Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi

Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Lời nói đầu Chúng ta sống thời đại mới, thời đại ngành công nghệ thông tin đỉnh cao phát triển Có thể nói công nghệ thông tin đóng vai trò quan trọng đời sống Đất nớc phát triển đòi hỏi đóng góp ngành công nghệ thông tin cao Ngành công nghệ thông tin đóng góp lớn vào ngành kinh tế, khoa học, giáo dục, Nhằm giúp ngời ngày chinh phục đợc đỉnh cao giới Chúng ta sống thời đại kinh tế công nghiệp hoá đại hoá Đời sống ngời ngày đợc nâng cao Nh nhu cầu vui chơi giải trí ngời ngày đợc đòi hỏi Và trò chơi đợc thiết kế máy tính đời đà phát triển để đáp ứng nhu cầu đòi hỏi ngời Có thể nói để lập trình đợc trò chơi lý thuyết trò chơi đóng vai trò quan trọng Nó định đến thành công hay thất bại trò chơi Vì lý mạnh dạn chọn đề tài: Một số vấn đề lý thuyết trò chơi làm khoá luận tốt nghiệp đại học Để hoàn thành khoá luận, nhận đợc hớng dẫn nhiệt tình Cô giáo, Tiến sĩ Phan Lê Na Nhân dịp cho phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo Phan Lê Na Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến thầy cô giáo khoa CNTT bạn sinh viên lớp giúp đỡ nhiều thời gian làm khoá luận Tác giả Mục Lục Chơng I Lời nói đầu Trò chơi ma trận 1.1 Giới thiệu chung 1.2 Khái niệm trò chơi ma trận 1.3 Điểm yên ngựa Trang 2 Khoá luận tốt nghiệp Chơng II Chơng III Chơng IV Chơng V Một số vấn đề lý thuyết trò chơi 1.4 Các chiến thuật hỗn hợp 1.5 Định lý Minimax 1.6 Các điểm yên ngựa chiến thuật hỗn hợp 1.7 Các chiến thuật tối u tính chất chúng 1.8 Chiến thuật u rút gọn trò chơi 1.9 Cách giải ma trận trò chơi 2x2 1.10 Giải trò chơi 2xn mx2 1.11 Giải trò chơi 3x3 Các trò chơi liên tục 2.1 Trò chơi vô hạn có tổng 2.2 Các chiến thuật hỗn hợp 2.3 Các trò chơi liên tục 2.4 Các tính chất chiến thuật tối u 2.5 Một ví dụ trò chơi thời gian Các trò chơi không hợp tác n ngời 3.1 Khái niệm trò chơi không hợp tác n ngời 3.2 Các yếu tố trò chơi không hợp tác n ngời 3.3 Giải pháp chiến thuật hỗn hợp 3.4 Sự tồn điểm cân 3.5 Các điểm cân trò chơi 2x2 Các trò chơi hợp tác n ngời 4.1 Khái niệm trò chơi hợp tác n ngời 4.2 Tính chất hàm dặc trng trò chơi 4.3 Xung lợng 4.4 Chiến thuật tơng đơng tiêu chuẩn hoá (0, 1) 4.5 Các trò chơi hợp tác ngời xây dựng trò chơi gambit 5.1 Giới thiệu phần mềm Gambit 5.2 Môi trờng cài đặt Gambit 5.3 Xây dựng trò chơi Đỏ- Đen Gambit 5.3.1 Mô tả trò chơi Đỏ - Đen gồm hai ngời chơi 5.3.2 Xây dựng trò chơi Đỏ- Đen Gambit 5.3.3 Giải thích trò chơi dạng hình 5.4 Chơng trình xây dựng trò chơi Đỏ- Đen GCL Kết luận Tài liệu tham khảo 10 12 12 15 17 19 22 29 29 30 31 32 35 39 39 40 41 42 43 49 49 51 52 54 57 61 61 61 61 61 62 63 64 66 69 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Chơng I Trò chơi ma trận 1.1 Giới thiệu chung Khi nghiên cứu số toán thực tế lĩnh vực kinh tế xã hội hay chiến tranh ngời ta thờng gặp tình có bên với quyền lợi đối lập Mỗi bên tìm cách hành động cho có lợi Những tình nh gọi tình xung đột Có nhiều ví dụ tình nh thế: xung đột vũ trang quốc gia, hai phe phái, cạnh tranh công ty Việc nghiên cứu, phân tích tình nh nhằm nắm đợc chất để đề giải pháp tốt bên tham gia dẫn đến đời môn toán học mới: Lý thuyết trò chơi Lý thuyết trò chơi lý thuyết toán học tình xung đột Lý thuyết trò chơi thành phần quan trọng ngành toán học Vấn đề nghiên cứu lý thuyết trò chơi là: Có hai nhiều ngời tham gia đợc gọi ngời chơi, ngời chơi đa cách giải tình đối lập hay cạnh tranh, ngời chơi với mục đích thu đợc kết có lợi sau lần tham gia Một trò chơi đợc tiến hành theo quy tắc định Tập hợp quy định, điều kiện mà bên tham gia phải thuân theo gọi quy tắc chơi (hoặc luật chơi) Nh trò chơi bao gồm ngời chơi, chiến thuật kết ngời chơi sau trò chơi kết thúc 1.2 Khái niệm trò chơi ma trận Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Giả sử đối thủ có m chiến thuật i = 1,., m; đối thủ có n chiến thuật j=1,., n cho aij kết mà đối thủ thu đợc từ đối thủ đối thủ chọn chiến thuật i đối thủ chọn chiến thuật j Khi ma trận kết là: A=( aij ) = a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn Trò chơi hoàn toàn đợc xác định ma trận Nh vậy, trò chơi đợc gọi trò chơi ma trận Ví dụ minh hoạ Ta thử xây dựng ma trận số trò chơi đơn giản thờng ngày Ví dụ 1.1: Trò chơi úp bát hay sấp ngửa Giả sử có hai ngời chơi tham gia vào trò chơi, nhà - đối thủ nhà - đối thủ Nhà úp đồng tiền giấu kín bát Nhà đặt đồng tiền vào bên sấp bên ngửa Khi mở bát nhà phải trả cho nhà đồng, trái lại sai nhà phải trả cho nhà Các kết đợc liệt kê bảng sau: Đối thủ Đối thủ 1 (n) (s) (n) -1 (s) -1 Đây trò chơi hai ngời, đối thủ có hai chiến thuật tơng ứng với việc chọn mặt sấp hay mặt ngửa Trò chơi có thông tin không đầy đủ đối thủ đợc lựa chọn đối thủ (đồng tiền bị úp kín bát), đối thủ lựa chọn đối thủ đối thủ đặt đồng tiền xuống lúc chơi kết thúc Bảng kết có dạng ma trận kết Kết hàm chiến thuật hai ngời chơi Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Ví dụ 1.2: Trò chơi Oẳn tù tì Đây trò chơi mà trẻ em thờng chơi Kéo thắng giấy, giấy thắng búa, búa lại thắng kéo Có hai ngời chơi: đối thủ đối thủ Mỗi đối thủ có chiến thuật Các chiến thuật 1, 2, tơng ứng với búa, giấy kéo Giả sử ngời thắng nhận đợc kết ngời thua bị -1, trờng hợp hoà 0, ma trận kết là: Đối thủ Đối thủ 1 -1 -1 -1 1 Ví dụ 1.3: Đối thủ chọn số số p = 0, 1, 2, không đối thủ biết; đối thủ chọn số số q = 0, 1, Kết cho đối thủ (nghĩa đối thủ trả cho đối thủ 1) đợc xác định hàm p = p(q p) + q(q+p) hay p = q2 p2 + 2pq Đây trò chơi hai ngời Đối thủ có chiến thuật đối thủ có chiến thuật Ma trận kết đợc xác định nh sau: Đối thủ q 0 -1 -4 -9 -2 p Đối thủ Trong trò chơi tổng quát trên, đối thủ muốn thu đợc kết aij lớn với khả xẩy ra, đối thủ cố gắng giá trị aij nhỏ với khả xẩy Trong hai đối thủ hoàn toàn đối lập Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Nếu đối thủ chọn chiến thuật i=1, chắn thu đợc giá trị nhỏ a1j i n Trong trờng hợp tổng quát, đối thủ chọn chiến thuật i kết là: a (1.1) j n ij giá trị nhỏ phần tử hàng thứ i ma trận kết Khi đối thủ muốn có kết lớn nhất, chọn i (1.1) lớn với khả Có nghĩa là, đối thủ chọn i để thu đợc kết là: max aij (1.2) i m j n Tơng tự, đối thủ chọn chiến thuật j =1, thua giá trị lớn max ai1 1i m Trong trờng hợp tổng quát, đối thủ chọn chiến thuật j bị thua giá trị lớn là: max aij ( 1.3) 1i m giá trị lớn phần tử cột thứ j ma trận kết Khi đối thủ muốn kết bị thua nhỏ phải cố gắng chọn j để làm cho kết bị thua là: max a (1.4) j n 1i m ij Trong trờng hợp khác, đối thủ đa cách chọn tốt kết mà đối thủ thu đợc lớn (1.4) Chúng ta thấy đối thủ chọn i để đảm bảo có kết là: max aij , 1i m j n đối thủ chọn j để làm cho đối thủ thu đợc kết là: max a j n 1i m ij Vấn đề đặt có mối quan hệ hai giá trị không? Để giải thích điều này, xét ví dụ đa Trong Ví dụ 1: max aij = max(-1, -1) = -1, 1i m j n max aij = (1, 1) = 1 j n 1i m Nh max aij < max aij 1i m j n j n 1i m Trong Ví dụ 2: max aij = -1 < = max aij j n 1i m 1i m j n Trong Ví dụ 3: Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi max aij = max(0, -1, -4, -9) = 0, 1i m j n max aij = (0, 2, 8) = j n 1i m Hai kết aij max aij không Chúng ta thấy max j n 1i m 1i m j n Nhận thấy max aij max aij (1.5) j n 1i m 1i m j n Thật vậy: i có: a aij , j = 1,.,n; j n ij j có: aij max 1i m aij , i = 1,,m max i,j j n aij i m aij , Khi phía bên trái bất đẳng thức phụ thuộc vào j Lấy giá trị nhỏ j hai vế đợc a max aij j n ij j n i m Nh max aij max aij j n 1i m 1i m j n 1.3 Điểm yên ngựa Nếu phần tử ma trận ( aij ) trò chơi ma trận thoả mãn max aij = v = max aij (1.6) j n 1i m 1i m j n v đợc gọi giá trị trò chơi v giá trị chung (1.2) (1.4) Nếu (1.6) đúng, tồn i* j* ai*j = max aij = v 1i m j n j n max aij* = max aij = v j n 1i m j m Khi ai*j = max aij* j m j n Mặt khác a ai*j* max aij* max aij* = ai*j* = v = ai*j j n i*j j n 1i m i m Vậy i,j có aij* ai*j* = v aij* (1.7) Điều nói rằng, đối thủ chọn chiến thuật i*, có kết nhỏ v đối thủ không chọn chiến thuật j*; đối Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi thủ chọn chiến thuật j* có kết vợt qúa v đối thủ không chọn chiến thuật i* Chúng ta gọi i* j* chiến thuật tối u tơng ứng với đối thủ đối thủ Điểm (i*, j*) đợc gọi điểm yên ngựa trò chơi Và i = i*, j =j* lời giải trò chơi Mối quan hệ (1.7) kết điểm yên ngựa (i*, j*) giá trị trò chơi Với điều kiện đối thủ dựa vào chiến thuật tối u i*, ngời hi vọng tăng kết đạt đợc đối thủ không chọn chiến thuật tối u j* Tơng tự, đối thủ dựa vào chiến thuật tối u j* kết đối thủ giảm ngời không chọn chiến thuật tối u i* Ví dụ minh hoạ Ví dụ 1.4: Xét trò chơi với ma trận kết -1 A = -2 -3 -1 2 3 -3 Dễ dàng xác định đợc (3, 1) (3, 2) điểm yên ngựa Đó là: a31 = a32 =v = Từ định nghĩa điểm yên ngựa (1.7), giá trị a i*j* phần tử ma trận kết ( aij ) mà đồng thời giá trị nhỏ hàng giá trị lớn cột phần tử Trong Ví dụ 1.3, i* = 1, j* = điểm yên ngựa trò chơi a 11 = phần tử nhỏ hàng đồng thời phần tử lớn cột thứ nhất.Trong Ví dụ 1.4, a 31 = a32 = hai phần tử nhỏ hàng thứ đồng thời hai phần tử lớn cột thứ cột thứ hai tơng ứng Khi số điểm yên ngựa trò chơi ma trận vợt 1, có định lý sau: Định lý 1.1 Cho (i*, j*) (i0, j0) điểm yên ngựa trò chơi ma trận (a ij ) Khi (i*,j0) (i0, j*) điểm yên ngựa ma trận đó, giá trị tất điểm yên ngựa nhau, tức là: ai*j* = ai0j0 = ai*j =ai0j* (1.8) Chứng minh Khi (i*,j*) điểm yên ngựa, aij* ai*j* ai*j i,j , (i0,j 0) điểm yên ngựa, (1.9) Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi aij0 ai0j0 aij0 , i,j (1.10) 0 0 Từ (1.9) (1.10) ai*j* ai*j j j* ai*j* (1.8) đợc chứng minh Kết hợp (1.8), (1.9) (1.10), suy aij0 ai*j0 ai*j ,i,j Vậy (i*,j 0) điểm yên ngựa Hoàn toàn tơng tự ta chứng minh đợc (i0, j*) điểm yên ngựa 1.4 Các chiến thuật hỗn hợp Khi trò chơi ma trận điểm yên ngựa, nghĩa max aij < max aij j n 1i m 1i m j n giải trò chơi nh mục trớc đợc Chẳng hạn trờng hợp ma trận kết trò chơi Oẳn tù - tì mục 1.2 là: A= -1 -1 1 -1 Chúng ta thấy: max aij = -1< = max aij j n 1i m 1i m j n Đối thủ chắn thu đợc giá trị nhỏ -1, đối thủ thứ đảm bảo kết thất bại giá trị lớn Trong giải pháp này, đối thủ cố gắng thu đợc kết lớn 1, đối thủ cố gắng làm cho kết đối thủ nhỏ Với giả định đó, ngời chơi tìm cách ngăn cản đối thủ từ việc tìm cách lựa chọn chiến thuật thực Để làm đợc điều này, đối thủ dựa vào vài phơng sách ngẫu nhiên để xác định chiến thuật chọn Tơng tự, đối thủ lựa chọn chiến thuật dựa vào vài phơng pháp ngẫu nhiên Một chiến thuật hiểu theo nghĩa nh gọi chiến thuật hỗn hợp Định nghĩa Cho ma trận kết trò chơi ma trận A= (aij ) i=1, ,m; j=1,.,n Một chiến thuật hỗn hợp đối thủ tập số x i 0, i=1,.,m thoả mãn m x i =1 i =1 Một chiến thuật hỗn hợp đối thủ tập số y j 0, j=1,.,n thoả mãn m y i =1 j =1 Ngợc lại với chiến thuật hỗn hợp chiến thuật tuý Chiến thuật thuý thực chất chiến thuật hỗn hợp đặc biệt x i =1; xi = i i Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Cho X=(x1,.,xm) Y=(y1, ,ym) tơng ứng với chiến thuật hỗn hợp đối thủ Đối thủ chọn chiến thuật i với khả xẩy x i ; đối thủ chọn chiến thuật j với khả xẩy y j Nh xiyj khả mà đối thủ chọn chiến thuật i đối thủ chọn chiến thuật j với kết aij Nhân kết aij với khả xiyj tơng ứng lấy tổng i,j Khi kết mong muốn đối thủ là: m n a x y ij i =1 j =1 i j Đối thủ muốn kết mong muốn lớn nhất, đối thủ lại muốn kết nhỏ Cho Sm tập tất X=(x1,,xm) thoả mãn điều kiện Xi ,i=1, ,m, m x =1 i i =1 Nếu đối thủ chọn chiến thuật (hỗn hợp) X Sm kết mong muốn giá trị nhỏ m n YS n aij xi yj (1.11) i =1 j =1 Trong Sn tập tất Y= (y1,,yn ) thoả mãn điều kiện Yj , j =1,.,n, n y j =1 j =1 Đối thủ chọn XSm cho (1.11) lớn nhất, nghĩa chắn có kết mong muốn không nhỏ m n aij xi y j v1 = max X S Y S n m i =1 j =1 Nếu đối thủ chọn chiến thuật Y Sn , kết mong muốn đối thủ lớn m n max aij xi y j X S m (1.12) i =1 j =1 Đối thủ chọn Y Sn cho (1.12) giá trị nhỏ nhất, tức ngăn cản đối thủ từ việc thu đợc kết mong muốn lớn m n max aij xi y j v2 = Y S X S n m i =1 j =1 Chúng ta có định lý 1.2 nh sau: Định lý 1.2 m n max aij xi y j X S m Y S n i =1 j =1 m n max aij xi y j Y S X S n m 10 i =1 j =1 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi v({ I }) =1 (4.11) Chúng ta nói T V tiêu chuẩn hoá (0,1) Định lý 4.4 Mỗi trò chơi hợp tác n ngời thực chất [I,v] chiến thuật tơng đơng cho trò chơi cố định tiêu chuẩn hoá (0,1) Chứng minh Cho v' hàm đặc trng tiêu chuẩn hoá (0, 1) Để chứng minh v chiến thuật tơng đơng với v', phải chứng minh n số ai, i = 1,2, ,n số C > thoả mãn v' ({ i }) = Cv({ i }) + = 0, i = 1,2, n ( 4.12) n v' (I) = Cv(I) + = (4.13) i =1 Từ (4.12) => n a i =1 =-C i n v({i}) i =1 Thay vào (4.13) ta có n Cv(I) - C v({i}) = i =1 Từ giả thiết trò chơi thực chất ta có: v(I) - n v({i}) > i =1 n Khi C = 1/ [v(I) - v({i}) ] > ( 4.14) i =1 n Từ ( 4.12) ( 4.14) => = -Cv({ i }) = -v({ i })/ [v(I) - v({i}) ] ( 4.15) i =1 Các phơng trình ( 4.14) ( 4.15) thành lập giải pháp cố định cho ( 4.12) ( 4.13) Nh hàm đặc trng v' chiến thuật tơng đơng với v tiêu chuẩn hoá ( 0, 1) hoàn toàn đợc xác định Ví dụ 4.2: Giả sử giá trị hàm đặc trng v trò chơi hợp tác ngời là: v(S) = , Nếu S = v(S) = , Nếu S = v(S) = , Nếu S = v(S) = , Nếu S = v(S) = 10 , Nếu S = v(S) = 12 54 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Trong S số ngời chơi mối liên kết S Viết hàm đặc trng dạng tiêu chuẩn hoá ( 0, 1) Tính C theo công thức (4.14) ( 4.15) có : C= 1/ [v(I) - v({i}) ] = 1/(12-6) = i =1 Ai = - Cv({ i }) = -1/6.1 = -1/6 , Theo Định nghĩa 4.9 có v({ i }) = , i = 1,2, ,6 v'(S) = 3/6 2/6 = 1/6 , v'(S) = 5/6 3/6 = 2/6 , v' (S) = 7/6 4/6 = 3/6 , v' (S) = 10/6 5/6 = 5/6, ; i = 1,2 nếu nếu S =2 S =3 S =4 S =5 v' (I) =1 Trong trò chơi gốc, xung lợng thoả mãn điều kiện Xi 1, i = 1,2, ,6, x1 + x2 + +x6 =12 Cho trò chơi tiêu chuẩn hoá ( 0, 1) chiến thuật tơng đơng, xung lợng tập hợp tất véc tơ x = ( x1, , x6 ) thoả mãn xi 0, i = 1,2, ,6 x1 + + x6 =1 Cho trò chơi hợp tác n ngời, nh tiêu chuẩn hoá ( 0, 1) tiêu chuẩn hoá ( -1, 0) đợc sử dụng Trong trờng hợp hàm đặc trng v' thoả mãn điều kiện v' ({ i }) = -1, i = 1, 2, , n ; v'(I) = Dễ dàng thấy biến đổi công thức từ hàm đặc trng v đợc tiêu chuẩn hoá ( 0, 1) để tơng đơng với hàm đặc trng v' đợc tiêu chuẩn hoá ( -1, 0) là: v'(S) = n v(S) - S với S I Cho trò chơi Ví dụ 4.2 trên, biến đổi hàm đặc trng v' tiêu chuẩn hoá ( 0, 1) thành hàm đặc trng v tiêu chuẩn hoá (-1, 0), kết là: v({I}) = -1; i = 1, ,6 v (S) = -1 ; S = 2,3,4 55 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi v (S) = 0; S = v(I) = Định lý 4.4 đa cho phơng pháp để biến đổi trò chơi hợp tác thực chất dạng tiêu chuẩn hoá ( 0, 1) Bây xét trò chơi hợp tác không thực chất Ví dụ 4.3: Cho [I,v] rò chơi hợp tác n ngời không thực chất Khi hàm đặc trng v đợc cho nh sau: v(S) = v({i}) iS với S I Với trò chơi S I, cho v(S) = v(S) + [v({i})] iS So sánh phơng trình với Định nghĩa ( 4.9) chiến thuật tơng đơng, có: C = > 0, = - v({ I }) , i = 1,2, ,n Khi v~v Tuy nhiên, v(S) = Nh vậy, trò chơi không thực chất chiến thuật tơng đơng cho trò chơi mà hàm đặc trng 4.5 Các trò chơi hợp tác ngời Các trò chơi hợp tác ngời chia thành lớp: Trò chơi có tổng số trò chơi có tổng không số Một trò chơi n ngời có tổng số trò chơi tồn số k cho n P (s) i =1 i =k với tình s trò chơi Nếu chọn n số k i , i = 1,2, ,n thoả mãn n Ki =k, i =1 cho Pi(s) = Pi(s) ki , tình s Thì n P '(s) i =1 i =0 s Nh vậy, trò chơi có tổng số tơng đơng với trò chơi tổng Với trò chơi hợp tác n ngời có hàm đặc trng, tổng số tổng có khái niệm tơng đơng Định lý 4.5 56 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Cho [I,v] trò chơi hợp tác n ngời có tổng số v(S) + v(I\S) = v(I) S I Chứng minh Chúng ta có: v(I) = n Pi (s) = k = i =1 n E ( x) i i =1 Trong k số, P i hàm kết ngời chơi i, Ei kết mong muốn ngời Khi với mối liên kết S I, theo Định nghĩa (4.3) hàm đặc trng E i ( x, y ) = max [k - E i ( x, y ) v(S) = max yX yX x X xX S I \S iS max [k + [ yX I \ S xX S E ( x, y) ]) iI \ S i iI \ S I \S S = max [ k - ymax xX X S I \S E ( x, y ) E ( x, y ) max = k - xX yX iI \ S = k - ymax xX X iI \ S S I \S I \S S E ( x, y ) ] iI \ S i i i = v(I) \ v(I\S) => đpcm Cho trò chơi hợp tác ngời có tổng số, trò chơi thực chất, theo Định lý 4.4 chiến thuật tơng đơng cho trò chơi v đợc tiêu chuẩn hoá ( 0, 1) cố định Các giá trị v là: v({ 1}) = v({ 2}) = 0, v({ 1,2}) = Tuy nhiên từ Định lý 4.5 suy ra: v({ 1}) = v({ 1,2}) v({ 2}) = 1- = Điều mâu thuẫn với v({ 1}) = Nh thấy trò chơi hợp tác ngời có tổng số không thực chất Xét trò chơi hợp tác ngời tổng số Ví dụ 4.4: Chúng ta xét lại Ví dụ 3.3 : Cuộc tranh cãi vợ chồng, ma trận là: 1 A= B= ; 1 Chúng ta thấy giống nh trò chơi không hợp tác, đối thủ chọn chiến thuật hỗn hợp độc lập, tập kết trò chơi miền V Hình 3.2 57 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Nếu xét trò chơi đợc mô tả ma trận kết A B nh trò chơi hợp tác ngời, chiến thuật hỗn hợp ngời chơi đợc kết hợp cách xẩy để thiết lập chiến thuật hỗn hợp chung Ví dụ, ngời chơi đa hợp đồng ràng buộc cách chơi trớc mà họ đồng thời chọn chiến thuật họ chọn đồng thời chiến thuật Để làm đợc điều này, họ dễ dàng ném đồng xu Nếu đồng xu mặt ngửa, chọn chiến thuật 1; mặt sấp chọn chiến thuật Nếu ngời chơi đợc cho phép sử dụng tất chiến thuật hỗn hợp đợc tơng quan với xảy ra, tập tất kết cặp (E 1, E2) miền V Hình 4.1 bao lồi điểm (-1,-1), (1, 2), (2,1) (1,2) E2 (2,1) V E1 (-1,-1) Hình 4.1 Các giá trị hàm đặc trng v trò chơi hợp tác ngời là: v({ 1}) = v({ 2}) = 1/5 , v({ 1,2}) = Ví dụ 4.5 : Các ma trận kết tù nhân, tiến thoái lỡng nan Ví dụ 3.4 là: 58 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi 8 10 A= , B = 10 Giống nh trò chơi không hợp tác ngời, có điểm u x = 0, y = 0, tức là, ngời chơi chọn chiến thuật tuý thứ 2, tình khác xem A, B nh ma trận kết trò chơi hợp tác ngời Thì ngời chơi đa hợp đồng ràng buộc cách chơi trớc liên quan đến cách chọn chiến thuật tuý chắn chiến thuật hỗn hợp Bây tính hàm đặc trng trò chơi hợp tác ngời theo Định nghĩa 4.3 áp dụng phơng pháp Ví dụ 4.1, đặt I, II chiến thuật túy thứ thứ hai hai ngời chơi mô tả bảng sau: I I II { 1} { 2} 10 II Hiển nhiên v({ 1}) = Tiếp theo, có: I I { 2} II 10 { 1} II xem { 2} nh ngời chơi thứ S { 1} nh ngời chơi thứ I\S; ma trận kết phép chuyển đổi ma trận gốc B Nh v({ 2}) = Chúng ta thu đợc giá trị hàm đặc trng v v({ 1}) = v({ 2}) = 2, v({ 1,2}) = 16 59 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Cuối cùng, có nhận xét trò chơi hợp tác ngời thực chất( tổng số) chiến thuật tơng đơng cho trò chơi đợc tiêu chuẩn hoá ( 0, 1) cố định, mà hàm đặc trng v có giá trị v({ 1}) = v({ 2}) = 0, v({ 1,2}) = chơng v Xây dựng trò chơi gambit 5.1 Giới thiệu phần mềm Gambit Gambit th viện chơng trình máy tính, đợc viết ngôn ngữ C ++ Sử dụng phần mềm Gambit với mục đích xây dựng, phân tích giải trò chơi n ngời dạng trò chơi đơn giản hay trò chơi phức tạp Giao diện Gambit (Gambit Graphics User Interface (Gambit GUI)) giao diện mà menu chứa chơng trình th viện Gambit tồn hai modul độc lập nhau, modul cho trò chơi phức tạp modul cho trò chơi đơn giản Trong modul xây dựng, ghi lại, sửa đổi giải trò chơi Ngôn ngữ Gambit (Gambit Command Language (GCL)) chơng trình độc lập, đợc thiết kế để sử dụng cho nhiều thao tác trò chơi GCL chơng trình cho phép truy cập vào hàm th viện Gambit ngôn ngữ ngôn ngữ bậc cao Gambit GCL luôn tơng thích vơi nhau, có nghĩa file đợc sinh cách đọc từ file khác chúng gọi hàm cuả th viện Gambit chuẩn 5.2 Môi trờng cài đặt Gambit Gambit GUI đợc thiết kế cài đặt chủ yếu môi trờng sau: + IBM PC phần mềm tơng thích chạy MS Windows 95/98 NT + Hệ điều hành Linux sử dụng Motif 60 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi 5.3 Xây dựng trò chơi Đỏ - Đen Gambit 5.3.1 Mô tả trò chơi Đỏ - Đen gồm hai ngời chơi Trò chơi đợc mô tả nh sau: Có hai bài, đỏ đen Trớc bắt đầu chơi ngời chơi bỏ đồng vào bát Sau đối thủ đặt lên bàn nói với đối thủ đỏ Đối thủ đợc Đối thủ có hai trờng hợp để chọn lựa, lật cầm lên cợc thêm đồng tiền (1) Nếu đối thủ chọn trờng hợp lật đó: - Đối thủ thắng đỏ (đối thủ thắng đồng) - Đối thủ thắng đen (nghĩa đối thủ đồng) (2) Nếu đối thủ chọn trờng hợp cầm lên cợc thêm đồng tiền Khi đối thủ có hai trờng hợp để chọn lựa: bỏ qua chấp nhận cợc tiếp - Nếu đối thủ chọn trờng hợp bỏ qua đối thủ thắng nhận đợc đồng - Nếu đối thủ chọn trờng hợp chấp nhận cợc tiếp bắt đối thủ phải lật + Nếu đỏ đối thủ thắng nhận đợc đồng + Nếu đen đối thủ thắng đối thủ nhận đợc đồng từ đối thủ 5.3.2 Xây dựng trò chơi Đỏ - Đen Gambit Qua bớc xây dựng trò chơi Đỏ - Đen Gambit cuối ta đợc trò chơi có dạng hình nh sau: 61 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Hình 5.1 5.3.3 Giải thích trò chơi dạng hình Hành động Một hành động hội tụ nhánh, hành động nút tập thông tin ngời chơi mà biết đợc ngời chơi đa cách giải tập thông tin Trong Hình 5.1, tập thông tin có hai hành động Ví dụ tập thông tin đối thủ có hai nhánh đợc ghi nhãn MEET hành động, hai nhánh đợc ghi nhãn PASS hành động khác Nhánh Một nhánh đờng nối hai nút Mỗi nhánh có nhánh khác sau Các nhánh đợc đánh số từ đến k, k thành phần nhánh nút Nhánh nhánh cao nhất, nhánh nhánh cao thứ hai, Trong Hình 5.1, nút có hai nhánh ( trò chơi khác số nhánh khác nhau) Nút Nút nút mà có nút nhỏ sau Các nút mô tả điểm hiển thị ngời chơi thay đổi cách giải Cách chọn lựa khác đợc mô tả nhánh Trong Hình 5.1, bao gồm tất nút Thành phần ngời chơi đa cách chọn lựa nút xuất bên dới nút số thứ sau dấu ngoặc đơn hình nút đợc mổ tả kiểu màu Với ngời chơi đợc mô tả màu khác Tập thông tin (Information Set) Tập thông tin hội tụ nút mà đợc điều khiển ngời chơi 62 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Trong Hình 5.1, đối thủ có hai tập thông tin đợc ghi nhãn (1,1) (1,2); đối thủ có tập thông tin (2,1) Đối thủ có tập thông tin đối thủ đối thủ đặt lên bàn đỏ hay đen Nên việc giải đối thủ chọn cách ngẫu nhiên thông tin Nút Một nút nút nút Trong Hình 5.1, có tất 11 nút, có nút nút Kết Kết vectơ chứa kết ngời chơi Các kết đợc gán cho nút bất kỳ; nút nút Trong Hình 5.1, kết đợc gán cho nút Các kết đợc mô tả cặp số, số kết đối thủ số thứ mô tả kết đối thủ Khả thực Trong Hình 5.1, khả xẩy nút đỏ đen 0.5 Khả xẩy nút gốc luôn Nút gốc Trong Gambit, nút gốc nút mà nút cha , xa từ bên trái Trong Hình 5.1, nút gốc nút không đợc ghi nhãn, xa từ bên trái Nút Nút nút mà nút theo sau Các nút mô tả điểm mà trò chơi kết thúc kết trò chơi đợc đa vào nút Trong Hình 5.1, có nút lá, nút gồm cặp hai số mô tả kết ngời chơi nút đợc xác định 5.4 Chơng trình xây dựng trò chơi Đỏ - Đen GCL Include["C:/gambit96/bin/gclini.gcl"] Include["C:/gambit96/bin/stdudfs.gcl"] e:=NewEfg[]; player1:=NewPlayer[e,"Player1"]; 63 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Player2:=NewPlayer[e,"Player2"]; deal:=NewInfoset[chance[e],{"Red","Black"}]; AddMove[deal,RootNode[e]]; Player1move:=newInfoset[Player1,{"Raise","Fold"}]; AddMove[Player1move,TerminalNodes[e]]; player2move:=NewInfoset[Player2,{"Meet","Pass"}]; Player1raised:=Filter[t:=terminalNodes[e],Name[PriorAction[t ]]="Raise"] AddMove[player2move,player1raised]; Reveal[deal,{player1}]; player1red:=NewInfoset[player1,{"raise","Fold"}]; player1black:=NewInfoset[player1,{"Raise","Fold"}]; AddMove[player1red,RootNode[e]#1]; AddMove[player1black,RootNode[e]#2]; m:=1; n:=1; win:=SetPayoffs[NewOutcome[e,"win"],{m,-m}]; winbig:=SetPayoffs[NewOutcome[e,"Win Big"],{m+n,-m-n}]; lose:=SetPayoffs[newOutcome[e,"Lose"],{-m,m}]; losebig:=SetPayoffs[NewOutcome[e,"Lose Big"],{-m-n,m+n}]; SetOutcome[terminalNodes[e], {winbig,win,win,losebig,win,lose}] SaveEfg[e,"tuan.efg"] e:=LoadEfg["tuan.efg"] 64 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Kết luận Khoá luận đợc trình bày chơng ứng với nội dung sau: Chơng I, trình bày trò chơi ma trận Từ trò chơi ma trận đợc đa để tìm điểm yên ngựa trò chơi đa vào định lý để chứng minh điểm yên ngựa tồn trò chơi Các chiến thuật hỗn hợp đợc trình bày trờng hợp trò chơi điểm yên ngựa Tìm điểm yên ngựa chiến thuật hỗn hợp định lý Minimax Đa chiến thuật tối u chiến thuật u để rút gọn trò chơi Trong Chơng I trình bày cách giải trò chơi 2x2, giải trò chơi 2xn, mx2 trò chơi 3x3 Thông qua lý thuyết trò chơi ma trận đợc trình bày ví dụ đợc đa vào để minh hoạ cho phần lý thuyết cách rõ ràng Chơng II, Trình bày trò chơi liên tục Trong chơng mô tả trò chơi vô hạn có tổng Trò chơi vô hạn có tổng trò chơi sử dụng chiến thuật hỗn hợp Cũng giống nh trò chơi ma trận, trò chơi có điểm yên ngựa Tiếp theo, trình bày trò chơi liên tục Các định lý đợc đa vào để mô tả trò chơi liên tục Một trò chơi kinh điển đợc trình bày Trò chơi thời gian Để minh hoạ cho phần lý thuyết ví dụ đợc đa vào để phân tích cho trò chơi đợc đa Chơng III, trình bày trò chơi không hợp tác n ngời Điểm cân loại trò chơi đợc trình bày thông qua khái niệm điểm cân định lý điểm cân Trong có định lý tiếng Nash đợc trình bày để tìm điểm cân trò chơi không hợp tác n ngời Mô tả điểm cân trò chơi 2x2 Sau phần lý thuyết đợc trình bày có ví dụ đợc đa vào để minh hoạ cho phần lý thuyết Chơng IV, mô tả trò chơi hợp tác n ngời Trong loại trò chơi mô tả hàm đặc trng qua tính chất định lý Khái niệm xung lợng trò chơi hợp tác n ngời đợc mô tả định lý xung lợng đợc trình bày để làm rõ xung lợng Mô tả chiến thuật tơng đơng tiêu chuẩn hoá ( 0, ) thông qua khái niệm định lý chúng Trong chơng đa vào trò chơi hợp tác ngời Cũng giống nh chơng trớc chơng đa vào ví dụ để minh hoạ cho phần lý thuyết trình bày 65 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Qua việc phân tích trò chơi chơng thấy chơng có mối tơng quan với Sau bảng trình bày mối tơng quan chơng Bảng thể mối tơng quan chơng CHơng I Trò chơi ma trận chơng ii chơng iii chơng iv Các trò chơi liên Các trò chơi không Các trò chơi hợp tục hợp tác n ngời tác n ngời Định lý 1.1(định lýđiểmyên ngựa) Định lý 3.2(định Định lý 4.4(định lýđiểmcân bằng) lý xung lợng) Cho (i*,j*) (i ,j ) điểm yên ngựa trò chơi ma trận (aij).Khi (i*,j0) (i0,j*) điểm yên ngựa ma trận đó, giá trị tất diểm yên ngựa nhau, tức là: ai*j*= ai0j0 = ai0* Mỗi trò chơi không hợp tác n ngời [ I, {Xi},{Pi}] có điểm cân 0 Một trò chơi không thực chất có xung lợng nhất: X=(v({1},v({n})) Định lý 1.3(định Định lý 2.1(định lý Minimax) lý trò chơi liên tuc) Định lý 1.5(định Định lý 2.2(định lý chiến lý chiến thuật tối u) thuật tối u) Định lý 1.6(định Định lý 2.3(định lý chiến lý chiến thuật tối u) thuật tối u) Chơng V, Mô tả cách xây dựng trò chơi Đỏ - Đen Gambit Qua bớc xây dựng để đa trò chơi dạng hình Giải thích trò chơi dạng hình Sau đa chơng trình trò chơi Đỏ - Đen đợc lập trình GCL 66 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Có thể nói lý thuyết trò chơi có nhiều vấn đề mà phải nghiên cứu Trên số vấn đề mà đa để nghiên cứu Đề tài có nhiều vấn đề nhng thời gian hạn chế nên tiếp tục nghiên cứu để đề tài hoàn thiện xây dựng đợc trò chơi hoàn chỉnh hay áp dụng toán kinh tế vào lý thuyết trò chơi, Một lần xin chân thành cảm ơn cô giáo hớng dẫn, thầy giáo, cô giáo khoa CNTT, cảm ơn bạn lớp động viên giúp đỡ nhiều trình học tập làm khoá luận tốt nghiệp 67 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Tài liệu tham khảo [1].Wang Jianhua The theory of Game.Department of Applied Mathematics, Tsinghua University, Beijing, Peoples Republic of China [2] Karlin, Sumuel (1959) Mathematical Methods and Theory in Games, Programming and Economic Addison Wesley, Reading, Mass [3] McKinsey, J C C (1952) Introduction to the Theory of Games McGraw Hill, New York [4] Dresher, M (1961) Games of Strategy, Theory and Applycations Prentice Hall, Englewood Cliffs, N.J [5] Glicksman, A M (1963) An Introduction to Linear Programming and the Theory of Games Wiley, New York [6] Richard D McKelvey, Andrew Mclennan, Theodore Turocy Gambit Graphics User Interface Part of the Project (p.6), California Institute of Technology [7] TS Phan Lê Na Lý Thuyết Trò Chơi Khoa CNTT - ĐH Vinh [8] Richard D McKelvey, Andrew McLennan, Theodore Turocy Gambit Command Language Part of the Project (p.6), California Institute of Technology 68 [...]... và v2 đều tồn tại min E(F, G) min max E(F, G) = v2 v1 = max G G F F 2.3 Các trò chơi liên tục Định lý 2.1 Nếu hàm kết quả của một trò chơi vô hạn là liên tục trên 0 x 1 , 0 y 1 thì khi đó 31 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi 1 1 min P ( x, y )dF ( x) dG ( y ) v1 = max G F 0 0 và 1 1 max P ( x, y )dF ( x) dG ( y ) v2 = min G F 0 0 tồn tại và bằng nhau Một trò chơi vô... Nói cách khác, đối thủ 2 trả một lợng P(x, y) cho đối thủ 1 Một trò chơi nh vậy đợc gọi là một trò chơi vô hạn Khi đó tổng các kết quả của đối thủ 1 và đối thủ 2 luôn luôn bằng 0 Nh vậy, trò chơi vô hạn này là trò chơi vô hạn có tổng bằng 0 Ví dụ 2.1: Đối thủ 1 và 2 độc lập chọn một số x và y trong đoạn [0, 1] Khi đó hàm kết quả là: P(x, y) = (x y)2 Trò chơi này là một trò chơi vô hạn có tổng bằng 0... giá trị -2 6 6 2 Tỉ số 6:2 là tỉ số của y1 trên y2 trong chiến thuật tối u của đối thủ 2 Y* = (y1, y2) = (y*,1-y*) Chúng ta có 3 4 Y* = ( , 1 ) 4 Giá trị của trò chơi dễ dàng tính đợc v = X*AY*t = 7 4 19 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi Minh hoạ hình học trò chơi 2ì2 B2 B1 B1 N M B1 c B1 B2 A2 A1 A2 a A1 1-x* x* Hình 1.1: Minh hoạ hình học lời giải trò chơi 2ì2 Trên mặt phẳng... nghiệp Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi Bổ đề 2 Cho A = (aij ) là một ma trận mìn tuỳ ý Thì hoặc (1) tồn tại các số y 1, ,yn với yj 0 , j = 1, ,n , n a j =1 ij n y j =1 j = 1, y j = ai1y1+ai 2y2++ainyn 0 ,i = 1, ,m ; hoặc (2) tồn tại các số x1,,xm với m x =1, xi 0 ,i=1, ,m, m a i =1 ij i =1 i xi = a1j x1+ a2j x2 ++am j xm > 0 , j = 1,.,n Định lý 1.3 (Định lý Minimax) Cho ma trận kết quả của một trò. .. tối u của trò chơi có ma trận 2ì2 là ma trận con của ma trận gốc 4ì4 đợc thiết lập bởi hàng thứ 3, thứ 4 và cột thứ 3, thứ 4 của nó Nh vậy: X* = (0, 0, 4 1 1 2 , ) , Y = (0, 0, , ) 5 5 5 5 là các chiến thuật tối u của ma trận trò chơi gốc và có giá trị là 16/5 1.9 Cách giải các ma trận trò chơi 2ì2 17 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề về lý thuyết trò chơi Cho ma trận kết quả của ma trận trò chơi 2ì2... ứng, và v = 1 là 2 giá trị của trò chơi 2.5 Một ví dụ về trò chơi thời gian Xét một trò chơi vô hạn trên đại lợng bình phơng 0 x 1, 0 y 1 Hàm kết quả M1(x, y) P(x,y) = M0(x, y) M2(x, y) với x>y ; với x=y ; với x ... Khi số ngời chơi trò chơi không hợp tác n trò chơi đợc gọi trò chơi không hợp tác n ngời 3.2 Các yếu tố trò chơi không hợp tác n ngời 40 Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi. .. để đề giải pháp tốt bên tham gia dẫn đến đời môn toán học mới: Lý thuyết trò chơi Lý thuyết trò chơi lý thuyết toán học tình xung đột Lý thuyết trò chơi thành phần quan trọng ngành toán học Vấn. .. xuống lúc chơi kết thúc Bảng kết có dạng ma trận kết Kết hàm chiến thuật hai ngời chơi Khoá luận tốt nghiệp Một số vấn đề lý thuyết trò chơi Ví dụ 1.2: Trò chơi Oẳn tù tì Đây trò chơi mà trẻ