Một số vấn đề về hình học giả Euclide

Một số vấn đề về hình học giả Euclide

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 2

PHẦN NỘI DUNG 4

CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE 4

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 4

1.2 TRỰC GIAO VÀ TRỰC CHUẨN 9

1.3 CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE 13

1.4 PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH LIÊN HỢP 20

1.5 PHÉP BIẾN ĐỔI TRỰC GIAO 25

1.6 PHÉP BIẾN ĐỔI ĐỒNG DẠNG 32

CHƯƠNG II : KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 41

2.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 41

2.2 CÁC PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 43

2.3 PHÉP DỜI 45

2.4 PHÉP ĐỒNG DẠNG 48

2.5 SIÊU MẶT BẬC HAI – SIÊU CẦU TRONG KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 52

2.6 MÔ HÌNH XẠ ẢNH CỦA KHÔNG GIAN GIẢ EUCLIDE 56

PHẦN KẾT LUẬN 64

TÀI LIỆU THAM KHẢO 65

PHẦN MỞ ĐẦU

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

“Hình học cao cấp” là mảng kiến thức quan trọng được xây dựng trên nền “Đại

số tuyến tính” và đã được Bộ môn Toán, Khoa Sư phạm chọn làm các môn học chínhthức để giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Sư phạm Toán, Toán – Tin Đây lànhững môn học rất hay, thú vị, kích thích được lòng say mê học và nghiên cứu Toáncủa sinh viên Nhưng trong khuôn khổ chương trình quy định, thầy cô không thể giớithiệu hết tất cả những vấn đề về hình học cho sinh viên mà chỉ dạy những kiến thứctrọng tâm, cơ bản nhất làm tiền đề cho việc tự nghiên cứu của sinh viên sau này

Do vậy, được sự gợi ý của Giáo viên hướng dẫn cùng với sự yêu thích tìm hiểu

về các loại hình học, mối liên hệ cùng những điểm giống và khác nhau giữa chúng, em

đã quyết định chọn đề tài “Một số vấn đề về hình học giả Euclide” để thực hiện luậnvăn tốt nghiệp của mình

2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Luận văn với đề tài “Một số vấn đề về Hình học giả Euclide” nhằm làm rõ địnhnghĩa và một số tính chất của các khái niệm cơ bản trong Hình học giả Euclide Đồngthời, luận văn đi vào tìm hiểu một số bất biến của Hình học giả Euclide, mối liên hệgiữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và với Hình học xạ ảnh

Ngoài ra, việc thực hiện đề tài cũng giúp em có dịp củng cố những kiến thức vềĐại số tuyến tính, Hình học Afin, Hình học Euclide, Hình học xạ ảnh và bước đầu làmquen với việc nghiên cứu các vấn đề mới của Toán học

3 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

Đọc lại và nắm vững những vấn đề trọng tâm, cơ bản của Không gian vectơ,Hình học Afin, Hình học Euclide, Hình học xạ ảnh

Phân tích kỹ định nghĩa và tìm hiểu một số tính chất của các khái niệm cơ bảntrong hình học giả Euclide

Dựa vào một số định lý, mệnh đề trong Hình học Euclide, phân tích, so sánh đểrút ra các định lý, mệnh đề có liên quan đến các khái niệm trong Hình học giả Euclide.Sau đó chứng minh lại một cách đầy đủ, rõ ràng và có hệ thống

Dựa vào cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian Afin và không gianEuclide để rút ra cách xây dựng mô hình xạ ảnh của không gian giả Euclide Trên cơ

sở đó, tìm hiểu mối liên hệ giữa Hình học giả Euclide với Hình học Euclide và vớiHình học xạ ảnh.

4 PHẠM VI NGHIÊN CỨU

Nghiên cứu một số khái niệm cơ bản trong không gian vectơ giả Euclide, khônggian giả Euclide n chiều chỉ số k thông qua tìm hiểu lý thuyết tổng quát

5 NỘI DUNG CỦA LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP

Chương I: Trình bày các định nghĩa và tính chất của tích vô hướng, không gianvectơ giả Euclide n chiều chỉ số k, cơ sở trực chuẩn và tọa độ trực chuẩn, các khônggian con, các phép biến đổi trực giao và các phép biến đổi đồng dạng nhằm tạo nềntảng kiến thức cho phần tiếp theo

Chương II: Trình bày các định nghĩa và tính chất của không gian giả Euclide nchiều chỉ số k, tọa độ trực chuẩn, các không gian con, khoảng cách và góc, các phépdời hình và các phép đồng dạng, siêu mặt bậc hai, mô hình xạ ảnh của không gian giảEuclide; từ đó rút ra mối liên hệ giữa hình học giả Euclide và hình học xạ ảnh

PHẦN NỘI DUNG

CHƯƠNG I : KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE

1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN

( )0*a (0 )*b a E 0.( * ) 0b a 

, với k

nV

b 

n(a b )*ca c b c *  * ,a b c, , V

Thật vậy:

*

( ) )

Vậy { }ai 1,n độc lập tuyến tính trong Vnk

Do hệ n vectơ { }ai 1,n độc lập tuyến tính trong không gian vectơ n chiều Vnk nên

ta suy ra { }ai 1,n là cơ sở của Vn.

1.1.3.2 Không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n chính là không gian vectơ Euclide.

Thật vậy:

Xét Vnn là một không gian vectơ giả Euclide n chiều chỉ số n Vì tích vô hướng

trên Vn thỏa các tiên đề (E1), (E2), (E3) của không gian vectơ giả Euclide nên nócũng thỏa các tiên đề (E1), (E2), (E3) của không gian vectơ Euclide Do đó ta chỉ cần

chứng minh tích vô hướng trên Vnn thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide, tức

a) Trường các số phức C là một không gian vectơ giả Euclide 2 chiều chỉ số 1 với

tích vô hướng: *x y (a ib )*(c id )ac bd , trong đó x a ib C   ,

1.1.5 Module của vectơ

Ta định nghĩa module của vectơ u là số u sao cho:

*

u  u u , nếu *u u   0

*

u i u u , nếu *u u   0, trong đó i là đơn vị ảo.

Trong cả hai trường hợp, ta đều ký hiệu u  u u * Như vậy module của mộtvectơ có thể là một số thực dương, bằng 0 hoặc một số thuần ảo

Nhận xét: uVn ,   R thì: u  (u) *(u)  2( * )u u   u

Vectơ u được gọi là vectơ đơn vị nếu u  1 hoặc u i

1.1.6 Góc giữa hai vectơ trong không gian vectơ giả Euclide

 (1) được gọi là số đo góc của hai vectơ a và b Ký hiệu: ( , ) a b 

Từ công thức (1), ta suy ra cos có thể là số thực hoặc là số thuần ảo

Ta có các trường hợp:

 Trường hợp 1: cos là số thực Ta xét:

  1 cos1: Khi đó  là số thực và ta quy ước chọn   [0,]

 cos 1: Khi đó ta đặt: a cos  a(1;)

Nhận thấy: hàm chx là một hàm số thực liên tục trên R và nhận giá trị trên

[1;+) nên với a (1;) thì tồn tại số thực  sao cho: cos  a ch

Mà ch cosi nên suy ra: cos cosi

Do đó ta chọn  i và nhận thấy trong trường hợp này  là số thuần ảo

 cos  1: Khi đó  cos 1

Do đó tương tự như trên ta có: tồn tại số thực  sao cho:  cosch

cos ch cosi cos( i)

Ta chọn    i và nhận thấy trong trường hợp này  là số phức

 Trường hợp 2: cos là số thuần ảo Lúc này ta có thể viết: cos ib , với b R.

Nhận thấy: hàm shx là một hàm số thực liên tục và nhận giá trị trên R nên với

cos sin cos( ).

Ta thấy rằng có những vectơ khác 0 mà lại vuông góc với chính nó, những

vectơ như vậy gọi là vectơ đẳng hướng Ví dụ: vectơ 1

đó a1, an là các vectơ nói trong tiên đề (E4*)) là một vectơ đẳng hướng

Hệ vectơ { }bi 1,m gồm các vectơ b i 0 thuộc Vnk được gọi là hệ trực giao nếu

* 0 ( 1, )

i i

b b    i m và b b i* j 0 ( i j i j; , 1, )n (tức là chúng từng đôi một trựcgiao với nhau)

Hệ trực giao gồm các vectơ đơn vị được gọi là hệ trực chuẩn

Nhận xét: Theo định nghĩa, hệ { }ai 1,n nói trong tiên đề (E4*) là một cơ sở trực

Theo đề bài ta suy ra hệ { }bi 1,n là cơ sở trực giao của Vn, do đó { }bi 1,n độc lập

tuyến tính trong Vn Không mất tổng quát giả sử *b b i i 0, i l và *b b i i 0, j l

Ta sẽ chứng minh l = k

 Nếu l > k:

Dễ thấy rằng l vectơ b1, b2, , bl độc lập tuyến tính trong Vnk (Vì { }bi 1,n độc

lập tuyến tính) Vì vậy chúng sinh ra một không gian vectơ con l chiều Vl Tương tự, gọi Vn-k là không gian vectơ con sinh bởi (n – k) vectơ độc lập tuyến tính ak1, ak2

, , an nói trong tiên đề (E4*)

Vì l > k nên Vl và Vn-k sẽ giao nhau theo một không gian vectơ có số chiều ít

Gọi Vn-l là không gian vectơ con sinh bởi (n – l) vectơ độc lập tuyến tính bl1,

a nói trong tiên đề (E4*)

Chứng minh tương tự như trường hợp l > k, ta nhận thấy trường hợp l < k làkhông thể được

Vậy l = k và ta có điều phải chứng minh

i i i i

i i

a

a a a

Do đó { }ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn của Vnk

Trong cơ sở trực chuẩn này có k vectơ ei sao cho *e e  i i 1 và (n – k) vectơ ej

sao cho *e e j j 1 Điều này cũng đúng với mọi cơ sở trực chuẩn khác (vì suy ra từ

định lý ở trên)

Từ đây, khi nhắc đến cơ sở trực chuẩn { }ui 1,n bất kỳ của Vnk, nếu không nói rõthì ta quy ước cơ sở trực chuẩn đó phải thỏa *u u i i 1, với i≤k, uj*u j 1, với j>k

và *u u i j 0, với i ≠ j và i, j = 1,n.

1.2.5 Tọa độ trực chuẩn

Tọa độ của vectơ x  Vnk đối với một cơ sở trực chuẩn được gọi là tọa độ trực

chuẩn của x trong Vn

Giả sử { }ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn trong Vn thỏa *e e  i i 0, với i ≤ k Khi

1.2.6 Ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn

Giả sử { }ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk Với xVnk thì:

Vì xVnk nên x( , , ) /{ }x1 x n ei 1,n, với { }ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn trong

1.2.7 Công thức đổi cơ sở trực chuẩn

Gọi { }ei 1,n, { '}ei 1,n là các cơ sở trực chuẩn trong Vn.

Dựa vào công thức đổi cơ sở trong không gian vectơ, ta có công thức đổi cơ sở

trực chuẩn trong Vnk là:

x[x] = A [x'] hoặc [x'] = (A ) [x]x -1

Trong đó:

A là ma trận chuyển cơ sở từ { }ei 1,n

sang { '}ei 1,n

[x], [x’] lần lượt là ma trận cột tọa độ

của vectơ xVnk đối với cơ sở { }ei 1,n, { '}ei 1,n.

1.3 CÁC KHÔNG GIAN VECTƠ CON CỦA KHÔNG GIAN VECTƠ GIẢ EUCLIDE

1.3.1 Định nghĩa

 Định nghĩa 1 : Giả sử P là không gian vectơ con của Vn Khi đó trong P xác

định hai phép toán cộng các vectơ và nhân một số với một vectơ, đó chính là hai phép

toán cộng và nhân trong Vnk Ta lấy tích vô hướng * đã định nghĩa trong Vnk áp dụng

cho P, khi đó trên P ánh xạ * thỏa 3 tiên đề (E1 ), (E2), (E3) Nếu ánh xạ * thỏa thêmtiên đề (E4*) thì trên P xác định được một tích vô hướng, do đó P sẽ là một không gian vectơ giả Euclide Khi đó ta gọi P là không gian con của Vn

Nhận xét: Từ định nghĩa, ta nhận thấy không phải mọi không gian vectơ con

của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide Ví dụ: không gian vectơ con một chiều

của Vnk sinh bởi vectơ đẳng hướng v e 1 en (với { }ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn

trong Vnk) không thỏa tiên đề (E4*) nên không là không gian vectơ giả Euclide

 Định nghĩa 2 : Cho P là không gian vectơ con của Vn Khi đó P được gọi là xác

định dương (không âm, đẳng hướng, không dương, âm) nếu *x x   0 ( *x x   0,

x x   , *x x   0, *x x   0), với mọi vectơ xP, x  0

 Định nghĩa 3 : Cho P là không gian vectơ con của Vn Khi đó P được gọi là

không suy biến nếu có xP và *x y   0, yP thì ta suy ra được x  0

Ngược lại thì P được gọi là suy biến.

 Định nghĩa 4 : Cho P là không gian vectơ con của Vn và vectơ xVn Ta nói

rằng x trực giao với P nếu như x trực giao với mọi vectơ của P.

 Định nghĩa 5 : Cho P, Q là các không gian vectơ con của Vn Ta nói rằng P và

Q trực giao với nhau nếu như mọi vectơ của P trực giao với mọi vectơ của Q.

Ký hiệu: Q  P hay P  Q.

 Định nghĩa 6 : Cho P là không gian vectơ con của Vn Đặt:

k n

Q { xV : *x y   0, y P}

Ta dễ dàng chứng minh được Q là một không gian vectơ con của Vn và Q trực giao với P Khi đó Q được gọi là phần bù trực giao của P.

Ký hiệu: Q = P

Nhận xét 1: Từ định nghĩa ta nhận thấy có duy nhất một không gian vectơ con

Q bù trực giao với không gian vectơ con P đã cho.

Gọi P là không gian vectơ con dương của Vnk Vì trên P ánh xạ * thỏa các tiên

đề (E1), (E2), (E3) của không gian vectơ giả Euclide nên nó cũng thỏa các tiên đề(E1), (E2), (E3) của không gian vectơ Euclide

Mặt khác, do P dương nên: xP thì *x x   0 và *x x  0 x0

Do đó trên P ánh xạ * thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ Euclide.

Vậy P là một không gian vectơ Euclide Suy ra P là một không gian vectơ giả

Euclide

Nhận xét: Nếu P dương thì P thỏa tất cả các tính chất của không gian vectơ

Euclide

1.3.2.2 Mọi không gian vectơ con âm của Vnk đều là không gian vectơ giả Euclide.

Thật vậy:

Gọi P là không gian vectơ con âm của Vn Khi đó trên P ánh xạ * thỏa các tiên

đề (E1*), (E2*), (E3*) của không gian vectơ giả Euclide Do đó ta sẽ chứng minh * thỏatiên đề (E4) của không gian vectơ giả Euclide

Gọi m là số chiều của P và { }xi 1,m là một cơ sở tùy ý của P.

Vậy { }ui 1,m là một cơ sở trực giao của P thỏa *u ui i 0, i 1,m Do đó trên P

ánh xạ * thỏa tiên đề (E4) của không gian vectơ giả Euclide Suy ra P là một không

gian vectơ giả Euclide chỉ số 0

1.3.2.3 Nếu P là không gian vectơ con âm của Vn thì P thỏa bất đẳng thức Schwarz: ( * )x y  2 ( * )( * )x x y y    , x, yP.

Chứng minh: Xét hai trường hợp:

 Trường hợp 1 : Nếu x  0 hoặc y  0 thì hiển nhiên bất đẳng thức được thỏa

( * )x y ( * )( * )x x y y

        (Vì y y  * 0)Vậy trong cả hai trường hợp ta luôn có: ( * )x y  2 ( * )( * )x x y y    , x, yP.

Nhận xét: Bất đẳng thức Schwartz vẫn đúng cho trường hợp P là không gian

vectơ con không dương hoặc không âm Ta có thể chứng minh điều này dựa vào câu acủa định lý bên dưới và cách chứng minh bất đẳng thức Schwartz dành cho không gianvectơ con âm ở trên

1.3.2.4 Số chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con dương của Vn k

là k.

Thật vậy:

Gọi P là không gian vectơ con dương của Vnk Giả sử dimP > k.

Gọi Vn-k là không gian vectơ con sinh bởi (n – k) vectơ độc lập tuyến tính ak1,

Mặt khác P dương và Vn-k âm nên PVn-k = {0} (2)

Từ (1) và (2) suy ra vô lý Vậy ta có số chiều lớn nhất có thể có của P là k.

1.3.2.5 Số chiều lớn nhất có thể có của một không gian vectơ con âm của Vn k là n-k.

(Chứng minh tương tự tính chất 1.3.2.4.)

1.3.2.6 {0} trực giao với mọi không gian vectơ con của Vn k.

(Tính chất này ta công nhận, không chứng minh)

1.3.2.9 Cho P, Q là các không gian vectơ con của Vn Khi đó:

(PQ) = P + Q và (P + Q) = PQ

Nếu P  Q thì P  Q(Tính chất này ta dễ dàng chứng minh)

1.3.2.10 PP = {0} và PP = V n khi và chỉ khi P không suy biến.

* Chứng minh:

():

Cho P là không gian vectơ con của Vnk thỏa mãn PP = {0} và PP = Vnk

Khi đó, nếu có xP và *x y   0, yP thì suy ra: xP

 xPP = {0}  x0

Do đó P không suy biến.

():

Cho P là không gian vectơ con không suy biến của Vnk

Khi đó, với xPP thì do xP nên *x y   0, yP.

Vì P không suy biến nên suy ra: x  0

Xét xP và *x y   0, yP thì theo nhận xét ở mục 1.2.6 (phần Ý nghĩa của

tọa độ trực chuẩn) cho không gian vectơ giả Euclide ta suy ra: x  0

Do đó P không suy biến.

1.3.2.12 Nếu P là không gian con của Vn k thì P không suy biến.

Từ đó ta có P không suy biến

1.3.3 Định lý (Sự phân tích các không gian vectơ con)

a) Mọi không gian vectơ con P của Vnk đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp P

= P0 P1, trong đó P0 là không gian vectơ con đẳng hướng, P1 là không gian

vectơ con không suy biến và P0  P1 (trường hợp P không suy biến thì ta xem

P0 = {0} , trường hợp P đẳng hướng thì ta xem P1 = {0} )

b) Mọi không gian vectơ con không suy biến P của Vn đều có thể biểu diễn thành

tổng trực tiếp P = P +P-, trong đó P + là không gian vectơ con dương, P- là

không gian vectơ con âm và P +  P- (trường hợp P dương (hoặc âm) thì ta xem

P- = {0} (hoặc P+ = {0} ))

Chứng minh:

a) Đặt P0 = PP Khi đó P0 là không gian vectơ con đẳng hướng.

Vì P0 là không gian vectơ con của Vnk nên tồn tại không gian vectơ con N của

Vnk sao cho: P0 N = Vnk

Vì vậy: P0(NP) = P

Đặt P1 = NP Suy ra: P1  P0 (Vì P0  P và P1 P)

Ta sẽ chứng minh P1 không suy biến.

Xét vectơ x0P1 sao cho x0*x  0, xP1

Nhận thấy: x y 0* 0, yP0 (Do P1  P0)

Vì P0 P1 = P nên ta suy ra: x z 0* 0, zP

Do đó : x0P x0 NPP = P0 P1 = {0}

Nên: x 0 0

Vậy P1 không suy biến và ta có điều phải chứng minh.

b) Gọi P + là không gian vectơ con dương có số chiều lớn nhất của P Khi đó P + không

Do P +P- = P nên ta suy ra: x z 0* 0, zP

Vì P không suy biến nên ta được: x 0 0

Vậy P- âm và ta có điều phải chứng minh.

 Hệ quả 1 : Mọi không gian vectơ con P của Vnk đều có thể biểu diễn được dưới

dạng P = P +P-P0, trong đó P+ là không gian vectơ con dương, P- là không gian vectơ con âm và P0 là không gian vectơ con đẳng hướng.

 Hệ quả 2 : Mọi không gian vectơ con không suy biến P của Vnk đều là không

gian vectơ giả Euclide Từ đó P là không gian con của Vn khi và chỉ khi P không suy

biến

 Hệ quả 3 : Nếu P là không gian con của Vn thì P cũng là không gian con của

Vn Từ đó, nếu P  Q và P (hoặc Q) là không gian con của Vn thì P  Q = {0}

1.3.4 Định lý

Cho P, Q là các không gian con của Vnk Khi đó, điều kiện cần và đủ để P  Q

là trong P tìm được cơ sở trực chuẩn { }ei 1,p và trong Q tìm được cơ sở trực chuẩn

Vì P  Q và P, Q là các không gian con của Vn nên P  Q = {0} Do đó, nếu

ta lấy lần lượt trong P và Q các cơ sở trực chuẩn { }ei 1,p và { '}ei 1,q thì hệ   1,

sao cho { }ei 1,p, { '}ei 1,q lần lượt

là cơ sở trực chuẩn của P và Q thì với x  P, y  Q, ta có:

1

p

i i i

1.4.2.1 Liên hệ giữa dạng song tuyến tính và phép biến đổi tuyến tính

 Cho phép biến đổi tuyến tính : k k

Giả sử { }ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn trong Vn, A là ma trận của phép biến đổi

tuyến tính  đối với cơ sở trực chuẩn đó Ta tìm ma trận C của dạng song tuyến tínhliên hợp S đối với cơ sở trực chuẩn { }ei 1,n.

Vậy: Nếu có một phép biến đổi tuyến tính  của Vnk thì xác định duy nhất mộtdạng song tuyến tính S sao cho S x y( , )  ( )*x y, x, yVn Khi đó nếu  có matrận A=[a ]ij n×n đối với một cơ sở trực chuẩn đã chọn thì S có ma trận C=[c ]ij n×n thỏa

ij ji

c =a , với j ≤ k, và c =-aij ji, với j > k.

 Ngược lại, cho một dạng song tuyến tính S trong Vnk thì tồn tại duy nhất mộtphép biến đổi tuyến tính : V n k  V n k sao cho S x y( , )  ( )*x y

Thật vậy:

Giả sử { }ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn trong Vnk Gọi C[ ]c ij n n là ma trận của

S đối với cơ sở trực chuẩn đó

Xét phép biến đổi tuyến tính : V n k  V n k sao cho  có ma trận đối với cơ sở

tương ứng Ta xác định phép biến đổi tuyến tính *

 bởi điều kiện: S x y( , )  x* ( )* y

(3)

Thật vậy: Giả sử { }ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn trong Vn .

 là phép biến đổi tuyến tính của Vnk thỏa mãn điều kiện (3) thì matrận D của * thỏa mãn x

Cho phép biến đổi tuyến tính : V n k  V n k Khi đó phép biến đổi tuyến tính

Gọi A, A’, A” lần lượt là ma trận của , *

 và ( )* * đối với cơ sở trực chuẩn

đã chọn thì theo trên ta có: x

k kA' = I A ISuy ra: A'' = I A' I = I (I A I ) I = I I (A ) I I = (A ) = Ak x k k k x k x k k k x x k k x x

Gọi A, B lần lượt là ma trận của ,  đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn Khi đó

A + B là ma trận của   đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn Nhận thấy:

Ma trận của (  )* là: I (A+B) Ik x k

Ma trận của * *

  là: I A I + I B I = I (A I + B I ) = I (A + B )Ik x k k x k k x k x k k x x kMà: I (A + B )I = I (A+B) Ik x x k k x k

Nên ta suy ra: (  )* **

  được gọi là đẳng cấu trực giao nếu với x, y

Vnk, ta có: ( )* ( ) x  y x y * , tức là  bảo toàn tích vô hướng

Khi đó ta nói rằng Vnk đẳng cấu với V’nl Ký hiệu: Vnk  V’nl

1.5.2 Tính chất của đẳng cấu trực giao

1.5.2.1 Định lý: Hai không gian vectơ giả Euclide đẳng cấu với nhau khi và chỉ khi

chúng có cùng số chiều và cùng chỉ số k

Chứng minh:

():

Cho hai không gian vectơ giả Euclide Vnk và V’ml

Nếu Vn  V’ml thì n = m và tồn tại một đẳng cấu tuyến tính : k 'l

( )* ( )e i e j e e i* j 0

       , với i  j

 { ( )} ei 1,n là cơ sở trực chuẩn của V’nl

 Trong { ( )} ei 1,n có l vectơ ( ) ei j sao cho ( )* ( ) 1 ei j  ei j  , với j1,l (2)

(theo bài 2)

Từ (1) và (2) suy ra k = l

():

Cho hai không gian vectơ giả Euclide Vnk và V’nk

Gọi { }ei 1,n, { '}ei 1,n lần lượt là cơ sở trực chuẩn của Vn và V’n Khi đó tồn tại

Tồn tại đẳng cấu tuyến tính : k 'k

Cho ánh xạ : V n k  V n k bảo toàn tích vô hướng của vectơ

Giả sử { }ei 1,n là một cơ sở trực chuẩn của Vnk Khi đó: *e e  i i 1, với i ≤ k,

 { '}ei 1,n là cơ sở trực chuẩn của Vn.

Vì { }ei 1,n, { '}ei 1,n là các cơ sở trực chuẩn của Vn nên tồn tại phép biến đổi tuyến

tính : V n k  V n k thỏa mãn: ( ) ei ei',  i 1,n

Lấy xVnk, giả sử x( , , ) /{ }x1 x n ei 1,n

Khi đó, theo ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn ta có:

Từ (1) và (2) suy ra: ( ) x ( )x , xVnk hay  

Vậy  là phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên  là phép biếnđổi trực giao

e e   , với j>k, và *e e  i j 0, với ij.

Vì  biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn nên ta suy ra { ( )} ei 1,n là cơ

sở trực chuẩn của Vnk Do đó: ( )* ( ) 1 ei  ei  , với i ≤ k, ( ) * ( ) ej  ej 1, với j > k,

     , x, yVn, hay  bảo toàn tích vô hướng.

Vậy  là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên theo định lý ở trên tasuy ra  là phép biến đổi trực giao

 Hệ quả : Nếu { }ei 1,n, { ' }ei 1,n là các cơ sở trực chuẩn của Vn thì tồn tại duy nhất

một phép biến đổi trực giao : V n k  V n k sao cho ( ) ei e' ,i  i 1,n

Mà do  là ánh xạ tuyến tính nên:

(x y)* (x y) ( ( )x ( ))*( ( )y x ( ))y

           

( )* ( ) 2 ( )* ( )x  x   x  y ( )* ( )y  y (2)Mặt khác:

Do đó  bảo toàn tích vô hướng

Vậy  là ánh xạ tuyến tính bảo toàn tích vô hướng nên theo định lý ở trên tasuy ra  là phép biến đổi trực giao

* *( )( ) *( )( ) ( )* ( )

x y x    y x   y  x  y , x, yVnk

Vậy  là phép biến đổi tuyến tính bảo toàn tích vô hướng Do đó theo hệ quả 1

ta có  là phép biến đổi trực giao

 Vậy : phép biến đổi tuyến tính : k k

Trong Vn , cho phép biến đổi trực giao : V n k  V n k Ta lấy một cơ sở trựcchuẩn { }ei 1,n và gọi A là ma trận của  đối với cơ sở trực chuẩn đó Khi đó A gọi là

ma trận k – trực giao

Đặt A = [a ]ij n×n.

Khi đó ma trận của phép biến đổi tuyến tính liên hợp *

 là D = [d ]ij n×n thỏa:x

k k

D = I A I (D, Ik được xác định theo bài 4)

Mà  là phép biến đổi trực giao nên: * 1

 Nên ta có: AD = DA = I (với I là ma trận đơn vị cấp n)

Nhận xét: Nếu A là ma trận k – trực giao thì detA = 1 (suy ra từ đẳng thức

(*))

1.5.9 Định lý

Phép biến đổi tuyến tính : V n k  V n k là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi

ma trận của  đối với cơ sở trực chuẩn là ma trận k – trực giao

 Hệ quả 1 : Phương trình của phép biến đổi trực giao  có dạng: [φ(x)] = A [x] ,xtrong đó A là ma trận k – trực giao cấp n; [x], [(x)] lần lượt là ma trận cột tọa độ của

vectơ x, ( ) x Vn đối với cơ sở trực chuẩn đã chọn

 Hệ quả 2 : Công thức đổi tọa độ trực chuẩn trong Vn là [x'] = B [x], trong đó Bx

là ma trận k – trực giao cấp n

1.5.10.Tính chất của phép biến đổi trực giao

1.5.10.1 Tập hợp các phép biến đổi trực giao lập thành một nhóm, gọi là nhóm trực giao.

Do đó tập hợp các phép biến đổi trực giao lập thành một nhóm

1.5.10.2 Nếu vectơ riêng của Vn k không đẳng hướng thì giá trị riêng tương ứng với

1.5.10.3 Phép biến đổi trực giao bảo toàn góc giữa hai vectơ.

Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ, tính chấtbảo toàn tích vô hướng và bảo toàn độ dài vectơ của phép biến đổi trực giao