Một số vấn đề về không gian dãy

Trờng đại học Vinh Khoa Toán ~*~ Một số vấn đề về không gian dãy Khoá luận tốt nghiệp đại học Ngành học: cử nhân S phạm toán Chuyên ngành: Giải tích Cán bộ hớng dẫn khoá luận : Trần Văn Ân Sinh viên thực hiện : Nguyễn Thị Hà Lớp : 40A 2 Vinh - 2003 Mục lục Trang Mở đầu 3 1. Một số khái niệm cơ bản 5 2. Một số tính chất của không gian dãy 16 3. Không gian dãy và tính compact 20 Kết luận 25 Tài liệu tham khảo 26 Mở đầu Không gian mêtric là một không gian tôpô rất quen thuộc đối với chúng ta. Có nhiều tính chất hay của không gian này đã đợc khái quát lên và từ đó xuất hiện những không gian tôpô đặc biệt rất đáng quan tâm. Một trong những tính chất đó 3 n nói về điều kiện cần và đủ để một tập con của không gian là đóng: "Tập hợp con F của không gian mêtric là đóng khi và chỉ khi với một dãy (x n ) những tử của F, nếu lim x n = x 0 X thì x 0 F" Khái quát tính chất này lên ta đợc lớp các không gian dãy đợc định nghĩa nh sau: " Không gian tôpô X là không gian dãy khi và chỉ khi tập con A của X đóng nếu không có dãy nào trong A hội tụ về điểm ngoài A". Đối với không gian mêtric sự hội tụ đợc xây dựng dựa trên mêtric có trong không gian đó, nh vậy xem xét định nghĩa về không gian dãy ta thấy rằng ở đây cần xây dựng khái niệm hội tụ của dãy trong không gian tôpô tổng quát. Sau khi xây dựng khái niệm hội tụ của dãy trong không gian tôpô , luận văn đã đa ra khái niệm không gian dãy, kèm theo đó là khái niệm không gian Frechet : "Không gian tôpô X là không gian Frechet nếu với mọi A X và mọi x A tồn tại dãy (x n ) trong A hội tụ đến x". Khái niệm không gian Frechet cũng là khái niệm đợc xây dựng dựa trên việc khái quát một tính chất đặc biệt trong không gian mêtric. Trong khuôn khổ hạn hẹp của luận văn, chúng ta chỉ đề cập đến một số vấn đề cơ bản về không gian dãy, đó là một số tính chất về không gian dãy nh tính di truyền, những tính chất gắn liền với khái niệm tôpô yếu và liên quan đến ánh xạ đóng, ánh xạ thơng, không gian dãy và tính compact. Cụ thể, ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn đợc bố cục nh sau: 1. Một số khái niệm cơ bản. Phần này trình bày khái niệm không gian dãy, không gian Frechet, không gian với tôpô yếu và một số mệnh đề nói về tính chất của một số loại ánh xạ với mục đích chuẩn bị cho việc trình bày các phần tiếp theo. 2. Một số tính chất của không gian dãy. Phần này trình bày về tính di truyền của không gian dãy và tính chất của không gian dãy liên quan đến ánh xạ thơng. 4 3. Không gian dãy và tính compact. Phần này trình bày một số tính chất compact trong không gian dãy. Trong khoá luận này các không gian đều là T 2 , các ánh xạ đều toàn ánh liên tục. Cuối cùng nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới PGS.TS Trần Văn Ân, ngời trực tiếp hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Đồng thời cho tôi gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trong khoa Toán và bạn bè đã giúp đỡ tôi trong quá trình làm luận văn. Mặc dù đã cố gắng nhiều nhng do điều kiện thời gian và hạn chế về mặt trình độ, luận văn chắc không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô giáo và bạn đọc góp ý để luận văn đợc hoàn chỉnh hơn. Vinh, tháng 4 năm 2003. Tác giả t1. một số kháI niệm cơ bản 1.1. Định nghĩa. a. Cho tập X . Họ các tập con của X đợc gọi là một tôpô trên X nếu thoả mãn : 5 (i). , X (ii). A,B thì AB (iii). A , ( I) thì A Lúc đó cặp (X, ) đợc gọi là không gian tôpô , mỗi A gọi là một tập mở. Phần bù của tập mở đợc gọi là tập đóng, mỗi phần tử xủa X gọi là một điểm trong không gian tôpô (X, ). Nếu không sợ nhầm lẫn, ta viết không gian tôpô (X, ) là không gian X. b. Cho không gian tôpô (X, ) và B . B đợc gọi là cơ sở của tôpô nếu với mọi V và với mọi xV tồn tại UB sao cho xUV. c. Cho không gian tôpô (X, ), xX. Tập U X chứa x đợc gọi là lân cận của điểm x nếu tồn tại V sao cho xUV. Gọi U (x) là họ tất cả các lân cận của x. Họ con B(x) của U(x) đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x nếu với mọi VU(x) , tồn tại UB(x) sao cho xUV. 1.2. Mệnh đề. ([1]) Cho họ B các tập con của tập X thoả mãn: (i). U = X. U B (ii). Với mọi U,V B và với mọi x U V, tồn tại W B sao cho x W U V. Khi đó trên X có một tôpô nhận B làm cơ sở. 1.3. Định nghĩa. Điểm x đợc gọi là điểm giới hạn của dãy (x n ) trong không gian tôpô (X, ) nếu mọi lân cận V của x luôn tồn tại dãy con của dãy (x n ) nằm trong V. Ký hiệu tập các điểm giới hạn của dãy x n là Limx n . Dãy (x n ) đợc gọi là hội tụ về điểm x nếu với lân cận V bất kỳ của x thì bắt đầu từ lúc nào đó, các phần tử của dãy (x n ) đều nằm trong V. Ký hiệu dãy x n hội tụ về x là x n x. Lúc đó ta gọi x là điểm hội tụ của dãy x n . 6 1.4. Định nghĩa. a. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian dãy nếu tập con A của X là đóng khi và chỉ khi A chứa mọi điểm hội tụ của dãy bất kỳ trong A. b. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Frechet nếu với mọi A X và mọi x A , luôn tồn tại dãy (x n ) trong A mà x n hội tụ về x. c. Không gian tôpô X đợc gọi là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất nếu với mọi điểm xX luôn có cơ sở lân cận đếm đợc. 1.5. Định lí. Mọi không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất đều là không gian Frechet và mọi không gian Frechet đều là không gian dãy . Chứng minh. Giả sử X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất AX và x A . Ký hiệu {U i |i=1,2, .} là cơ sở lân cận đếm đợc tại điểm x. Vì U 1 U 2 U i là lân cận của x và x A nên tồn tại x i U 1 U 2 U i A. Khi đó {x i }A và x i hội tụ về x. Do vậy X là không gian Frechet . Giả sử X là không gian Frechet và AX là tập chứa mọi điểm hội tụ của dãy bất kỳ trong A. Lấy tuỳ ý x A . Vì X là không gian Frechet, nên tồn tại dãy (x n ) trong A hội tụ về x. Theo giả thiết ta có x A. Vậy A đóng. Vì vậy X là không gian dãy. 1.6. Ví dụ. a. Mọi không gian mêtric đều là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất vì họ {B(x, n 1 )| nN * } là cơ sở lân cận đếm đợc tại x. Theo mệnh đề trên thì mọi không gian mêtric đều là không gian Frechet và là không gian dãy. b. Tuy nhiên có những không gian dãy mà không phải không gian Frechet. Thật vậy: Lấy : X = {0}( = 1i X i ), với X i = { i 1 }( = 2 ij { ji 11 + }) Đặt B ( ji 11 + ) = {{ ji 11 + }}. B ( i 1 ) = {X i \ k ij 2 = { ji 11 + } , k= i 2 , i 2 +1, } B (0) = {X\ (( n 0 i n 1n X = ) ( n ii (X i \ 0 k 1k = { k ji 11 + })), k 0 , n 0 N * } 7 B = B ( ji 11 + ) B ( i 1 ) B ( 0 ) Ta sẽ chứng minh B là cơ sở của một tôpô trên X. Thật vậy : Hiển nhiên X= B (1) Bây giờ ta có nhận xét: X i X k = với i k. Thật vậy, giả sử i > k, ta có i 2 > i 2 -1 = (i-1)(i +1) k(i+1), suy ra i 2 > k(i+1), tức là k 1 > i 1 + 2 1 i . Lúc đó với mọi x X k và mọi y X i ta có x> k 1 > i 1 + 2 1 i > y, nghĩa là ta có X i X k = . Bây giờ giả sử U, V là hai phần tử bất kỳ của B. Nếu U B ( ji 11 + ) hoặc V B ( ji 11 + ) thì ta có hoặc UV = hoặc UV = { ji 11 + } do đó UV B. Nếu UB ( i 1 ) và V B ( k 1 ) với i k thì vì UX i và VX k nên từ nhận xét trên ta có UV = . Nếu U,VB ( i 1 ) thì ta có thể xem U = X i \ { ji 11 + }, V= X i \ n ij 2 = { ji 11 + }. Khi đó UV= X i \ }n,mmax{ ij 2 = { ji 11 + } B. Nếu U B ( i 1 ), V B (0) ta có Nếu X i V = thì UV = . Nếu X i V thì với x UV ta có các trờng hợp: Trờng hợp x = ji 11 + với j i 2 nào đó thì chọn W = {x} B ta đợc xW UV. Trờng hợp x = i 1 ta chọn đợc kN * sao cho X i \ k ij 2 = { ji 11 + } UV. Khi đó đặt W= X i \ k ij 2 = { ji 11 + } ta đợc xW UV. Nếu U,V B (0) thì hiển nhiên UV B (0). Vậy trong mọi trờng hợp ta đều chỉ ra đợc W sao cho xW UV. (2) Từ (1) và (2) và mệnh đề 1.2 ta suy ra B là cơ sở của một tôpô nào đó trên X. Ta có không gian X không phải là không gian Frechet. Thật vậy: 8 B B m j= i 2 Vì mọi lân cận của 0 đều chứa những phần tử dạng ji 11 + X \ {0,1,1/2, .} nên ta có 0 , .}2/1,1,0{\X . Tuy nhiên không có dãy nào trong X \ {0,1,1/2, .} hội tụ về 0. Giả sử ngợc lại nếu tồn tại dãy x n hội tụ về 0. Khi đó x n X \ {0,1,1/2, .} với mọi nN * nên có dạng x n = mnn ji 11 + . Đặt V = {0}( = 1n ( n i X \ mn 2 n j ij = ( ji 11 + ))) ( n ii (X i )) ta có V là lân cận của 0 nhng V {x n nN} = , mâu thuẫn với giả thiết x n hội tụ về 0. Bây giờ ta chứng minh X là không gian dãy. Thật vậy, ta chỉ cần chứng minh rằng nếu A X là tập chứa hết mọi điểm hội tụ của dãy bất kỳ trong A , thì A đóng trong X. Với bất kì x A : Nếu x = ji 11 + thì vì {x} mở nên x A. Nếu x = i 1 thì vì {V k = X i \ k ij 2 = { ji 11 + }, k = i 2 , i 2 + 1, .} là cơ sở lân cận đếm đợc tại x nên tồn tại dãy (x k ) mà x k V k A và x k hội tụ về x , do đó xA. Nếu x= 0, giả sử ngợc lại 0A. Trớc hết ta nhận xét rằng tồn tại một dãy {k} các số nguyên dơng để k 1 A . Thật vậy nếu điều này không xẩy ra thì tồn tại k 1 N * sao cho với mỗi k k 1 thì ta có k 1 A . Suy ra với mỗi k k 1 , tồn tại lân cận V k của k 1 mà V k A = . Đặt V = {0} ( = 1 kk V k ) thì V là lân cận của 0 nhng V A = . Điều này mâu thuẫn với giả thiết 0 A . Vậy tồn tại dãy {k} để k 1 A . Lại do k 1 có cơ sở lân cận đếm đợc nên theo trên ta có k 1 A. Mặt khác vì tập mở B B(0) thu đợc từ X bằng cách trừ đi hữu hạn các X i và hữu hạn phần tử ji 11 + trong các X i còn lại , nên dãy k 1 bắt đầu từ lúc nào đó nằm trong lân cận tuỳ ý của 0. Do đó, dãy { k 1 } này hội tụ về 0. Từ đó suy ra 0 A. Điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu . Vậy 0 A. Vì vậy ta suy ra nếu x A thì xA. Do đó A đóng trong X hay X là không gian dãy. 9 1.7. Định lí. Cho X là không gian Frechet, nếu x là điểm giới hạn của dãy (x n ) trong không gian X thì tồn tại dãy con ( x n k ) của dãy (x n ) hội tụ về x. Chứng minh. Vì x là điểm giới hạn của dãy x n nên x { * Nnx n }. Do X là không gian Frechet nên tồn tại dãy (x n k ) (x n ) để x n k hội tụ về x . *Nhận xét. Điều này không còn đúng đối với không gian dãy . Ví dụ : Nếu lấy không gian dãy X ở ví dụ 1.6b , thì ta có: Tập A = X \ {0,1, 2 1 , .} đếm đợc nên có thể đánh số thành dãy x n , 0 Lim x n vì {x n } chứa tất cả các phần tử dạng ji 11 + trong khi lân cận tuỳ ý của 0 chứa đợc vô hạn phần tử nh vậy. Tuy nhiên từ chứng minh ở ví dụ 1.6.b, ta suy ra không có dãy con nào của dãy ( x n ) hội tụ về 0 . 1.8. Định nghĩa. Giả sử X,Y là các không gian tôpô. a. ánh xạ : X Y là ánh xạ đóng khi và chỉ khi (F) đóng trong Y nếu F đóng trong X. b. ánh xạ liên tục : X Y từ không gian X lên không gian Y đợc gọi là ánh xạ thơng nếu tồn tại phép đồng phôi g : X/E Y sao cho = g o q trong đó E là quan hệ tơng đơng trên X, X/E là không gian thơng xác định bởi không gian X và quan hệ E, q : X X/E là phép chiếu tự nhiên từ X lên X/E. ánh xạ : X Y từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y đợc gọi là ánh xạ thơng di truyền nếu với mỗi B Y thì hạn chế | -1 (B) là ánh xạ thơng. c. ánh xạ liên tục : X Y từ không gian X lên không gian Y đợc gọi là ánh xạ giả mở nếu với mọi y Y và với mọi lân cận U mở của -1 (y) thì (U) là lân cận của y. 1.9. Mệnh đề. Giả sử : X Y là ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X lên không gian tôpô Y. Khi đó các điều kiện sau tơng đơng: (a). là ánh xạ thơng. (b). -1 (U) mở trong X khi và chỉ khi U mở trong Y. (c). -1 (F) đóng trong X khi và chỉ khi F đóng trong Y. 10 Chứng minh. (a) (b). Giả sử là ánh xạ thơng, khi đó tồn tại phép đồng phôi g : X/E Y sao cho = g o q. Khi đó ta có -1 (U) = (g o q) -1 (U) = q -1 (g -1 (U)). Ta có -1 (U) mở trong X khi và chỉ khi q -1 (g -1 (U)) mở trong X khi và chỉ khi g -1 (U) mở trong X/E . Vì g là phép đồng phôi nên điều này xảy ra khi và chỉ khi U mở trong Y. (b) (c). Vì X\ -1 (F) = -1 (Y\ F), nên -1 (F) đóng trong X khi và chỉ khi X\ -1 (F) mở trong X tức là khi và chỉ khi -1 ( Y\ F) mở trong X. Điều này xảy ra khi và chỉ khi Y\ F mở trong Y tức là khi và chỉ khi F đóng trong Y. (c) (a). Ký hiệu X/E = { -1 (y) | yY}.Đặt g: X/E Y cho bởi g( -1 (y)) = y. Khi đó phép chiếu q : X X/E liên tục và g là song ánh. Bây giờ ta chứng minh g là đồng phôi. Muốn vậy ta chỉ cần chứng minh rằng với U X/E, U = { -1 (y) | yW Y} là tập đóng trong X/E khi và chỉ khi g(U) = W là tập đóng trong Y. Đặt V = -1 (W) thì V = Wy -1 (y) = q -1 (U). Vì q liên tục nên ta có U đóng trong X/E khi và chỉ khi V đóng trong X. Theo giả thiết (c) thì điều này tơng đơng với W đóng trong Y. Vậy g là ánh xạ đồng phôi, đồng thời ta có = g o q. Do đó là ánh xạ thơng. 1.10. Mệnh đề. Cho ánh xạ f: X Y từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Khi đó các khẳng định sau là tơng đơng: (a) . f là ánh xạ giả mở. (b) . f là ánh xạ thơng di truyền. (c) . Nếu y A với A Y thì f -1 (y) )( 1 Af Chứng minh. (a) (b). Giả sử S là tập hợp con bất kì của Y và U S là tập mà ( | -1 (S)) -1 (U) mở trong -1 (S). Khi đó tồn tại tập hợp mở V trong X để ( | -1 (S)) -1 (U) = -1 (U) -1 (S) = V -1 (S). Do đó ( -1 (U)) -1 (S) = (V -1 (S)). Suy ra U S = (V) S. Vì U S nên U = (V) S. Hơn nữa với mỗi y U S thì ( -1 (y) -1 (U) -1 (S) V nên V là lân cận của -1 (y). Vì là ánh xạ giả mở nên (V) là lân cận của y trong Y. 11