   b   sin x d  Áp dụng tìm hàm f thỏa:  1,     f  x  sin  x dx  2 ,1    0,    - 50 -  Giải Ta có f x   2  2     ix iy   f  y e dy e d ix  fˆ  e d  2    f  y e i  x y dyd    2     f  y cos  x  y   i sin  x  y dyd          f y cos  x  y d   i   f  y sin  x  y d dy        f  y  cos   x  y d dy       2    f  y  cos   x  cos   y  d   0 0 f  y sin x sin y d dy        cosx   f  y  cosy dy  sin x   f  y  sin y dy d  0          a   cosx   b   sin x d Áp dụng, đặt ,x   f x  F x     f  x  , x  Theo chứng minh ta có  F  x    a   cosx   b  sin x d Ta có a    b       F x  cosx dx      F x sin x dx       0  f  x  cosx dx      f x  cosx dx 0 2  ,     4 f  x  sin x dx  ,1     0,     - 51 - Khi  f  x   F  x  x0 2   b  sin x d   sin x d   sin x d   1 2  cosx    cosx   cos x  cos x             x    x 1 x Vậy f  x    cos x  cos x    , x  x Bài 22 Áp dụng định lí Plancherel để tính tích phân sau  sin x  a    dx x    b dx  1  x  2   c  x cos x  sin x 2 dx  x6 Giải Định lí Plancherel cho ta fˆ 2  2 f L2 L a Ta có ˆ 1;1    sin   Theo định lí Plancherel ta có ˆ 1;1 L2  2  1;1 L2 Hay    ˆ 1;1   d  2      x  1;1 dx  Do   sin     d         dx  4   1 Suy   sin x  I    dx   x   - 52 - b Đặt f x   1  x2 Khi  fˆ    e Theo định lí Plancherel ta có fˆ L2  2 f L2 Hay    fˆ   d  2   f x  dx  Do    e  d  2    1  x  2  dx Suy   dx    e  1  x   2  d   c Đặt   f  x   x   1;1 Khi  fˆ     f x e ix dx    x 1     cos x  i sin x dx   x  cosx dx u  x   du  xdx  Đặt  sin x Ta dv  cos xdx  v    1   ˆf     x  sin x  x sin x dx   x sin xdx  0   0     u  x  du  dx  Đặt  cos x dv  sin xdx  v     - 53 - Ta 1  cos x cos x  4 cos   sin   fˆ      x  dx     0  3  Theo định lí Plancherel ta có    fˆ   d  2   f x  dx  Hay  2 16 cos   sin   d  2  x  dx   1   Suy    cos   sin  2 d    x 4 6  2  dx   x  x  1dx 0    x5 x3    2     x      1  4    15 Bài 23 Giả sử  Rn f  d  A   Chứng minh  f    a b dd  Aa L2 b L2 Giải Ta có  f    a b dd   f     a  b  dd   b    f      f     a   d    b   f     d  f     a  d   A  b   f     a   d  d 1/ 2 1/  A   b    A1/  A1/  A1 /  f     a  d  1/ d   2  b  d  f     a  dd  b  f     a   d d  b  a    f     d d   A a 1/ 2 d 1/ 2 1/ d 1/ 2 1/ 2 1/ 2 L L2 - 54 - 1/ L2 b L2 Bài 24 Chứng minh với hàm số  x   S(Rn), với k  n / 2  ta có max  x   C  n R   H k Rn Giải   R n    Với k  n / 2    k/2 Do đó,     k /2 ˆ    d    ˆ    L2 (Rn) Suy   H k (Rn), H k   R    Rn   n 1/  ˆ   d  k Khi đó, ta có n n   x   2 n  n eixˆ  d  2   n e ix ˆ   d  2   n ˆ   d R R  2  n   1   Rn   n  2    n    R  C   1    k /  k k /2 1/ ˆ   d    2  1/ 2 k d    n   ˆ   d    R  n   , với x  R H k Rn Suy max   x   C  Rn R   H k Rn Bài 25 Xét dãy hàm số  f m x , x  R  m, x  2m f m x    0, x   2m Chứng minh  f m  x  dãy H-1(R) Giải Ta có 1/ m fˆm     e ix f m  x dx  m R 1/ m sin x  m   1/ m e 1/ m ix 1 / m dx  m 1/ m  cos x  i sin x dx  m  cosx d 1 / m    sin    2m   2m - 55 - 1 / m    sin   2m   ˆ Do f m    nên lim fˆm    , tức m  2m     0,  n0 cho m  n0 fˆm     2     0,  n '0 cho n  n'0 fˆn     2 Khi   0,  N  max n0 ; n'0  cho m  N n  N fˆm    fˆn    fˆm      fˆn    fˆm      fˆn     Từ đó, 1/ fm  fn H 1  R    1   1 /  f m  f n     fˆ    fˆ    m n   d  R  1     L2  R       f m  f n       d  R 1      1/   d    R        1/   0, m, n  N Vậy  f m  dãy Cauchy H-1(R) Bài 26 Cho f  x   H-s(Rn),  x   Hs+1(Rn) Chứng minh cơng thức tích phân phần  Rn f  x    x    x dx   n f  x  dx R x j x j Giải Cách Chứng minh phương pháp quy nạp + Ta chứng minh công thức với n  Thật vậy,  f ' x xdx    xd  f x  f x  x  R R R   f  x  '  x dx   f  x  ' x dx R R + Giả sử công thức với n  k Tức  R k f  x    x    x dx1dx2 dxk     k f  x  dx1dx2 dxk  , với j  1, , k R x j x j - 56 - Ta phải chứng minh công thức với n  k  Tức phải chứng minh f x    x    x dx1dx2 dxk 1     k 1 f  x  dx1dx2 dxk 1  , với j  1, , k  R x j x j  R k 1 i) Trường hợp j  1, , k  R k 1  f  x   f x    x dx1dx2 dxk 1     k   x dx1dx2 dxk dxk 1  R R x j x j       x       k f x   dx1dx2 dxk dxk 1  R R x j     k 1 f  x  R   x  dx1dx2 dxk dxk 1  x j ii) Trường hợp j  k   R k 1  f  x   f  x    x dx1dx2 dxk 1    k     x dxk 1 dx1dx2 dxk  R R xk 1  xk 1      x    k  f  xk 1   xk 1  R   f  x  dxk 1 dx1dx2 dxk  R R xk 1     k 1 f  x  R   x  dx1dx2 dxk 1  xk 1 Suy công thức với n  k  Vậy ta chứng minh cơng thức tích phân phần Cách Xét e j  0, ,0,1,0, ,0  , xuất vị trí thứ j Đặt f  f x  e j h   f x     x  e j h     x  Ta có f  x   f  x    f  x   f  x     f  x    f  x   f  x    f  x    f  x   f   x  ejh       f  x    f  x   f   x  ejh      f  x    f  x   f x  ejh  f      f  x   f x  e j h   x  ejh   f  x   x   f - 57 - Khi  R n f  x  1     x dx   n lim  f x  e j h   f  x   x dx   n lim f  x dx R R h 0 h x j  h0 h   f  x   f x  e j h  x  ejh   f  x   x   f dx h 0 h    n lim R    1     n  lim  f x    lim  f x  e j h   x  ejh   f  x   x  dx R h h h 0 h     x  f  x   x    n  f  x    dx R x j x j      n f x  x  f  x   x  dx   n dx R x j x j    n f x    x  dx   n1 f x j  x j  dx1 dx j1dx j1dxn  R R x j   n f x    x  dx x j R R R   Vậy  R n f  x    x    x dx   n f  x  dx R x j x j Bài 27 Cho  x   Hs(Rn),   x   Hs(Rn),  x   x   Hs(Rn),  x    x    x   Hs-1(Rn),   x   Hs-1(Rn) Chứng minh công thức Leibnitz x j x j   x  x    x  x    x   x  x j x j x j Giải Xét e j  0, ,0,1,0, ,0  , xuất vị trí thứ j Đặt    x  e j h     x     x  e j h     x  Suy  x  e j h      x   x  e j h       x  Khi  x  e j h  x  e j h       x     x       x     x    x   x  - 58 - Ta có   x  x   lim  x  e j h  x  e j h    x  x  h0 h x j    x    x  h 0 h  lim   x  e j h    x  x    x  e j h   x   x  h0 h  lim     1  x  e j h    x   x   lim  x  e j h   x    x  h 0 h h 0 h  lim     1       lim  x  e j h     x    x     x  lim  x  e j h     x   h 0 h h 0 h       h0 h 0     x    x   x     x  x j x j Chú ý lim lim     Thật vậy, h 1    lim  x  e j h     x   x  e j h     x  h  h h    1    lim h  x  e j h     x    x  e j h     x   h 0 h  h        1     lim h  lim  x  e j h    x   lim  x  e j h     x   h 0 h 0 h h 0 h           x     x    0  0  x  x  j j    Vậy ta chứng minh công thức Leibnitz   x  x    x  x    x   x  x j x j x j Bài 28 Ta định nghĩa hàm suy rộng   x  a , x  Rn, a  đẳng thức sau   x  a ,   x    x a   x d x d x phần tử diện tích mặt cầu bán kính a Rn a Tìm biến đổi Fourier hàm   x  a  b Chứng minh   x  a   H   n / 1 - 59 - (Rn) Giải a Ta thấy   x  a   S(Rn) supp   x  a    x, x  a Như vậy,   x  a  có giá compact Do đó,   x  a       x  a , e   x a ix  x a coxx d x  i  e  ix d x   x a x a coxx   i sin x d x sin x d x Vì sin x  hàm lẻ theo x , mặt cầu x, x  a đối xứng qua tâm, nên ta có  sin x d x  x a Do đó,   x  a       x a coxx d x b Do coxx   mặt cầu x, x  a tập compact, nên tồn số C cho   x  a     C  Khi đó, ta có              x  a     d   C       Suy 1      x  a     L (R )  n / 1 R   n / 1 n R   n / 1 / Vậy   x  a   H   n / 1  n d   n (Rn) Bài 29 Cho X không gian Banach Ta nói hình cầu đơn vị S  x  X : x  1 lồi ngặt x  y , x  y   ,    ta có  x  1    y  S Xét xem hình cầu đơn vị C Q , L1 Q  , L2 Q  có lồi ngặt khơng, Q miền bị chặn Rn Giải  + Ta chứng minh hình cầu đơn vị C Q không lồi ngặt Thật vậy, chọn xt   , xt   , x C Q   max xt   , y t   , với tQ  tC Q - 60 - Khi đó, với  thỏa    1, ta có x  1    y C Q   max xt   1    yt  tQ   max xt   1          tQ Suy x  1    y  khơng thuộc hình cầu đơn vị C Q  Hay hình cầu đơn vị C Q  không lồi ngặt + Ta chứng minh hình cầu đơn vị L1 Q  không lồi ngặt Thật vậy, chọn xt   , x L1   xt  dt  1, yt   Q , với t  Q Q Khi đó, với  thỏa    1, ta có x  1    y L1    xt   1    yt  dt   xt   1    Q Q    xt  dt  1    Q dt Q dt       Q Q Suy x  1    y  không thuộc hình cầu đơn vị L1 Q  Hay hình cầu đơn vị L1 Q  khơng lồi ngặt + Hình cầu đơn vị L2 Q  lồi ngặt Thật vậy, x  y , x x  1    y L2  y L2   thỏa    , ta có 1/ 2 L    xt   1    yt  dt  Q   1/ 2     xt   1    y t   dt  Q    1/  2     xt   2 1    xt  yt   1    yt  dt   Q      xt  dt  2 1    xt  yt  dt  1    Q Q      x        2 1    xt  yt  dt  1    y 2 L Q    1     2 1    x 2   1     2 1    L2 1/ y L Q 1/  1/ L2 1 Suy x  1    y  thuộc hình cầu đơn vị L2 Q  Vậy hình cầu đơn vị L2 Q  lồi ngặt - 61 - 1/ yt  dt   Bài 30 Cho f hàm khả tích địa phương tập mở n   R Định nghĩa T f     f  x   x dx Chứng minh T f thuộc D'    Giải Dễ thấy T f hàm tuyến tính D  Ta chứng minh liên tục Cho  m  dãy rỗng D  Xét K tập compact cố định cho supp  m   K , với m Khi đó,  T f  m   max  m  x  xK   f  x  dx Vì m  dãy rỗng nên lim max m  x   m  xK Do T f  m   m    Bài 31 Giả sử dãy f m  x , m  1, 2, hàm thuộc C k Q hội tụ yếu L2 Q  đến hàm f, dãy D  f m , m  1, 2, , với   ( , ,  n ),   k , bị chặn L2 Q  , Q miền bị chặn Rn Chứng minh hàm f có đạo hàm suy rộng D  f Giải Vì D f m  bị chặn L2 Q  nên theo định lí Bolzano-Weierstrass tồn L dãy D f m  D f m  hội tụ L2 Q  Giả sử D f m  u k k Với hàm f m  L2 Q  xác định hàm suy rộng T f  D' Q  Khi đó, m L T f m  Tf , m   Thật vậy, T fm    T f      f x  f x  xdx    f x   f x   x dx  0,   L Q  Q m m Q Tương tự, ta có TD  f mk L  Tu , m   Theo công thức Ostrogradski, ta có Tu    lim TD f mk  mk     1k mlim Tf  k D     1 T D   T    mk k Do D f  u theo nghĩa đạo hàm suy rộng Vậy tồn D f - 62 -  f D f PHẦN KẾT LUẬN  Phương trình đạo hàm riêng đời vào khoảng kỉ thứ XVII nhu cầu học ngành khoa học khác Nó ngày có vai trò quan trọng, ứng dụng rộng rãi khoa học công nghệ Ngày nay, phương trình đạo hàm riêng trở thành mơn tốn học vừa mang tính lí thuyết cao vừa mang tính ứng dụng rộng Trước phát triển vũ bão khoa học công nghệ, chắn phương trình đạo hàm riêng phát triển mạnh mẽ nửa tương lai, mở đường cho yêu thích nghiên cứu tốn học ứng dụng Trong q trình học tập, thầy cô giới thiệu, em cảm thấy có hứng thú với mơn học Cho nên, làm luận văn em xin nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Tuy nhiên, bắt tay vào làm em thấy rằng, giới phương trình đạo hàm riêng phát triển mạnh, nước ta sách nói đề tài này, có sâu nghiên cứu làm sáng tỏ lí thuyết, tập gợi ý đơn giản Vì thế, gợi ý thầy hướng dẫn, để bước đầu làm quen với phương trình đạo hàm riêng, luận văn em tìm hiểu khơng gian Sobolev - Đã nhà toán học Sobolev S.L giới thiệu vào kỉ XX, nhanh chóng trở thành công cụ đắt lực việc giải phương trình đạo hàm riêng, đó, nhiều nhà toán học khác tiếp tục mở rộng phát triển nhằm nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng ngày khó khăn phức tạp - Nhưng khác chỗ, luận văn mình, em sâu chọn lọc hệ thống ví dụ minh họa, giải xếp tương đối hợp lí tập liên quan đến khơng gian Sobolev Chính thế, xem luận văn tư liệu, hành trang cho em để sau có điều kiện tiếp tục nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng Do lần thực nghiên cứu khoa học, nên em tránh khỏi thiếu sót định Em mong nhận quan tâm, đóng góp ý kiến q thầy bạn để luận văn em hoàn chỉnh - 63 - TÀI LIỆU THAM KHẢO  [1] Nguyễn Minh Chương, Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất Giáo dục, 2000 [2] D Bahuguna – V Raghavendra – B.V Rathish Kumar, Sobolev Space and Applications, Alpha science [3] Nguyễn Minh Chương, Lí thuyết phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất Khoa học kĩ thuật, 1995 [4] Đặng Đình Áng, Nhập mơn giải tích, Nhà xuất Giáo dục, 1998 [5] Đặng Đình Áng, Biến đổi tích phân, Nhà xuất Giáo dục, 2001 [6] Nguyễn Xuân Liêm, Giải tích hàm, Nhà xuất giáo dục [7] GS.TSKH Phan Quốc Khánh, Toán chuyên đề, Nhà xuất Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh, 2000 [8] GS.TSKH Nguyễn Duy Tiến, Bài giảng giải tích, Đại học Đà Nẵng, 2004 [9] M.A Trần Thị Thanh Thúy, Giáo trình Tơpơ đại cương, Đại học Cần Thơ, 2004 [10] M.A Trần Thị Thanh Thúy, Giáo trình Độ đo tích phân Lebesgue, Đại học Cần Thơ, 2007 - 64 - ... k   4.2 Không gian đối ngẫu không gian Sobolev Ở phần ta xét không gian sobolev số nguyên âm phân số 4.2.1 Định nghĩa Cho  p   , q số mũ liên hợp p Không gian đối ngẫu không gian W0m ,... Khơng gian Lp 1.1 Khơng gian L p Cho , S ,   không gian độ đo,  tập mở không gian Euclide n chiều Rn, S  -đại số tập đo Lebesgue  độ đo Lebesgue Cho  p   , ta định nghĩa không gian L... với   D (Rn) §4 Khơng gian Sobolev 4.1 Không gian Sobolev Cho  tập mở Rn có biên  Ta bắt đầu với định nghĩa 4.1.1 Định nghĩa Cho số nguyên m>0  p   Không gian Sobolev định nghĩa  