Xác ñịnh một tôpô lồi ñịa phương bởi một họ sơ chuẩn.

KHÔNG GIAN LỒI ðỊA PHƯƠNG 2.1 ðịnh nghĩa và ví dụ.

2.3. Xác ñịnh một tôpô lồi ñịa phương bởi một họ sơ chuẩn.

Bổ ñề 2: Một hàm :Xρ →ℝlà sơ chuẩn khi và chỉ khi nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân và hút, nó là một chuẩn khi và chỉ khi nó là hàm cỡ của một tập lồi, cân, hút và không chứa trọn vẹn một ñường thẳng nào.

Chứng minh:

Thật vậy, nếu C là một tập lồi, hút và cân thì dễ thấy rằng hàm cỡ ρCcủa nó (theo mệnh ñề 2) nghiệm ñúng ρC(-x) =ρC(x) do ñó với mọi α <0 thì

C

ρ (α x) = α ρC(x) với mọi α và ρClà một sơ chuẩn. Nếu C lại không chứa trọn vẹn một ñường thẳng nào cả thì với mọi x ≠0 phải có λ > 0 sao cho

x∉ λC tức là ρC(x)≥λcho nên ρlà một chuẩn.

Ngược lại, nếu ρlà một sơ chuẩn thì tập C ={x: ( ) 1ρ x < } lồi vì với

x∈C, y ∈C, 0<α<1 ta có ρ(α x+(1- α) y) ≤α ρ(x) + (1-α)ρ(y) < 1 . Hơn nữa C cân vì ρ(x) < 1 kéo theo ρ(-x) = ρ(x) < 1 và C cũng hút vì nếu

x∈X và λ > ρ(x) thì ρ(x

λ) = ρ( )x

λ < 1. Dễ thấy ρ(x) = inf {λ>0 :x∈λC} cho nên ρ(x) = ρC( )x . Sau cùng, nếu ρ là một chuẩn thì với mọi x ≠0,

ρ(x) > 0 cho nên ρ(α x) = α ρ(x)≥1 (với αñủ lớn ), tức là α x∉C chứng tỏ C không chứa trọn vẹn ñường thẳng nào ñi qua 0 và x

Bổñề 3: Trong một không gian vectơ tôpô một sơ chuẩn ρ(x) là liên tục khi và chỉ khi tập V = {x: ( ) 1ρ x < }là một lân cận

Chứng minh:

Thật vậy, nếu ρ(x) liên tục thì với 0< <ε 1(tùy ý) tồn tại một lân cận U sao cho ρ(x) < ε với mọi x∈U, do ñó U ⊂V và V là một lân cận. Ngược lại, nếu V là một lân cận thì với ε >0 tùy ý, εV cũng là lân cận và với mọi y∈ε V ta có

ρ(y) = ε ρ(y

ε ) < ε . Vậy với x∈εV + a ta có ρ(x- a ) <ε , do ñó ( )x (a) (x a)

ðịnh lí 23: Trong một không gian vectơ X cho một họ sơ chuẩn Γtùy ý. Trên X có một tôpô tương hợp với cấu trúc ñại số, trong ñó mỗi sơ chuẩn thuộc họ

Γñều liên tục. Tôpô ấy lồi ñịa phương và nhận làm cơ sở lân cận của gốc họ tất cả các tập có dạng : 1 n :sup ( )i i x ρ x ε ≤ ≤   <     (ε > 0, ρ ∈ Γi ) (3) Nó là một tôpô Hausdorff khi và chỉ khi : ( ∀ ≠x 0) ( ∃ ∈ Γρ ) ( ) 0ρ x > (4)

Chứng minh:

Cho B0là họ tất cảcác tập có dạng:

V = {x: ( ) 1ρ x < }, với ρ∈ Γ

Theo bổ ñề 2 các tập V lồi, cân và hút, cho nên theo ñịnh lý 18 có một tôpô trên X tương hợp với cấu trúc ñại số, mà trong ñó mỗi tập V là một lân cận tức là theo bổ ñề 3 mỗi sơ chuẩn ρ∈ Γlà liên tục. Cũng theo ñịnh lý 18 tôpô ấy lồi ñịa phương, với cơ sở lân cận là họ tất cả các tập có dạng:

n 1 V (i 0,Vi i ε ε = > ∈ ∩ B0) Nhưng rõ ràng: { } { } n 1 1 n V : ( ) 1, 1,2,...n : ( ) , 1,2,...n : sup ( ) i i i i i x x i x x i x x ε ε ρ ρ ε ρ ε = ≤ ≤ = < = = < =   = <    ∩ Nghĩa là các tập (1) chính là các tập (3)

Mặt khác, theo ñịnh lý 22 thì X là không gian Hausdorff khi và chỉ khi giao của tất cả các tập (3) là {0}, mà ñiều này lại tương ñương với : Bất kỳ x ≠0, tồn tại một tập (3) không chứa x, tức là tồn tại một ε > 0 và một ρ∈Γsao cho

ρ(x) ≥ε. Như vậy, mỗi họ sơ chuẩn Γtrên X xác ñịnh một tôpô lồi ñịa phương, với cơ sở lân cận là các tập (3).

Ngược lại, bất kỳ tôpô lồi ñịa phương nào cũng có thể coi là ñược xác ñịnh bởi một họ sơ chuẩn.

Thật vậy, cho B0 là một cơ sở lân cận lồi, cân ( và hút), tồn tại theo ñịnh lý 18, và xét các hàm cỡ của các tập thuộc B0. Theo bổ ñề 2, các hàm số ñó là những sơ chuẩn và dễ thấy rằng tôpô lồi ñịa phương xác ñịnh ( theo ðịnh lý 23) bởi họ sơ chuẩn này trùng với tôpô vốn có của không gian.

Trong trường hợp họ sơ chuẩn Γchỉ gồm một phần tử duy nhất ρ(x) thì ñiều kiện tách ( Hausdorff) buộc ρ(x) > 0 với mọi x ≠0 khi ấy ρ(x) là một chuẩn và ta có một không gian ñịnh chuẩn

Nhận xét: Tôpô của một không gian lồi ñịa phương E có thể xác ñịnh bởi một họ các nửa chuẩn. Không gian E ñược gọi là khả ñịnh chuẩn nếu tôpô của nó có thể xác ñịnh ñược bởi một chuẩn P