Một vài vấn đề về không gian gf đếm được

MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Mối quan hệ không gian với sở yếu 1.1 Một số khái niệm tính chất 1.2 Mối quan hệ không gian với sở yếu 10 Các phủ đếm theo điểm không gian gf -đếm đư 2.1 Một số khái niệm tính chất 23 2.2 Mối quan hệ phủ đếm theo điểm không gian gf -đếm 25 Kết luận Tài liệu tham khảo 38 39 LỜI NÓI ĐẦU Cơ sở yếu khái niệm quan trọng tôpô, giới thiệu Arhangel’ski [1] Gắn liền với khái niệm ta có lớp không gian tôpô quan trọng không gian gf -đếm được, gs-đếm được, g-mêtric hóa, Các lớp không gian thu hút nhiều nhà toán học nước ý Những hướng nghiên cứu đặc biệt quan tâm mối quan hệ không gian, mối quan hệ phủ với đặc trưng khác không gian, tính mêtric hóa g-mêtric hóa không gian, Các nhà toán học Arhangel’ski, F Siwiec, L.Fored, Y Tanaka, S Lin, C Liu, đạt nhiều kết đặc sắc lĩnh vực Tiếp cận hướng nghiên cứu hướng dẫn thầy giáo PGS.TS Đinh Huy Hoàng mục đích nghiên cứu mối quan phủ đếm với các tính chất không gian gf -đếm nghiên cứu mối quan hệ không với sở yếu số không gian tôpô đặc biệt Với mục đích trên, luận văn chia làm chương Chương Mối quan hệ không gian với sở yếu Trong chương này, trình bày lại khái niệm, tính chất lưới, không gian tôpô đặc biệt cần dùng luận văn Trong phần tiếp theo, chứng minh chi tiết số mối quan hệ không gian với sở có tài liệu tham khảo chưa chứng minh chứng minh vắn tắt Bên cạnh đó, đưa chứng minh mối quan hệ không gian gf -đếm không gian đối xứng, điều kiện để không gian gf -đếm không gian đối xứng Chương Mối quan hệ phủ đếm theo điểm không gian gf -đếm Phần đầu chương này, dành để nhắc lại khái niệm phủ có tính chất (A), phủ có tính chất (B), họ HCP , họ W HCP chứng minh số tính chất chúng Trong phần tiếp theo, đưa chứng minh số mối quan hệ phủ với tính chất không gian gf -đếm tính chất không gian với sở yếu mà chúng có liên quan tới phủ đếm Sau số kí hiệu dùng luận văn Giả sử P họ tập X Khi ∪P = ∪{P : P ∈ P}; P m cho xk ∈ Pm Từ (a) suy xk → x Vì P cs-lưới nên tồn Pm0 ∈ P cho {x} ∪ {xk : k ≥ k0 } ⊂ Pm0 ⊂ U Điều mẫu thuẫn với (b) Giả sử G ⊂ X thoả mãn với x ∈ G tồn P ∈ Px với P ⊂ G Từ đó, theo cách đặt Px ta suy với x ∈ G tồn Qn (x) thoả mãn Qn (x) ⊂ G Do {Qn (x) : x ∈ X, n ∈ N} sở yếu X nên ta suy G mở X Vậy Tc = Px sở yếu Dễ thấy Tc ⊂ P mà P đếm theo x∈X điểm nên Tc đếm theo điểm Như Tc sở yếu đếm theo điểm X 2.2.13 Chú ý Từ cách chứng minh Định lý 2.2.12 ta thấy rằng, X không gian gf -đếm với cs-lưới đếm theo điểm P P có tính chất mà tính chất di truyền cho họ P X có sở yếu Tc có tính chất P Đặc biệt, P có tính chất σ-hữu hạn địa phương X có sở yếu σ-hữu hạn địa phương Vì thế, không gian g- mêtric hóa không gian gf -đếm cs-σ-không gian 31 2.2.14 Định lý Nếu X gf - đếm thứ khẳng định sau tương đương (1) X có sở yếu-sao đếm được; (2) X có cs-lưới-sao đếm được; (3) X có phủ sao-đếm thỏa mãn tính chất (B) Chứng minh (1)⇒(3) Hiển nhiên (3)⇒(2) Giả sử P phủ sao-đếm thỏa mãn tính chất (B) X Khi với x ∈ X, đặt Px = {P ∈ P : x ∈ P }, ∗ Px = {∪F : F họ hữu hạn Px } ∗ Gx = {Ints G : G ∈ Px }, G = ∪{Gx : x ∈ X} Đầu tiên, ta chứng tỏ G cs - lưới Thật vậy, giả sử {xn } dãy X, {xn } hội tụ tới x, x ∈ U với U mở X Từ giả thiết P thỏa mãn tính chất (B) suy tồn họ hữu hạn F P cho x ∈ Ints (∪F) ⊂ ∪F ⊂ U x ∈ ∩F ∗ Lấy G = ∪F G ∈ Px F = Ints G ∈ Gx Vì {xn } hội tụ tới x nên ∗ tồn no ∈ N cho xn ∈ Ints G với n ≥ no Như tồn F ∈ G cho {x} ∪ {xn : n ≥ no } ⊂ F ⊂ U Do đó, G cs - lưới Cuối cùng, ta chứng tỏ G có tính - đếm Giả sử G ∈ G Khi đó, tồn x ∈ X P1 , P2 , , Pn cho G = Ints ( i≤n sử G ∈ G với G = Ints ( i≤m Pi ); P1 , P2 , , Pm ∈ Py , 32 Pi ) Giả y điểm thuộc X Nếu G ∩ Pi = ∅ tồn Pj cho Pi ∩ Pj = ∅ Vì P có tính sao-đếm nên Pi giao với không đếm phần tử P ∈ P phần tử P lại giao với không đếm phần tử P Từ suy Pi giao với không đếm phần tử G ∈ G G giao với không đếm phần tử G ∈ G Vậy G có tính sao-đếm (2)⇒(1) Nhờ Chú ý 2.2.13 2.2.15 Bổ đề ([11], Chú ý 2(2)) Mọi không gian compact có k-lưới đếm theo điểm mêtric hóa 2.2.16 Bổ đề ([4], Định lý 2.4) Không gian X g-mêtric hóa X gf -đếm với k-lưới σ-hữu hạn địa phương 2.2.17 Định lý Giả sử X không gian gf -đếm Khi điều kiện sau tương đương (1) X có sở yếu σ-hữu hạn địa phương (2) X có cs-lưới σ-hữu hạn địa phương (3) X có k-lưới σ-hữu hạn địa phương Chứng minh (1)⇒ (2) Hiển nhiên (2)⇒(3) Giả sử P cs-lưới σ-hữu hạn địa phương với P = ∪{Pn : n ∈ N}, Pn hữu hạn địa phương với n ∈ N Chúng ta P k-lưới X Giả sử K ⊂ V với K compact khác rỗng V mở X Với n ∈ N, đặt An = {P ∈ Pn : P ∩ K = ∅, P ⊂ V } Khi An tập hữu hạn Thật vậy, Pn hữu hạn địa phương nên với x ∈ K, tồn Ux lân cận x cho tập {P ∈ Pn : Ux ∩ P = ∅, P ⊂ V } hữu hạn Do K tập compact nên tồn m ∈ N cho K ⊂ m i=1 33 Uxi với xi ∈ K, i = 1, m Do tập Bn = {P ∈ Pn : P ∩ m i=1 Uxi = ∅, P ⊂ V } hữu hạn ∞ Vì An ⊂ Bn nên An tập hữu hạn Đặt A = n=1 An , A đếm Do ta ký hiệu A = {Pi : i ∈ N} Khi đó, K ⊂ n ∈ N Thật vậy, giả sử ngược lại K ⊂ i≤n Khi ta chọn xn ∈ K \ i≤n i≤n Pi với Pi , với n ∈ N Pi Bởi {P ∩ K : P ∈ P} cs- lưới đếm theo điểm không gian compact K nên theo Bổ đề 2.2.15, K không gian compact mêtric Do {xn } có dãy {xnk }, mà xnk → x ∈ K Từ P cs - lưới, tồn m ∈ N P ∈ P cho {xnk : k ≥ m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ V Từ ta suy P ∩ K = ∅, tức P ∈ A Do tồn j ∈ N cho P = Pj Vậy {xnk : k ≥ m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ V Điều mâu thuẫn với cách xây dựng dãy {xn } Như ta có (2)⇒ (3) (3)⇒ (1) Theo Bổ đề 2.2.16, X g-mêtric hóa Do theo Định nghĩa g-mêtric hóa X có sở yếu σ- hữu hạn địa phương 2.2.18 Định lý Giả sử X gf -đếm được, P cs-lưới σ-HCP (tương ứng, σ-WHCP) đếm theo điểm X Khi X có sở yếu σ-HCP (tương ứng, σ-WHCP) đếm theo điểm Chứng minh Giả sử B = Bx sở yếu X, Bx x∈X đếm Khi ta có giả thiết Bx = {Bx,1 , Bx,2 , } mà Bx,n+1 ⊂ Bx,n Vì P cs-lưới σ-HCP nên P = ∞ n=1 Pn , Pn HCP Với x ∈ X, với tập mở U ⊂ X, x ∈ U , tồn B ∈ Bx , P ∈ Px cho x ∈ B ⊂ P ⊂ U (1) Thật vậy, P đếm theo điểm nên {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U } tập đếm Do ta viết {P ∈ P : x ∈ P ⊂ U } = {P1 , P2 , } 34 Nếu khẳng định (1) không Bx,n \Pm = ∅ với m ∈ N, n ∈ N Do với n ∈ N, với m ∈ N tồn xnm ∈ Bn \ Pm Với n ≥ m ta đặt xnm = yk k = m + n(n − 1)/2 Ta dãy {xn } có tính chất (a) Với n tồn k0 ∈ N cho xk ∈ Bn , với k ≥ ko n(n + ) (có thể chọn ko = (b) Với m = 1, 2, tồn k > m cho xn ⊂ Pm Từ (a) suy xk → x Vì P cs lưới nên tồn Pmo ∈ P cho {x} ∪ {xn : k ≥ ko } ⊂ Pmo ⊂ U Điều mâu thuẫn với (b) Vậy khẳng định (1) chứng minh Đặt (Pn )∗ họ tất giao hữu hạn tập thuộc Pn Từ Bổ đề 2.1.4 ta suy (Pn )∗ có tính chất HCP Từ giả thiết Pn khép kín phép lấy giao hữu hạn Với x ∈ X, với n = 1, 2, ta đặt Fn,x = {P ∈ Pn : ∃B ∈ Bx : B ⊂ P }; Fx = ∪{Fn,x : n = 1, 2, }; Fn = ∪{Fn,x : x ∈ X}; F = ∪{Fx : x ∈ X} Ta có Fn ⊂ Pn với n ∈ N, F = ∪{Fn : n = 1, 2, } ⊂ P Từ Pn đếm theo điểm Pn có tính chất HCP với n ∈ N, suy F đếm theo điểm σ - HCP Để hoàn thành chứng minh định lý ta chứng minh F sở yếu X Từ cách xây dựng Fx khẳng định (1) ta suy Fx lưới x với x ∈ X Giả sử P1 , P2 ∈ Fx ; B1 , B2 ∈ Bx thoã mãn B1 ⊂ P1 , B2 ⊂ P2 Từ B1 ∩ B2 ⊂ P1 ∩ P2 P1 ∩ P2 ∈ Pn suy P1 ∩ P2 ∈ Fn Cuối cùng, giả sử G ⊂ X cho với x ∈ G tồn P ∈ Fx mà P ⊂ G Khi tồn B ∈ Bx cho B ⊂ P ⊂ G Do G mở X Vậy F sở yếu đếm theo điểm σ - HCP 35 Định lý chứng minh 2.2.19 Định lý ([7], Định lý 2.1) Một không gian X g-mêtric hoá X có sở yếu σ-HCP 2.2.20 Hệ Không gian X g-mêtric hoá X gf -đếm với cs-lưới đếm theo điểm, σ-HCP Chứng minh Từ Định lý 2.2.18 Định lý 2.2.19 ta suy điều phải chứng minh 2.2.21 Bổ đề ([7], Bổ đề 3.1) Giả sử f : X → Y ánh xạ phủ dãy, đóng Nếu X có sở yếu đếm theo điểm Y gf -đếm 2.2.22 Bổ đề Nếu X s-ảnh đóng, phủ dãy không gian mêtric X có cs-lưới đếm theo điểm, σ-HCP Chứng minh Giả sử f : M → X s-ánh xạ, đóng, phủ dãy M không gian mêtric Gọi B sở σ-hữu hạn địa phương M , đặt P = {P = f (B) : B ∈ B} Ta chứng minh P cs-lưói đếm theo điểm Thật vậy, dãy {xn } hội tụ tới x, x ∈ U X tồn dãy {mn } hội tụ tới m M cho f (m) = x f (mn ) = xn với n ∈ N Từ suy m ∈ f −1 (U ) mở X Do tồn B ∈ B no ∈ N ∗ cho {mn : n ≥ no } ∪ {m} ⊂ B ⊂ f −1 (U ) V ì {xn : n ≥ no } ∪ {x} ⊂ P ⊂ U với P = f (B) Vậy P cs-lưới X Với x ∈ X, ký hiệu Dx tập đếm trù mật f −1 (y), đặt Px = {P ∈ P : x ∈ P } = {f (B) : B ∈ B B ∩ f −1 (x) = ∅} 36 Nếu B ∩ f −1 (x) = ∅ B ∩ Dx = ∅ Do {B ∈ B : B ∩ f −1 (x) = ∅} = {B ∈ B : B ∩ Dx = ∅} Suy P tập đếm theo điểm Vậy P cs-lưới dếm theo điểm X Biểu diễn B = n∈N∗ Bn , Bn hữu hạn địa phương Đặt Pn = {P = f (B) : B ∈ Bn } = {Pα : α ∈ ∧n } Giả sử ∧´n ⊂ ∧n A = {Aα : α ∈ ∧´n }, Aα ⊂ Pα với α ∈ ∧´n Khi tồn Cα ⊂ Bα cho với tập C X Ta có ∪{Aα : α ∈ ∧´n } ⊆ ∪{Aα : α ∈ ∧´n } = ∪{f (Cα ) : α ∈ ∧´n } Mặt khác ∪{f (Cα ) : α ∈ ∧´n } ⊂ f (∪{Cα : α ∈ ∧´n }) = f (∪{Cα : α ∈ ∧´n }) = f (∪{Cα : α ∈ ∧´n }) = ∪{f (Cα ) : α ∈ ∧´n } = ∪{f (Cα ) : α ∈ ∧´n } = ∪{Aα : α ∈ ∧´n } Từ ta có ∪{Aα : α ∈ ∧´n } = ∪{Aα : α ∈ ∧´n } P có tính chất HCP Như P = {P = f (B) : B ∈ B} = ∗ Pn n∈N cs-lưới đếm theo điểm, σ-HCP X 2.2.23 Định lý Nếu X s-ảnh đóng, phủ dãy không gian mêtric X g-mêtric hóa Chứng minh Từ Bổ đề 2.2.22 ta suy X có cs-lưới đếm theo điểm, σ-HCP Vì không gian mêtric có sở yếu đếm theo điểm X s-ảnh đóng, phủ dãy không gian mêtric nên theo Bổ đề 2.2.21 ta suy X gf -đếm Vậy theo Hệ 2.2.20 ta có X g-mêtric hóa 37 KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau đây: Hệ thống số khái niệm, tính chất loại lưới không gian với sở yếu Chứng minh chi tiết số kết có tài liệu tham khảo chúng chứng minh vắn tắt chứng minh Mệnh đề 1.2.1, 1.2.2, 1.2.3, 1.2.6, 1.2.7, 1.2.8, 1.2.12, Bổ đề2.1.4, Định lý 1.2.13 Đưa kết mối quan hệ không gian đối xứng không gian gf -đếm Mệnh đề 1.2.9, tìm điều kiện để không gian gf -đếm không gian đối xứng Định lý 1.2.11 Đưa số kết tồn tại, mối quan hệ phủ với tính chất không gian gf -đếm được, chúng thể qua Mệnh đề 2.2.1, 2.2.3, 2.2.7, Định lý 2.2.9, 2.2.11, 2.2.12, 2.2.14, 2.2.16, 2.2.18, Bổ đề 1.1.5, 1.2.16, Hệ 2.2.10 Đưa số điều kiện để không gian mêtric hay g-mêtric hóa Hệ 2.2.20, Định lý 2.2.23 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] A Arhangel’skii, (1966), Mappings and spaces, Russian Math Surveys, 18, 115 - 162 [2] A Arhangel’skii, (1968), A characterization of very k-spaces, Czech Math J., 18, 392 - 395 [3] R Egelking, (1977), General Topology, Warszawa [4] L Fored, (1982), On g-metrizability, Pacific J Math., 98 (2), 328-332 [5] G Gruenhage, E Michael and Y Tanaka, (1984), Spaces determined by point - countable covers, Pacific J Math., 113(2), 303 - 332 [6] S Lin and Y Tanaka, (1994), Point - countable k-networks, closed maps and related results, Topology and its Appl., 59, 79 - 86 [7] C Liu, (2005), On weak bases, Topology and its Appl., 150, 91 - 99 [8] Z Luo, (2005), sn-metrizable spaces and related matters, International J Math Sciences, 16, 2523 - 2531 [9] F Siwic and J Nagata, (1968), A note on nets and metrization, Proc Japan Acad., 44, 623 - 627 [10] F Siwiec, (1974), On defining a spcaces by a weak bace, Pacific J Math., 65, 113 - 118 [11] Y Tanaka, (2001), Theory of k-networks, General Topology, 19, 27 - 45 39 [12] Y Tanaka and Z Li, (2003), Certain covering - maps and knetworks, and related matters, Topology, Proc., 27, 317 - 334 [13] Pengfei Yan and Shou Lin, (1999), Point-countable k-networks, cs∗ -networks and α4 -spaces, 24, 345 - 354 [14] D H Hoang, L T Hanh, Fréchet spaces with networks, Preprint 40 [...]... X là không gian chính qui và là σ -không gian thì X có một lưới σ-rời rạc 1.2.5 Bổ đề ([1], Định lý 2.8) Một không gian gf -đếm được với một lưới σ-rời rạc là không gian đối xứng 1.2.6 Mệnh đề ([10]) Mọi không gian g-mêtric hóa được là không gian đối xứng Chứng minh Từ định nghĩa của không gian g-mêtric hóa được và không gian ta dễ dàng suy ra được một không gian g-mêtric hóa được là σ -không gian Từ... Bổ đề 1.2.14 ta có X là không gian mêtric hóa được Giả sử X là không gian chính qui, gs -đếm được và là không gian Fréchet Ta sẽ chứng minh X là không gian mêtric khả li Vì X là không gian chính qui, gs -đếm được nên theo Mệnh đề 1.2.2 ta có X là không gian g-mêtric hóa được Mặt khác X là không gian Fréchet nên 21 theo chứng minh trên ta có X là không gian mêtric hóa được Vì X là không gian gs -đếm được. .. Mệnh đề ([10]) Mọi không gian chính qui, gs -đếm được là không gian g-mêtric hóa được Chứng minh Giả sử X là không gian gs -đếm được Khi đó X có cơ sở yếu đếm được, B = {B1 , B2 , } Với mỗi n ∈ N ta đặt Bn = {Bn } Khi đó ta có B = ∞ n=1 Bn Rõ ràng Bn là hữu hạn địa phương (vì Bn chỉ gồm một phần tử) Do đó X là g-mêtric hóa được 1.2.3 Bổ đề Mọi không gian g-mêtric hóa được đều là không gian gf -đếm được. .. đề Giả sử X là không gian gf- đếm được Khi đó các điều kiện sau tương đương (1) X có k-lưới đếm được theo điểm; (2) X có wcs*-lưới đếm được theo điểm; (3) X có cs*-lưới đếm được theo điểm; (4) X có phủ đếm được theo điểm thoả mãn tính chất (A); (5) X có phủ đếm được theo điểm thoả mãn tính chất (B) Chứng minh Vì X là không gian gf -đếm được nên X là α4 -không gian và là không gian dãy Do đó, từ Bổ đề. .. các loại lưới đếm được theo điểm, sao -đếm được, σ-sao -đếm được, σ-hữu hạn địa phương, σ -đếm được địa phương trong không gian gf -đếm được 2.2.11 Định lý Giả sử X là gf -đếm được Khi đó các điều kiện sau tương đương (1) X có k-lưới đếm được địa phương (tương ứng, σ -đếm được địa phương); (2) X có wcs∗ -lưới đếm được địa phương (tương ứng, σ -đếm được địa phương); 29 (3) X có cs∗ -lưới đếm được địa phương... 2.2.2 Mệnh đề Giả sử X là không gian gf - đếm được có tính chất di truyền cho không gian con và P là cs∗ -lưới-sao đếm được Khi đó P = {P : P ∈ P} là cs∗ -lưới đóng, sao -đếm được của X Chứng minh Vì X là không gian gf -đếm được và có tính di truyền cho không gian con nên theo Nhận xét 1.2.17 suy ra X là không gian Fréchet Từ đó áp dụng Bổ đề 2.2.1 ta có điều phải chứng minh 2.2.3 Bổ đề ([14], Bổ đề 2.7)... nên X có cơ sở yếu P là đếm được Đặt P = ∞ n=1 Pn , trong đó Pn = Pn ∩ A Khi đó theo Bổ đề 1.1.5 ta có P là cơ sở yếu của không gian A Và rõ ràng P là đếm được Vậy A là cơ sở yếu đếm được nên A là gs -không gian 1.2.13 Bổ đề ([2]) Cho không gian tôpô X Khi đó nếu mọi không gian con của X là k -không gian thì X là không gian Fréchet 1.2.14 Bổ đề ([3]) Không gian tôpô X là mêtric hóa được khi và chỉ khi X... nếu thay điều kiện" đếm được theo điểm" của P bởi một trong các điều kiện "đếm được địa phương", "σ -đếm được địa phương", "sao đếm được" , "σ-sao đếm được" Chứng minh Nếu P thoả mãn một trong các điều kiện đếm được địa phương, σ -đếm được địa phương, sao -đếm được, σ-sao -đếm được thì P đếm được theo điểm Do đó điều cần chứng minh được suy trực tiếp từ Định lý 2.2.9 Sau đây, trong Mệnh đề 2.2.11, Định lý... là không gian mêtric khả li (b) Nếu giả thiết (b) được thoả mãn, thì mọi không gian con của X là không gian dãy Do đó mọi không gian con của X là k -không gian Theo Bổ đề 1.2.13 ta suy ra X là không gian Fréchet Như vậy điều kiện (a) được thoả mãn Do đó ta có điều phải chứng minh 1.2.17 Nhận xét Từ Định lý 1.2.11 ta suy ra, không gian gf -đếm được có tính chất di truyền cho không gian con là không gian. .. là không gian tôpô thoả mãn một trong hai điều kiện sau: (a) X là một không gian trong cột 2 của Sơ đồ 1 và cũng là không gian Fréchet; 19 (b) X là một không gian trong cột 2 của Sơ đồ 1 và có tính di truyền cho không gian con; thì X là không gian tương ứng trong cột thứ nhất Chứng minh (a) Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu không gian X là gf -đếm được và Fréchet thì nó là đếm được thứ nhất Vì X là gf ... đếm được, với x ∈ X Vậy X không gian gf -đếm 1.2.4 Bổ đề ([9]) Nếu X không gian qui σ -không gian X có lưới σ-rời rạc 1.2.5 Bổ đề ([1], Định lý 2.8) Một không gian gf -đếm với lưới σ-rời rạc không. .. chứng minh mối quan hệ không gian gf -đếm không gian đối xứng, điều kiện để không gian gf -đếm không gian đối xứng Chương Mối quan hệ phủ đếm theo điểm không gian gf -đếm Phần đầu chương này,... không gian đối xứng không gian gf -đếm Mệnh đề 1.2.9, tìm điều kiện để không gian gf -đếm không gian đối xứng Định lý 1.2.11 Đưa số kết tồn tại, mối quan hệ phủ với tính chất không gian gf -đếm