MỤC LỤC
Điều này cũng đúng với mọi cơ sở trực chuẩn khác (vì suy ra từ định lý ở trên). ∈ Vnk đối với một cơ sở trực chuẩn được gọi là tọa độ trực chuẩn của xr.
Ý nghĩa của tọa độ trực chuẩn Giả sử { }eri 1, n
Công thức đổi cơ sở trực chuẩn Gọi { }eri 1, n
Định lý (Sự phân tích các không gian vectơ con). a) Mọi không gian vectơ con P của Vnk đều có thể biểu diễn thành tổng trực tiếp P. Khi đó P0 là không gian vectơ con đẳng hướng. Vì P0 là không gian vectơ con của Vnk nên tồn tại không gian vectơ con N của Vnk. Xét vectơ xr0. Vậy P1 không suy biến và ta có điều phải chứng minh. b) Gọi P+ là không gian vectơ con dương có số chiều lớn nhất của P. Hệ quả 1 : Mọi không gian vectơ con P của Vnk đều có thể biểu diễn được dưới dạng P = P+⊕P-⊕P0, trong đó P+ là không gian vectơ con dương, P- là không gian vectơ con âm và P0 là không gian vectơ con đẳng hướng.
Dễ dàng nhận thấy S là một dạng song tuyến tính và S xác định duy nhất (do tính duy nhất của ϕ và tích vô hướng xác định trên Vnk). Ta tìm ma trận C của dạng song tuyến tính liên hợp S đối với cơ sở trực chuẩn { }eri 1,n.
Định nghĩa
Ánh xạ tuyến tính :ϕ Vnk →Vnk là một phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi nó biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực chuẩn. Phép biến đổi tuyến tính :ϕ Vnk →Vnk là phép biến đổi trực giao khi và chỉ khi ma trận của ϕ đối với cơ sở trực chuẩn là ma trận k – trực giao. •Vì tích của hai đẳng cấu trực giao là một đẳng cấu trực giao nên tích của hai phép biến đổi trực giao là một phép biến đổi trực giao.
•Vì đẳng cấu ngược của một đẳng cấu trực giao là đẳng cấu trực giao nên nghịch đảo của phép biến đổi trực giao là phép biến đổi trực giao. Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ, tính chất bảo toàn tích vô hướng và bảo toàn độ dài vectơ của phép biến đổi trực giao.
Tập hợp các phép biến đổi trực giao lập thành một nhóm, gọi là nhóm trực giao. Nếu vectơ riêng của Vnk không đẳng hướng thì giá trị riêng tương ứng với nó bằng 1 hoặc -1. Hệ quả : Phép biến đổi đồng dạng biến cơ sở trực chuẩn thành cơ sở trực giao.
•Vì phép đồng nhất id của Vnk là phép biến đổi trực giao nên id là phép biến đổi đồng dạng (theo nhận xét ở phần định nghĩa). •Ta chứng minh tích của hai phép biến đổi đồng dạng là một phép biến đổi đồng dạng có hệ số bằng tích các hệ số đồng dạng. Gọi ϕ, ψ là các phép biến đổi đồng dạng của Vnk lần lượt có hệ số đồng dạng là p , q. Do đó phép biến đổi tuyến tính ϕ ψo thỏa mãn tồn tại số pq > 0 sao cho:. Vậy theo định nghĩa ta suy ra ϕ ψo là phép biến đổi đồng dạng hệ số pq. •Ta chứng minh nghịch đảo của phép biến đổi đồng dạng hệ số p là phép biến đổi. Gọi ϕ là phép biến đổi đồng dạng của Vnk có hệ số đồng dạng là p. Do đó phép biến đổi tuyến tính ngược ϕ−1 thỏa mãn tồn tại số 1. Vậy theo định nghĩa ta suy ra ϕ−1 là phép biến đổi đồng dạng hệ số 1 p. Từ đó tập hợp các phép biến đổi đồng dạng lập thành một nhóm. Phép biến đổi đồng dạng bảo toàn góc giữa hai vectơ. Thật vậy: Điều này suy ra ngay từ công thức tính góc giữa hai vectơ và hai định lý ở trên. Mọi phép biến đổi đồng dạng đều có thể phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép biến đổi trực giao hoặc tích của một phép biến đổi trực giao và một phép vị tự. Cho ϕ là phép biến đổi đồng dạng hệ số p của Vnk. là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. pϕ r là cơ sở trực chuẩn của Vnk. Từ đó ta có thể chứng minh tính chất này dựa vào hai sơ đồ sau:. Phép biến đổi tuyến tính ϕ:Vnk →Vnk là phép biến đổi đồng dạng khi và chỉ khi nó bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ. Cho :ϕ Vnk →Vnk là phép biến đổi đồng dạng. Cho đẳng cấu :ϕ Vnk →Vnk bảo toàn tính trực giao giữa các vectơ, tức là: nếu. là một cơ sở trực chuẩn của Vnk. là một cơ sở trực chuẩn của Vnk). Định lý : Phép biến đổi tuyến tính :ϕ Vnk →Vnk là phép biến đổi đồng dạng hệ số p khi và chỉ khi ma trận của ϕ đối với một cơ sở trực chuẩn là p A, trong đó A ma trận k – trực giao.
Khoảng cách giữa hai điểm M, N của Enk hay còn gọi là độ dài đoạn thẳng MN là module của vectơ MNuuuur.
Nếu P là cái phẳng giả Euclide và phẳng Q bù trực giao với P thì Q cũng là cái phẳng giả Euclide. Nếu hai phẳng giả Euclide P và Q bù trực giao với nhau thì chúng có một điểm chung. Vì P và Q là hai phẳng giả Euclide bù trực giao với nhau nên chúng có không quá một điểm chung và Pr∩ =Q {0}r r.
Hai phẳng phân biệt cùng bù trực giao với một cái phẳng thứ ba thì chúng song song với nhau và có cùng số chiều. Qua một điểm M đã cho có một và chỉ một cái phẳng bù trực giao với một cái phẳng đã cho.
Phép afin f : Enk → Enk là phép dời khi và chỉ khi f biến mục tiêu trực chuẩn thành mục tiêu trực chuẩn. Vì phép afin f có nền là phép biến đổi trực giao nên theo định nghĩa ta suy ra f là phép dời. Phép dời biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều với nó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng.
Thật vậy: Vì phép dời là một phép afin nên nó biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng. Ngược lại, mỗi một phương trình có dạng như trên đều là phương trình của một phép dời trong Enk đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn.
Phép đồng dạng biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều với nó, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng. Thật vậy: Vì phép đồng dạng là một phép afin nên nó biến cái phẳng thành cái phẳng có cùng số chiều, biến đường thẳng thành đường thẳng, biến siêu phẳng thành siêu phẳng. Phép đồng dạng f : Enk → Enk có thể được phân tích thành tích của một phép vị tự và một phép dời của Enk.
Phép afin f : Enk → Enk là phép đồng dạng khi và chỉ khi nó bảo toàn tính trực giao của hai đường thẳng bất kỳ. Ngược lại, mỗi một phương trình có dạng như trên đều là phương trình của một phép đồng dạng trong E k đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn.
* Chứng minh: Định lý này được suy ra ngay từ phương trình của phép biến đổi đồng dạng. Xét tập hợp tất cả các đường thẳng đẳng hướng qua I (một đường thẳng được gọi là đường thẳng đẳng hướng nếu phương của nó được sinh bởi một vectơ đẳng hướng). Đây là một phương trình bậc hai nên tập hợp tất cả các đường thẳng đẳng hướng qua I là một siêu nón bậc hai đỉnh I.
Tập hợp tất cà các điểm M sao cho d(I,M) = R, với R là một số thực không âm hoặc số thuần ảo cho trước, được gọi là một siêu cầu tâm I bán kính R trong Enk. Bây giờ, ta xét vấn đề ngược lại: Một phương trình có các đặc điểm trên có phải là phương trình của một siêu cầu (đối với một mục tiêu trực chuẩn đã chọn) hay không?.
Định lý : Mỗi siêu mặt bậc hai trong không gian giả Euclide Enk là một siêu cầu khi và chỉ khi siêu mặt bậc hai sinh ra nó (tức là siêu mặt bậc hai trong Pn) cắt siêu phẳng vô tận theo cái tuyệt đối T*. Định lý : Phép afin của Enk là phép đồng dạng khi và chỉ khi nó được sinh ra bởi phép biến đổi xạ ảnh trên siêu phẳng vô tận biến cái tuyệt đối T* thành chính nó. Ta gọi Dnk là tập hợp tất cả các phép biến đổi xạ ảnh của Pn giữ nguyên Pn-1 và giữ nguyên cái tuyệt đối T* thì Dnk là một nhóm con của nhóm Kn.
Mỗi phép biến đổi của nhóm Dnk sẽ sinh ra một phép đồng dạng của Enk (theo chứng minh ở trên) nên ta có thể xem Dnk là nhóm tất cả các phép đồng dạng của Enk. Từ định nghĩa trên và từ các tính chất của phép đồng dạng, ta suy ra khái niệm trực giao của hai đường thẳng, tỷ số độ dài của hai đoạn thẳng, siêu mặt bậc hai,… là những bất biến của nhóm Dnk và do đó là đối tượng nghiên cứu của hình học giả Euclide.
PHẦN KẾT LUẬN