KHÔNG GIAN LỒI ðỊA PHƯƠNG 2.1 ðịnh nghĩa và ví dụ.
2.4.Tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất:
Một không gian vectơ X gọi là không gian lồi ñịa phương thì tôpô của nó ñược gọi là tôpô lồi ñịa phương. Như vậy, cùng trên một không gian tuyến tính X có thể xét nhiều tôpô lồi ñịa phương khác nhau, tùy theo cách chọn họ sơ chuẩn. Tôpô lồi ñịa phương xác ñịnh bởi họ tất cả các sơ chuẩn trên X dĩ nhiên là tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất.
ðịnh lí 24:
(i) Tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất trên một không gian tuyến tính X là Hausdorff.
(ii) Trên một không gian vectơ hữu hạn chiều chỉ có một tôpô lồi ñịa phương Hausdorff duy nhất, ñó là tôpô Euclide thông thường.
Chứng minh:
(i) Nếu a 0≠ và ℝa là không gian một chiều sinh bởi a, M là phần bù ñại số của
a
ℝ thì ∀x ∈X ñều có một biểu diễn duy nhất dưới dạng x = αa + uvới α ∈ℝ, u ∈M. Tập C={x=αa +u: α<1}là tập lồi, cân, hút cho nên hàm cỡ ρC(x) là một sơ chuẩn với ρC(a) ≥1, chứng tỏ tính Hausdorff của tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất trên X.
(ii) Gọi G0 là tôpô Euclie và G là tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất trên X. ðể chứng minh (ii) chỉ cần vạch rõ G ⊂G0, nghĩa là mọi tập lồi, cân và hút V (G –
lân cận ) ñều cũng là G0 – lân cận. Nếu e1, e2,…, en là một cơ sở ( theo nghĩa ñại số ) của X thì do V hút nên với mỗi i có một λi >0 ñể cho ±λi ie ∈Vvà vì V lồi nên bao lồi U của {λ1 1e,....,λn ne }nằm trong V, mà U hiển nhiên là một G0 – lân cận.Vậy G⊂G0
Từ ñịnh lý trên ta thấy tôpô Euclide cũng là tôpô lồi ñịa phương mạnh nhất trên không gian hữu hạn chiều.
Hệ quả: Mọi không gian con hữu hạn chiều của một không gian lồi ñịa phương Hausdorff ñều ñóng
Chứng minh:
Cho (X,τ ) là không gian lồi ñịa phương Hausdorff và M là không gian con hữu hạn chiều của X. Do ñịnh lý 24 tôpô cảm sinh của τ lên M chính là tôpô Euclide. ðặt Un = BM (0 ; 1
n) là hình cầu mở tâm 0 bán kính 1
n trong M. Với mỗi n tồn tại τ - lân cận gốc lồi, cân Vn sao cho Vn ∩ M ⊆Un.
Giả sử ( )xλ λ∈I là dãy trong M hội tụ về x∈X. Ta sẽ chứng minh x∈ M Do xλ →xvới mỗi n ∈ℕ tồn tại λn∈I sao cho xλ∈ +x Vn với mọi λ λ≥ n. Chú ý rằng, ta có thể chọn sao cho λn <λn +1 với mọi n. Như vậy (xλn) là một dãy con của ( )xλ . Bây giờ lấy xλmvà xλn với m < n , ta có xλn, xλm∈ +x Vm. Vì vậy xλm −xλn∈Vm −Vm =2Vm.
Mặt khác, lại có xλm −xλn∈ M nên xλm−xλn∈2Um
Hay m n 2
m
xλ −xλ < . Vậy (xλm) là dãy Cauchy trong M nên hội tụ ñến y∈M. Do tính duy nhất của giới hạn trong không gian Hausdorff ta có x= ∈M y