Một số vấn đề về không gian lồi địa phương

M ð U Lý ch n ñ tài khóa lu n: Gi i tích hàm m t ngành c a gi i tích tốn h c nghiên c u khơng gian vectơ đư c trang b thêm m t c u trúc tôpô phù h p tốn t n tính liên t c gi a chúng Ra ñ i vào nh ng năm ñ u c a th k XX, b t ngu n t cơng trình v phương trình tích phân c a Hilbert, Fredholm, ñ n gi i tích hàm tích lũy đư c nh ng thành t u quan tr ng tr thành chu n m c vi c nghiên c u trình bày ki n th c tốn h c T i trư ng ð i h c Hùng Vương, sinh viên chun ngành tốn đư c làm quen, tìm hi u v lĩnh v c mà b t đ u h c ph n “Tơpơ đ i cương” Tơpơ đ i cương mơn tốn s v lý thuy t gi i h n liên t c Tơpơ đ i cương trình bày nh ng khái ni m b n c a tôpô, phân lo i không gian tôpô… ðây nh ng ki n th c b n c n thi t cho nhi u lĩnh v c toán h c khác như: Lý thuy t ñ ño tích phân, hình h c vi phân … Khi nghiên c u sâu v tôpô ta nh n th y có r t nhi u khơng gian th a mãn m t không gian tôpô ta trang b m t tơpơ Các tơpơ ch y u ñư c xây d ng t t p m , ho c t m t h ánh x cho trư c Trong s không gian vectơ tơpơ, m t l p khơng gian đ c bi t quan tr ng không gian l i ñ a phương Không gian l i ñ a phương E m t không gian vectơ tôpô mà ∈ E có m t s lân c n thành l p t t p l i Tôpô khơng gian đư c g i tơpơ l i đ a phương, có th có m t ho c nhi u tôpô khác m t khơng gian l i đ a phương, tơpơ sinh b i h g m t t c t p l i, cân, hút E ñư c g i tơpơ l i đ a phương m nh nh t E Ngồi nh ng đ c ñi m tương t không gian mà ta ñã bi t, khơng gian l i đ a phương có m t s tính ch t đ c m khác V y c th khơng gian l i đ a phương khơng gian th nào? Và có nh ng tính ch t gì? Nó th hi n th m t s khơng gian l i đ a phương thư ng g p? Vi c tr l i nh ng câu h i lý tơi ch n ñ tài khóa lu n: “M t s v n đ v khơng gian l i đ a phương” Tơi hi v ng khóa lu n s m t tài li u tham kh o h u ích cho sinh viên ngành Toán M c tiêu khóa lu n: + Khóa lu n trình bày nh ng khái ni m, tính ch t b n v không gian tôpô, t p l i… làm s đ nghiên c u khơng gian l i đ a phương T trình bày m t cách có h th ng t đ nh nghĩa t i tính ch t c a khơng gian l i đ a phương, làm rõ m t s không gian l i ñ a phương thư ng g p Nhi m v nghiên c u : + Nghiên c u v khơng gian tơpơ, khơng gian n tính đ nh chu n, không gian vectơ tôpô, không gian l i ñ a phương + Ch ng minh m t s khơng gian khơng gian l i đ a phương Phương pháp nghiên c u: + Phương pháp nghiên c u lý lu n: ð c tài li u, giáo trình có liên quan đ n khơng gian tôpô, không gian vectơ tôpô, không gian n tính đ nh chu n khơng gian l i ñ a phương + Phương pháp h i ý ki n chuyên gia: Ch y u gi ng viên hư ng d n + Phương pháp t ng k t kinh nghi m: T ng h p h th ng hóa ki n th c v v n ñ nghiên c u m t cách ñ y ñ , khoa h c xác ð i tư ng ph m vi nghiên c u: + ð i tư ng nghiên c u c a khóa lu n ki n th c liên quan đ n khơng gian l i đ a phương Bên c nh khóa lu n cịn nghiên c u v khơng gian tơpơ làm s đ nghiên c u đ i tư ng + Ph m vi nghiên c u tính ch t c a khơng gian l i đ a phương B c c c a khóa lu n : Ngồi ph n m ñ u, k t lu n, tài li u tham kh o khóa lu n g m hai chương chính: Chương Ki n th c s 1.1 Không gian tôpô 1.1.1 ð nh nghĩa ví d 1.1.2 Lân c n c a m t ñi m, ñi m trong, t p ñóng 1.1.3 So sánh hai tôpô 1.1.4 Cơ s c a m t khơng gian tơpơ 1.1.5 Xây d ng tơpơ có s cho trư c ho c có t p đóng cho trư c 1.1.6 Ánh x liên t c gi a hai khơng gian tơpơ phép đ ng phơi 1.1.7 Tơpơ đ u xác đ nh b i m t h ánh x 1.1.8 Tôpô cu i xác ñ nh b i m t h ánh x 1.1.9 Các tiên đ tách 1.2 Khơng gian n tính đ nh chu n 1.2.1 ð nh nghĩa khơng gian vectơ 1.2.2 ð nh nghĩa không gian vectơ 1.2.3 ð nh nghĩa sơ chu n, n a chu n, chu n 1.2.4 ð nh nghĩa không gian n tính đ nh chu n 1.2.5 ð nh nghĩa t p l i, cân, hút 1.2.6 Các tính ch t sơ c p c a t p l i 1.2.7 Phi m hàm Minhowsh 1.3 Không gian vectơ tôpô 1.3.1 ð nh nghĩa ví d 1.3.2 Các tính ch t suy t tính liên t c c a phép tốn đ i s 1.3.3 Cơ s lân c n c a m t không gian vectơ tơpơ 1.3.4 Các tính ch t c a tơpơ vectơ Chương Khơng gian l i đ a phương 2.1 ð nh nghĩa ví d 2.2 M t s tính ch t b n c a khơng gian l i ñ a phương 2.3 Xác ñ nh m t tơpơ l i đ a phương b i m t h sơ chu n 2.4 Tơpơ l i đ a phương m nh nh t 2.5 M t s khơng gian l i đ a phương thư ng g p Ý nghĩa khoa h c th c ti n c a khóa lu n: 7.1 Ý nghĩa khoa h c: Khóa lu n tài li u tham kh o cho sinh viên chun ngành tốn có mong mu n tìm hi u sâu v khơng gian tôpô m t trư ng h p riêng khơng gian l i đ a phương 7.2 Ý nghĩa th c ti n: V i b n thân làm đ tài khóa lu n này, giúp cho tơi có k năng, kinh nghi m vi c nghiên c u trình bày m t v n ñ khoa h c, ñ ng th i giúp hi u sâu v không gian tôpô m t l p khơng gian đ c bi t quan tr ng – khơng gian l i đ a phương, s đ tơi nghiên c u nh ng lĩnh v c ti p theo c a gi i tích hi n đ i CHƯƠNG KI N TH C CƠ S 1.1 KHÔNG GIAN TÔPÔ 1.1.1.ð nh nghĩa ví d : ð nh nghĩa: Không gian tôpô m t c p (X,τ ) X m t t p khác r ng τ m t h nh ng t p c a X (τ ⊂ P(X)), th a mãn ñi u ki n: a) ∅∈τ X ∈τ b) N u A, B ∈τ A ∩ B ∈ τ c) N u {U t }t∈T m t h nh ng t p c a X U t ∈τ v i ∀t ∈ T : ∪ U t ∈τ t ∈T T p X g i không gian, ph n t c a X g i ñi m, m i ph n t c a τ g i m t t p m không gian X H τg i m t tôpô t p X Như v y: 1)T p ∅ tồn b khơng gian X t p m 2) Giao h u h n nh ng t p m t p m 3) H p tùy ý nh ng t p m t p m Ví d 1: Cho X m t t p tùy ý khác r ng τ = P(X) h t t c t p c a X Khi τ m t tơpơ X (X, τ ) đư c g i khơng gian tơpơ r i r c Ví d 2: Cho X m t t p tùy ý khác r ng τ = {∅, X} Khi τ m t tơpơ X (X, τ ) đư c g i không gian tôpô ph n r i r c hay không gian tôpô t m thư ng Ví d 3: Cho X m t t p h p, a ∈ X H τ = {∅} ∪{A ⊂ X : a ∈A} m t tôpô X Tơpơ g i tơpơ có m ñ c bi t M t trư ng h p đ c bi t c a tơpơ tơpơ Sierpinski X= {0,1} cho b i Ví d 4: Cho X m t t p h p, a ∈ X H τ = {∅, {0} ,X} τ = {X} ∪{A ⊂ X : a ∉ X} m tơpơ X Tơpơ đư c g i tơpơ b m t m t 1.1.2 Lân c n c a m t ñi m, m trong, t p đóng a Lân c n c a m t ñi m: Cho X không gian tôpô, x ∈ X T p V c a X ñư c g i m t lân c n c a x n u t n t i U∈τ : x ∈U ⊂ V ð nh lí 1: N u V x h t t c lân c n c a ñi m x (i) x ∈ V v i m i V∈ V x (ii) N u V1, V2 ∈ V x V1 ∩ V2 ∈ V x (iii) N u V1 ∈ V x V2 ⊃ V1 V2 ∈ V x (iv) V i m i V∈ V x có m t W ∈ V x cho V ∈ V y cho m i y ∈ W Ngư c l i, n u v i m i x ∈ X có m t h V x t p c a X cho th a mãn u ki n có m t tôpô nh t X nh n m i V x làm h t t c lân c n c a ñi m x Ch ng minh: Các tính ch t (i), (ii), (iii) hi n nhiên ñúng ð ch ng minh (iv) ta nh n xét r ng n u V ∈ V x có m t t p m G cho x ∈ G ⊂ V: l y W = G ta s có v i m i y ∈ W, W ∈ V y , V ∈ V y Bây gi gi s v i m i x ∈ X có m t h V x th a mãn ñi u ki n (i), (ii), (iii), (iv) Cho G h t t c t p G cho : G ∈ V x v i m i x ∈ G Rõ ràng ∅ ∈ G (i) (iii) nên X ∈ G V l i n u G1 , G2 ∈ G G1 ∩ G2 ∈ G, v i m i x ∈ G1 ∩ G2 ta có G1∈ V x (do x ∈ G1), G2 ∈ V x (do x ∈ G2) theo (ii), G1 ∩ G2 ∈ V x N u G α ∈ G ∪α Gα ∈ G, v i m i x ∈ ∪ α Gα ta có x ∈ Gα ( v i m t α ) Gα0 ∈ V x theo (iii) ∪ α Gα ∈ V x V y G m t tơpơ X Trong tơpơ đó, ta ch ng minh r ng m i V x h t t c lân c n c a x Th t v y, n u V m t lân c n c a x theo ñ nh nghĩa ph i có m t t p G ∈ G ⊂ V, x ∈ G nên theo ñ nh nghĩa c a G, G∈ V x r i theo (iii) V∈ V x Ngư c l i, cho V∈ V x g i G t p t t c ñi m y cho V ∈ V y V i m i y ∈ G, V ∈ V y nên theo (iv) có m t Wy ∈ V y cho V ∈ V z cho m i z ∈ Wy : u có nghĩa Wy ⊂ G G ∈ V y (theo(iii)) V y G ∈ G x ∈ G ⊂ V nên V m t lân c n c a x Tóm l i G tôpô nh n m i V x làm h t t c lân c n c a x N u có m t tơpơ G * có tính ch t d th y r ng G = G * b ði m trong: X m t không gian tôpô, A ⊂ X, x0 ñư c g i ñi m c a A n u t n t i m t lân c n U c a x0 cho U ⊂ A Nh n xét: A m ch ∀x ∈ A : x ñi m c a A Ch ng minh: ⇒ A m Ta c n ch ng minh ∀x ∈ A ñ u ñi m c a A Do A m nên A lân c n c a x ( ∀x ∈ A ) M t khác: A ⊂ A ⇒ x ñi m c a A ( ∀x ∈ A ) ⇐ ∀x ∈ A, x ñi m c a A, ta c n ch ng minh A m Vì x ñi m c a A nên t n t i m t lân c n U x c a x mà U x ⊂ A T suy ra: ∪ U x ⊂ A x∈A Vì x ∈ U x nên ∀x ∈ A ta có : A ⊂ ∪ U x x∈A ⇒ A = ∪ Ux x∈A Do U x ∈τ ⇒ ∪ U x ∈τ ⇒ A ∈τ hay A t p m (đpcm) x∈A c T p đóng: T p A c a khơng gian tơpơ (X,τ ) đư c g i t p đóng n u X \ A ∈τ Ví d 1: Trong khơng gian tơpơ (X,τ ) X ∅ v a t p đóng v a t p m ð nh lí 2: N u D h t t c t p đóng khơng gian tơpơ (X,τ ) Khi ñó: (i) ∅ ∈D,X∈D (ii) H p h u h n t p đóng t p đóng (iii) Giao tùy ý t p đóng t p ñóng Ch ng minh: (i) Do ∅ ∈τ ⇒ X \ ∅ = X∈ D X ∈ τ ⇒ X \ X = ∅∈ D {Ai } (i = 1,n ) m (ii) Gi s n t h ph n t c a D ð t A = ∪ Ai i =1 n X \ A = X\ n ∪ Ai = ∩ (X \ Ai ) i =1 Ta có: i =1 n Do Ai ñóng nên X\ Ai m Suy ∩ (X \ Ai ) m i =1 n ⇒ X \ ∪ A i ∈τ i =1 n ⇒ A = ∪ Ai ∈D (ñpcm) i=1 (iii) Gi s Ta có: {Bi }i∈I h tùy ý t p đóng ð t B = X\ B = X\ ∩ Bi i∈I ∩ Bi = ∪ (X \ Bi ) i∈I i∈I Do Bi ∈D nên X\ Bi ∈τ ∪ (X \ Bi ) ∈τ Suy ra: i∈I ⇒ X \ ∩ Bi ∈τ i∈I ⇒ B = ∩ Bi ∈D (đpcm) i∈I 1.1.3 So sánh hai tơpơ Cho X ≠ ∅ xác đ nh hai tơpơ τ1,τ X N u τ1 ⊂ τ ta nói τ2 m nh (m n) τ ho c τ y u τ Nh n xét: Trong m t t p h p tơpơ ph n r i r c tôpô y u nh t, tôpô r i r c tôpô m nh nh t 1.1.4 Cơ s c a m t không gian tôpô a Cơ s c a m t không gian tôpô Cho không gian tôpô (X,τ ), B ⊂ τ ñư c g i m t s c a không gian tôpô X n u v i m i A ∈ τ t n t i {Bi }i∈I , Bi ∈ B, ∀i ∈ I cho A = ∪ Bi i∈I ⇔ ∀ A ∈ τ , ∀ x ∈ A t n t i t p m B, B ∈ B , x ∈ B ⊂ A Ví d 1: X = {a , b, c }, τ = {X, ∅ , {a}, {a, b}, {a,c}} Khi τ m t tôpô X s c a khơng gian X ð nh lí 3: Cho khơng gian tơpơ (X,τ ) có s B Khi B có tính ch t sau: (i) ∀ U1 ∈ B , ∀ U2 ∈ B , ∀ x ∈ U1 ∩ U2 t n t i U ∈ B cho: x ∈ U ⊂ U1 ∩ U2 (ii) ∀ x ∈ X t n t i U ∈ B cho: x ∈ U Ch ng minh: (i) ∀ U1 ∈ B , ∀ U2 ∈ B ⇒ U1 ∩ U2 t p m nên U1 ∩ U2 ∈ τ Theo ñ nh nghĩa s ∀ x ∈ U1 ∩ U2 t n t i U ∈ B cho x ∈ U ⊂ U1 ∩ U2 (ii) Gi s ∀ x ∈ X, ∀ U ∈ B x ∉ U Khi m i t p m A X ch a x khơng t n t i U ∈ B cho U ⊂ A ⇒ Mâu thu n v i gi thi t B s ⇒ ∀ x ∈ X t n t i U ∈ B cho x ∈ U (ñpcm) b Cơ s lân c n c a không gian tôpô t i m t ñi m Gi s x m t m c a khơng gian tơpơ X H B(x) nh ng lân c n c a x ñư c g i m t s lân c n c a không gian tôpô (X,τ ) hay s lân c n c a tôpô τ t i ñi m x n u v i m i lân c n V c a x t n t i m t t p h p U ∈ B(x) cho U ⊂ V Ví d 1: X khơng gian tơpơ r i r c, ∀ x ∈X {x} s lân c n t i x ð nh lí 4: X khơng gian tơpơ, ∀ x ∈X, Bx s lân c n t i x Khi l p { Bx }x ∈ X có tính ch t : (i) ∀ U ∈ Bx x ∈U ∀ x ∈X Bx ≠ ∅ (ii) ∀ x ∈U ∈ Bx , t n t i V ∈ Bx cho x ∈ V ⊂ U (iii) ∀ U1 ∈ Bx , ∀ U2 ∈ Bx , t n t i U ∈ Bx cho U ⊂ U1 ∩ U2 L p { Bx }x ∈ X g i h th ng ñ y ñ lân c n c a không gian tôpô (X,τ ) Ch ng minh: (i) ∀ U ∈ Bx ⇒ U m t lân c n c a x Khi theo đ nh nghĩa lân c n c a m t m x ∈ U ∀x ∈ X : H t t c lân c n c a X m t s lân c n ⇒ Bx ≠ ∅ (ii) Suy t ñ nh nghĩa s lân c n (iii) ∀ U1 ∈ Bx , ∀ U2 ∈ Bx ⇒ U1 ∩ U2 m t lân c n c a x Do Bx s tôpô nên t n t i U ∈ Bx cho x ∈ U ⊂ U1 ∩ U2 1.1.5 Xây d ng tơpơ có s cho trư c ho c có t p h p đóng cho trư c: Chúng ta ñã bi t m t s B c a không gian tôpô (X,τ ) có tính ch t: a) V i m i U1 , U ∈ B, v i m i x ∈ U1 ∩ U , t n t i U ∈ B cho: x ∈U ⊂ U ∩ U b) V i m i x ∈ X , t n t i U ∈ B cho : x ∈ U V y n u m t h B nh ng t p c a m t t p h p X th a mãn hai u ki n có t n t i hay không m t tôpô X nh n B làm s ð nh lí 5: Gi s h B nh ng t p c a m t t p h p X th a mãn: a) V i m i U1 , U ∈ B, v i m i x ∈ U1 ∩ U , t n t i U ∈ B cho: x ∈U ⊂ U ∩ U b) V i m i x ∈ X , t n t i U ∈ B cho : x ∈ U Khi t n t i m t tôpô τ X cho B m t s c a không gian tôpô (X,τ ) Ch ng minh: G i τ h nh ng t p h p c a X mà m i t p h p thu c τñ u h p c a m t h nh ng t p h p thu c B Khi τ m t tôpô X Th t v y, hi n nhiên ∅ ∈τ X ∈τ h p c a m t h tùy ý t p thu c τ thu c τ Bây gi ta ñi ch ng minh giao c a hai t p thu c τ thu c τ Gi s U, V ∈τ : U = ∪ U s , U s ∈ B v i m i s ∈S V = ∪ Vt , Vt ∈ B, v i m i t ∈T t∈T s∈S Do đó:      s∈S   t∈T  U ∩ V =  ∪ Us  ∩  ∪ Vt  = ∪∪ ( Us ∩ Vt ) s∈S t∈T V y ñ ch ng minh U ∩ V∈τ ta ch c n ch ng minh Us ∩ Vt ∈τ v i m i t ∈T, s∈S T (a) ta có v i m i x ∈ Us ∩ Vt t n t i U x ∈ B cho: x ∈ U x ⊂ Us ∩ Vt Us ∩ Vt = ∪ U x V y Us ∩ Vt ∈τ v i m i t ∈T x∈Us ∩Vt s∈ S V y t đ nh nghĩa τ ta có B m t s c a τ 10 M nh đ 5: Trong m t khơng gian vectơ tơpơ, bao đóng c a m t t p h p l i l i, bao đóng c a m t t p h p cân cân, bao đóng c a m t t p t ñ i l i t ñ i l i Ch ng minh: Gi s A m t t p h p t ñ i l i a ∈ A, b ∈ B, λ + µ ≤ V i m i lân c n U, t n t i m t lân c n V v i V + V ⊂ U ( theo ñ nh lý 17); ñó t n t i nh ng ñi m x ∈ A ∩ (a + V) y ∈ A ∩ (b + V) v y : λ x + µ y ∈ (λ A + µ A) ∩ (λ a + µ b + λ V + µ V) ⊂ A ∩ (λ a + µ b + V + V) ⊂ ⊂ A ∩ (λ a + µ b + U) V y nên λ a + µ b ∈ A ⇒ A t ñ i l i ð i v i t p l i t p cân phép ch ng minh hoàn toàn tương t H qu : M t khơng gian vectơ tơpơ có m t s g m nh ng lân c n cân đóng, n a m t khơng gian l i đ a phương có m t s lân c n đóng v i tính ch t: (i) N u U ∈ U , V∈ U t n t i W ∈ U v i W ⊂ U ∩ V (ii) N u U∈ U v i ∀α ≠ α U ∈ U (iii) M i U∈ U t ñ i l i hút Ch ng minh: Các bao đóng c a t p h p thu c m t s U nh ng lân c n cân, thành l p m t s lân c n B i n u U∈ U t n t i m t lân c n V∈ U v i V+V ⊂ U; n u x ∈ V x + V g p V, x ∈ V-V = V + V ⊂ U V y m i khơng gian vectơ tơpơ đ u có m t s lân c n cân đóng N u E m t không gian l i ñ a phương, theo ñ nh nghĩa t n t i m t s lân c n l i N u U m t lân c n l i ∩ µU m t lân c n cân đư c ch a µ ≥1 U ( đ nh lý 17) Nó l i b i giao c a nh ng t p h p l i Như v y, t n t i m t s V g m nh ng lân c n t ñ i l i Khi s ph i tìm t p h p U t t c t p h p α V v i α ≠ V ∈ V V y t p 36 h p c a U nh ng lân c n U m t s M nh ñ kh ng ñ nh r ng bao ñóng c a t p h p thu c U v n t ñ i l i M nh đ 6: (i) Trong m t khơng gian l i ñ a phương E, m t n a chu n P liên t c ( ch ) liên t c t i m g c (ii) N u P hàm c c a t p h p t ñ i l i hút U, P liên t c ch U m t lân c n Khi ph n c a U { x : P( x) < 1} bao ñóng c a U { x : P( x) ≤ 1} Ch ng minh: (i) N u P liên t c t i ñi m g c ε > m t s cho trư c, t n t i m t lân c n V cho P( x) < ε x ∈ V V y v i a m t ñi m tùy ý c a E, ta có: P( x) − P(a) ≤ P( x − a) < ε x ∈ a + V (ii) N u U m t lân c n s ε > cho trư c P( x) ≤ ε x ∈ ε U , v y P liên t c t i ñi m g c, theo (i) liên t c E N u P liên t c V = { x : P( x) < 1} m ngh ch nh c a kho ng m (-1, 1) Nhưng V ⊂ U nên U m t lân c n Ta có V = { x : P( x) ≤ 1} , b i t p h p v ph i đóng ch a V; n u x m t ñi m c a t p h p y W m t lân c n tùy ý, W hút nên t n t i µ v i < µ < − µ x ∈ W Do đó: (1 − µ ) x ∈ x + W P((1 − µ ) x) = (1 − µ )P( x) ≤ − µ < v y (1 − µ ) x ∈ V x ∈ V Hơn n a int V = V n u x ∈ int V t n t i m t lân c n W v i x + W ⊂ V , t n t i < µ < µ x ∈ W , v y (1 + µ ) x ∈ V Thành th P((1 + µ ) x) ≤ P( x) < t c x ∈ V V ⊂ U ⊂ V ⇒ int U=V U = V ð nh lí 21: Khơng gian l i đ a phương E kh mêtric ch tách có m t s lân c n (c a ñi m g c) ñ m ñư c Tôpô c a m t khơng gian kh mêtric ln ln có th xác ñ nh b i m t mêtric, b t bi n ñ i v i phép t nh ti n Ch ng minh: 37 N u E kh mêtric dĩ nhiên tách có m t s đ m đư c nh ng lân c n c a ñi m g c Ngư c l i, n u E có m t s đ m đư c m i lân c n ñ u ch a m t lân c n t ñ i l i, nên t n t i m t s (Un) nh ng lân c n t ñ i l i G i Pn hàm c c a Un ð t: ∞ f ( x) = ∑ 2− n inf{Pn ( x), 1} n =1 Th f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ), f (− x) = f ( x ) n u f ( x) = Pn ( x ) = v i m i n, v y x = b i E tách Ta xác ñ nh d b i: d ( x, y ) = f ( x − y ) Thì d m t mêtric d ( x + z , y + z ) = d ( x, y ) , v y d b t bi n ñ i v i phép t nh ti n Trong tôpô mêtric t p h p: Vn = { x : f ( x) < 2− n } l p thành m t s lân c n Nhưng Vn m ñ i v i tôpô xu t phát, n a Vn ⊂ Un b i n u x ∉ U n Pn ( x) ≥ 1, v y f ( x) ≥ 2− n V y d xác ñ nh tơpơ c a E ð nh lí 22: Cho B m t s lân c n không gian vectơ tôpô X Không gian X Hausdorff ch v i m i x ≠ đ u có m t V ∈ B khơng ch a x t c : ∩ V = {0} (2) V∈B Ch ng minh: N u X khơng gian Hausdorff v i m i x ≠ t n t i m t lân c n U không ch a x, mà B s lân c n nên t n t i V ∈ B cho V ⊂ U, x ∉ V ta có (2) Ngư c l i n u (2) v i m i x, y phân bi t, t c x − y ≠ t n t i m t V∈ B cho x − y ∉ V theo ñ nh lý 16 t n t i m t lân c n cân W cho W + W ⊂ V: hai lân c n W + x, W + y, khơng th có m chung z y x − y = ( z − y ) − ( z − x) ∈ W − W = W + W ⊂ V, trái v i cách ch n V 38 2.3 Xác đ nh m t tơpơ l i ñ a phương b i m t h sơ chu n B ñ 2: M t hàm ρ :X → ℝ sơ chu n ch hàm c c a m t t p l i, cân hút, m t chu n ch hàm c c a m t t p l i, cân, hút khơng ch a tr n v n m t đư ng th ng Ch ng minh: Th t v y, n u C m t t p l i, hút cân d th y r ng hàm c ρC c a (theo m nh đ 2) nghi m ñúng ρC (- x ) = ρC ( x ) v i m i α < ρC ( α x ) = α ρC ( x ) v i m i α ρC m t sơ chu n N u C l i không ch a tr n v n m t đư ng th ng c v i m i x ≠ ph i có λ > cho x ∉ λ C t c ρC ( x ) ≥ λ ρ m t chu n Ngư c l i, n u ρ m t sơ chu n t p C = { x : ρ ( x) < 1} l i v i x ∈ C, y ∈ C, < α < ta có ρ ( α x +(1- α ) y) ≤ α ρ ( x ) + (1- α ) ρ (y) < Hơn n a C cân ρ ( x ) < kéo theo ρ (- x ) = ρ ( x ) < C hút n u x ρ ( x) < D th y ρ ( x ) = inf {λ > : x∈ λ C} x ∈ X λ > ρ ( x ) ρ ( ) = λ λ ρ ( x ) = ρC ( x) Sau cùng, n u ρ m t chu n v i m i x ≠ 0, ρ ( x ) > ρ ( α x ) = α ρ ( x ) ≥ (v i α ñ l n ), t c α x ∉ C ch ng t C khơng ch a tr n v n đư ng th ng ñi qua x B ñ 3: Trong m t không gian vectơ tôpô m t sơ chu n ρ ( x ) liên t c ch t p V = { x : ρ ( x) < 1} m t lân c n Ch ng minh: Th t v y, n u ρ ( x ) liên t c v i < ε < (tùy ý) t n t i m t lân c n U cho ρ ( x ) < ε v i m i x ∈ U, U ⊂ V V m t lân c n Ngư c l i, n u V m t lân c n v i ε > tùy ý, ε V lân c n v i m i y∈ ε V ta có y ρ (y) = ε ρ ( ) < ε V y v i x ∈ ε V + a ta có ρ ( x - a ) < ε , ε ρ ( x) − ρ (a) ≤ ρ ( x − a) < ε Ch ng t ρ ( x ) liên t c t i a tùy ý 39 ð nh lí 23: Trong m t khơng gian vectơ X cho m t h sơ chu n Γ tùy ý Trên X có m t tơpơ tương h p v i c u trúc ñ i s , ñó m i sơ chu n thu c h Γ ñ u liên t c Tôpô y l i ñ a phương nh n làm s lân c n c a g c h t t c t p có d ng :    x :sup ρi ( x) < ε  ( ε > 0, ρi ∈ Γ )  1≤i≤n  Nó m t tôpô Hausdorff ch : ( ∀x ≠ 0) ( ∃ρ ∈Γ) ρ ( x) > (3) (4) Ch ng minh: Cho B0 h t t c t p có d ng: V = { x : ρ ( x) < 1} , v i ρ ∈ Γ Theo b ñ t p V l i, cân hút, theo đ nh lý 18 có m t tơpơ X tương h p v i c u trúc ñ i s , mà m i t p V m t lân c n t c theo b ñ m i sơ chu n ρ ∈ Γ liên t c Cũng theo ñ nh lý 18 tơpơ y l i đ a phương, v i s lân c n h t t c t p có d ng: n ε ∩ Vi ( ε > 0,Vi ∈ B0 ) i =1 Nhưng rõ ràng: n ε ∩ i =1 Vi = {ε x : ρi ( x) < 1, i =1,2, n} = { x : ρi ( x) < ε , i =1,2, n }   =  x : sup ρ ( x) < ε   1≤i≤n  Nghĩa t p (1) t p (3) M t khác, theo ñ nh lý 22 X khơng gian Hausdorff ch giao c a t t c t p (3) {0}, mà ñi u l i tương ñương v i : B t kỳ x ≠ 0, t n t i m t t p (3) không ch a x , t c t n t i m t ε > m t ρ ∈ Γ cho ρ ( x ) ≥ ε Như v y, m i h sơ chu n Γ X xác đ nh m t tơpơ l i ñ a phương, v i s lân c n t p (3) Ngư c l i, b t kỳ tơpơ l i đ a phương có th coi đư c xác đ nh b i m t h sơ chu n 40 Th t v y, cho B0 m t s lân c n l i, cân ( hút), t n t i theo ñ nh lý 18, xét hàm c c a t p thu c B0 Theo b đ 2, hàm s nh ng sơ chu n d th y r ng tơpơ l i đ a phương xác đ nh ( theo ð nh lý 23) b i h sơ chu n trùng v i tơpơ v n có c a không gian Trong trư ng h p h sơ chu n Γ ch g m m t ph n t nh t ρ ( x ) ñi u ki n tách ( Hausdorff) bu c ρ ( x ) > v i m i x ≠ y ρ ( x ) m t chu n ta có m t khơng gian ñ nh chu n Nh n xét: Tôpô c a m t khơng gian l i đ a phương E có th xác đ nh b i m t h n a chu n Khơng gian E đư c g i kh ñ nh chu n n u tơpơ c a có th xác đ nh đư c b i m t chu n P 2.4 Tôpô l i ñ a phương m nh nh t: M t không gian vectơ X g i không gian l i đ a phương tơpơ c a ñư c g i tôpô l i ñ a phương Như v y, m t không gian n tính X có th xét nhi u tơpơ l i ñ a phương khác nhau, tùy theo cách ch n h sơ chu n Tơpơ l i đ a phương xác ñ nh b i h t t c sơ chu n X dĩ nhiên tơpơ l i đ a phương m nh nh t ð nh lí 24: (i) Tơpơ l i đ a phương m nh nh t m t không gian n tính X Hausdorff (ii) Trên m t không gian vectơ h u h n chi u ch có m t tơpơ l i đ a phương Hausdorff nh t, tơpơ Euclide thơng thư ng Ch ng minh: (i) N u a ≠ ℝ a không gian m t chi u sinh b i a, M ph n bù ñ i s c a ℝ a ∀ x ∈ X ñ u có m t bi u di n nh t dư i d ng x = α a + u v i α ∈ ℝ , u ∈ M T p C = { x = α a + u: α đ cho ±λi ei ∈ V V l i nên bao l i U c a {λ1e1 , , λn en } n m V, mà U hi n nhiên m t G0 – lân c n.V y G ⊂ G0 T ñ nh lý ta th y tơpơ Euclide tơpơ l i đ a phương m nh nh t không gian h u h n chi u H qu : M i không gian h u h n chi u c a m t khơng gian l i đ a phương Hausdorff ñ u ñóng Ch ng minh: Cho (X,τ ) khơng gian l i đ a phương Hausdorff M không gian h u h n chi u c a X Do đ nh lý 24 tơpơ c m sinh c a Euclide ð t Un = BM (0 ; τ lên M tơpơ 1 ) hình c u m tâm bán kính M V i n n m i n t n t i τ - lân c n g c l i, cân Vn cho Vn ∩ M ⊆ Un Gi s ( xλ )λ∈I dãy M h i t v x ∈ X Ta s ch ng minh x ∈ M Do xλ → x v i m i n ∈ ℕ t n t i λn ∈ I cho xλ ∈ x + Vn v i m i λ ≥ λn Chú ý r ng, ta có th ch n cho λn < λn +1 v i m i n Như v y ( xλ n ) m t dãy c a ( xλ ) Bây gi l y xλ m xλ n v i m < n , ta có xλ n , xλ m ∈ x + Vm Vì v y xλ m − xλ n ∈ Vm − Vm = 2Vm M t khác, l i có xλ m − xλ n ∈ M nên xλ m − xλ n ∈ 2U m Hay xλ m − xλ n < V y ( xλ m ) dãy Cauchy M nên h i t ñ n y ∈ M m Do tính nh t c a gi i h n khơng gian Hausdorff ta có x = y ∈ M 2.5 M t s không gian l i ñ a phương thư ng g p: Ví d 1: ℝ m t khơng gian l i đ a phương v i s lân c n g c tương ng là: V = { ε B(0;1) | ε > } = { B(0; ε )| ε >0} 42 Th t v y Trong ℝ phép c ng vectơ phép nhân vectơ v i m t s liên t c tơpơ xác đ nh b i chu n Gi s , lim xn = x0 , lim yn = y0 ℝ lim λn = λ0 ℝ n →∞ Khi đó: n →∞ n →∞ ( xn + yn ) − ( x0 − y0 ) ≤ xn − x0 + yn − y0 → n → ∞ V y lim( xn + yn ) = x0 + y0 ⇒ Phép c ng liên t c v i tơpơ xác đ nh b i chu n n →∞ Và λn xn − λ0 x0 = λn ( xn − x0 ) + (λn − λ0 ) x0 ≤ λn xn − x0 + λn − λ0 x0 → ( n → ∞ ) V y lim λn xn = λ0 x0 ⇒ Phép nhân liên t c v i tơpơ xác đ nh b i chu n Như v y, không gian ℝ khơng gian vectơ tơpơ Ta s ch ng minh s lân c n g c V = { ε B(0;1) | ε > } = { B(0; ε )| ε >0 } c a không gian ℝ t p l i V i ∀ x, y ∈ B(0, ε ) ta có : x < ε , y < ε ≤ α ≤ : α x + (1 − α ) y ≤ α x + (1 − α ) y < αε + (1 − α )ε < ε ⇒ Trong khơng gian ℝ hình c u tâm 0, bán kính ε > t p l i ⇒ V t p l i ⇒ Không gian ℝ khơng gian l i đ a phương Ví d 2: Khơng gian K a, b  hàm s có đ o hàm m i c p [a, b] Ta g i   Vm,ε t p t t c hàm ϕ ( x) cho: sup ϕ (k) ( x) < ε (k = 1,2, ,m) , m s t nhiên, v i m i s ε > a ≤ x≤b Trong ϕ (k) đ o hàm c p k c a ϕ ( ϕ (0) ϕ ) Khi K a,b  m t   khơng gian l i đ a phương, v i s lân c n g c K a, b  lân c n  Vm,ε 43  Th t v y Tương t ví d ta ch ng minh đư c K a,b  m t không gian   vectơ tôpô v i s lân c n g c Vm,ε Ta ñi ch ng minh s lân c n g c Vm,ε m t t p l i Th t v y, v i ∀ ϕ ,ψ ∈Vm,ε , ∀x ∈ [a, b], ∀k = 0,m ta có: (k) (k) sup ϕ ( x) < ε , sup ψ ( x) < ε ( k = 0,1, , m) a ≤ x≤b a ≤ x≤b n u ≤ α ≤ thì: αϕ (k) ( x) + (1 − α )ψ (k) ( x) ≤ α ϕ (k) ( x) + (1 − α ) ψ (k) ( x) ⇒ sup αϕ (k) ( x) + (1 − α )ψ (k) ( x) ≤ a ≤ x≤ b ≤ α sup ϕ (k) ( x) + (1 − α ) sup ψ (k) ( x) < a ≤ x≤ b a ≤ x≤b < αε + (1 − α )ε = ε v i m i k = 0,1, , m, αϕ + (1 − α )ψ ∈ Vm,ε Do K a, b  m t không   gian l i đ a phương Ví d 3: Cho ℝ ∞ không gian dãy s x = (ξ1 , ξ , , ξ n , ) , y = (η1 ,η2 , ,ηn , ) v i phép tốn đ i s : x + y = (ξ1 + η1 , ξ + η2 , , ξ n + ηn , ) α x = (αξ1,αξ , ,αξ n , ) V i m i b m s t nhiên k1,k , ,k m m t s ε > ta kí hi u V(k1 ,k , ,k m ,ε ) t p t t c dãy x ∈ ℝ ∞ cho: ξ k < ε (i = 1,2, , m) i Khi ℝ ∞ m t khơng gian l i đ a phương Th t v y Hồn tồn tương t ví d ta ch ng minh ñư c ℝ ∞ m t không gian vectơ tôpô v i s lân c n g c h t t c V(k1 ,k , ,k m , ε ) ( v i m i giá tr có th c a k1,k , ,k m ε > ) 44 Ch ng minh V(k1 ,k , ,k m , ε ) m t t p l i Th t v y, gi s có dãy x, y ∈ V(k1 ,k , ,k m , ε ) ta có : ξ ki < ε , ηk1 < ε n u ≤ λ ≤ λξ ki + (1 − λ )ηk1 = λ ξ ki + (1 − λ ) ηk1 < λε + (1 − λ )ε = ε ⇒ λ x + (1 − λ ) y ∈ V(k1 ,k , ,k m , ε ) ⇒ V(k1 ,k , ,k m , ε ) t p l i V y ℝ ∞ m t không gian l i đ a phương Ví d 4: Khơng gian C[a, b] hàm liên t c ño n h u h n [a, b] m t khơng gian l i đ a phương Th t v y D th y C[a , b ] m t khơng gian vectơ v i hai phép tốn c ng nhân thơng thư ng Ta ch ng minh C[a, b] m t không gian l i ñ a phương v i chu n xác ñ nh sau: x = sup x(t ) a ≤t ≤ b Th t v y, v i ∀x(t ), y (t ) ∈ C[a, b] , ∀λ ∈ ℝ ta có: (i) Hi n nhiên x = sup x(t ) ≥ x = ⇔ sup x(t ) = ⇔ x(t ) = ∀t ∈ [a,b] a ≤t ≤ b a ≤t ≤ b ⇒ x=0 (ii) λ x = sup λ x(t ) = λ sup x(t ) = λ x a ≤t ≤b a ≤t ≤b (iii) Ta có : x(t ) + y (t ) ≤ x(t ) + y (t ) ⇔ sup x(t ) + y (t ) ≤ sup ( x(t ) + y (t ) ), ∀t ∈ [a, b] a ≤t ≤ b a ≤t ≤b ⇔ sup x(t ) + y (t ) ≤ sup x(t ) + sup y (t ) a ≤t ≤ b a ≤t ≤b a ≤t ≤b ⇔ x+ y ≤ x + y V y C[a, b] m t không gian l i ñ a phương Nh n xét: (i) C( S ) t p h p hàm có giá tr th c (hay ph c ) liên t c không gian tôpô S, v i S compact C( S ) m t khơng gian l i ñ a phương xác ñ nh b i chu n: 45 x = sup x(t ) t∈S (ii) T p h p t t c hàm liên t c ( −∞, +∞) có giá tr th c (hay ph c) Ta xét : Pn ( x) = sup x(t ) ( n =1,2, ) − n ≤ t ≤n Hoàn toàn tương t ta s ch ng minh ñư c Pn n a chu n Như v y, t h n a chu n s xác ñ nh m t tơpơ l i đ a phương t p h p đó⇒ T p h p t t c hàm liên t c ( −∞, +∞) có giá tr th c ( hay ph c) m t khơng gian l i đ a phương Tuy nhiên khơng gian khơng kh đ nh chu n Vì n u t n t i m t chu n xác đ nh tơpơ y, hình c u ñơn v U s ch a m t lân c n V = {x : Pn < ε } v i m t n ε > đó, Pn ( x) = s kéo theo x = , v y x = Nhưng v i m i n, ñ u t n t i m t hàm liên t c x, khơng đ ng nh t b ng không, b ng không [-n, n] , v y Pn(x) = Ví d 5: V i m i ρ > ta kí hi u   ∞ ρ ρ   lρ =  x = ( xn ) ⊂ ℝ (∑ xn ) < +∞  n =1     Khi lρ khơng gian l i ñ a phương v i ρ ≥ Th t v y D th y lρ m t khơng gian vectơ v i phép tốn xác đ nh theo t a ñ ( xn ) + ( yn ) = ( xn + yn ) λ ( xn ) = (λ xn ) Ta ñi ch ng minh lρ ( ρ ≥ ) không gian l i ñ a phương xác ñ nh b i chu n sau: ∞ x = (∑ xn ) < +∞ ρ ρ n =1 46 Th t v y, v i x, y ∈ lρ , ∀λ ∈ R ta có: ∞ ∞ (i) x = (∑ xn ) ≥ x = ⇔ (∑ xn ) = ⇔ xn = ∀n = 1, ρ ρ n =1 ρ ρ n =1 ⇔ x=0 ∞ ∞ (ii) λ x = (∑ (λ xn ) ) = (∑ λ ρ ρ n =1 ρ ∞ xn ) = λ (∑ x ) = λ x ρ ρ n =1 ρ ρ n =1 (iii) T b t ñ ng th c Minkowski: N u a j ≥ 0, b j ≥ 0, ∀j = 1,m 1 ρ    ρ ρ ρ  ∑ ( a j + b j )  ≤  ∑ (a j )  +  ∑ (b j )   j =1   j =1   j =1        n n Ta có ρ ρ n ( ρ ≥ 1) x+ y ≤ x + y Như v y, lρ khơng gian l i đ a phương ρ ≥ N u < ρ < khơng gian lρ t t c dãy v i ∞ ∑ xn ρ < +∞ m t không n =1 gian mêtric v i mêtric xác ñ nh b i: n d ( x, y ) = ∑ xn − yn ρ i =1 Tuy nhiên ta s ch ng minh đư c khơng l i đ a phương Vì n u l i đ a phương t p h p { x : d ( x,0) ≤ 1} s ch a m t lân c n U t ñ i l i, t p h p l i ch a m t t p h p có d ng { x : d ( x,0) ≤ ε } v i m t ε > N u x (r) (r) = ( xn ) v i xr (r) = n = r xn (r) = n ≠ r ε x (r) ∈ U ρ ρ −1 V y y =ε s ∑ x(r) ∈ U Nhưng d ( y,0) = ε s1− p > s l n 1≤ r ≤s Ví d 6: N u S m t t p h p tùy ý, kí hi u T(S) khơng gian vectơ t t c hàm xác đ nh S có giá tr th c ( hay ph c) T(S) m t khơng gian l i đ a phương v i tôpô h i t t i t ng ñi m Th t v y 47 Trên T (S) ta xét : ρt ( x) = x(t ) ∀x ∈ T (S) , v i m i t ∈ S Ch ng minh ρt n a chu n : ∀x, y ∈T(S) , ∀λ ∈ k , ∀t ∈ S ta có: (i) Hi n nhiên ρt ( x) = x(t ) ≥ (ii) ρt (λ x) = λ x(t ) = λ x(t ) = λ ρt ( x) (iii) ρt ( x + y ) = x(t ) + y (t ) ≤ x(t ) + y (t ) = ρt ( x) + ρt ( y ) Như v y, ρt m t h n a chu n T(S) H n a chu n s xác ñ nh m t tơpơ l i đ a phương T(S) V i tơpơ l i đ a phương T (S) tr thành m t không gian l i đ a phương Ví d 7: Khơng gian ℂ m t khơng gian l i đ a phương Th t v y Ta s ñi ch ng minh ℂ m t khơng gian l i đ a phương v i tơpơ xác đ nh b i chu n: 2 x1 + x2 , x = ( x1 , x2 ) ∈ℂ x = Th t v y, v i m i x = ( x1 , x2 ), y = ( y1, y2 ) ∈ ℂ , λ ∈ ℂ ta có (i) Hi n nhiên x ≥ x = ⇔ 2 x1 + x2 = ⇔ x1 = x2 = ⇔ x = 2 λ x1 + λ x2 = λ ( x1 + x2 ) = λ (ii) λ x = (iii) Ta có 2 x1 + y1 + x2 + y2 ≤ ( x1 + y1 ) + ( x2 + y2 ) = 2 2 2 2 = x1 + x2 + y1 + y2 + 2( x1 y1 + x2 y2 ) ≤ 2 2 ≤ x1 + x2 + y1 + y2 + ( x1 + x2 )( y1 + y2 ) = =   x1 + x2 + ⇒ x1 + y1 + x2 + y2 2 2  y1 + y2   2 2 ≤ x1 + x2 + ⇔ x+ y ≤ x + y 48 2 x1 + x2 = λ x y1 + y2 K T LU N N i dung c a khóa lu n nghiên c u v khơng gian l i đ a phương ch ng minh m t s không gian không gian l i đ a phương Khóa lu n trình bày m t cách có h th ng khái ni m m t s tính ch t b n v không gian tôpô, không gian n tính đ nh chu n, khơng gian vectơ tơpơ, t p l i cân hút t o s cho vi c nghiên c u không gian l i đ a phương Khóa lu n trình bày đư c m t s tính ch t quan tr ng c a khơng gian l i đ a phương, đ c bi t ñã ch ch ng minh m t s không gian không gian l i ñ a phương 49 TÀI LI U THAM KH O [1] Nguy n Văn Khuê (2000), Giáo trình gi i tích hàm, Nhà xu t b n ð i h c Sư ph m, Hà N i [2] GS.TSKH Nguy n Văn Khuê (ch biên) – Lê M u H i (2001), Cơ s Lý thuy t hàm Gi i tích hàm, Nhà xu t b n Giáo d c, Hà N i [3] Nguy n Xuân Liêm (1996), Gi i tích hàm, Nhà xu t b n Giáo d c, Hà N i [4] ð Văn Lưu (2000), Gi i tích l i, Nhà xu t b n Khoa h c K thu t, Hà N i [5] Hoàng T y (2003), Hàm th c gi i tích hàm, Nhà xu t b n ð i h c Qu c gia Hà N i [6].Uean-Marie Monier (2001), Giáo trình tốn – Gi i tích Gi i tích (b n ti ng vi t), Nhà xu t b n Giáo d c, Hà N i 50 ... c u v không gian tôpô, không gian n tính đ nh chu n, khơng gian vectơ tơpơ, khơng gian l i đ a phương + Ch ng minh m t s không gian không gian l i ñ a phương Phương pháp nghiên c u: + Phương. .. khơng gian đ u T1 – khơng gian Ví d 1: Khơng gian tôpô r i r c (X,τ ) T2 – không gian d T3 – không gian ( Không gian qui ) ð nh nghĩa: Khơng gian tơpơ (X,τ ) đư c g i T3 – khơng gian (ho c khơng gian. .. đư c g i khơng gian Tichonov g T4 - không gian ( Không gian chu n t c ) ð nh nghĩa: Không gian tơpơ X đư c g i T4 – khơng gian ( hay không gian chu n t c ) n u X m t T1 – không gian v i hai t