CÁC PHỦ ĐẾM ĐƯỢC THEO ĐIỂM TRONG
2.2 Mối quan hệ giữa các phủ đếm được theo điểm trong không giangf-đếm được
Phần này trình bày sự tồn tại và mối quan hệ giữa các phủ với các tính chất nào đó trong không gian gf-đếm được và các tính chất của không gian với cơ sở yếu mà chúng liên quan tới các phủ đếm được. 2.2.1 Bổ đề. ([14], Định lý 2.9) Giả sử X là không gian Fréchet và P
là cs∗-lưới sao-đếm được. Khi đó P0 = {P : P ∈ P} là cs∗-lưới đóng, sao-đếm được của X.
2.2.2 Mệnh đề. Giả sử X là không gian gf - đếm được có tính chất di truyền cho không gian con và P là cs∗-lưới-sao đếm được. Khi đó
P0 = {P : P ∈ P} là cs∗-lưới đóng, sao-đếm được của X.
Chứng minh. Vì X là không gian gf-đếm được và có tính di truyền cho không gian con nên theo Nhận xét 1.2.17 suy ra X là không gian Fréchet. Từ đó áp dụng Bổ đề 2.2.1 ta có điều phải chứng minh. 2.2.3 Bổ đề. ([14], Bổ đề 2.7) Giả sử X là không gian Fréchet với wcs∗-lưới đếm được theo điểm P. Khi đó P là tựa-k-lưới.
2.2.4 Mệnh đề. Giả sử X là không gian gf-đếm được, và có tính chất di truyền cho không gian con với wcs∗-lưới σ-WHCP thì X có tựa k-lưới đếm được theo điểm.
Chứng minh. Từ Nhận xét 1.2.17 suy ra X là không gian Fréchet. Từ đó áp dụng Bổ đề 2.2.3 ta có điều phải chứng minh.
2.2.5 Bổ đề. ([13], Bổ đề 8) Giả sử P là phủ đếm được theo điểm của không gian X. Khi đó P là k-lưới khi và chỉ khi P là wcs* - lưới và mọi tập compact là compact dãy.
2.2.6 Bổ đề. ([13], Định lý 7) Các điều kiện sau đây là tương đương đối với không gian X.
(1) X có phủ đếm được theo điểm thoả mãn tính chất (A); (2) X có phủ đếm được theo điểm thoả mãn tính chất (B); (3) X là α4-không gian với cs*-lưới đếm được theo điểm; (4) X là α4-không gian với wcs*-lưới đếm được theo điểm.
2.2.7 Mệnh đề. Giả sử X là không gian gf-đếm được. Khi đó các điều kiện sau tương đương.
(1) X có k-lưới đếm được theo điểm; (2) X có wcs*-lưới đếm được theo điểm; (3) X có cs*-lưới đếm được theo điểm;
(4) X có phủ đếm được theo điểm thoả mãn tính chất (A); (5) X có phủ đếm được theo điểm thoả mãn tính chất (B).
Chứng minh. Vì X là không gian gf-đếm được nên X là α4-không gian và là không gian dãy. Do đó, từ Bổ đề 2.2.5 và Bổ đề 2.2.6 ta suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét: Trong Mệnh đề 2.2.7, nếu không gian gf-đếm được X
mãn 1 trong 4 điều kiện còn lại, nhưng nói chung các phủ này là khác nhau. Tồn tại phủ thoả mãn tính chất (A) nhưng không thoả mãn tính chất (B), tồn tại k-lưới nhưng không là cs∗-lưới,... Do đó, một câu hỏi được đặt ra một cách tự nhiên là với điều kiện nào thì không gian X
có một phủ đếm được theo điểm mà nó là k - lưới, wcs*-lưới, cs*-lưới,
thoả mãn tính chất (A) và tính chất (B). Định lý 2.2.9 trả lời câu hỏi này.
2.2.8 Bổ đề. ([13], Định lý 5) Cho X là α4-không gian và P là wcs*- lưới đếm được theo điểm, thì P có tính chất (A).
2.2.9 Định lý. Giả sử không gian X là gf-đếm được và P là phủ đếm được theo điểm của X. Khi đó (1)⇔(2)⇔(4), (3)⇔(5) và (5)⇒(1), trong đó: (1) P là k-lưới; (2) P là wcs*-lưới; (3) P là cs*-lưới; (4) P thoả mãn tính chất (A); (5) P thoả mãn tính chất (B).
Chứng minh. Vì X là gf-đếm được nên X là α4-không gian và là không gian dãy. Do đó theo Bổ đề 2.2.5 ta có (1)⇔(2). Theo Bổ đề 2.2.8 và Nhận xét 2.1.2 ta có (2)⇔(4). Như vậy (1)⇔(2)⇔(4). Hiển nhiên (5)⇒(4) do đó (5)⇒(1). Từ Nhận xét 2.1.2 ta có (5)⇒(3).
Cuối cùng ta chứng minh (3)⇒(5). Giả sử P là cs*-lưới đếm được
theo điểm của X. Trước hết ta sẽ chứng minh, nếu U là tập mở trong
X, x ∈ X và F ∈ P <w sao cho x ∈ Ints(∪F) ⊂ ∪F ⊂ U và tồn tại P∗ ∈ F mà x /∈ P∗, thì tồn tại G ∈ P <w (G có thể bằng rỗng) sao cho x ∈ Ints(∪F0) ⊂ ∪F0 ⊂ U với mọi P ∈ G khi G 6= ∅, trong đó F0 = (F\{P∗}) ∪ G. Thật vậy, ta có thể giả thiết tồn tại dãy
{xn} ⊂ P∗ sao cho xn → x, vì nếu ngược lại thì x ∈ Ints(∪F0) ⊂ U
với F0 = F \{P∗}. Như vậy, điều cần chứng minh đúng với G = ∅. Vì
P là cs∗ - lưới nên tồn tại P ∈ P và dãy con {x0
nk} của {xn} sao cho
{x} ∪ {x0
nk : k = 1,2, ...} ⊂ P ⊂ U.
Đặt P0 = {G∈ P : x ∈ G ⊂ U}. Vì P có tính chất đếm được theo điểm nên P’ là đếm được, ta viết P0 = {Pi : i = 1,2, ...}. Do đó tồn tại n1 ∈ N sao cho P = Pn1 ∈ P0. Khi đó nếu không tồn tại dãy hội tụ tới x mà các số hạng của nó nằm trong
P∗\[( S
i≤ni
Pi)∪(∪F0)], với F0 = F\{P∗}
thì G = {Pi :i ≤ni}, thoả mãn điều phải chứng minh. Giả sử tồn tại dãy {x2n} ⊂ P∗\[( S
i≤ni
Pi)∪(∪F0)] sao cho x2n → x.
Khi đó tồn tại P2n ∈ P0 và dãy con {x0
2k} của {x2n} sao cho
{x} ∪ {x0
2k : k = 1,2, ...} ⊂ Pn2 ⊂U.
Rõ ràng n2 > n1. Nếu không có dãy nào hội tụ tới x mà các số hạng của nó nằm trong P∗\[( S
i≤n12
Pi)∪ (∪F0)] thì lấy G = {Pi : i ≤ n2} ta có điều phải chứng minh. Trong trường hợp ngược lại tương tự như trên ta tìm được dãy {x0
3k} ⊂ P∗\[( S
i≤ni
Pi) ∪ (∪F0)] sao cho x0
3k → x
và tồn tại Pn3 ∈ P0 sao cho {x} ∪ {x03k : k = 1,2, ...} Pn3 ⊂ U, trong đó n3 > n2.
Tiếp tục quá trình trên, nếu sau một số hữu hạn bước mà ta tìm được G thì điều cần chứng minh được thoả mãn. Nếu ngược lại thì xây dựng được đếm được dãy {x0jk}, j = 1,2, ... sao cho x0jk → x khi
k → ∞, với mọi j = 1,2, ..., nghĩa là ta đã xây dựng được một cái
quạt tại x. Vì X là
α4-không gian nên tồn tại đường chéo {x˜j} của quạt sao cho x˜j → x.
Vì thế tồn tại Pi ∈ P0 và dãy conS của{x˜j}sao cho {x}∪S ⊂ Pi ⊂ U. Theo cách xây dựng dãy {x0
hạn các dãy {x0
jk} và do đó chỉ chứa một số hữu hạn các phần tử của
{x˜j}. Từ điều mâu thuẫn này ta suy ra điều phải chứng minh.
Bây giờ ta chứng minh rằng nếu phủ P là cs∗-lưới đếm được theo điểm thì P có tính chất (B).
Vì X là α4-không gian và P là cs∗-lưới nên P có tính chất (A). Do đó với mọi U mở trong X mà U chứa x đều tồn tại F ∈ P<ω sao cho
x ∈ Ints(∪F) ⊂ U∪F. Theo chứng minh trên suy ra tồn tại F0 ∈ P<ω
sao cho x ∈ Ints(∪F0) ⊂ F ⊂ U, x ∈ ∩F0. Vậy P có tính chất (B).
2.2.10 Hệ quả. Định lý 2.2.9 vẫn đúng nếu thay điều kiện" đếm được theo điểm" của P bởi một trong các điều kiện "đếm được địa phương", "σ-đếm được địa phương", "sao đếm được", "σ-sao đếm được".
Chứng minh. Nếu P thoả mãn một trong các điều kiện đếm được địa phương, σ-đếm được địa phương, sao-đếm được, σ-sao-đếm được thì
P đếm được theo điểm. Do đó điều cần chứng minh được suy trực tiếp từ Định lý 2.2.9.
Sau đây, trong Mệnh đề 2.2.11, Định lý 2.2.12, Định lý 2.2.14, chúng tôi nêu lên mối quan hệ giữa các loại lưới đếm được theo điểm, sao-đếm được,σ-sao-đếm được, σ-hữu hạn địa phương, σ-đếm được địa phương
trong không gian gf-đếm được.
2.2.11 Định lý. Giả sử X là gf-đếm được. Khi đó các điều kiện sau tương đương
(1) X có k-lưới đếm được địa phương (tương ứng, σ-đếm được địa phương);
(2) X có wcs∗-lưới đếm được địa phương (tương ứng, σ-đếm được địa phương);
(3) X có cs∗-lưới đếm được địa phương (tương ứng, σ-đếm được địa phương);
(4) X có phủ đếm được địa phương (tương ứng, σ-đếm được địa phương) thoả mãn tính chất (A);
(5) X có phủ đếm được địa phương (tương ứng, σ-đếm được địa phương) thoả mãn tính chất (B).
Chứng minh. Từ Hệ quả 2.2.10 ta chỉ cần chứng minh (1) ⇒ (3). Giả sửP là k-lưới đếm được địa phương (tương ứng,σ-đếm được địa
phương) trong X. Từ tính chính qui của X suy ra P0 = {P : P ∈ P}
là k- lưới trong X. Từ tính đếm được địa phương (tương ứng, σ-đếm
được địa phương của P suy ra P0 đếm được địa phương (tương ứng,
σ-đếm được địa phương). Theo Hệ quả 2.2.10, P0 cũng là wcs∗-lưới và thoả mãn tính chất (A).
Bây giờ ta chứng minh P0 là cs∗-lưới. Giả sử{xn} ⊂ X, xn → x ∈ X
và G là lân cận của x. Vì xn → x nên có thể giả thiết {xn} ⊂ G. Từ
{xn : n = 1,2, ...} ∪ {x} là tập hợp compact và P0 là k-lưới suy ra tồn
tại Pi ∈ P0, i = 1, m sao cho {xn : n = 1,2, ...} ∪ {x} ⊂ Sm
i=1
Pi ⊂ G.
Vì các Pi là đóng nên tồn tại dãy con {xnk} của {xn} và Pi với i nào đó thuộc {1,2,3, ..., m} sao cho {xnk} ∪ {x} ⊂ Pi ⊂ G. Do đó P0 là
cs∗-lưới.
2.2.12 Định lý. Nếu X là gf-đếm được thứ nhất thì các khẳng định sau tương đương
(1) X có cs-lưới đếm được theo điểm; (2) X có cơ sở yếu đếm được theo điểm. Chứng minh. (2)⇒(1). Hiển nhiên
(1)⇒(2). Giả sử P là cs-lưới đếm được theo điểm trong X và P
lân cận yếu tại x, mà Qn+1 ⊂ Qn. Ta đặt
Px = {P ∈ P : Qn(x) ⊂P với một n ∈ N nào đó}.
Khi đó Px là cơ sở lân cận yếu tại x. Thật vậy, giả sử G là mở chứa x,
nhưng không tồn tại P ∈ Px thoả mãn P ⊂ G. Vì P đếm được theo điểm nên ta viết được {P ∈ P : x ∈ P ⊂ G} = {Pm(x) : m ∈ N}. Khi đó Qn(x) 6⊂ Pm(x) với mỗi n, m ∈ N. Do đó chọn được xnm ∈
Qn(x)\Pm(x). Với n≥ m, đặt xnm = xk, trong đó k = m+n(n−1)/2. Ta được dãy {yk :k ∈ N} có tính chất
(a) Với mỗi n đều tồn tại k0 sao cho xk ∈ Qn với mọi k ≥ k0 ∈ N
(chọn k0 = n(n+ 1)
2 ).
(b) Với mỗi m = 1,2, ... đều tồn tại k > m sao cho xk 6∈ Pm.
Từ (a) suy ra xk → x. Vì P là cs-lưới nên tồn tại Pm0 ∈ P sao cho
{x} ∪ {xk : k ≥ k0} ⊂ Pm0 ⊂ U. Điều này mẫu thuẫn với (b).
Giả sử G ⊂ X thoả mãn với mỗi x ∈ G tồn tại P ∈ Px với P ⊂ G.
Từ đó, theo cách đặt Px ta suy ra với mỗi x ∈ G tồn tại Qn(x) thoả mãn Qn(x) ⊂ G. Do {Qn(x) : x ∈ X, n ∈ N} là cơ sở yếu của X nên ta suy ra G là mở trong X.
Vậy Tc = S
x∈X
Px là cơ sở yếu. Dễ thấy Tc ⊂ P mà P đếm được theo điểm nên Tc đếm được theo điểm. Như vậy Tc là cơ sở yếu đếm được theo điểm của X.
2.2.13 Chú ý. Từ cách chứng minh Định lý 2.2.12 ta thấy rằng, nếu
X là không gian gf-đếm được với cs-lưới đếm được theo điểm P và P
có tính chất nào đó mà tính chất này di truyền cho họ con của P thì
X có cơ sở yếu Tc có các tính chất như P.
Đặc biệt, nếu P có tính chất σ-hữu hạn địa phương thì X có cơ sở yếu σ-hữu hạn địa phương. Vì thế, không gian g- mêtric hóa được là
2.2.14 Định lý. Nếu X là gf - đếm được thứ nhất thì các khẳng định sau tương đương
(1) X có cơ sở yếu-sao đếm được; (2) X có cs-lưới-sao đếm được;
(3) X có phủ sao-đếm được thỏa mãn tính chất (B). Chứng minh. (1)⇒(3). Hiển nhiên
(3)⇒(2). Giả sử P là phủ sao-đếm được thỏa mãn tính chất (B) của
X. Khi đó với mỗi x ∈ X, đặt
Px = {P ∈ P : x ∈ P},
Px∗ = {∪F :F là họ hữu hạn của Px} Gx = {IntsG : G∈ Px∗},
và
G = ∪{Gx : x ∈ X}.
Đầu tiên, ta chứng tỏ G là cs - lưới. Thật vậy, giả sử {xn} là dãy trong X, {xn} hội tụ tới x, x ∈ U với U mở trong X. Từ giả thiết P
thỏa mãn tính chất (B) suy ra tồn tại họ con hữu hạn F của P sao cho
x ∈ Ints(∪F) ⊂ ∪F ⊂ U và x ∈ ∩F
Lấy G= ∪F thì G ∈ Px∗ và F = IntsG ∈ Gx. Vì {xn} hội tụ tới x nên tồn tại no ∈ N∗ sao cho xn ∈ IntsG với mọi n ≥ no. Như vậy tồn tại
F ∈ G sao cho
{x} ∪ {xn : n≥ no} ⊂ F ⊂U. Do đó, G là cs - lưới.
Cuối cùng, ta chứng tỏ G có tính sao - đếm được. Giả sử G ∈ G. Khi đó, tồn tại x ∈ X và P1, P2, ..., Pn sao cho G = Ints(S
i≤n Pi). Giả sử G0 ∈ G với G0 = Ints( S i≤m Pi); P1, P2, ..., Pm ∈ Py,
trong đó y là điểm nào đó thuộc X. Nếu G0 ∩Pi 6= ∅ thì tồn tại Pj0 sao cho Pi0 ∩Pj0 6= ∅. Vì P có tính sao-đếm được nên Pi chỉ có thể giao với không quá đếm được phần tử P0 ∈ P và mỗi phần tử P0 này lại chỉ có thể giao với không quá đếm được phần tử của P. Từ đó suy ra mỗi
Pi chỉ có thể giao với không quá đếm được phần tử G0 ∈ G và do đó
G chỉ có thể giao với không quá đếm được phần tử G0 ∈ G. Vậy G có tính sao-đếm được.
(2)⇒(1). Nhờ Chú ý 2.2.13.
2.2.15 Bổ đề. ([11], Chú ý 2(2)) Mọi không gian compact có k-lưới đếm được theo điểm là mêtric hóa được.
2.2.16 Bổ đề. ([4], Định lý 2.4) Không gian X là g-mêtric hóa được khi và chỉ khi X là gf-đếm được với k-lưới σ-hữu hạn địa phương.
2.2.17 Định lý. Giả sử X là không gian gf-đếm được. Khi đó các điều kiện sau tương đương
(1) X có cơ sở yếu σ-hữu hạn địa phương. (2) X có cs-lưới σ-hữu hạn địa phương. (3) X có k-lưới σ-hữu hạn địa phương. Chứng minh. (1)⇒ (2). Hiển nhiên.
(2)⇒(3). Giả sử P là cs-lưới σ-hữu hạn địa phương với P = ∪{Pn :
n ∈ N}, trong đó Pn là hữu hạn địa phương với mọi n∈ N. Chúng ta sẽ chỉ ra rằng P là k-lưới trong X. Giả sử K ⊂ V với K là compact khác rỗng và V là mở trong X. Với mỗi n ∈ N, đặt An = {P ∈ Pn :
P ∩ K 6= ∅, P ⊂ V}. Khi đó An là tập hữu hạn. Thật vậy, do Pn là hữu hạn địa phương nên với mỗi x ∈ K, tồn tại Ux là lân cận của x
sao cho tập {P ∈ Pn : Ux∩ P = ∅, P ⊂ V} là hữu hạn. Do K là tập compact nên tồn tại m ∈ N sao cho K ⊂ Sm
i=1
Do đó tập Bn = {P ∈ Pn : P ∩ Sm i=1 Uxi 6= ∅, P ⊂ V} là hữu hạn. Vì An ⊂ Bn nên An là tập hữu hạn. Đặt A = S∞ n=1 An, thì A là đếm được. Do đó ta ký hiệu A = {Pi : i ∈ N}. Khi đó, K ⊂ S
i≤n
Pi với
n ∈ N nào đó. Thật vậy, giả sử ngược lại K 6⊂ S
i≤n
Pi, với mọi n ∈ N. Khi đó ta chọn xn ∈ K \ S
i≤n
Pi. Bởi vì {P ∩ K : P ∈ P} là cs-
lưới đếm được theo điểm trong không gian compact K nên theo Bổ đề 2.2.15, K là không gian compact mêtric. Do đó {xn} có một dãy con {xnk}, mà xnk → x ∈ K. Từ P là cs - lưới, tồn tại m ∈ N và
P ∈ P sao cho {xnk : k ≥ m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ V. Từ đó ta suy ra
P ∩ K 6= ∅, tức là P ∈ A. Do vậy tồn tại j ∈ N sao cho P = Pj. Vậy
{xnk :k ≥ m} ∪ {x} ⊂ P ⊂ V. Điều này mâu thuẫn với cách xây dựng dãy {xn}. Như vậy ta có (2)⇒ (3).
(3)⇒(1). Theo Bổ đề 2.2.16, X là g-mêtric hóa. Do đó theo Định nghĩa