Giả sử E là một không gian vectơ tôpô. Các tính chất sau suy trực tiếp từ tính liên tục của các phép tính của E
Tính chất 1: Mọi lân cận của x∈E nhận ñược bởi sự tịnh tiến lân cận nào ñó của 0 E∈ . ðiều này có nghĩa là V là một lân cận của x∈E ⇔tồn tại lân cận U của 0 E∈ ( 0 – lân cận) sao cho V = x + U
Tính chất 2 : Bội vô hướng khác không của một 0 – lân cận là một 0 – lân cận
Tính chất 3: Mọi 0 – lân cận U là hút, nghĩa là với mọi x∈E tồn tại ε> 0 sao cho λx∈U với mọi λ <ε và có một 0 – lân cận V ñể V + V ⊂U
Tính chất 4: Mọi 0 – lân cận chứa một 0 – lân cận cân, ở ñây 0 – lân cận U gọi là cân nếu
U, : 1, U
x x
λ ∈ ∀λ λ ≤ ∀ ∈
Thật vậy, cho U là một 0 – lân cận. Do phép nhân K× E ∋( λ, x) → λx ∈E là liên tục, tồn tại ε> 0 và 0 – lân cận V sao cho λV⊂Uvới mọi λ, λ ≤ε. Suy ra Vε ⊂µU, ∀µ ≥1 ðặt 1 W U µ µ ≥
=∩ . Khi ñó W là 0 – lân cận với Vε ⊆W⊆U. Hơn nữa W là cân,
bởi vì nếu 0< λ ≤1 và x∈W ta có: x µU λ 1 λ ∈ ∀ ≥ Vậy thì λx∈W
Tính chất 5: E là không gian Hausdorff nếu và chỉ nếu với mọi x≠0 tồn tại 0 – lân cận U ñể x ∉U
Thật vậy, ñiều kiện cần là hiển nhiên. Ngược lại cho x, y E∈ với x ≠ y. Do
x - y≠0, theo giả thiết có một lân cận U ñể x – y ∉U. Theo tính chất 3 và tính chất 4, tồn tại 0 – lân cận cân V ñể V + V ⊂U. Khi ñó x + V và y + V là hai lân cận rời nhau của x và y.
CHƯƠNG 2