Một số vấn đề về hình học giả Euclide

Một số vấn đề về hình học giả Euclide

MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 2 PHẦN NỘI DUNG 4 CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE .4 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .4 1.2. TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN 9 1.3. CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE 13 1.4. PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP .20 1.5. PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 25 1.6. PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG 32 CHƯƠNG II : KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 41 2.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN .41 2.2. CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE .43 2.3. PHÉP DỜI 45 2.4. PHÉP ĐỒNG DẠNG .48 2.5. SIÊU MẶT BẬC HAI – SIÊU CẦU TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE .52 2.6. MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE .56 PHẦN KẾT LUẬN 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO .65 Trang 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI “Hình học cao cấp” là mảng kiến thức quan trọng được xây dựng trên nền “Đại số tuyến tính” và đã được Bộ môn Toán, Khoa Sư phạm chọn làm các môn học chính thức để giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán, Toán – Tin. Đây là những môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng say mê học và nghiên cứu Toán của sinh viên. Nhưng trong khuôn khổ chương trình quy định, thầy cô không thể giới thiệu hết tất cả những vấn đề về hình học cho sinh viên mà chỉ dạy những kiến thức trọng tâm, cơ bản nhất làm tiền đề cho việc tự nghiên cứu của sinh viên sau này. Do vậy, được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn cùng với sự yêu thích tìm hiểu về các loại hình học, mối liên hệ cùng những điểm giống và khác nhau giữa chúng, em đã quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về hình học giả Euclide” để thực hiện luận văn tốt nghiệp của mình. 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Luận văn với đề tài “Một số vấn đề về Hình học giả Euclide” nhằm làm rõ định nghĩa và một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong Hình học giả Euclide. Đồng thời, luận văn đi vào tìm hiểu một số bất biến của Hình học giả Euclide, mối liên hệ giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ ảnh. Ngoài ra, việc thực hiện đề tài cũng giúp em có dịp củng cố những kiến thức về Đại số tuyến tính, Hình học Afin, Hình học Euclide, Hình học xạ ảnh và bước đầu làm quen với việc nghiên cứu các vấn đề mới của Toán học. 3. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU • Đọc lại và nắm vững những vấn đề trọng tâm, cơ bản của Không gian vectơ, Hình học Afin, Hình học Euclide, Hình học xạ ảnh. • Phân tích kỹ định nghĩa và tìm hiểu một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong hình học giả Euclide. • Dựa vào một số định lý, mệnh đề trong Hình học Euclide, phân tích, so sánh để rút ra các định lý, mệnh đề có liên quan đến các khái niệm trong Hình học giả Euclide. Sau đó chứng minh lại một cách đầy đủ, rõ ràng và có hệ thống. • Dựa vào cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Afin và không gian Euclide để rút ra cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide. Trên cơ sở đó, tìm Trang 2 hiểu mối liên hệ giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ ảnh. 4. PHẠM VI NGHIÊN CỨU Nghiên cứu một số khái niệm cơ bản trong không gian vectơ giả Euclide, không gian giả Euclide n chiều chỉ số k thông qua tìm hiểu lý thuyết tổng quát. 5. NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP • Chương I: Trình bày các định nghĩa và tính chất của tích vô hướng, không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, cơ sở trực chuẩn và tọa độ trực chuẩn, các không gian con, các phép biến đổi trực giao và các phép biến đổi đồng dạng nhằm tạo nền tảng kiến thức cho phần tiếp theo. • Chương II: Trình bày các định nghĩa và tính chất của không gian giả Euclide n chiều chỉ số k, tọa độ trực chuẩn, các không gian con, khoảng cách và góc, các phép dời hình và các phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide; từ đó rút ra mối liên hệ giữa hình học giả Euclide và hình học xạ ảnh. Trang 3 PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE 1.1. CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1. Định nghĩa Cho không gian vectơ n chiều V n trên trường số thực R. Một ánh xạ: V n × V n → R ( , ) *a b a b r r r r a được gọi là một tích vô hướng trên V n nếu nó thỏa mãn các tiên đề sau: (E 1 * ) * * , , n a b b a a b V = ∀ ∈ r r r r r r . (E 2 * ) *( ) * * , , , n a b c a b a c a b c V + = + ∀ ∈ r r r r r r r r r r . (E 3 * ) ( )* .( * ) , , , n a b a b R a b V λ λ λ = ∀ ∈ ∀ ∈ r r r r r r . (E 4 * ) Có n vectơ ( 1, ) i a i n = r sao cho: * 0 i i a a > r r , với i ≤ k. * 0 i i a a < r r , với i > k. * 0 i j a a = r r , với i ≠ j. Khi đó, không gian vectơ V n được gọi là không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, ký hiệu là V n k . 1.1.2. Tính chất a) k n ( )* * * , , , Va b c a b b c a b c + = + ∀ ∈ r r r r r r r r r r . Thật vậy: * * * 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( )* *( ) * * * * E E E a b c c a b c a c b a c b c + = + = + = + r r r r r r r r r r r r r r b) k n *( ) .( * ) , , , Va b a b R a b λ λ λ = ∀ ∈ ∀ ∈ r r r r r r . Thật vậy: * * * 3 1 1 ( )( ) ( ) *( ) ( )* ( * ) .( * ) EE E a b b a b a a b λ λ λ λ = = = r r r r r r r r c) k n *0 0* 0 , Va a a = = ∀ ∈ r r r r r . Thật vậy: Trang 4 * 3 ( ) 0* (0. )* 0.( * ) 0 E a b a b a = = = r r r r r r , với k n Vb ∈ r . ) *0 *(0. ) 0.( * ) 0 Do b a a b a b = = = r r r r r r , với k n Vb ∈ r d) k n ( )* * * , , , Va b c a c b c a b c − = − ∀ ∈ r r r r r r r r r r . Thật vậy: * 3 ( ) ) ( )* ( ( ))* * ( )* * * E Do b a b c a b c a c b c a c b c − = + − = + − = − r r r r r r r r r r r r r r e) k n *( ) * * , , , Va b c a b a c a b c − = − ∀ ∈ r r r r r r r r r r . Thật vậy: * * 1 1 ( ) ( ) ) *( ) ( )* * * * * E E Do d a b c b c a b a c a a b a c − = − = − = − r r r r r r r r r r r r r r 1.1.3. Nhận xét 1.1.3.1. n vectơ 1, { } i n a r nói trong tiên đề (E 4 * ) là cơ sở của V n k . Thật vậy: Từ (E 4 * ) ta suy ra 0, 1, . i a i n ≠ ∀ = r r (Vì nếu ∃i sao cho 0 i a = r r thì ta có * 0 i i a a = r r , mâu thuẫn với tiên đề (E 4 * )) Xét: 1 0. n i i i k a = = ∑ r r Nhân vô hướng hai vế với ( 1, ) j a j n = r , ta được: 1 *( ) 0, 1, . n j i i i a k a j n = = = ∑ r r 1 ( * ) 0, 1, . n i j i i k a a j n = ⇒ = = ∑ r r ( * ) 0, 1, . j j j k a a j n ⇒ = = r r (Vì * 0 j i a a = r r , với i ≠ j) 0, 1, . j k j n ⇒ = = (Vì * 0 j j a a ≠ r r ) Vậy 1, { } i n a r độc lập tuyến tính trong V n k . Do hệ n vectơ 1, { } i n a r độc lập tuyến tính trong không gian vectơ n chiều V n k nên ta suy ra 1, { } i n a r là cơ sở của V n k . 1.1.3.2. Không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n chính là không gian vectơ Euclide. Thật vậy: Trang 5 Xét V n n là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n. Vì tích vô hướng trên V n n thỏa các tiên đề (E 1 * ), (E 2 * ), (E 3 * ) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (E 1 ), (E 2 ), (E 3 ) của không gian vectơ Euclide. Do đó ta chỉ cần chứng minh tích vô hướng trên V n n thỏa tiên đề (E 4 ) của không gian vectơ Euclide, tức là chứng minh x ∀ r ∈ V n n thì * 0x x ≥ r r và * 0 0x x x = ⇔ = r r r r . Theo câu a) ta có hệ 1, { } i n a r nêu trong tiên đề (E 4 * ) là cơ sở của V n n thỏa * 0 ( 1, ) i i a a i n > ∀ = r r và * 0, . i j a a i j = ∀ ≠ r r Từ đó: x ∀ r ∈ V n n thì x r có dạng: 1 n i i i x k a = = ∑ r r , với k i ∈ R ( 1, )i n ∀ = . 2 1 1 , 1 1 * ( )*( ) . ( * ) ( * ) 0. n n n n i i j j i j i j i i i i j i j i x x k a k a k k a a k a a = = = = ⇒ = = = ≥ ∑ ∑ ∑ ∑ r r r r r r r r Dấu “=” xảy ra 2 1 ( * ) 0 n i i i i k a a = ⇔ = ∑ r r 0, 1, i k i n ⇔ = ∀ = 0x ⇔ = r r Vậy tích vô hướng trên V n n thỏa tiên đề (E 4 ) nên V n n là không gian vectơ Euclide n chiều. 1.1.4. Ví dụ a) Trường các số phức C là một không gian vectơ giả Euclide 2 chiều chỉ số 1 với tích vô hướng: * ( )*( )x y a ib c id ac bd = + + = − r r , trong đó x a ib C = + ∈ r , y c id C= + ∈ r . b) Không gian R 4 là một không gian vectơ giả Euclide 4 chiều chỉ số 3 với tích vô hướng: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 2 3 3 4 4 * ( , , , )*( , , , )x y x x x x y y y y x y x y x y x y = = + + − r r , trong đó 4 1 2 3 4 ( , , , ) Rx x x x x = ∈ r , 4 1 2 3 4 ( , , , ) Ry y y y y= ∈ r . Khi đó R 4 được gọi là không gian Minkowski hay không gian Không gian – Thời gian. Người ta thường dùng mô hình không gian này khi nghiên cứu về hình học vũ trụ. c) Không gian R n là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k với tích vô hướng: 1 1 * k n i i j j i j k x y x y x y = = + = − ∑ ∑ r r , trong đó n 1 ( , ., ) R n x x x = ∈ r , n 1 ( , ., ) R n y y y= ∈ r . 1.1.5. Module của vectơ Ta định nghĩa module của vectơ u r là số u r sao cho: Trang 6 *u u u = r r r , nếu * 0u u ≥ r r *u i u u = − r r r , nếu * 0u u < r r , trong đó i là đơn vị ảo. Trong cả hai trường hợp, ta đều ký hiệu *u u u = r r r . Như vậy module của một vectơ có thể là một số thực dương, bằng 0 hoặc một số thuần ảo. Nhận xét: u ∀ r ∈V n k , λ ∀ ∈R thì: 2 ( )*( ) ( * ) .u u u u u u λ λ λ λ λ = = = r r r r r r . Vectơ u r được gọi là vectơ đơn vị nếu 1u = r hoặc u i = r . 1.1.6. Góc giữa hai vectơ trong không gian vectơ giả Euclide 1.1.6.1. Định nghĩa Cho hai vectơ a r và b r thỏa 0a ≠ r , 0b ≠ r . Số phức ϕ xác định bởi công thức: * cos . a b a b ϕ = r r r r (1) được gọi là số đo góc của hai vectơ a r và b r . Ký hiệu: ( , )a b ϕ r r . Từ công thức (1), ta suy ra cos ϕ có thể là số thực hoặc là số thuần ảo. Ta có các trường hợp:  Trường hợp 1: cos ϕ là số thực. Ta xét: • 1 cos 1 ϕ − ≤ ≤ : Khi đó ϕ là số thực và ta quy ước chọn ϕ ∈ [0,π]. • cos 1 ϕ > : Khi đó ta đặt: cosa ϕ = (1; )a⇒ ∈ +∞ . Nhận thấy: hàm chx là một hàm số thực liên tục trên R và nhận giá trị trên [1;+∞) nên với (1; )a∈ +∞ thì tồn tại số thực θ sao cho: cos a ch ϕ θ = = . Mà cosch i θ θ = nên suy ra: cos cosi ϕ θ = . Do đó ta chọn i ϕ θ = và nhận thấy trong trường hợp này ϕ là số thuần ảo. • cos 1 ϕ < − : Khi đó cos 1 ϕ − > Do đó tương tự như trên ta có: tồn tại số thực θ sao cho: cos ch ϕ θ − = . cos cos cos( ).ch i i ϕ θ θ π θ ⇒ = − = − = − Ta chọn i ϕ π θ = − và nhận thấy trong trường hợp này ϕ là số phức.  Trường hợp 2: cos ϕ là số thuần ảo. Lúc này ta có thể viết: cos ib ϕ = , với b ∈R. Nhận thấy: hàm shx là một hàm số thực liên tục và nhận giá trị trên R nên với b ∈R thì tồn tại số thực θ sao cho: b sh θ = . cos sin cos( ). 2 ib ish i i π ϕ θ θ θ ⇒ = = = = − Trang 7 Do đó ta chọn 2 i π ϕ θ = − và nhận thấy trong trường hợp này ϕ là số phức. Vậy: Trong không gian vectơ giả Euclide, ngoài các góc có số đo thực còn có các góc có số đo thuần ảo hay phức với phần thực là π hoặc 2 π . 1.1.6.2. Tính chất i) ( , ) ( , )a b b a ϕ ϕ = r r r r . Thật vậy: * * cos ( , ) cos ( , ) . . a b b a a b b a a b b a ϕ ϕ = = = r r r r r r r r r r r r ( , ) ( , )a b b a ϕ ϕ ⇒ = r r r r . ii) Với p, q ∈ R thì: ( , ), 0. ( , ) ( , ), 0. a b pq pa qb a b pq ϕ ϕ π ϕ  >  =  − <   r r r r r r Thật vậy: ( )*( ) ( * ) cos ( , ) .cos ( , ) . . pa qb pq a b pq pa qb a b pq pa qb pq a b ϕ ϕ = = = r r r r r r r r r r r r Do đó: + Nếu pq > 0 thì: cos ( , ) cos ( , )pa qb a b ϕ ϕ = r r r r ( , ) ( , ).pa qb a b ϕ ϕ ⇒ = r r r r + Nếu pq < 0 thì: cos ( , ) cos ( , ) cos( ( , ))pa qb a b a b ϕ ϕ π ϕ = − = − r r r r r r ( , ) ( , )pa qb a b ϕ π ϕ ⇒ = − r r r r . iii) a r cùng phương với b r cos ( , ) 1a b ϕ ⇔ = r r Thật vậy: a r cùng phương với b r a pb ⇔ = r r , với p∈R. 2 * ( )* * cos ( , ) . . . a b pb b p b b p a b p p a b pb b b ϕ ⇔ = = = = r r r r r r r r r r r r r cos ( , ) 1a b ϕ ⇔ = r r . iv) ( , ) * 0. 2 a b a b π ϕ = ⇔ = r r r r Trang 8 Thật vậy: * ( , ) cos ( , ) 0 0 * 0 2 . a b a b a b a b a b π ϕ ϕ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = r r r r r r r r r r . 1.2. TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN 1.2.1. Định nghĩa Hai vectơ a r , b r ∈ V n k được gọi là trực giao (vuông góc) với nhau nếu * 0a b = r r . Ký hiệu: a b ⊥ r r . Ta thấy rằng có những vectơ khác 0 r mà lại vuông góc với chính nó, những vectơ như vậy gọi là vectơ đẳng hướng. Ví dụ: vectơ 1 1 1 * * n n n a a v a a a a = + − r r r r r r r (trong đó 1 a r , n a r là các vectơ nói trong tiên đề (E 4 * )) là một vectơ đẳng hướng. Hệ vectơ 1, { } i m b r gồm các vectơ 0 i b ≠ r r thuộc V n k được gọi là hệ trực giao nếu * 0 ( 1, ) i i b b i m ≠ ∀ = r r và * 0 ( ; , 1, ) i j b b i j i j n = ∀ ≠ = r r (tức là chúng từng đôi một trực giao với nhau). Hệ trực giao gồm các vectơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn. Nhận xét: Theo định nghĩa, hệ 1, { } i n a r nói trong tiên đề (E 4 * ) là một cơ sở trực giao của V n k . 1.2.2. Định lý Mọi hệ trực giao đều là hệ độc lập tuyến tính. Chứng minh: Giả sử hệ 1, { } i m b r là hệ trực giao. Xét: 1 0. m i i i k b = = ∑ r r Nhân vô hướng hai vế với ( 1, ) j b j m = r , ta được: 1 *( ) 0, 1, . m j i i i b k b j m = = = ∑ r r 1 ( * ) 0, 1, . m i j i i k b b j m = ⇒ = = ∑ r r ( * ) 0, 1, . j j j k b b j m ⇒ = = r r (Vì * 0 j i b b = r r , với i ≠ j) Trang 9 0, 1, . j k j m ⇒ = = (Vì * 0 j j b b ≠ r r ) Vậy 1, { } i m b r độc lập tuyến tính trong V n k . 1.2.3. Định lý Trong V n k , nếu ta có n vectơ ( 1, ) i b i n = r sao cho * 0 ( 1, ) i i b b i n ≠ ∀ = r r và * 0 ( ) i j b b i j = ∀ ≠ r r thì ta sẽ có đúng k vectơ i b r sao cho * 0 i i b b > r r và (n – k) vectơ j b r sao cho * 0 j j b b < r r . Chứng minh: Theo đề bài ta suy ra hệ 1, { } i n b r là cơ sở trực giao của V n k , do đó 1, { } i n b r độc lập tuyến tính trong V n k . Không mất tổng quát giả sử * 0, i i b b i l > ∀ ≤ r r và * 0, i i b b j l < ∀ > r r . Ta sẽ chứng minh l = k. • Nếu l > k: Dễ thấy rằng l vectơ 1 b r , 2 b r , ., l b r độc lập tuyến tính trong V n k (Vì 1, { } i n b r độc lập tuyến tính). Vì vậy chúng sinh ra một không gian vectơ con l chiều V l . Tương tự, gọi V n- k là không gian vectơ con sinh bởi (n – k) vectơ độc lập tuyến tính 1k a + r , 2k a + r , ., n a r nói trong tiên đề (E 4 * ). Vì l > k nên V l và V n-k sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít nhất là l – k. Gọi l n k c V V − ∈ ∩ r và 0c ≠ r r thì: 1 1 l n i i j j i j k c b a λ µ = = + = = ∑ ∑ r r r . Do đó: 2 1 1 , 1 1 * ( )*( ) ( * ) ( * ) 0 l l l l i i j j i j i j i i i i j i j i c c b b b b b b λ λ λλ λ = = = = = = = > ∑ ∑ ∑ ∑ r r r r r r r r (1) và 2 1 1 , 1 1 * ( )*( ) ( * ) ( * ) 0 n n n n i i j j i j i j i i i i k j k i j k i k c c a a a a a a µ µ µ µ µ = + = + = + = + = = = < ∑ ∑ ∑ ∑ r r r r r r r r (2) (1) và (2) mâu thuẫn nhau nên l > k là không thể được. • Nếu l < k: Gọi V n-l là không gian vectơ con sinh bởi (n – l) vectơ độc lập tuyến tính 1l b + r , 2l b + r , ., n b r . Trang 10 [...]... ánh xạ * thỏa các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề (E 1), (E2), (E3) của không gian vectơ Euclide r r r r r r r Mặt khác, do P dương nên: ∀x ∈P thì x * x ≥ 0 và x * x = 0 ⇔ x = 0 Do đó trên P ánh xạ * thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide Vậy P là một không gian vectơ Euclide Suy ra P là một không gian vectơ giả Euclide Nhận xét: Nếu... của không gian vectơ Euclide 1.3.2.2 Mọi không gian vectơ con âm của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide Thật vậy: Trang 14 Gọi P là không gian vectơ con âm của Vnk Khi đó trên P ánh xạ * thỏa các tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide Do đó ta sẽ chứng minh * thỏa tiên đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide r Gọi m là số chiều của P và {xi }1,m là một cơ sở tùy ý của P... sẽ là một không gian vectơ giả Euclide Khi đó ta gọi P là không gian con của Vnk Nhận xét: Từ định nghĩa, ta nhận thấy không phải mọi không gian vectơ con của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide Ví dụ: không gian vectơ con một chiều của Vnk r r r r sinh bởi vectơ đẳng hướng v = e1 + en (với {ei }1,n là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk) không thỏa tiên đề (E4*) nên không là không gian vectơ giả Euclide. .. GIẢ EUCLIDE 1.3.1 Định nghĩa  Định nghĩa 1: Giả sử P là không gian vectơ con của Vnk Khi đó trong P xác định hai phép toán cộng các vectơ và nhân một số với một vectơ, đó chính là hai phép toán cộng và nhân trong Vnk Ta lấy tích vô hướng * đã định nghĩa trong Vnk áp dụng cho P, khi đó trên P ánh xạ * thỏa 3 tiên đề (E1*), (E2*), (E3*) Nếu ánh xạ * thỏa thêm tiên đề (E4*) thì trên P xác định được một. .. thức trên trở thành: r r r r r r xh * ui r r uh * ui = xh * ui − r r (ui * ui ) = 0 ui * ui r r r Vậy {ui }1,m là một cơ sở trực giao của P thỏa ui * ui < 0, ∀i = 1, m Do đó trên P ánh xạ * thỏa tiên đề (E4*) của không gian vectơ giả Euclide Suy ra P là một không gian vectơ giả Euclide chỉ số 0 Nếu P là không gian vectơ con âm của Vnk thì P thỏa bất đẳng thức r r r r r r r r Schwarz: ( x * y ) 2 ≤ (... với V’nl Ký hiệu: Vnk ≅ V’nl 1.5.2 Tính chất của đẳng cấu trực giao 1.5.2.1 Định lý: Hai không gian vectơ giả Euclide đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng số chiều và cùng chỉ số k Chứng minh: (⇒): Cho hai không gian vectơ giả Euclide Vnk và V’ml k l Nếu Vnk ≅ V’ml thì n = m và tồn tại một đẳng cấu tuyến tính ϕ : Vn → V 'n sao r r r r r r cho ϕ ( x ) *ϕ ( y ) = x * y , ∀x , y ∈ Vnk r r r r... gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số k 1.4.2.1 Liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính  k k Cho phép biến đổi tuyến tính ϕ : Vn → Vn k k Xét ánh xạ S : Vn × Vn → R r r r r r r ( x , y ) a S ( x , y ) = ϕ ( x )* y Dễ dàng nhận thấy S là một dạng song tuyến tính và S xác định duy nhất (do tính duy nhất của ϕ và tích vô hướng xác định trên Vnk) r Giả sử {ei }1,n là một cơ sở trực... đổi đồng dạng hệ số r r x = ϕ −1 ( z ) , 1 p Từ đó tập hợp các phép biến đổi đồng dạng lập thành một nhóm 1.6.4.2 Phép biến đổi đồng dạng bảo toàn góc giữa hai vectơ Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ và hai định lý ở trên 1.6.4.3 Mọi phép biến đổi đồng dạng đều có thể phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép biến đổi trực giao hoặc tích của một phép biến đổi... Vậy: Nếu có một phép biến đổi tuyến tính ϕ của Vnk thì xác định duy nhất một r r r r r r dạng song tuyến tính S sao cho S ( x , y ) = ϕ ( x )* y , ∀x , y ∈Vnk Khi đó nếu ϕ có ma trận A=[a ij ] n×n đối với một cơ sở trực chuẩn đã chọn thì S có ma trận C=[cij ] n×n thỏa cij =a ji , với j ≤ k, và cij =-a ji , với j > k  Ngược lại, cho một dạng song tuyến tính S trong Vnk thì tồn tại duy nhất một r r r... = Vnk 1.3.2.11 Nếu P là không gian con của Vnk thì P không suy biến Thật vậy: Vì P là không gian con của Vnk nên P là một không gian vectơ giả Euclide r r r r Xét x ∈P và x * y = 0 , ∀y ∈P thì theo nhận xét ở mục 1.2.6 (phần Ý nghĩa của r r tọa độ trực chuẩn) cho không gian vectơ giả Euclide ta suy ra: x = 0 Trang 17 Do đó P không suy biến 1.3.2.12 Nếu P là không gian con của Vnk thì P⊥ không suy biến . văn với đề tài Một số vấn đề về Hình học giả Euclide nhằm làm rõ định nghĩa và một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong Hình học giả Euclide. . văn đi vào tìm hiểu một số bất biến của Hình học giả Euclide, mối liên hệ giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ ảnh. Ngoài ra,