Một số vấn đề định tính của quy hoạch toàn phương trong không gian hilbert vô hạn chiều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ VĂN ĐỒNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT VƠ HẠN CHIỀU LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ VĂN ĐỒNG MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG TRONG KHƠNG GIAN HILBERT VƠ HẠN CHIỀU Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 62 46 01 02 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HDKH: PGS.TS Nguyễn Năng Tâm Hà Nội 2018 LỜI CAM ĐOAN Luận án viết dựa nghiên cứu tác giả Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, hướng dẫn bảo tận tình, chu đáo PGS TS Nguyễn Năng Tâm Các kết luận án chưa cơng bố cơng trình khoa học khác Tác giả luận án Vũ Văn Đồng i LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành Trường ĐHSP Hà Nội Tác giả xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Năng Tâm, người Thầy dẫn dắt vào đường nghiên cứu khoa học Những lời chia sẻ, dạy Thầy khoa học sống hành trang quý báu để tự tin chặng đường tới Xin chân thành cám ơn PGS TS Khuất Văn Ninh, TS Trần Văn Bằng thành viên Xêmina Giải tích - Phịng Sau đại học Trường ĐHSP Hà Nội giúp đỡ tác giả trình nghiên cứu Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường ĐHSP Hà Nội 2, Phịng Sau đại học, Khoa Tốn cán công nhân viên Trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả thời gian học Cao học làm nghiên cứu sinh Xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường CĐCN Phúc Yên, Trung tâm GDTHPT PCI trường CĐCN Phúc Yên động viên tạo điều kiện tốt cho tác giả Xin gửi lời cám ơn chân thành tới gia đình, bạn nghiên cứu sinh bạn bè tác giả ln khuyến khích giúp đỡ tác giả trình học tập nghiên cứu ii MỤC LỤC CAM ĐOAN i LỜI CÁM ƠN ii MỤC LỤC BẢNG KÍ HIỆU MỞ ĐẦU Chương BÀI TỐN QUY HOẠCH TỒN PHƯƠNG 10 1.1 Dạng toàn phương không gian Hilbert 10 1.2 Bài tốn quy hoạch tồn phương 19 Chương SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 27 2.1 Bài tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi 27 2.2 Bài toán quy hoạch toàn phương lồi 51 Chương MỘT SỐ TÍNH CHẤT ỔN ĐỊNH 66 3.1 Tính chất liên tục ánh xạ nghiệm 67 3.2 Tính liên tục hàm giá trị tối ưu 83 KẾT LUẬN 91 TÀI LIỆU THAM KHẢO 92 BẢNG KÍ HIỆU Tập khơng gian ∅ tập rỗng x∈X x phần tử tập X x∈ /X x không thuộc X {x ∈ X | P (x)} Tập phần tử x X tuân theo tính chất P (x) N tập hợp số tự nhiên R tập hợp số thực R+ tập hợp số thực dương Rn không gian Euclid n chiều H khơng gian Hilbert khơng gian dãy số bình phương khả tổng L2 [a, b] không gian hàm bình phương khả tích [a, b] H ⊕G tổng trực tiếp H G LH không gian tốn tử tuyến tính liên tục H A\B Tập hợp phần tử thuộc A không thuộc B Hàm toán tử f :X→R hàm giá trị thực T :X→Y toán tử từ X vào Y T∗ toán tử liên hợp toán tử T A+ toán tử giả ngược toán tử A Giới hạn khả vi r(h) = o(h) tức r(h) h → h → f (x, d), Df (x)d đạo hàm hàm f x theo hướng d f (x, d), D2 f (x)d đạo hàm cấp hai hàm f x theo hướng d Chuẩn hội tụ x chuẩn x xn → x xn hội tụ (mạnh) tới x xn xn hội tụ yếu tới x x Các toán tối ưu val(QP ) giá trị tối ưu toán (QP) F tập chấp nhận (tập ràng buộc) toán (QP) Sol(QP ) tập nghiệm toán (QP) (QPω ) toán tối ưu theo tham số ω F (ω) tập chấp nhận toán tham số (QPω ) ϕ(ω) hàm giá trị tối ưu toán tham số (QPω ) Sol(ω) tập nghiệm tối ưu toán tham số (QPω ) v đ k với điều kiện MỞ ĐẦU Bài tốn quy hoạch tồn phương tốn tìm nghiệm tối ưu (lớn nhỏ nhất) hàm toàn phương tập hợp xác định số hữu hạn hàm toàn phương Quy hoạch toàn phương nghiên cứu khía cạnh định tính, định lượng, thuật tốn ứng dụng khác tốn quy hoạch tồn phương Quy hoạch toàn phương phận quan trọng Quy hoạch toán học Nhiều toán ứng dụng thực tế, bao gồm toán việc lập kế hoạch lịch trình, thiết kế kĩ thuật, điều khiển phát biểu cách tự nhiên dạng tốn quy hoạch tồn phương Người ta sử dụng tốn quy hoạch tồn phương để giải xấp xỉ toán tối ưu phi tuyến phức tạp Về tầm quan trọng quy hoạch tồn phương Floudas Visweswaran trình bày đầy đủ tài liệu tham khảo [28] Bài tốn quy hoạch tồn phương thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu Năm 1956, Frank Wolfe mở rộng định lý quy hoạch tuyến tính cho quy hoạch tồn phương hữu hạn chiều chứng minh định lý tồn nghiệm (gọi định lý Frank-Wolfe) cho tốn tối ưu tồn phương với ràng buộc tuyến tính Định lý nói “Nếu tốn quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều với ràng buộc tuyến tính có hàm mục tiêu bị chặn miền ràng buộc khác rỗng, có nghiệm tối ưu (nhỏ nhất)” Từ đến có thêm số chứng minh cho định lý nhiều phiên mở rộng Chẳng hạn, Eaves, B.C [27], Blum, E Oettli, W [12], Belousov, E.G [10], Luo, Z.Q Zhang, S [42], Belousov, E.G Klatte, D [8] Năm 2000, Frédéric, Bonnans, J F Shapiro, A [13] mở rộng định lý Frank-Wolfe cho tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều với ràng buộc tuyến tính Các tốn quy hoạch tồn phương hữu hạn chiều với ràng buộc tuyến tính khảo sát đầy đủ Nhiều kết nghiên cứu quan trọng quy hoạch toàn phương với ràng buộc tuyến tính tìm thấy sách chuyên khảo [39] tài liệu trích dẫn Đối với tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc toàn phương Kuhn, H.W Tucker, A.W nghiên cứu từ năm đầu thập niên 50 kỷ 20 [38] Trong năm gần nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương định tính định lượng, ứng dụng chúng Ở Việt Nam, có nhiều nhà khoa học tiến hành nghiên cứu quy hoạch toàn phương, chẳng hạn Hồng Tụy, Nguyễn Đơng n, Hồng Xn Phú, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Năng Tâm, Nguyễn Quang Huy, Võ Minh Phổ, Hoàng Ngọc Tuấn Sự quan tâm nghiên cứu tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương nước phản ánh qua số lượng chất lượng cơng trình cơng bố Điển hình như: Tuy, H [56], Kim, D.S., Tam, N.N., Yen, N.D [37], Lee, G.M., Tam, N.N., Yen, N.D [39, 40], Tam, N N [1], Zheng, X.J., Sun,X.L., Li, D., Xu, Y.F [58], Burer,S., Dong, H [19], Jeyakumar,V., Lee, G.M., Li, G.Y [33], Jeyakumar, V., Huy, N.Q., Li, G.Y [34], Jeyakumar, V., Rubinov, A.M, Wu, Z.Y [35, 36], Pasquale L De Angelis, Gerardo Toraldo [45], Beck, A., Eldar, Y.C [9], Nghị, T V [44] Trong cơng trình đó, tìm thấy nhiều kết thú vị vấn đề mở toán quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương khơng gian hữu hạn chiều Trong toán quy hoạch toàn phương hữu hạn chiều nhận quan tâm nghiên cứu đơng đảo tác giả, cơng trình nghiên cứu lớp tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều cơng bố cịn hạn chế Theo chúng tơi biết, ngồi kết nghiên cứu toán tối ưu phi tuyến tổng quát áp dụng cho quy hoạch toàn phương, kết nghiên cứu quan trọng cho quy hoạch tồn phương khơng gian vơ hạn chiều, nay, xuất lẻ tẻ, chưa nhiều chưa trọn vẹn Trong kết có, đáng lưu ý kết tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tuyến tính khơng gian Hilbert Bonnans Shapiro chứng minh vào năm 2000 [13] Ngồi ra, kể đến vài kết tồn nghiệm điều kiện cực trị tốn quy hoạch tồn phương đặc biệt tác giả Schochetman, I E., Smith, R L., Tsui, S K [49], Semple, J [50], Sivakumar, K.C., Swarna, J M [53] Borwein, J.M [17] Theo biết, nhiều vấn đề tốn quy hoạch tồn phương với ràng buộc tồn phương không gian vô hạn chiều chưa nghiên cứu Vì lý chúng tơi đặt vấn đề nghiên cứu định tính tốn quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều Mục tiêu luận án nghiên cứu số vấn đề định tính quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều Cụ thể nghiên cứu tồn nghiệm tính ổn định cho lớp toán quy hoạch tồn phương hàm mục tiêu hàm tồn phương (có thể khơng lồi) hàm ràng buộc hàm tồn phương lồi khơng gian Hilbert có số chiều tùy ý (hữu hạn vơ hạn chiều) Trong khơng gian hữu hạn chiều tính chất nghiên cứu đầy đủ [39, 42] tài liệu trích dẫn Trong không gian vô hạn chiều tồn nghiệm tính ổn định tốn quy hoạch tồn phương Từ (i) Bổ đề 3.1.3, suy Sol(ω) = ∅ Lấy x0 ∈ Sol(ω), ta có x0 , T x0 + c, x0 , gi (x0 , ω) = x0 , Ti x0 + ci , x0 + αi ϕ(ω) = 0, i = 1, , m Từ (ii) Bổ đề 3.1.6, suy tồn dãy {yk } ⊂ H, yk → x0 gi (yk , ω) = với k yk , Ti yk + ci , yk + αi 0, i = 1, , m k1 Từ (3.25) suy yk ∈ F (ω k ) với k k1 Khi yk , T k yk + ck , yk ϕ(ω k ) (3.25) (3.26) Từ (3.26) suy lim sup ϕ(ω k ) lim sup k→∞ k→∞ = lim k→∞ = yk , T k yk + ck , yk yk , T k yk + ck , yk x0 , T x0 + c, x0 = ϕ(ω) (3.27) Bây khẳng định dãy {xk } bị chặn Thực vậy, khơng bị chặn thì, cách lấy dãy cần, giả sử xk dãy {v k } = { xk = với k xk → ∞ k → ∞ Khi −1 k x } bị chặn Không tính tổng qt ta giả sử v k hội tụ yếu tới v Dễ dàng kiểm tra rằng, v ∈ 0+ F (ω) Bằng cách chia hai vế bất đẳng thức yk , T k yk + ck , yk k k k x , T x + ck , xk xk , cho k → ∞ theo Bổ đề 3.1.8, ta có v, T v lim inf v k , T k v k k→∞ lim sup v k , T k v k k→∞ Bằng cách lập luận tương tự chứng minh Bổ đề 3.1.9, ta có v ∈ 0+ F (ω) \ {0} v, T v 0, điều mâu thuẫn với (i) Vì 85 {xk } bị chặn; có dãy hội tụ yếu Khơng giảm tính tổng qt ta giả sử xk hội tụ yếu tới x¯ Theo Bổ đề 3.1.8, x¯ ∈ F (ω) lim inf ϕ(ω k ) k→∞ x¯, T x¯ + c, x¯ ϕ(ω) (3.28) Kết hợp (3.27) với (3.28) cho ta lim ϕ(ω k ) = ϕ(ω) Điều chứng tỏ k→∞ ϕ(.) liên tục ω Định lý chứng minh Nhận xét 3.2.2 Nếu giả thiết tính chất Legendre dạng toàn phương hàm mục tiêu bỏ qua, (QPω ) khơng có nghiệm (xem Ví dụ 2.1.9) Do kết luận Định lý 3.2.1 khơng cịn giả thiết bỏ qua Định nghĩa 3.2.3 (xem [52, Definition 5.3.1]) Cho U ⊂ H hàm f : H → R Ta nói f hàm Lipschitz (với số K |f (x1 ) − f (x2 )| K x1 − x2 0) U , ∀x1 , x2 ∈ U Hàm f gọi Lipschitz địa phương x (với số K), tồn lân cận mở V x cho f hàm Lipschitz với số K V Nếu f hàm Lipschitz địa phương x ∈ U , ta nói f Lipschitz địa phương U Định lý 3.2.4 Xét toán (QPω ) x, T x dạng Legendre Bốn phát biểu sau tương đương: (β1 ) ánh xạ nghiệm Sol( · ) nửa liên tục ω; (β2 ) ánh xạ nghiệm Sol( · ) liên tục ω; (β3 ) tập Sol(ω) có phần tử ϕ( · ) liên tục Lipschitz địa phương ω; (β4 ) tập Sol(ω) có phần tử ϕ( · ) liên tục ω Chứng minh Sự tương đương (β1 ) (β2 ) suy trực tiếp từ Định lý 3.1.11 3.1.16 86 Tiếp theo ta chứng minh (β2 ) suy (β3 ) Thực vậy, giả sử ánh xạ nghiệm Sol( · ) liên tục ω Khi đó, ánh xạ nghiệm Sol( · ) nửa liên tục ω Từ Định lý 3.1.16 suy tập Sol(ω) có phần tử, Sol(QP Rω ) = {0} hệ gi (x, ω) quy Trong phần cịn lại ta cần chứng minh ϕ( · ) Lipschitz địa phương ω Vì f (· , ·) hàm liên tục khả vi (x, ω) nên tồn δ > cho f liên tục Lipschitz với số Lipschitz kf > x, ω ¯ ) Bởi gi (x, ω) tập UδH×Ω (¯ quy, ánh xạ tập chấp nhận F ( · ) : Ω ⇒ H, xác định F (ω ) = {x ∈ H | gi (x, ω ) 0, i = 1, , m} có tính chất Aubin ω x¯ ∈ F (ω) (xem, chẳng hạn, [22, Corollary 2.2]), tức tồn ε, γ, kF cho F (ω ) ∩ U γ (¯ x) ⊂ F (ω ) + kF ω − ω Bω (0, 1) (3.29) với ω , ω ∈ U ε (ω) Khơng tính tổng quát, giả sử max{ε, 2εkF + γ} < δ Lấy ω , ω ∈ UεΩ (¯ ω ) chọn cách tùy ý Theo Bổ đề 3.1.6, ánh xạ tập chấp nhận F ( · ) : Ω ⇒ H nửa liên tục ω Điều suy F (ω ) = ∅ với ε > đủ nhỏ Mặt khác, Sol(QP Rω ) = {0}, ta suy ω ∈ K Vì K mở nên tồn ε > đủ nhỏ cho ω ∈ K Từ Bổ đề 3.1.3 suy Sol(ω ) = ∅, với ε > đủ nhỏ Do tồn x1 ∈ Sol(ω ) Bởi Sol( · ) nửa liên tục ω, ta giả thiết ε > đủ nhỏ để đảm bảo x1 ∈ U γ (x) Khi đó, x1 ∈ Sol(ω )∩U γ (x) ⊂ F (ω )∩U γ (x) Từ (3.29), tồn x2 ∈ F (ω ) cho x2 − x1 ≤ kF ω − ω Chú ý đến cách chọn ε δ ta suy ra: (ω , x1 ) − (ω, x) = max{ ω − ω , x1 − x } < max{ε, γ} < δ, 87 (ω , x2 ) − (ω, x) = max{ ω − ω , x2 − x } max{ ω − ω , x2 − x1 + x1 − x } max{ ω − ω , kF ω − ω + x1 − x } < max{ε, 2εkF + γ} < δ x, ω ¯ ) Do (ω1 , x1 ) (ω2 , x2 ) thuộc UδH×Ω (¯ Vì f liên tục Lipschitz UδH×Ω (x, ω), cuối ta có: ϕ(ω2 ) − ϕ(ω1 ) f (ω1 , x2 ) − f (ω1 , x1 ) kf max{ ω2 − ω1 ; x2 − x1 } kf max{ ω2 − ω1 ; kF ω2 − ω1 } = max{kf ; kf kF } ω2 − ω1 Thay đổi vai trò x1 x2 , ta đạt ϕ(ω1 ) − ϕ(ω2 ) max{kf ; kf kF } ω2 − ω1 Do ϕ liên tục Lipschitz địa phương ω ¯ với số max{kf ; kf kF } Rõ ràng (β3 ) suy (β4 ) Cuối cùng, (β4 ) suy (β1 ) suy trực tiếp từ Định lý 3.1.16 3.2.1 Sau ví dụ minh họa Ví dụ 3.2.5 Xét tốn (QPω ) với Ω = L( )× ×L( )× ×R Đặt ω = (T, c, T1 , c1 , α1 ), T, T1 : → xác định T x = (0, −x1 , x2 , ), T1 x = (x1 , x2 , ), c = (1, 0, ), c1 = (0, 0, ), α1 = − 21 Bài tốn viết lại sau: f (x, ω) = (−x22 + x23 + · · · x2n + · · · ) + x1 , x∈F (ω) F (ω) = {(x1 , x2 , ) ∈ | g1 (x, ω) = 21 (x21 + x22 + · · · ) − 21 (3.30) 0} Vì x, T x = (x21 + x22 + x23 + · · · + x2n + · · · ) − (x21 + 2x22 ) nên theo Mệnh đề 1.1.27 ta có x, T x dạng Legendre 88 Vì g1 (0, ω) = − 21 < nên F (ω) = g1 (x, ω) Ta có 0+ F (ω) = {(v1 , ) ∈ quy | T1 v = (v1 , v2 , ) = 0} = {0} Do Sol(QP Rω ) = {0} Từ g1 (x, ω) ta suy − 12 x22 2 (x1 + x23 + · · · ) − 12 Do 1 x1 + x1 + (x23 + x24 + · · · ) − f (x, ω) = (−x22 + x23 + · · · ) + x1 2 3 = (x1 + 1)2 + (x23 + x24 + · · · ) − ≥ − ∀x ∈ F (ω) 2 Lấy x¯ = (−1, 0, 0, ) ta có g(¯ x, ω) = f (¯ x, ω) = − 23 Từ suy x¯ nghiệm toán cho Dễ dàng kiểm tra x¯ nghiệm tốn (3.30) Vì Sol(ω) = {¯ x} Do đó, theo Định lý 3.2.4, ánh xạ tập nghiệm Sol( · ) liên tục ω hàm giá trị tối ưu ϕ( · ) liên tục Lipschitz địa phương ω Hệ 3.2.6 Xét tốn (QPω ) x, T x dạng elliptic Giả sử hệ gi (x, ω) 0, i = 1, , m, quy Khi đó, bốn phát biểu sau tương đương: (β1 ) ánh xạ tập nghiệm Sol( · ) nửa liên tục ω; (β2 ) ánh xạ tập nghiệm Sol( · ) liên tục ω; (β3 ) hàm giá trị tối ưu ϕ( · ) liên tục Lipschitz địa phương ω; (β4 ) hàm giá trị tối ưu ϕ( · ) liên tục ω Chứng minh Vì x, T x elliptic nên hàm mục tiêu (coercive) Do tốn (QP) có nghiệm Vậy hệ suy trực tiếp từ Định lý 3.2.4 Kết luận Bằng cách sử dụng tính chất Legendre, chương nghiên cứu tính liên tục ánh xạ nghiệm tính liên tục hàm giá trị tối ưu 89 toán (QPω ) Các kết chương xem mở rộng kết từ không gian Hilbert hữu hạn chiều tài liệu [54, 55] tới không gian Hilbert 90 KẾT LUẬN Luận án nghiên cứu số vấn đề định tính quy hoạch tồn phương vơ hạn chiều Bằng cách sử dụng tính chất Legendre dạng tồn phương hàm mục tiêu tính compact với ảnh đóng tốn tử tốn quy hoạch toàn phương, luận án thu kết bao gồm: • Sự tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương khơng lồi; • Sự tồn nghiệm tốn quy hoạch tồn phương lồi; • Một số tính chất ánh xạ nghiệm hàm giá trị tối ưu tính nửa liên tục ánh nghiệm, tính liên tục tính liên tục Lipschitz hàm giá trị tối ưu Ngoài kết đạt toán quy hoạch tồn phương khơng gian Hilbert trình bày luận án này, nhiều vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu toán như: • Sự tồn nghiệm tốn (QP) trường hợp tốn có ràng buộc tồn phương khơng tuyến tính, ràng buộc cịn lại tuyến tính • Điều kiện cần đủ (mạnh (2.41), yếu (2.44)) cho tồn nghiệm tốn (CQP) • Tính liên tục ánh xạ nghiệm địa phương • Điều kiện đủ (kiểm tra thông qua liệu tốn) để tập Sol(ω) có phần tử • Tính khả vi hàm giá trị tối ưu • Mở rộng kết thu sang không gian Banach Những vấn đề chủ đề thú vị cho nghiên cứu tương lai chúng tơi 91 DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] Dong, V.V., Tam, N.N.(2016), “On the Solution Existence for Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces”, Taiwanese Journal of Mathematics, 20(6), pp 1417–1436, December 2016 [2] Dong, V.V., Tam, N.N.(2018), “On the Solution Existence for Nonconvex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces”, Acta Math Vietnam 43(1), pp 155-174 [3] Dong, V.V (2018), “Some Stability Properties of Parametric Quadratically Constraint Nonconvex Quadratic Programs in Hilbert Spaces”, Acta Math Vietnam 43(2), pp 325–340 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Năng Tâm (2000), Vấn đề ổn định tốn quy hoạch tồn phương, Luận án Tiến sĩ Tốn học, Viện Tốn học [2] Hồng Tụy (2005), Hàm thực & giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Đông Yên (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB khoa học tự nhiên công nghệ, Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [4] Abramovich, Y A., Aliprantis, C D (2002), Problems in Operator Theory, American Mathematical Society, Providence, Rhode Island [5] Anh, L Q., Duy, T Q., Khanh, P Q (2016) “Continuity properties of solution maps of parametric lexicographic equilibrium problems” Positivity 20, pp.61–80 [6] Anh, L.Q, Hung, N.V (2017) “On the stability of solution mappings parametric generalized vector quasivariational inequality problems of the Minty type” Filomat 31, pp.747–757 [7] Bauschke, H H., Combettes, P L (2011), Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces, Springer [8] Belousov, E G., Klatte, D (2002), “A Frank-Wolfe Type Theorem for Convex Polynomial Programs”, Comput Optim Appl 22, pp 37–48 93 [9] Beck, A., Eldar, Y C (2006), “Strong duality in nonconvex quadratic optimization with two quadratic constraints”, SIAM J Optim 17, pp 844–860 [10] Belousov, E G (1977), Introduction to Convex Analysis and Integer Programming Moscow University Publisher, Moscow [11] Bertsekas, D P., Tseng, P (2007), “Set intersection theorems and existence of optimal solutions” Math Program 110, pp 287–314 [12] Blum, E., Oettli, W (1972), “Direct Proof of the Existence Theorem in Quadratic Programming”, Operations Research 20, pp 165–167 [13] Bonnans, J F., Shapiro, A (2000), Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer [14] Bonnans, J F., Cominetti, R (1996), “Perturbed optimization in Banach spaces I: A general theory based on a weak directional constraint qualification”, SIAM J Control and Optimization 34(4), pp 1151–1171 [15] Bonnans, J F., Cominetti, R (1996), “Perturbed optimization in Banach spaces II: A theory based on a strong directional constraint qualification”, SIAM J Control and Optimization 34(4), pp 1172– 1189 [16] Bonnans, J F., Cominetti, R., (1996), “Perturbed optimization in Banach spaces III: Semi-infinite optimization”, SIAM J Control and Optimization 34(5), pp 1555–1567 [17] Borwein, J.M (1982), “Necessary and sufficient conditions for quadratic minimality”, Numerical Funct Anal and Appl 5, pp 127140 94 [18] Brezis, H (2011), Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer [19] Burer, S., Dong, H (2012), “Representing quadratically constrained quadratic programs as generalized copositive programs”, Oper Res Letters 40, pp 203–206 [20] Cannarsa, P., D’Aprile, P (2015), Introduction to Measure Theory and Functional Analysis, Springer [21] Debnath, L Mikusinski, P (2005 ), Hilbert Spaces with Applications, Elsevier Inc [22] Dempe, S., Mehlitz, P (2015), “Lipschitz continuity of the optimal value function in parametric optimization”, J Glob Optim 61, pp 363-377 [23] Dinh, N., Goberna, M A., Lpez, M A (2010), “On stability of the feasible set in optimization problems”, SIAM J Optim 20(5), pp 2254-2280 [24] Dong, V.V., Tam, N.N.(2016), “On the Solution Existence for Convex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces”, Taiwanese Journal of Mathematics, 20(6), pp 1417–1436, December 2016 [25] Dong, V.V., Tam, N.N.(2018), “On the Solution Existence for Nonconvex Quadratic Programming Problems in Hilbert Spaces”, Acta Math Vietnam 43(1), pp 155-174 [26] Dong, V.V (2018), “Some Stability Properties of Parametric Quadratically Constraint Nonconvex Quadratic Programs in Hilbert Spaces”, Acta Math Vietnam 43(2), pp 325–340 95 [27] Eaves, B.C (1971), “On Quadratic Programming”, Management Science 17, pp 698–711 [28] Floudas, C A., Visweswaran, V (1995 ), “Quadratic Optimization”, : R Horst et al (eds.), Handbook of Global Optimization, pp 217-264, Springer Science+Business Media Dordrecht [29] Hauser, R.(2013), “The S-Procedure via Dual Cone Calculus” http://arxiv.org/abs/1305.2444 [30] Hestenes, M R.(1951), “Applications of the theory of quadratic forms in Hilbert space to the calculus of variations”, Pacific J Math 1, pp 525-581 [31] Hunter, J K., Nachtergaele, B (2001), Applied Analysis, World Scientific, Singapore [32] Ioffe, A D., Tihomirow, V M (1979), Theory of Extremal Problems, North-Holland Publishing Company, Amsterdam [33] Jeyakumar, V., Lee, G M., Li, G Y (2009), “Alternative theorems for quadratic inequality systems and global quadratic optimization”, SIAM J Optim 20, pp 983–1001 [34] Jeyakumar, V., Huy, N Q., Li, G Y (2009), “Necessary, and sufficient conditions for S-lemma and nonconvex quadratic optimization”, Optim Eng., 10, pp 491–503 [35] Jeyakumar, V., Rubinov, A M, Wu, Z Y (2006), “Sufficient global optimality conditions for non-convex quadratic minimization problems with box constraints”, J Glob Optim 36, pp 471–481 96 [36] Jeyakumar, V., Rubinov, A M, Wu, Z Y (2007), “Non-convex quadratic minimization problems with quadratic constraints: global optimality conditions”, Math Program 110, pp 521–541 [37] Kim, D S., Tam, N N., Yen, N D (2012), “Solution existence and stability of quadratic of quadratically constrained convex quadratic programs”, Optim Lett 6, pp 363–373 [38] Kuhn, H W., Tucker, A W (1951), “Nonlinear Programming”, in Neyman, J (Ed.), Proceedings of the Second Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability Berkeley, CA: University of California Press, pp 481-492 [39] Lee, G.M., Tam, N N., Yen, N.D (2005), Quadratic Programming and Affine Variational Inequalities: A Qualitative Study, Series: “Nonconvex Optimization and Its Applications”, vol 78 Springer, New York [40] Lee, G.M., Tam, N N., Yen, N.D (2012), “Stability of linear quadratic minimization over Euclid balls”, SIAM J Optim 22(3), pp 936-952 [41] Luenberger, D G (1969), Optimization by Vector Space Methods, John Wiley & Sons, Inc., New York-London-Sydney-Toronto [42] Luo, Z Q., Zhang, S (1999), “On Extensions of the Frank-Wolfe Theorems” Comput Optim Appl 13, pp 87–110 [43] Maurer, H (1979), “First and Second- Order Necessary and Sufficient Optimality Conditions for Infinite-dimensional Programming Problems”, Math Program 16, pp 98 -110 97 [44] Nghi, T V (2017), Existence and stability for quadratically constrained quadratic programming problems, PhD thesis mathematics Analysis, Hanoi Pedagogical University 2, Hanoi [45] Pasquale L De Angelis, Gerardo Toraldo (2009), “Quadratic programming with bound constraints”, In: Floudas, C.A., Pardalos, P.M.(eds.) Encyclopedia of Optimization, pp 3161–3165 Springer, New York [46] Robinson, S R (1976) “Stability Theory for Systems of Inequalities Part II: Differentiable Nonlinear Systems”, Siam J Numer Anal 13(4), pp 497 - 513 [47] Rockafellar, R T (1970) Convex analysis, Princeton University Press [48] Rudin, W (1991), Functional Analysis, McGraw-Hill, Inc [49] Schochetman, I.E., Smith, R.L., Tsui, S.K (1997), “Solution Existence for Infinite Quadratic Programming”, Technical Report pp 9710 [50] Semple, J (1996), “Infinite Positive-Definite Quadratic Programming in a Hilbert Space”, J Optim Theory Appl 88 (3), pp 743-749 [51] Shapiro, A (1988), “Perturbation theory of nonlinear programs when the set of optimal solutions is not a singleton”, Appl Math Optim 18, pp 215–229 [52] Siddiqui, A H (2004), Applied Functional Analysis: Numerical Methods, Wavelet Methods, and Image Processing, New York [53] Sivakumar, K C., Swarna, J M (2003), “Explicit Solutions of Infinite Quadratic Programs”, J Appl Math Comput 12, pp 211–218 98 [54] Tam, N N (1999), “On Continuity Properties of the Solution Map in Quadratic Programming”, Acta Math Vietnam 24, pp 47–61 [55] Tam, N N (2002), “Continuity of the Optimal Value Function in Indefinite Quadratic Programming”, J Glob Optim 23, pp 43–61 [56] Tuy, H., Tuan, H D (2013), “Generalized S-Lemma and strong duality in nonconvex quadratic programming”, J Glob Optim 56, pp 1045–1072 [57] Yakubovich, V A (1992), “Nonconvex optimization problem: The infinite-horizon linear-quadratic control problem with quadratic constraints”, Systems Control Lett 19, pp 13-22 [58] Zheng, X J., Sun, X L., Li, D., Xu, Y F (2012), “On zero duality gap in nonconvex quadratic programming problems”, J Glob Optim 52, pp 229–242 99 ... hàm toàn phương tập hợp xác định số hữu hạn hàm toàn phương Quy hoạch tồn phương nghiên cứu khía cạnh định tính, định lượng, thuật toán ứng dụng khác tốn quy hoạch tồn phương Quy hoạch tồn phương. .. toàn phương lồi khơng gian Hilbert có số chiều tùy ý (hữu hạn vô hạn chiều) Trong không gian hữu hạn chiều tính chất nghiên cứu đầy đủ [39, 42] tài liệu trích dẫn Trong khơng gian vơ hạn chiều. .. tốn quy hoạch tồn phương khơng gian Hilbert hữu hạn chiều sử dụng tính compact, tính lồi, tính quy tập ràng buộc định lý Weiertrass Để thu kết định tính tốn quy hoạch tồn phương khơng gian Hilbert