KHÔNG GIAN LỒI ðỊA PHƯƠNG 2.1 ðịnh nghĩa và ví dụ.
2.2.Một số tính chất cơ bản của không gian lồi ñịa phương:
ðịnh lí 18: Trong mỗi không gian lồi ñịa phương có một cơ sở lân cận lồi, cân
và hút
Ngược lại, nếu B0 là một họ tùy các tập lồi, cân và hút của một không gian vectơ X thì có một tôpô trên X tương hợp với cấu trúc ñại số, trong ñó mỗi tập thuộc họ B0 là một lân cận. Tôpô ấy lồi ñịa phương và nhận làm cơ sở lân cận họ tất cả các tập có dạng: 1 V ( 0,V n i i i ε ε = > ∈ ∩ B0) (1) Chứng minh:
Giả sử X là không gian lồi ñịa phương, với cơ sở lân cận lồi B. B’ là họ tất cả các tập V′có dạng V = V′ ∩-Vvới V∈B. Rõ ràng các V′∈ B’ cũng là lân cận, và vì V′ ⊂V nên B’ vẫn là một cơ sở lân cận. Vì V lồi nên - V và V′cũng lồi. Vả lại V′cân, vì nếu x ∈ V′, α ≤1 thì 0 1 1
2 α + ≤ ≤ , - x∈V′, mà V′lồi nên 1 (1 1)( ) V 2 2 x α x α x
α = + + − + − ∈ ′. Vậy B’ là một cơ sở lân cận lồi, cân (và hút, theo ñịnh lý 16)
Ngược lại, giả sử B0là một họ tập con lồi, cân và hút của một không gian vectơ X, gọi B là họ tất cả các tập có dạng (1). Rõ ràng B thỏa mãn các ñiều kiện (i), (ii), (iv) của ñịnh lý 17. Nó cũng thỏa mãn cả ñiều kiện (iii), vì nếu
V ∈ B ( có dạng (1) ) thì V lồi ( giao của một họ các tập lồi là tập lồi) và lấy W = 1V 2 ta có W + W = 1 1 V + V = V 2 2 ( ñẳng thức này là do V lồi). Do ñó áp dụng ñịnh lý 17 ta suy ra kết quả
Chú ý : Có thể ñòi hỏi các lân cận thuộc cơ sở nói trong phần ñầu của ñịnh lý 18 ñều là ñóng
Thật vậy, ta hãy lấy các bao ñóng của những phần tử của một cơ sở lân cận lồi, cân (và hút ), và gọi B0 là họ tất cả các bao ñóng ấy. B0 cũng là một cơ sở lân cận và các phần tử của B0 cũng cân. Vả lại các tập ñó dĩ nhiên là ñóng và hút. Vậy chỉ còn phải chứng minh thêm rằng các tập ñó lồi. Và ñiều ñó chứng minh như sau:
Cho A là một tập lồi, A là bao ñóng của nó, x, y là hai ñiểm bất kỳ của bao ñóng này, và αlà một số thực giữa 0 và 1. Với mỗi lân cận V ñều có một lân cận W sao cho W + W ⊂V. Vì x ∈A nên lân cận 1W
α + x có chứa ít nhất một ñiểm x1∈A , và vì y ∈A nên lân cận 1 W 1−α + y có ít nhất một ñiểm y1 ∈A. Nhưng A lồi nên αx1+(1−α)y1∈A và ta có: 1 (1 ) 1 (W ) W (1 ) x y x y α + −α ∈ +α + + −α ⊂V+αx+(1−α)y
chứng tỏ lân cận V +αx+(1−α)ycó chứa một ñiểm αx1+(1−α)y1∈A. Do ñó (1 )
x y
α + −α ∈Avà bao ñóng này lồi
ðịnh lí19: Giả sử E là một không gian lồi ñịa phương và A là một tập bị chặn
trong E. Khi ñó bao lồi cân
Γ(A) = n n 1 1 : 1, A, 1,n i i i i i i x λx λ x i = = = ≤ ∈ = ∑ ∑ của A cũng bị chặn Chứng minh:
Mệnh ñề 3: Giả sử E là không gian lồi ñịa phương. Khi ñó 0 ∈E có cơ sở lân cận U thỏa mãn :
(i) α V ∈U ∀ ∈α K, α ≠0, ∀ ∈V U (ii) Mọi V∈U là lồi và cân
Thật vậy, giả sử U′là cơ sở lân cận của 0 ∈E thành lập từ các tập lồi. ðặt U = 1 V : V U µ α µ ≥ ′ ∈ ∩
Ta kiểm lại U là cơ sở lân cận 0∈E thỏa mãn hai tính chất trên
Theo 1.3.4 – các tính chất của tôpô vectơ suy ra mọi W ∈U là lân cận của 0∈E. Mặt khác, vì 1 V V, V U µ µ ≥ ′ ⊂ ∀ ∈
∩ họ U là cơ sở lân cận của 0∈E
Do ñó U hiển nhiên thỏa mãn tính chất (i) và tính chất (ii) ñược suy ra từ ñịnh nghĩa của U
Cho U là một lân cận của 0∈E. Vì E lồi ñịa phương nên theo mệnh ñề 3 suy ra tồn tại lân cận lồi cân V của 0∈E ñể V⊂U. Vì A bị chặn ta tìm ñược
0
ε > sao cho εA⊂V. ðiều này suy ra:
(A) ( A) (V)= V U
εΓ = Γ ε ⊆ Γ ⊂ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
ðịnh lí 20: Giả sử V là một họ tùy ý các tập con lồi, cân và hút của không
gian vectơ E. Khi ñó tồn tại tôpô lồi ñịa phương yếu nhất trên E sao cho mọi phần tử của V là lân cận của 0∈E
Chứng minh:
ðể chứng minh ñịnh lý này trước tiên ta ñi chứng minh mệnh ñề sau:
Mệnh ñề 4: Giả sử U là họ các tập con của không gian vectơ E thỏa mãn
(i) Uα ∈U ∀ ∈α K,α ≠0, U∀ ∈U (ii) Mọi U ∈U là lồi và cân
(iii) Mọi U ∈U là hút
(iv) ∀U, V∈U , W∃ ∈U : W ⊂U∩V
Thì tồn tại duy nhất tôpô ñịa phương T trên E sao cho U là cơ sở lân cận của 0∈E
Thật vậy, với mỗi x∈E ta ñặt: V (x) = {x+U :∃ ∈U : Z Z ⊂U} Ta kiểm tra họ V (x) thỏa mãn các tiên ñề về lân cận của x
Nếu V = x + U∈V (x) thì x∈V vì 0∈U
Giả sử V1 = x + U1, V2 = x + U2 là hai tập tùy ý thuộc V (x). Do (iii) tồn tại W∈U ñể W ⊂U1∩U2. Suy ra x + W ⊂V1∩V2 và x + W ∈V (x)
Cho V = x + U ∈V (x), chọn Z ∈U : Z ⊂U Do Z là lồi nên nếu W = 1
2 x+ Z∈ V (x) thì: 1 1 1 1 W V 2 2 2 2 y+ Z ⊂ + Z = +x Z + Z = +x Z ⊂ (∀y ∈W)
Như vậy, họ tất cả các tập V (x), x∈E xác ñịnh tôpô T trên E. Vậy T là tôpô vectơ trên E và hơn nữa T là tôpô lồi ñịa phương vì cơ sở lân cận U của 0∈E thành lập từ các tập lồi Xét họ U = { 1 n V : Vi i i ε ≤ ≤ ∩ ∈ V , i=1,n ,ε >0}. Khi ñó U thỏa mãn bốn tính chất của mệnh ñề trên .Thật vậy
(i) Nếu U = 1 n V ,i 0,Vi i ε ε ≤ ≤ > ∈ ∩ V , i=1,n, thì do Vi là cân nên ta có i 1 i n U V α α ε ≤ ≤ = ∩ ∈U ,∀ ∈α K,α ≠0
(ii) Là hiển nhiên vì giao của các tập lồi cân và bội vô hướng của một tập lồi cân là lồi cân (iii) U = 1 n Vi i ε ≤ ≤
∩ là hút vì giao hữu hạn của các tập hút và bội vô hướng khác không của tập hút là hút (iv) Giả sử U1 = 1 i1 2 2 j2 1 i n 1 j n V , U V ε ε ≤ ≤ ≤ ≤ = ∈
∩ ∩ U. Khi ñó nếu ε =min ( , ) 0ε ε1 2 > ta có U = i1 j2 1 j n V V ε ≤ ≤ ∈ ∩ ∩ ∩ U
Theo mệnh ñề 4 họ U xác ñịnh một tôpô lồi ñịa phương T trên E trong ñó mọi tập thuộc V là lân cận của 0∈E và T là tôpô yếu nhất thỏa mãn yêu cầu của ñịnh lý.
Mệnh ñề 5: Trong một không gian vectơ tôpô, bao ñóng của một tập hợp lồi là lồi, bao ñóng của một tập hợp cân là cân, bao ñóng của một tập tuyệt ñối lồi là tuyệt ñối lồi
Chứng minh:
Giả sử A là một tập hợp tuyệt ñối lồi và a A, b B,∈ ∈ λ + µ ≤1. Với mọi lân cận U, tồn tại một lân cận V với V + V ⊂U ( theo ñịnh lý 17); do ñó tồn tại những ñiểm x∈A (a V)∩ + và y∈A (b V)∩ + vậy :
( A A) ( a b V V) A ( a b V V) A ( a b U) x y λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ λ µ + ∈ + ∩ + + + ⊂ + + + ⊂ ⊂ + + ∩ ∩
Vậy nên aλ +µb A∈ ⇒Alà tuyệt ñối lồi. ðối với tập lồi và tập cân thì phép chứng minh hoàn toàn tương tự
Hệ quả: Một không gian vectơ tôpô có một cơ sở gồm những lân cận cân và
ñóng, hơn nữa một không gian lồi ñịa phương có một cơ sở lân cận ñóng với các tính chất:
(i) Nếu U ∈U , V∈U thì tồn tại W ∈U với W U V⊂ ∩ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
(ii) Nếu U∈U và với ∀ ≠α 0 thì Uα ∈U (iii) Mỗi U∈U là tuyệt ñối lồi và hút
Chứng minh:
Các bao ñóng của các tập hợp thuộc một cơ sở U những lân cận cân, thành lập một cơ sở lân cận. Bởi vì nếu U∈U thì tồn tại một lân cận V∈U với V+V⊂ U; khi ñó nếu x∈V thì x+Vgặp V, do ñó x∈V-V = V + V⊂U. Vậy mọi không gian vectơ tôpô ñều có một cơ sở lân cận cân và ñóng.
Nếu E là một không gian lồi ñịa phương, thì theo ñịnh nghĩa tồn tại một cơ sở lân cận lồi. Nếu U là một lân cận lồi thì
1
U
µ
µ
≥
∩ là một lân cận cân ñược chứa trong U ( ñịnh lý 17). Nó cũng là lồi bởi vì nó là giao của những tập hợp lồi. Như vậy, tồn tại một cơ sở V gồm những lân cận tuyệt ñối lồi. Khi ñó cơ sở phải tìm là tập hợp U tất cả các tập hợp Vα với α ≠0và V ∈V. Vậy các tập
hợp của U là những lân cận và U là một cơ sở. Mệnh ñề 5 khẳng ñịnh rằng các bao ñóng của các tập hợp thuộc U vẫn là tuyệt ñối lồi.
Mệnh ñề 6:
(i) Trong một không gian lồi ñịa phương E, một nửa chuẩn P là liên tục khi ( và chỉ khi ) nó liên tục tại ñiểm gốc.
(ii) Nếu P là hàm cỡ của tập hợp tuyệt ñối lồi và hút U, thì P là liên tục khi và chỉ khi U là một lân cận. Khi ñó phần trong của U là {x: P( ) 1x < }và bao ñóng của U là {x: P( ) 1x ≤ }.
Chứng minh:
(i) Nếu P liên tục tại ñiểm gốc và ε >0là một số cho trước, thì tồn tại một lân cận V sao cho P( )x <ε khi x∈V. Vậy với a là một ñiểm tùy ý của E, ta có:
P( ) P(a)x − ≤P(x−a)<ε khi x∈ +a V
(ii) Nếu U là một lân cận và số ε >0 là cho trước thì P( )x ≤εkhi x∈εU, vậy P liên tục tại ñiểm gốc, và theo (i) nó liên tục trên E
Nếu P liên tục thì V = {x: P( ) 1x < }là mở vì nó là nghịch ảnh của khoảng mở (-1, 1). Nhưng V⊂U nên U là một lân cận. Ta có V={x: P( ) 1x ≤ }, bởi vì tập hợp ở vế phải là ñóng và chứa V; nếu x là một ñiểm của tập hợp ấy và W là một lân cận tùy ý, vì W là hút nên tồn tại µ với 0<µ <1 và −µx∈W. Do ñó: (1−µ)x∈ +x Wvà P((1−µ) ) (1x = −µ)P( ) 1x ≤ −µ<1
vậy (1−µ)x∈Vdo ñó x∈V. Hơn nữa int V V= vì nếu x∈int V thì tồn tại một lân cận W với x+W⊂V, do ñó tồn tại 0<µ <1 và µx∈W, vậy (1+µ)x∈V. Thành thử P((1+µ) ) 1x ≤ do ñó P( ) 1x < tức là x∈Vvà V⊂U⊂V⇒int U=V và U V= .
ðịnh lí 21: Không gian lồi ñịa phương E là khả mêtric khi và chỉ khi nó là tách và nó có một cơ sở lân cận (của ñiểm gốc) ñếm ñược. Tôpô của một không gian khả mêtric luôn luôn có thể xác ñịnh bởi một mêtric, bất biến ñối với các phép tịnh tiến
Nếu E là khả mêtric thì dĩ nhiên nó là tách và có một cơ sở ñếm ñược những lân cận của ñiểm gốc.
Ngược lại, nếu E có một cơ sở ñếm ñược thì vì mỗi lân cận ñều chứa một lân cận tuyệt ñối lồi, nên tồn tại một cơ sở (Un) những lân cận tuyệt ñối lồi. Gọi Pn
là hàm cỡ của Un. ðặt: n n n 1 ( ) 2 inf{P ( ), 1} f x x ∞ − = =∑ Thế thì (f x+ y)≤ f x( )+ f y( ), (f −x)= f x( )và nếu ( ) 0f x = thì P ( ) 0n x = với mọi n, vậy x=0 bởi vì E là tách. Ta hãy xác ñịnh d bởi:
( , ) ( )
d x y = f x−y
Thì d là một mêtric và (d x+z y, +z)=d x y( , ), vậy d là bất biến ñối với các phép tịnh tiến. Trong tôpô mêtric các tập hợp:
Vn = { x f x: ( ) 2< −n} (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
lập thành một cơ sở lân cận. Nhưng Vn là mở ñối với tôpô xuất phát, hơn nữa Vn⊂Un bởi vì nếu x∉Unthì P ( ) 1n x ≥ , vậy f x( ) 2≥ −n. Vậy d xác ñịnh tôpô của E
ðịnh lí 22: Cho B là một cơ sở lân cận trong không gian vectơ tôpô X. Không
gian X là Hausdorff khi và chỉ khi với mỗi x≠0 ñều có một V ∈ B không chứa
x tức là : V V {0} B ∈ = ∩ (2) Chứng minh:
Nếu X là không gian Hausdorff thì với mỗi x≠0 tồn tại một lân cận U không chứa x, mà B là cơ sở lân cận nên tồn tại V
∈B sao cho V⊂U, do ñó x∉V và ta có (2). Ngược lại nếu (2) ñúng thì với mọi
x, y phân biệt, tức là x− ≠y 0 tồn tại một V∈B sao cho x− ∉y Vvà theo ñịnh lý 16 tồn tại một lân cận cân W sao cho W + W ⊂V: hai lân cận W + x, W + y, không thể có ñiểm chung z vì khi ấy
( ) ( ) W W = W W V,