Về một số vấn đề định tính của hệ phương trình vi phân phân thứ (tt)

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM VIỆN TỐN HỌC HỒNG THẾ TUẤN VỀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH TÍNH CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHÂN THỨ Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 62.46.01.03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC HÀ NỘI - 2016 Luận án hoàn thành tại: Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Công nghệ Việt Nam Người hướng dẫn khoa học: TSKH Đồn Thái Sơn GS TSKH Nguyễn Đình Cơng Phản biện 1: Phản biện 2: Phản biện 3: Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận án cấp Viện họp Viện Tốn học - Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam vào hồi ngày tháng năm 2017 Có thể tìm luận án tại: - Thư viện Quốc gia Hà nội - Thư viện Viện Toán học Lời mở đầu Trong năm gần đây, lý thuyết giải tích phân thứ nhận quan tâm ngày nhiều cộng đồng làm toán lý thuyết lẫn toán ứng dụng Một lý người ta mơ hình hóa tốn xuất lĩnh vực khoa học, công nghệ khác từ Vật lý, Hóa học, Sinh học, Tài đến Khoa học xã hội phương trình vi phân phân thứ Đã có nhiều cơng trình liên quan đến phương diện khác lý thuyết cơng bố Nổi bật số tuyển tập K Oldham J Spenier (1974), S Samko, O Marichev A Kilbas (1993) gần có thêm chuyên khảo đáng ý I Podlubny (1999) K Diethelm (2010) Một điều đáng ngạc nhiên nay, lý thuyết định tính cho phương trình vi phân phân thứ chưa phát triển đầy đủ Lý phương trình vi phân phân thứ khơng sinh tốn tử có tính chất nửa nhóm Vì vậy, khơng thể xây dựng hệ động lực theo nghĩa cổ điển cho phương trình áp dụng trực tiếp phương pháp có lý thuyết phương trình vi phân thường, xem N.D Cong H.T Tuan (2016) Luận án đề cập đến chủ điểm sau lý thuyết định tính phương trình vi phân phân thứ: số mũ Lyapunov, tính chất ổn định tiệm cận, không ổn định tồn đa tạp ổn định Luận án gồm bốn chương Chương nhắc lại vắn tắt số kiến thức lý thuyết giải tích phân thứ: tích phân phân thứ, đạo hàm phân thứ phương trình vi phân phân thứ Ngoài ra, chương giới thiệu hàm Mittag-Leffler công thức biến thiên số Đây công cụ chủ yếu để nghiên cứu dáng điệu nghiệm cho phương trình vi phân phân thứ chương Chương nghiên cứu số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ tuyến tính với hệ số biến thiên Chương gồm phần Phần 2.1 nói số mũ Lyapunov cho phương trình phân thứ Trước hết, Mục 2.1.1, chứng minh số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm không tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính với hệ số liên tục, bị chặn không âm Sau đó, Mục 2.1.2, xây dựng khái niệm số mũ (số mũ Lyapunov phân thứ) dùng số mũ để đặc trưng tính ổn định nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Phần 2.2 giành để mơ tả cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ cho nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị không gian Euclide d-chiều phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Như ví dụ minh họa, phần cuối chương tính tường minh số mũ Lyapunov phân thứ cho nghiệm khơng tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hai chiều hệ số Chương thảo luận tính ổn định tiệm cận, tính khơng ổn định cho điểm cân lớp phương trình vi phân phân thứ tương đối tổng quát Cụ thể, i phát biểu định lí tính ổn định tiệm cận, khơng ổn định cho nghiệm tầm thường phương trình vi phân phân thứ không gian Euclide hữu hạn chiều Chương cuối giới thiệu kết tồn đa tạp ổn định địa phương gần điểm cân hyperbolic phương trình vi phân phân thứ phi tuyến không gian Euclide hữu hạn chiều tùy ý ii Chương Giới thiệu tóm tắt phương trình vi phân phân thứ 1.1 Giải tích phân thứ Chương dành để nhắc lại kiến thức lý thuyết giải tích phân thứ Trước tiên, giới thiệu khái niệm tích phân phân thứ Hiểu theo nghĩa đó, tích phân phân thứ mở rộng tự nhiên khái niệm tích phân lặp thông thường Cụ thể, cho α > [a, b] ⊂ R, định nghĩa tích phân phân thứ Riemann–Liouville cấp α hàm x : [a, b] → R α Ia+ x(t) := Γ(α) t (t − τ )α−1 x(τ ) dτ, t ∈ (a, b], a hàm Gamma Γ : (0, ∞) → R>0 có biểu diễn ∞ tα−1 exp(−t) dt Γ(α) := Cùng với tích phân phân thứ, đạo hàm phân thứ hai khái niệm then chốt phép tính vi–tích phân phân thứ Có nhiều loại đạo hàm phân thứ xây dựng Tuy nhiên, luận án nghiên cứu đạo hàm phân thứ Caputo Sau nhắc lại định nghĩa loại đạo hàm quan trọng Với số thực dương α cho trước, đạo hàm phân thứ Caputo cấp α hàm x : [a, b] → R định nghĩa C α m−α m Da+ x(t) := Ia+ D x(t), t ∈ (a, b], m d m := α số nguyên nhỏ lớn α Dm = dx m đạo hàm T thông thường cấp m Với hàm véc tơ x(t) = (x1 (t), , xd (t)) , đạo hàm phân thứ Caputo x(t) định nghĩa theo thành phân sau: C α α α xd (t))T Da+ x(t) := (C Da+ x1 (t), ,C Da+ Từ trở sau, mặc định α cấp phân thứ của đạo hàm hạn chế xét α khoảng (0, 1) Xét toán giá trị đầu phân thứ nửa đường thẳng thực R≥0 : C α D0+ x(t) = f (t, x(t)), t > 0, x(0) = x0 ∈ Rd , (1.1) (1.2) f : R≥0 × Rd → Rd hàm liên tục R≥0 × Rd Hàm ϕ(·, x0 ) : R≥0 → Rd liên tục R≥0 gọi nghiệm toán giá trị đầu (1.1), (1.2), ϕ(·, x0 ) thỏa mãn (1.1) với t > ϕ(0, x0 ) = x0 Tương tự lý thuyết phương trình vi phân thường, có định lí sau tồn nghiệm tồn cục phương trình (1.1) Định lý 1.1 (Định lí tồn nghiệm tồn cục) Giả sử f : R≥0 × Rd → Rd hàm liên tục thỏa mãn f (t, x) − f (t, y) ≤ L(t) x − y , ∀t ∈ R≥0 , ∀x, y ∈ Rd , L : R≥0 → R≥0 hàm liên tục Khi đó, với điều kiện đầu tùy ý x0 ∈ Rd , toán giá trị đầu (1.1), (1.2), có nghiệm tồn cục R≥0 Chứng minh Chứng minh hồn tồn tương tự Định lí Baleanu (2010) 1.2 Hàm Mittag-Leffler Xét toán giá trị ban đầu phân thứ R≥0 : C α D0+ x(t) = Ax(t), x(0) = x0 ∈ Rd , (1.3) A ∈ Rd×d Theo Định lí 1.1, với x0 ∈ Rd , tốn giá trị đầu (1.3), x(0) = x0 , có nghiệm toàn cục ϕ(·, x0 ) xác định [0, ∞) Bằng tính tốn tương tự chứng minh Định lí 4.3 Diethelm (2010), người ta thu công thức tường minh ϕ(·, x0 ) sau ϕ(t, x0 ) = Eα (tα A)x0 , Eα : Rd → Rd hàm Mittag-Leffler tham số nhận giá trị ma trận có biểu diễn ∞ Ak Eα (A) := , ∀A ∈ Rd×d Γ(αk + 1) k=0 Vì hàm Mittag-Leffler xuất cách tự nhiên lý thuyết phương trình vi phân phân thứ giống hàm mũ xuất lý thuyết phương trình vi phân thường, việc nghiên cứu tính chất cho nhiều thông tin dáng điệu nghiệm phương trình vi phân phân thứ Sau nhắc lại định nghĩa hàm quan trọng Với β ∈ C bất kì, hàm Eα,β : C → C xác định ∞ zk Eα,β (z) := , z ∈ C, Γ(αk + β) k=0 gọi hàm Mittag-Leffler hai tham số Khi β = 1, để làm đơn giản kí hiệu, viết Eα thay Eα,1 gọi Eα hàm Mittag-Leffler tham số Các hàm Mittag-Leffler nhận giá trị ma trận định nghĩa hoàn toàn tương tự, tức ∞ Eα,β (A) := k=0 Ak , Γ(αk + β) A ∈ Cd×d 1.3 Cơng thức biến thiên số Để nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình vi phân phân thứ, đặc biệt phương trình hệ số hằng, cơng cụ sử dụng phổ biến công thức biến thiên số Công thức cầu nối nghiệm phương trình khơng với phương trình tuyến tính hệ số liên kết với Cụ thể, xét phương trình vi phân phân thứ cấp α ∈ (0, 1) R≥0 : C α x(t) = Ax(t) + f (x(t)), D0+ (1.4) A ∈ Rd×d f : Rd → Rd hàm liên tục Lipschitz thỏa mãn f (0) = Chúng ta có biểu diễn sau cho nghiệm (1.4) Định lý 1.2 (Công thức biến thiên số cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ) Giả sử f hàm liên tục Lipschitz toàn cục Rd với hệ số Lipschitz L f (0) = Khi đó, với x0 ∈ Rd , toán giá trị đầu (1.4), x(0) = x0 ∈ Rd , có nghiệm tồn cục ϕ(·, x0 ) Hơn nữa, nghiệm thỏa mãn công thức biến thiên số: t ϕ(t, x0 ) = Eα (tα A)x0 + (t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α A)f (ϕ(τ, x0 )) dτ với t ≥ (1.5) Chương Số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ Bài tốn quan trọng lý thuyết định tính phương trình vi phân nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm Đối với trường hợp phương trình tuyến tính hệ số hằng, dáng điệu nghiệm mô tả đầy đủ thông qua phần thực giá trị riêng ma trận hệ số bội chúng Với phương trình tuyến tính có hệ số tuần hồn, Lý thuyết Floquet sử dụng để mô tả cặn kẽ dáng điệu tất nghiệm, xem L.Ya Adrianova (1995) Ngồi trường hợp kể trên, thơng tin nghiệm hệ tương đối sơ lược Để nghiên cứu hệ tuyến tính hệ số biến thiên, phương pháp số mũ đặc trưng đề xuất Lyapunov, xem Adrianova (1995) Oseledec (1968), công cụ có hiệu lực mạnh phạm vi áp dụng rộng Ý tưởng phương pháp so sánh độ tăng trưởng hay suy giảm nghiệm với hàm mũ Độ tăng trưởng (suy giảm) xác định thông qua số mũ đặc trưng (ngày gọi số mũ Lyapunov cổ điển) Người ta biết hệ phương trình vi phân tuyến tính khơng gian Euclide d-chiều Rd có nhiều d số mũ Lyapunov phân biệt Tập tất số mũ với bội chúng gọi phổ Lyapunov Nhiều tính chất quan trọng hệ tính ổn định, tính hyperbolic, tính rẽ nhánh, v.v, đặc trưng phổ Lyapunov Xét phương trình vi phân phân thứ Caputo cấp α ∈ (0, 1) C α D0+ x(t) = A(t)x(t), (2.1) t ∈ R≥0 A : R≥0 → Rd×d hàm liên tục, bị chặn, tức tồn số M > cho M := sup A(t) < ∞ (2.2) t≥0 Mục đích chương xây dựng lý thuyết số mũ Lyapunov cho (2.1) 2.1 Phổ Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ Trong phần này, thảo luận số mũ Lyapunov cổ điển số mũ Lyapunov phân thứ cho nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính (2.1) 2.1.1 Số mũ Lyapunov cổ điển cho phương trình vi phân phân thứ Chúng ta nhắc lại khái niệm số mũ Lyapunov cổ điển (đôi gọi tắt số mũ Lyapunov) cho hàm vectơ Số mũ Lyapunov cổ điển hàm f : R≥0 → Rd định nghĩa χ(f ) := lim sup log f (t) t→∞ t Khác với số mũ Lyapunov cho phương trình vi phân thường, định lí sau số mũ Lyapunov nghiệm khơng tầm thường phương trình vi phân phân thứ (2.1) ln khơng âm Định lý 2.1 Mọi nghiệm không tầm thường (2.1) có số mũ Lyapunov khơng âm Cụ thể, χ(ϕ(·, x0 )) ≥ 0, ∀x0 ∈ Rd \ {0} 2.1.2 Số mũ Lyapunov phân thứ cho phương trình vi phân phân thứ Khi định nghĩa số mũ Lyapunov cổ điển, người ta sử dụng hàm log (là hàm ngược hàm mũ) để thu tốc độ tăng trưởng hay suy giảm so với hàm mũ hàm số cho trước Trong lý thuyết phương trình vi phân phân thứ, hàm MittagLeffler tham số đóng vai trò tương tự hàm mũ phương trình vi phân thường Điều gợi ý cho sử dụng hàm ngược hàm Mittag-Leffler thực tham số để mở rộng khái niệm số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm phương trình phân thứ Xét hàm Mittag-Leffler tham số nhận giá trị thực Eα : R → R≥0 Từ Định lí 7.3 Diethelm (2010), người ta biết hàm đơn điệu tăng có giới hạn vô cực lim Eα (x) = lim Eα (x) = +∞ x→−∞ x→∞ logM α Do đó, có ánh xạ ngược Kí hiệu : R>0 → R hàm ngược Eα : R → R≥0 Hiển nhiên logM hàm liên tục đơn điệu tăng Bây định α nghĩa số mũ Lyapunov phân thứ hàm tùy ý Định nghĩa 2.2 Cho f : R≥0 → Rd hàm nhận giá trị vectơ Số mũ Lyapunov phân thứ cấp α f định nghĩa χα (f ) = lim sup t→∞ logM α ( f (t) ) tα (2.3) Tập hợp tất số mũ Lyapunov phân thứ cho nghiệm không tầm thường phương trình (2.1) mơt tả sau Định lý 2.3 (Phổ Lyapunov phân thứ hệ phân thứ) Chúng ta định nghĩa Phổ Lyapunov phân thứ (2.1) tập Σα := χα (ϕ(·, x0 )) : x0 ∈ Rd \ {0} Khi đó, phát biểu sau (i) Σα ⊂ (−∞, M ] (ii) Tập Σα ∩ R≥0 chứa nhiều d phần tử phân biệt chúng kí hiệu λj < λj−1 < · · · < λ1 , ≤ j ≤ d (iii) Nếu Σα ∩ R cho với t ∈ R≥0 ϕ(t, x0 ) ≤ ε miễn x0 < δ Nghiệm tầm thường gọi ổn định tiệm cận ổn định tồn số δ > cho lim ϕ(t, x0 ) = miễn x0 < δ t→∞ Định lý 2.4 (Mối quan hệ phổ Lyapunov phân thứ tính ổn định) Xét phương trình (2.1) Khi đó, phát biểu sau đúng: (i) nghiệm tầm thường phương trình (2.1) ổn định, Σα ⊂ (−∞, 0]; (ii) Σα ⊂ (−∞, 0), nghiệm tầm thường phương trình (2.1) ổn định tiệm cận 2.2 Cấu trúc phổ Lyapunov phân thứ nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị không gian Euclide Rd Trong phần này, mô tả cấu trúc tập số mũ Lyapunov phân thứ nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị không gian pha (2.1) Kí hiệu mặt cầu đơn vị Rd Sd−1 := {x ∈ Rd x = 1} định nghĩa Λα := χα (ϕ(·, x0 )) : x0 ∈ Sd−1 Ngoài ra, tập số mũ Lyapunov phân thứ âm (2.1) khác rỗng, đặt a = inf{χα (ϕ(·, x)) : x ∈ S ∩ Sd−1 }, b = sup{χα (ϕ(·, x)) : x ∈ S ∩ Sd−1 } Kết sau cấu trúc tập Λα Định lý 2.5 (Phổ Lyapunov phân thứ nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị) Tập số mũ Lyapunov phân thứ nghiệm xuất phát từ mặt cầu đơn vị Sd−1 phương trình (2.1) mơ tả sau: Λα = [a, b] ∪ {λ1 , , λj }, S = ∅, {λ1 , , λj }, trường hợp ngược lại, S, λ1 , , λj , định nghĩa Định lí 2.3 2.3 Số mũ Lyapunov phân thứ nghiệm phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số hằng hai chiều Trong phần này, tính tường minh số mũ Lyapunov phân thứ tất nghiệm khơng tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính hệ số 2–chiều tùy ý: C α D0+ x(t) = Ax(t), (2.6) ma trận hệ số A ∈ R2×2 dạng sau: λ 0 γ , λ λ , r cos ψ −r sin ψ r sin ψ r cos ψ Để tiện cho việc tính tốn, trang bị R2 chuẩn max · , tức x = max{|x1 |, |x2 |} với x = (x1 , x2 )T ∈ R2 quy ước a0 = ∞ với a dương tùy ý Định lý 2.6 (Số mũ Lyapunov phân thứ phương trình hai chiều tuyến tính hệ số hằng) Cho ϕ(·, x) nghiệm toán giá trị ban đầu (2.6), x(0) = x = (x1 , x2 )T ∈ R2 \ {0} Khi đó, khẳng định sau (i) Giả sử A = λ 0 γ , với λ ≥ γ Chúng ta có, χα (ϕ(·, x)) =  γ,      γ  ,  |x2 |      λ, λ ,  |x1 |      λ,       max x1 = 0, γ ≥ 0, x1 = 0, γ < 0, x2 = 0, λ ≥ 0, x2 = 0, λ < 0, x1 x2 = 0, λ ≥ 0, λ , γ |x1 | |x2 | x1 x2 = 0, λ < (ii) Nếu A = λ λ , λ ∈ R, χα (ϕ(·, x)) = (iii) Nếu A =   λ,       max λ  ,  |x1 |      max r cos ψ −r sin ψ r sin ψ r cos ψ λ ≥ 0, λ , −λ |x2 | |x2 | , x1 = 0, λ < 0, x2 = 0, λ < 0, −λ2 , λ |x2 −λx1 | |x2 | x1 x2 = 0, λ < , với r ∈ R>0 ψ ∈ [−π, π),   r cos ψα     0, χα (ϕ(·, x)) =      −r, ω α , απ , απ , |ψ| = απ |ψ| > , |ψ| < ω := max{|x1 cos ψ + x2 sin ψ|, |x2 cos ψ − x1 sin ψ|} Chương Tính ổn định phương trình vi phân phân thứ 3.1 Đặt toán Ở Chương 2, tìm hiểu dáng điệu tiệm cận cho nghiệm gần điểm gốc phương trình phân thứ tuyến tính hệ số biến thiên Tuy nhiên thực tế, người ta hay gặp phương trình phi tuyến tuyến tính Vì vậy, chương dành để thảo luận phương trình phi tuyến Cụ thể, xét phương trình vi phân phân thứ Caputo xác định R≥0 : C α D0+ x(t) = F (x(t)) (3.1) với cấp phân thứ α thỏa mãn α ∈ (0, 1) F : Rd → Rd hàm phi tuyến Một toán lý thuyết định tính cho phương trình phi tuyến nghiên cứu tính ổn định (3.1) Để giải toán này, gợi mở hai phương pháp đề xuất Lyapunov cho phương trình vi phân thường (cấp phân thứ α = 1), người ta thường sử dụng hai cách tiếp cận sau Phương pháp tuyến tính hóa: giả sử x∗ ∈ Rd trạng thái cân F , tức F (x∗ ) = Nếu F đủ trơn, tuyến tính hóa x∗ nghiên cứu phương trình tuyền tính hóa thu từ (3.1) α D0+ x(t) = DF (x∗ )(x − x∗ ) C (3.2) Từ tính chất ổn định nghiệm x∗ phương trình (3.2), người ta dự đốn tính chất tương tự nghiệm (3.1) Cách làm có điểm hợp lý thật phương trình (3.1) xem mơ hình nhiễu địa phương bậc cao (3.2) lân cận điểm cân xét Do đó, với giả thiết đủ tốt độ trơn F , với điều kiện đầu, dáng điệu nghiệm tương ứng hai phương trình nói phải khác khơng nhiều Phương pháp hàm Lyapunov : ý tưởng chủ đạo phương pháp tìm hàm V : Ω ⊂ Rd → R≥0 , Ω tập mở, bị chặn chứa x∗ có tính chất: (i) V (x∗ ) = 0, V (x) > 0, ∀x ∈ Ω \ {x∗ }; (ii) đạo hàm 1≤k≤d ∂V (x) Fk (x) ∂xk dọc theo hướng trường vectơ F âm Ω\{x∗ } Người ta gọi V hàm Lyapunov (3.1) Nếu xây dựng hàm Lyapunov, dáng điệu tiệm cận nghiệm (3.1) xuất phát gần x∗ mô tả đầy đủ Một ví dụ mà hàm Lyapunov (cho phương trình vi phân thường) tương đối dễ tìm hệ Cơ học, Điện tử, xem Smale (1974) Trong hệ này, lượng hàm Fk (x) dọc theo trường Lyapunov điều kiện xác định âm đạo hàm 1≤k≤d ∂V∂x(x) k vectơ tiếp xúc phản ánh tiêu hao lượng dọc quỹ đạo có thời điểm bắt đầu nằm Ω \ {x∗ } Đã có nhiều cơng bố phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ, xem C Li F Zhang (2011) tài liệu tham khảo Tuy nhiên, theo quan điểm chúng tơi, phương pháp khơng đủ tốt để áp dụng cho phương trình phân thứ Nguyên nhân việc tìm hàm Lyapunov phân thứ thực tế q khó khăn, chí trường hợp đơn giản Trong đó, cơng trình sử dụng phương pháp tuyến tính hóa để nghiên cứu tính ổn định phương trình vi phân phân thứ E Ahmed cộng (2007) Sau đó, nhiều tác giả cố gắng chứng minh định lí lý thuyết tuyến tính hóa Chúng ta kể số tác giả tiêu biểu: X.J Wen cộng (2008), D Qian đồng (2010), L Chen đồng (2012), R Zhang đồng (2015) Bên cạnh việc nghiên cứu tính ổn định, giống phương trình vi phân thường lý thuyết điều khiển, tốn xác định tính khơng ổn định chủ đề quan trọng Những người quan tâm tới tính khơng ổn định phương trình vi phân phân thứ J Audounet, D Matignon G Montseny (2001) Trong chương này, sử dụng phương pháp tuyến tính hóa, thu định lí ổn định tuyến tính hóa khơng ổn định cho lớp phương trình vi phân phân thứ phi tuyến khơng phụ thuộc thời gian không gian hữu hạn chiều tùy ý Cụ thể, xét phương trình vi phân phân thứ Caputo cấp α ∈ (0, 1): C α D0+ x(t) = Ax(t) + f (x(t)), (3.3) t ∈ R≥0 , A ∈ Rd×d f : Rd → Rd hàm liên tục Lipschitz địa phương lân cận gốc thỏa mãn điều kiện: f (0) = lim r→0 f (r) = 0, (3.4) f (r) := sup x , y ≤r x=y f (x) − f (y) x−y (3.5) Vì f liên tục Lipschitz địa phương, toán giá trị ban đầu (3.3), x(0) = x0 ∈ Rd có nghiệm địa phương theo thời gian t Kí hiệu ϕ : I × Rd → Rd , t → ϕ(t, x0 ), nghiệm toán khoảng tồn cực đại I = [0, tmax (x0 )), < tmax (x0 ) ≤ ∞ Chúng ta nhắc lại khái niệm tính ổn định, khơng ổn định ổn định tiệm cận (3.3) Định nghĩa 3.1 Nghiệm tầm thường phương trình (3.3) gọi là: • ổn định với ε > 0, tồn số δ = δ(ε) > cho với x0 < δ, có tmax (x0 ) = ∞ ϕ(t, x0 ) ≤ ε, 10 ∀t ≥ 0; • khơng ổn định khơng thỏa mãn điều kiện ổn định; • hút tồn δ > cho limt→∞ ϕ(t, x0 ) = x0 < δ Nghiệm tầm thường (3.3) gọi ổn định tiệm cận thỏa mãn hai điều kiện ổn định hút Kết chương điều đủ để nghiệm tầm thường hệ (3.3) ổn định tiệm cận khơng ổn định 3.2 Các kết Giả sử {λ1 , , λm } tất giá trị riêng phân biệt ma trận A ∈ Rd×d Chúng ta định nghĩa phổ A tập σ(A) := {λ1 , , λm } Nếu σ(A) thỏa mãn điều kiện σ(A) ⊂ Λsα , (3.6) }, nói phổ A thỏa mãn điều Λsα = {λ ∈ C \ {0} : |arg(λ)| > απ kiện ổn định Trong trường hợp σ(A) thỏa mãn σ(A) ∩ Λuα = ∅ (3.7) }, nói phổ A thỏa mãn điều kiện với Λuα = {λ ∈ C \ {0} : |arg(λ)| < απ không ổn định Kết chương định lí sau Định lý 3.2 Xét phương trình (3.3) Giả sử f liên tục Lipschitz toàn cục thỏa mãn điều kiện (3.4) Khi đó: (i) phổ σ(A) thỏa mãn điều kiện ổn định (3.6), nghiệm tầm thường (3.3) ổn định tiệm cận; (ii) phổ σ(A) thỏa mãn điều kiện không ổn định (3.7), nghiệm tầm thường (3.3) khơng ổn định Nếu thay giả thiết hàm f liên tục Lipschitz toàn cục giả thiết f liên tục Lipschitz địa phương quanh điểm gốc, thu phiên mạnh Định lí 3.2 sau Định lý 3.3 Xét phương trình (3.3) Giả sử f liên tục Lipschitz địa phương quanh điểm gốc thỏa mãn điều kiện (3.4) Khi đó: (i) phổ σ(A) thỏa mãn điều kiện ổn định (3.6), nghiệm tầm thường (3.3) ổn định tiệm cận; (ii) phổ σ(A) thỏa mãn điều kiện khơng ổn định (3.7), nghiệm tầm thường (3.3) không ổn định 11 Chương Đa tạp ổn định phương trình vi phân phân thứ 4.1 Đặt toán phát biểu kết Xét phương trình vi phân phân thứ cấp α ∈ (0, 1): C α D0+ x(t) = Ax(t) + f (x(t)), (4.1) A ∈ Rd×d f : Rd → Rd liên tục Lipschitz địa phương quanh lân cận gốc thỏa mãn f (0) = lim f (r) = (4.2) r→0 Trong Chương (xem Định lí 3.3), thu khẳng định sau: • σ(A) ⊂ {λ ∈ C \ {0} : |arg(λ)| > trình (4.1) ổn định tiệm cận; • σ(A) ∩ {λ ∈ C \ {0} : |arg(λ)| < trình (4.1) không ổn định απ }, απ } nghiệm tầm thường phương = ∅, nghiệm tầm thường phương Nói cách khác, dáng điệu tiệm cận cho nghiệm phương trình (4.1) xuất phát gần điểm cân phương trình tuyến tính hóa ổn định tiệm cận không ổn định Trong chương này, cách thêm vào giả thiết tính hyperbolic cho ma trận A, tức giả sử phổ σ(A) thỏa mãn σ(A) ⊂ Λsα ∪ Λuα , σ(A) ∩ Λuα = ∅, (4.3) nhắc lại Λsα = {λ ∈ C \ {0} : |arg(λ)| > απ } Λuα = {λ ∈ C \ {0} : |arg(λ)| < απ } Chúng ta mô tả cấu trúc nghiệm hội tụ hệ (4.1) Cụ thể, chứng minh tồn cấu trúc đối tượng sau Định nghĩa 4.1 Cho U ⊆ Rd lân cận tùy ý điểm gốc Đa tạp ổn định (4.1) U định nghĩa W s (U ) := x ∈ U : ϕ(t, x) ∈ U với t ∈ R≥0 lim ϕ(t, x) = , t→∞ ϕ(·, x) nghiệm (4.1) thỏa mãn điều kiện đầu ϕ(0, x) = x 12 Kết chương định lí sau Định lý 4.2 (Định lí đa tạp ổn định cho phương trình vi phân phân thứ) Xét phương trình (4.1) Giả sử A hyperbolic f hàm liên tục Lipschitz địa phương lân cận gốc, thỏa mãn điều kiện (4.2) Khi đó, tồn r > cho đa tạp ổn định địa phương W s (BRd (0, r)) (4.1) đồ thị hàm liên tục Lipschitz g : BRds (0, r) → BRdu (0, r) thỏa mãn tính chất sau: (i) g(0) = 0; (ii) ánh xạ g liên tục Lipschitz 4.2 Phác thảo chứng minh kết Chứng minh kết 4.2 thực thơng qua ba bước: • Bước 1: Làm nhỏ đường chéo phụ dạng chuẩn Jordan • Bước 2: Xây dựng tốn tử Lyapunov–Perron • Bước 3: Mơ tả cấu trúc đa tạp ổn định 4.2.1 Làm nhỏ đường chéo phụ dạng chuẩn Jordan ˆ1, , λ ˆ m tất giá trị riêng phân biệt A Chúng ta tìm Giả sử λ ma trận khơng suy biến T ∈ Cd×d chuyển A thành dạng Jordan, tức là, T −1 AT = diag(A1 , , An ), với i = 1, , n, khối Ai có dạng Ai = λi iddi ×di + ηi Ndi ×di , ˆ1, , λ ˆ m }, ma ηi ∈ {0, 1}, λi ∈ {λ   0   Ndi ×di :=    0 0 trận lũy linh Ndi ×di có biểu diễn        0 d ×d i i Đánh số lại giá trị riêng A λi , i = 1, , n, cho tồn số k ∈ {1, , n} thỏa mãn απ < |arg(λk+1 )|, , |arg(λn )| |arg(λ1 )|, , |arg(λk )| < Cho trước số dương γ nhỏ tùy ý Đặt Pi := diag(1, γ, , γ di −1 ), i = 1, , n, có Pi−1 Ai Pi = λi iddi ×di + γi Ndi ×di , 13 γi ∈ {0, γ} Từ đây, lấy P := diag(P1 , , Pn ) sử dụng phép đổi biến y := (T P )−1 x, phương trình (4.1) trở thành C α D0+ x(t) = diag(J1 , , Jn )x(t) + h(x(t)), (4.4) với Ji := λi iddi ×di , i = 1, , n hàm h định nghĩa h(x) := diag(γ1 Nd1 ×d1 , , γn Ndn ×dn )x + (T P )−1 f (T P x) (4.5) Chú ý 4.3 Sự tồn đa tạp ổn định hệ (4.4) kéo theo tồn đa tạp ổn định hệ (4.1) Do đó, từ xét hệ (4.4) 4.2.2 Xây dựng toán tử Lyapunov–Perron s Cho trước vectơ xs = (xk+1 , , xn )T ∈ Cd = Cdk+1 × · · · × Cdn tùy ý, tốn tử Txs : C∞ (R≥0 ; Cd ) → C(R≥0 ; Cd ) định nghĩa Txs ξ(t) = ((Txs ξ)1 (t), , (Txs ξ)n (t))T , t (t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α Ji )hi (ξ(τ )) dτ (Txs ξ)i (t) = − λiα −1 ∞ Eα (tα Ji ) exp (−λiα τ )hi (ξ(τ )) dτ với i = 1, , k t i α i (t − τ )α−1 Eα,α ((t − τ )α Ji )hi (ξ(τ )) dτ (Txs ξ) (t) = Eα (t Ji )x + với i = k + 1, , n, gọi tốn tử Lyapunov–Perron phù hợp với phương trình (4.4) 4.2.3 Mô tả cấu trúc đa tạp ổn định Bước then chốt trình chứng minh tồn đa tạp ổn định (4.4) ước lượng tốn tử Lyapunov–Perron Dựa vào tính chất hàm Mittag-Leffler, có kết sau ¯ phụ thuộc Mệnh đề 4.4 Xét phương trình (4.4) Khi đó, tồn số C(α, λ) ¯ ¯ vào α, λ := (λ1 , , λn ) số εˆ > đủ nhỏ độc lập với C(α, λ) cho đánh giá sau T xs ξ − T xs ξ ∞ ≤ max sup |Eα (λi tα )| xs − xs k+1≤i≤n t≥0 ¯ + C(α, λ) h (max( ξ ∞, ξ ∞ )) ξ−ξ ∞ (4.6) s với xs , xs ∈ Rd ξ, ξ ∈ BC∞ (0, εˆ) Do đó, BC∞ (0, εˆ) tốn tử Txs đặt chỉnh thỏa mãn T xs ξ − T xs ξ ∞ ¯ ≤ C(α, λ) h (max{ 14 ξ ∞, ξ ∞ }) ξ−ξ ∞ (4.7) ¯ Mệnh đề Theo kết trình bày trên, thấy số C(α, λ) 4.4 độc lập với tham số γ Do đó, từ cho γ nhận giá trị γ := ¯ 3C(α, λ) Với giá trị γ, tồn hình cầu có tâm gốc bán kính đủ nhỏ không gian C∞ (R≥0 ; Cd ) để toán tử Lyapunov–Perron phù hợp với (4.1) co Mệnh đề 4.5 Xét phương trình (4.4) Những khẳng định sau (i) Tồn r∗ ∈ (0, εˆ) cho ¯ C(α, λ) h (r ∗ )≤ , (4.8) εˆ tham số cho trước chọn Mệnh đề 4.4 (ii) Cố định r∗ > thỏa mãn (4.8) chọn r := r∗ maxk+1≤i≤n supt≥0 |Eα (λi tα )| (4.9) Định nghĩa BC∞ (0, r∗ ) := {ξ ∈ C∞ (R≥0 ; Cd ) : ||ξ||∞ ≤ r∗ } Khi đó, với xs ∈ BCds (0, r), có Txs (BC∞ (0, r∗ )) ⊂ BC∞ (0, r∗ ) T xs ξ − T xs ξ ∞ ≤ ξ−ξ ∞, ∀ξ, ξ ∈ BC ∞ (0, r∗ ) Tiếp theo, thiết lập tương ứng 1–1 điểm nằm đa tạp ổn định địa phương phương trình (4.4) điểm bất động tốn tử Lyapunov–Perron Mệnh đề 4.6 Với x = (xu , xs )T ∈ Cd , kí hiệu ϕnew (·, x) nghiệm toán giá trị đầu (4.4), x(0) = x Khi đó, phát biểu sau s (i) Nếu x ∈ Wnew (U ), ϕnew (·, x) điểm bất động Txs (ii) Giả sử ξ(t) = (ξ u (t), ξ s (t))T điểm bất động Txs thỏa mãn ξ ∞ ≤ r∗ , s xs ∈ Cd r∗ thỏa mãn (4.8) Khi đó, ξ(t) nghiệm (4.4) limt→∞ ξ(t) = Sử dụng Mệnh đề 4.4, Mệnh đề 4.5 Mệnh đề 4.6 mô tả cấu trúc đa tạp ổn định hệ (4.4) Từ nhận xét 4.3, thu chứng minh Định lí 4.2 15 Kết luận Trong luận án này, thu kết sau Chứng minh số mũ Lyapunov cổ điển cho nghiệm không tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính với hệ số liên tục bị chặn ln khơng âm Do đó, số mũ Lyapunov cổ điển khơng thích hợp để đặc trưng tính ổn định nghiệm phương trình vi phân phân thứ Xây dựng kiểu số mũ Lyapunov phù hợp cho phương trình vi phân phân thứ sử dụng để đặc trưng cho tính ổn định nghiệm phương trình vi phân tuyến tính hệ số biến thiên Sử dụng phương pháp tuyến tính hóa để chứng minh định lí tính ổn định tiệm cận, không ổn định cho điểm cân phương trình vi phân phân thứ khơng phụ thuộc thời gian không gian Euclide hữu hạn chiều Chứng minh tồn đa tạp ổn định gần điểm cân hyperbolic cho phương trình vi phân phân thứ phi tuyến không gian Euclide hữu hạn chiều tùy ý 16 Cơng trình liên quan đến luận án [1] N.D Cong, T.S Doan and H.T Tuan On fractional Lyapunov exponent for solutions of linear fractional differential equations Fract Calc Appl Anal., 17 (2014), no 2, 285–306 [2] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund and H.T Tuan On stable manifolds for planar fractional differential equations Applied Mathematics and Computation, 226 (2014), 157–168 [3] N.D Cong, T.S Doan, H.T Tuan and S Siegmund Structure of the fractional Lyapunov spectrum for linear fractional differential equations Adv Dyn Syst Appl., (2014), no 2, 149–159 [4] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund, H.T Tuan Linearized asymptotic stability for fractional differential equations Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, 39 (2016), 1–13 [5] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund and H.T Tuan On stable manifold for fractional differential equations in high-dimensional space Nonlinear Dynamics, 86 (2016), 1885–1894 [6] N.D Cong, T.S Doan, S Siegmund, H Tuan An instability theorem of nonlinear fractional differential systems To appear in Discrete and Continuous Dynamical Systems, Series B Các kết liên quan đến luận án tác giả báo cáo Seminar Phòng Phương trình vi phân, Viện Tốn học Hội nghị nghiên cứu sinh năm Viện Toán học (10/2014, 10/2015, 10/2016) 17 ... phương trình vi phân phân thứ, đặc biệt phương trình hệ số hằng, công cụ sử dụng phổ biến công thức biến thiên số Công thức cầu nối nghiệm phương trình khơng với phương trình tuyến tính hệ số liên... d-chiều phương trình vi phân phân thứ tuyến tính Như ví dụ minh họa, phần cuối chương tính tường minh số mũ Lyapunov phân thứ cho nghiệm không tầm thường phương trình vi phân phân thứ tuyến tính. .. thuyết phương trình vi phân phân thứ giống hàm mũ xuất lý thuyết phương trình vi phân thường, vi c nghiên cứu tính chất cho nhiều thơng tin dáng điệu nghiệm phương trình vi phân phân thứ Sau