Một số vấn đề về hình học giả euclide

MỤC LỤC Trang 1 LÝ DO CHỌN ĐỂ TÀI “Hĩnh học cao cấp” mảng kiến thức quan trọng xây dựng “Đại số tuyến tính” Bộ mơn Tốn, Khoa Sư phạm chọn làm mơn học thức để giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán, Toán - Tin Đây mơn học hay, thú vị, kích thích lịng say mê học nghiên cứu Tốn sinh viên Nhưng khn khổ chương trình quy định, thầy cô giới thiệu hết tất vấn đề hĩnh học cho sinh viên mà dạy kiến thức trọng tâm, làm tiền đề cho việc tự nghiên cứu sinh viên sau Do vậy, gợi ý Giáo viên hướng dẫn với yêu thích tim hiểu loại hĩnh học, mối liên hệ điểm giống khác chúng, em định chọn đề tài “Một số vấn đề hĩnh học giả Euclide” để thực luận văn tốt nghiệp minh MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận vãn với đề tài “Một số vấn đề Hĩnh học giả Euclide” nhàm làm rõ định nghĩa số tính chất khái niệm Hĩnh học giả Euclide Đồng thời, luận văn vào tim hiểu số bất biến Hĩnh học giả Euclide, mối liên hệ Hĩnh học giả Euclide với Hĩnh học Euclide với Hĩnh học xạ ảnh Ngoài ra, việc thực đề tài giúp em có dịp củng cố kiến thức Đại số tuyến tính, Hĩnh học Afin, Hĩnh học Euclide, Hĩnh học xạ ảnh bước đầu làm quen với việc nghiên cứu vấn đề Toán học PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU i- Đọc lại nắm vững vấn đề trọng tâm, Không gian vectơ, Hĩnh học Afin, Hĩnh học Euclide, Hĩnh học xạ ảnh i Phân tích kỹ định nghĩa tìm hiểu số tính chất khái niệm hĩnh học giả Euclide 4- Dựa vào số định lý, mệnh đề Hĩnh học Euclide, phân tích, so sánh để rút định lý, mệnh đề có liên quan đến khái niệm Hĩnh học giả Euclide Sau chứng minh lại cách đầy đủ, rõ ràng có hệ thống 4- Dựa vào cách xây dựng mô hĩnh xạ ảnh không gian Afin không gian Euclide để rút cách xây dựng mô hĩnh xạ ảnh khơng gian giả Euclide Trên cơsở đó, tim hiểu mối liên hệ Hĩnh học giả Euclide với Hĩnh học Euclide với Hĩnh học xạ ảnh PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu số khái niệm không gian vectơ giả Euclide, không gian giả Euclide n chiều số k thông qua tim hiểu lý thuyết tổng quát NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ị- Chương I: Trình bày định nghĩa tính chất tích vơ hướng, khơng gian vectơ giả Euclide n chiều số k, sở trực chuẩn tọa độ trực chuẩn, không gian con, phép biến đổi trực giao phép biến đổi đồng dạng nhàm tạo tảng kiến thức cho phần i- Chương II: Trình bày định nghĩa tính chất khơng gian giả Euclide n chiều số k, tọa độ trực chuẩn, khơng gian con, khoảng cách góc, phép dời hĩnh phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hĩnh xạ ảnh không gian giả Euclide; từ rút mối liên hệ hĩnh học giả Euclide hĩnh học xạ ảnh CHƯƠNG I: KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE 1.1 CÁC KHÁI NIỆM Cơ BẢN 1.1.1 Định nghĩa Cho không gian vectơ n chiều Vn trường số thực R Một ánh xạ: Vn X Vn —> R (ã,b) h->a*ố gọi tích vơ hướng thỏa mãn tiên đề sau: (Ei*) ã*b=b*ã ,Vấ,ồeFn (E2*) ã*(b+c) = ã*b+ã*c yấ,ĩ>,csv n (E3*) (Ẳã)*b = Ẳ.(ã*b) ,VA e R, Vấ,ồ e V n (E4*) Có n vectơ ã ị ụ = 1,») cho: ã ị *ãị >0 , với i < k ãị *ãị k ã ị * ãj = , vớii^j Khi đó, khơng gian vectơ Vn gọi khơng gian vectơ giả Euclide n chiều số k, ký hiệu vnk 1.1.2 Tính chất a) (ã + b)*c = ã*b +b*c ,Va,ồ,ceVnk Thật vậy: (£*) r (£2) r (£*) (ã + b)*c = c*(ã + b) = c*ã + c*b = ã*c + b*c b) ã*(Ẵb) = Ẵ.(ã*b) ,VĂ G R,vã,b G Vnk Thật vậy: _ (£1*) _ (£3*) ^ (£*) ã*(Ẳb) = (Àb)*ã = Ẳ(b*ã) = Ẳ.(ã*b) c) H*Õ = Õ*a = , Va G vk Thật vậy: r ( ¿*ị( ổ 7* ẩ ỉ) = 0, j = \ n i=l => kj (ãj *ãj) = 0, j = 1,77 (Vì ãj * 1; = , với i V j) => kj = 0, j = 1,77 (Vĩ ãj *ãj * 0) Vậy {«,}, độc lập tuyến tính Vnk Do hệ n vectơ {«,}, độc lập tuyến tính khơng gian vectơ n chiều V nk nên ta suy {ã t } r sở Vnk 1.1.3.2 Không gian vectơ giả Euclide n chiều sổ n khơng gian vectơ Euclide Thật :Xét vnn không gian vectơ giả Euclide n chiều số n Vĩ tích vơ hướng Y n thỏa tiên đề (El*), (E2*), (E3*) không gian vectơ giả Euclide nên thỏa tiên đề (El), (E2), (E3) khơng gian vectơ Euclide Do ta cần chứng minh tích vơ hướng vnn thỏa tiên đề (E4) không gian vectơ Euclide, tức n chứng minh Yx e Vn11 thi X * X > x * x = < í > x = Õ Theo câu a) ta có hệ {ajj— nêu tiên đề (E4*) sở Y n n thỏa dị*ãị>0(Vỉ = 1,») dị*ãj = 0, Vỉ'5É j Từ đó: Yx e Yn thi X có dạng: X = ^kịdị f với kị e R (Vỉ = \,rì) i= => X*X=(^k i d i )*(^k J d J ) = Ỷ4 k i- k Á ã i* ã ^ = i=1 ỳ=l i,j=1 Dấu “=” xảy i=1 *«;) * °- *ã,) = i=1 kị - 0, Vỉ' = l,n X = õ Vậy tích vơ hướng Y n n thỏa tiên đề (E4) nên Y n n khơng gian vectơ Euclide n chiều 1.1.4 Ví dụ a) Trường số phức c không gian vectơ giả Euclide chiều số với tích vơ hướng: X * ỷ = (a + ib) * (c + id) = ac-bd, X = a + ib eC, ỷ = c + id e c b) Không gian R4 không gian vectơ giả Euclide chiều số với tích vơ hướng: X = X *ỹ = (x ì ,x ,x ĩ ,x ậ )*(y ì ,y ,y ĩ ,y ậ ) = x ỉ y ỉ +x y +x y -x A y A , (*!,*2J*3, JC4) E R , ỹ = (y u y ,y ,y ) e R Khi R4 gọi khơng gian Minkowski hay không gian Không gian - Thời gian Người ta thường dùng mô hĩnh không gian nghiên cứu hĩnh học vũ trụ c) Không gian Rn không gian vectơ giả Euclide n chiều số k với tích vơ hướng: x*ỹ = Ỵ j x i y i - Xjyj, X = i-\ j=k+1 1.1.5 Module vectơ e Rn , ỹ = (y , ,y„)e Rn Ta định nghĩa module vectơ ũ số \ũ\ cho: \ũI = yjũ*ũ , ũ * ũ > \ũ\ = ỉyj-ũ*ũ , ũ *ũ < 0, i đơn vị ảo Trong hai trường họp, ta ký hiệu \ũ\ = yjũ*ũ Như module vectơ số thực dương, bàng số ảo Nhân xét : Vw eVnk, VA oe(l; +oo) Nhận thấy: hàm chx hàm số thực liên tục R nhận giá trị [l;+oo) nên với a e (l;+oo) tồn số thực cho: COSỘ3 = a = cho Mà cho = cos iO nên suy ra: COS (Ọ = COS i6 Do ta chọn

= cho => cos