ðịnh nghĩa: Cho E là một không gian vectơ tôpô với B là một cơ sở lân cận. Khi ñó B ñược gọi là cân nếu mỗi phần tử của nó là cân và ñược gọi là lồi nếu mỗi phần tử của nó là lồi hơn nữa nếu mỗi phần tử của B là lồi cân thì ta nói B
Bổ ñề 1: Trong không gian vectơ tôpô, mỗi lân cận V là một tập hút và bao hàm một lân cận cân W sao cho W + W ⊂V
Chứng minh:
Thật vậy, với mỗi x cố ñịnh hàm ( )f λ =λx liên tục tại λ =0nên với lân cận V cho trước tồn tại ε >0 sao cho hễ λ ≤ε thì λx∈Vtức là hễ α 1
ε
≥ thì V
x∈α . Do ñó V hút, vả lại hàm ( , )g x y = +x y liên tục tại x = 0, y = 0 nên tồn tại các lân cận W1, W2 sao cho x+ ∈y Vvới mọi x∈W1, y∈W2.
Khi ấy, U =W1 ∩W2 là một lân cận, với U+U ⊂V. Vì hàm h( , )α x =αxliên tục tại x=0,y=0nên tồn tại một lân cận W0 và một số ε >0 sao cho
U
x
α ∈ với mọi x∈W0 và α ≤ε. Do ñó αW0 ⊂U với mọi α ≤ε tức là
εW0 ⊂λU với mọi λ ≥1. Thành thử εW0 ⊂W= ∩λ≥1λU mà εW0 là một lân cận nên W cũng là một lân cận. Nhưng W ⊂U, do ñó W + W ⊂V, ñồng thời W là cân vì rằng nếu x∈W, 0< α ≤1thì x λ
α
∈ U với mọi λ ≥1( khi ấy 1
λ
α ≥ ) tức là αx∈λUvới mọi α ≤1và mọi λ ≥1 hay nói khác ñi αx∈W với mọi α ≤1
ðịnh lí 17: Trong mỗi không gian vectơ tôpô X bao giờ cũng có một cơ sở lân
cận B của gốc sao cho:
(i) Mỗi V ∈ B ñều cân và hút
(ii) Nếu V ∈ B thì Vα ∈ B với mọi α ≠0
(iii) Mỗi V ∈ B bao hàm một W ∈ B sao cho W + W ⊂V
(iv) Với mỗi cặp V1, V2 ∈ B tồn tại W ∈ B sao cho W⊂V1 ∩V2
Ngược lại , nếu trong một không gian vectơ X tồn tại một họ B ≠ ∅các tậpcon của X thỏa mãn các ñiều kiện trên thì có một tôpô duy nhất trên X tương hợp với cấu trúc ñại số, nhận B làm cơ sở lân cận của gốc
Gọi B là tập tất cả các lân cận cân của gốc ( tồn tại theo bổ ñề 1) thì dễ thấy rằng B là một cơ sở lân cận thỏa mãn cả bốn ñiều kiện trên.
Ngược lại, giả sử ta lấy trong không gian vectơ X một họ B các tập con của X thỏa mãn bốn ñiều kiện trên. Gọi V là họ tất cả các tập con của X có bao hàm một phần tử của B và V xlà họ tất cả các tập có dạng V + x, vớiV ∈ V
Rõ ràng các V xthỏa mãn ba ñiều kiện ñầu nêu trong ñịnh lý 1(chẳng hạn nếu V1, V2 ∈ V , thì V1 ⊃ V′1, V2 ⊃V′2 với V′1,V′2 ∈ B và theo giả thiết (iv) tồn tại W ∈ B sao cho W ⊂ V′ ∩1 V′2 ⊂V1 ∩V2, chứng tỏ V1 ∩V2 ∈ V ). Hơn nữa với mọi V ∈ V , ta có V V′⊃ , V′∈ B và theo giả thiết (iii) tồn tại
W ∈ B sao cho W + W⊂ V′lúc ñó với mọi y∈ W ta có:
W W + W V V
y∈ ⊂ ⊂ ′⊂ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
cho nên V∈ Vy .Vậy các V x cũng thỏa mãn cả ñiều kiện thứ tư trong ñịnh lý 1. Do ñó theo ñịnh lý này, có một tôpô duy nhất trên X nhận mỗi V xlàm họ tất cả các lân cận của ñiểm x
Ta ñi chứng minh rằng tôpô ñó tương hợp với cấu trúc ñại số. Nhưng cho trước V∈ B ta tìmñược theo giả thiết (iii), W ∈ B sao cho W + W ⊂V và khi ấy hễ
x′ ∈ W + x, y′ ∈W + y thì x′+ y′∈W + W + x+ y ⊂ V +x+ y, chứng tỏ hàm
x+ y liên tục. Mặt khác, với mọi xcho trước , ta có theo giả thiết (i) (W hút), một λ> 0 sao cho x∈λW, và khi ấy hễ α α 1,x (α 1) W1 x
λ λ − ′− < ′∈ + + thì ( ) ( ) x x x x x α′ ′−α =α′ ′− + α′−α ∈ 1 1 1 1 (α )(α ) W ( ) Wλ λ λ λ − + + + W W V = + ⊂ chứng tỏ hàm αxcũng liên tục