MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH LƯỢNG TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN TS. LÊ HỒNG LAN Bộ môn Toán giải tích Khoa Khoa học Cơ bản Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Trong bài báo này, tác giả đưa ra một phương pháp tìm nghiệm gần đúng bậc cao của một lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên phi tuyến có nhiều ứng dụng trong hệ động lực, vật lý, điều khiển, cơ học, Summary: In this paper, the author proposes a method to solve approximately a class of nonlinear differential equations that has many applications in dynamical system, physics, cybernetics, mechanics,… with the high - grade accuracy solution. I. ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình vi phân nói chung, không giải được, ngay cả đối với dạng tuyến tính, dạng tiền định hay ngẫu nhiên. Vì vậy việc tìm lời giải gần đúng (tốt nhất có thể) của phương trình, đặc biệt lời giải của các bài toán có nhiều ứng dụng thực tiễn được mô tả bởi phương trình vi phân là một lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của toán học, với kết quả phải tiến bộ không ngừng. CT 2 II. NỘI DUNG Xét hệ phương trình phi tuyến: )(),(),( 2 2 1 2 txxfxxfxx ξεσεεω & &&&& ++=+ (1) Trong đó, σ ω , là các hằng số dương, ε là tham số bé, còn và là các hàm phi tuyến theo 1 f 2 f x và , là kích động ngẫu nhiên. x & )(t ξ & Nghiệm của hệ (1) sẽ được tìm bằng cách sử dụng phép biến đổi: ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ += ∂ ∂ + ∂ ∂ +−= ++= θωϕ εεϕω ϕεϕεϕ t t u t u ax auauax ,sin ),,(),(cos 2 2 1 2 2 1 & (2) Phương trình vi phân Ito có dạng: ⎩ ⎨ ⎧ += += )(),(),( ),(),(),( tdadtad tdadtada ξϕγϕμθ ξϕβϕα (3) với β α , , μ và γ là các hàm cần tìm của a và ϕ . Vi phân (2) theo t bằng cách sử dụng quy tắc vi phân Ito, ta nhận được: )cos)((sin 2 2 121 2 2 1 + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++++ ∂ ∂ + ∂ ∂ +−= dtuuall t u t u adx εεϕεεϕω (4) ),()cos( 2 2 13 tduual ξεεϕ +++ + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ∂ ∂ + ∂ ∂ +−++ ∂ ∂ + ∂ ∂ +−= dt t u t u all t u t u axd )cos)((cos 2 2 1 21 2 2 2 2 2 1 2 2 εεϕωεεϕω & )()sin( 2 2 1 3 td t u t u al ξεεϕω ∂ ∂ + ∂ ∂ +−+ (5) Ở đây: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ = α γβ α γ ϕ βγβ α μα a l a a l a l 3 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 (6) CT 2 Phương trình (1) có thể được xét như hệ sau đây của phương trình vi phân ngẫu nhiên : ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ +−+= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ +−== )()( sin 2 2 2 1 2 2 1 tddtxffxd dt t u t u adtxdx ξεσωεε εεϕω & & (7) Từ (4), (5), (7) ta có: ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ +++= ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ +−+ =++ =+++ ),(),(),(cos)( 0)cos( 0)cos)(( 4 3 3 2 2 1 2 2 1 21 2 2 13 2 2 121 εϕεϕεϕεεεϕω εεϕ εεϕ aFaFaF t u t u all uual uuall (8) Trong đó: ,),(:),( 2 1 2 1 2 11 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +−= ϕ ωϕϕ u uafaF (9) ,),(:),( 2 2 2 2 2 22 ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +−= ϕ ωϕϕ u uagaF (10) ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ += ϕ ωϕϕ 1 1 1 1 1 22 ),(:),( u u x f u x f afag & (11) + ∂ ∂ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ = 2 1 2 2 1 2 1 2 2 1 21 2 1 3 2 1 2 1 ),( x fu x f u u x f u x f aF & ϕ ω ϕ ωϕ ϕ ω ϕ ω ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂∂ ∂ ∂ ∂ + 12 1 21 2 1 u x f u x f xx fu && (12) Hàm ),( 1 ϕ au được xác định bởi phương trình 0),( 2 1 2 1 2 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ +− ϕ ωϕ u uaf (13) Do đó: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ + − += ∑ ∞ =2 11 2 1 2 1 ]coscossinsin[ 1 1 2),( 1 ),( n nnfnnf n afau ϕϕϕϕϕ ω ϕ (14) Chuỗi Fourier của ),( 2 ϕ ag có dạng: +++= ϕϕϕϕϕϕ sin)sin2cos)cos2),(),( 2222 ggagag CT 2 ∑ ∞ = ++ 2 22 ]sinsin2coscos2[2 n nngnng ϕϕϕϕ (15) Hàm ),( 2 ϕ au xác định bởi điều kiện: ∑ ∞ = + − += ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + 2 22 2 2 2 2 2 2 2 ]sinsin2coscos2[ 1 1 2),( n nngnng n ag u u ϕϕϕϕϕ ϕ ω (16) Từ (16) suy ra rằng: ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ ++= ∑ ∞ =2 222 2 2 ]sinsincoscos[2),( 1 ),( n nngnngagau ϕϕϕϕϕ ω ϕ (17) Như vậy, hàm ),( 2 ϕ aF trong (10) được quy về dạng: ϕϕϕϕϕ sinsin2coscos2),( 222 ggaF += (18) Từ (6) và (8) ta nhận được hệ phương trình với các hàm phải tìm của β α , , μ và γ : ,0sincos 2 2 12 2 1 = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ +−+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + γ ϕ ε ϕ εϕβεεϕ uu a a u a u (19.1) εσγ ϕ ωε ϕ εωϕωβ ϕ ε ϕ εωϕω = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ +−+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ + ∂∂ ∂ +− 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 cossin uu a a u a u , (19.2) = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ +−+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ + μ ϕ ε ϕ εϕαεεϕ 2 2 12 2 1 sincos uu a a u a u (19.3) ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ ++= 2 1 2 2 2 2 1 2 2 2 1 4 2 2 32 2 22 sin2sin.sin 2 sin)sin1(cos 2 a uu a a u aa ϕ ω σ ϕ ϕϕ ω σ ϕ ω σ εϕϕ ω σε ,)sin21(cos 2 4 2 1 2 32 22 2 ε ϕ ϕϕ ω σ + ⎥ ⎦ ⎤ ∂ ∂ ++ u a = ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂ ∂ + ∂ ∂ +−+ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ∂∂ ∂ + ∂∂ ∂ +− μ ϕ ωε ϕ εωϕωα ϕ ε ϕ εωϕω 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 1 2 cossin uu a a u a u (19.4) ⎢ ⎣ ⎡ + ∂ ∂ − ∂ ∂ −+ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ += ϕ ϕ ω σ ϕϕ ω σ ϕεϕϕϕ ω σ ε 1 3 2 2 1 2 3 3 2 2 2 2 coscos2sin 2 ),(),(cossin 2 u a a u a aFaF a cossincos2sin 2 sincos 4 3 1 3 2 2 2 2 1 3 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 ε ϕ ϕ ω σ ϕ ϕ ω σ ϕ ϕϕ ω σ ϕ ϕϕ ω σ + ∂ ∂ − ∂∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂∂ ∂ + u aa uu a a u a Nghiệm của hệ (19) có dạng: +−= ϕ ω σ ϕ ω σε ϕα sincos 2 ),( 2 2 2 2 22 F a a + ∂ ∂ ⎩ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++++ a u a F 1 234 2 2 2 cossin2cossincos2( 2 cossin ϕϕϕϕϕ ω σ ϕϕ ω CT 2 − ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ++++ ϕ ϕϕϕϕ ω σ ω ϕ 1 22 22 2 2 2 )sincos1(cossin cos u a a F ⎢ ⎣ ⎡ +−− ∂ ∂ − )cossin2cossin3cossin2( 2 sincos 2323 2 2 2 1 2 2 2 2 ϕϕϕϕϕϕ ω σ ϕϕ ω σ aa u − ⎢ ⎣ ⎡ −−− ∂∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ + )cossin2cos3cossin2( 2 sin 2322 22 2 1 2 2 2 ϕϕϕϕϕ ω σ ϕ ϕ ω a a uF + ∂∂ ∂ + ∂∂ ∂ + ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ − 2 1 3 2 2 2 1 3 3 2 2 2 1 2 2 2sinsin 2 sincossin ϕ ϕϕ ω σ ϕ ϕ ω σ ϕ ϕϕ ω a u aa uu a F , sin cossin 4 3 3 1 3 2 22 2 ε ω ϕ ϕ ϕϕ ω σ + ⎭ ⎬ ⎫ − ∂ ∂ + F u a ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ − ∂ ∂ − ∂∂ ∂ − ∂ ∂ += 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2sin 2 1 sin 1 sin 1 sin),( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕω σ εϕ ω σ εϕβ u a u aa uu a a ,2sin 2 1 3 1 εϕ + ⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ + a u + ∂ ∂ ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −−+− −−−= ϕ ϕϕϕϕϕ ω σ ω ϕ ε ω ε ϕ ω σε ϕμ 1 2225 22 2 2 2 3 2 2 22 22 )cossincossin2sin2( 2 sin 2sin 2 ),( u a a F a F a a + ∂ ∂ − ∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −+++ 2 1 2 3 2 2 1 324 33 2 2 2 sin)cossin(sincos 2 2sin a u a u aa F ϕ ω σ ϕ ϕϕϕϕ ω σ ω ϕ + ∂∂ ∂ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −++++ ϕ ϕϕϕϕ ω σ ω ϕ a u a a F 1 2 43 22 2 2 )1cos2sin2sin3(cos 2 2 2sin + ∂ ∂ − ∂∂ ∂ − ∂∂ ∂ − 3 1 3 3 23 2 2 1 3 22 22 2 1 3 2 2 2 coscos2sin 2 sincos ϕ ϕ ω σ ϕ ϕϕ ω σε ϕ ϕϕ ω σ u aa u aa u a , cos 4 3 ε ω ϕ + ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + a F − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂∂ ∂ ⎜ ⎝ ⎛ + ∂ ∂ −−= 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 cos 2 2sin 2 2sin1 cos),( ϕω ϕ ϕ ω ϕ ϕω ϕ ω σεϕ ω σ εϕγ u a u a a u aa u aa a , cos 3 1 2 ε ω ϕ + ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ∂ ∂ − a u a (20) III. KẾT LUẬN CT 2 Hệ phương trình vi phân phi tuyến (1) có ứng dụng rộng rãi trong nhiều bài toán của hệ động lực, điều khiển, vật lý, … Nghiệm nhận được ở đây có độ chính xác cao trong đó có thể nghiên cứu đầy đủ ảnh hưởng của các hàm phi tuyến và mà với cách giải thông thường các tác động này bị bỏ qua. ),( 1 xxf & ),( 2 xxf & Bài báo được hoàn thành với sự giúp đỡ về chuyên môn và một phần kinh phí của chương trình nghiên cứu khoa học tự nhiên 121.304. Tài liệu tham khảo [1]. Mitropolskii Yu. A., Nguyen Van Dao, Nguyen Dong Anh, Nonlinear oscillations in the systems of arbitrary order. Kiev, 1992. [2]. Nguyen Dong Anh, Extend first order stochastic averaging method for a class of nonlinear systems, V. I. Math., 1993. [3]. R. Stratonovich, Topics in the Theory of Random Noise, V.1, Gordon and Breach, New York, 1963. [4]. R. Khasminskii, Averaging principle for the parabolic and elliptic diff .eqs. and Markovian processes with small diffusion, Theory Probability Appl. 9, 1963. [5]. Le Hong Lan, Second order approximate solution in the extended stochastic averaging method. VNU, Journal of Science, Mat. Sci., 2002♦ . MỘT SỐ VẤN ĐỀ ĐỊNH LƯỢNG TRONG HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN PHI TUYẾN TS. LÊ HỒNG LAN Bộ môn Toán giải tích Khoa Khoa học Cơ bản Trường Đại học Giao thông Vận tải Tóm tắt: Trong bài báo. ĐẶT VẤN ĐỀ Phương trình vi phân nói chung, không giải được, ngay cả đối với dạng tuyến tính, dạng tiền định hay ngẫu nhiên. Vì vậy vi c tìm lời giải gần đúng (tốt nhất có thể) của phương trình, . KẾT LUẬN CT 2 Hệ phương trình vi phân phi tuyến (1) có ứng dụng rộng rãi trong nhiều bài toán của hệ động lực, điều khiển, vật lý, … Nghiệm nhận được ở đây có độ chính xác cao trong đó có thể