Một số đặc trưng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục

Trờng đại học vinh Khoa toán ==& == Vũ đình thắng Một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở Và ánh xạ liên tục Khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán Cán bộ hớng dẫn khoá luận PGS.TS. trần văn ân Sinh viên thực hiện: vũ đình thắng Lớp: 46A-Toán 1 Vinh-2009 Mục lục Trang Mục lục .1 Lời nói đầu 2 Chơng 1. Một số kiến thức chuẩn Bị .3 1.1. Các khái niệm cơ bản 3 1.2. Một số tính chất của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục 8 Chơng 2. một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở Và ánh xạ liên tục 11 2.1. Một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục theo lớp các dãy hội tụ. 11 2.2. Một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục quan hệ bao hàm của tập hợp .16 Kết luận .25 Tài liệu tham khảo .26 2 Lời nói đầu Chúng ta đã biết, khi có X, Y là các không gian tôpô YX:f là ánh xạ nào đó, chúng ta có khái niệm f là ánh xạ liên tục nếu và chỉ nếu ( ) Vf 1 là tập mở trong Y, với mỗi tập mở V trong X. Đặc biệt nếu X, Y là các không gian mêtric thì f là ánh xạ liên tục nếu và chỉ nếu Y)f()f(xlim n n = x , với mọi dãy { } Xx n mà Xxlim n n = x . Cũng nh vậy, ta biết f là ánh xạ mở (đóng) nếu và chỉ nếu f(U) là tập mở (đóng) trong Y, với mỗi tập U mở (đóng) trong X. Vậy một câu hỏi đặt ra có thể có một đặc trng của các ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục theo dãy hội tụ và theo quan hệ bao hàm nào không?. Với mục đích để trả lời câu hỏi trên, khoá luận này đã trình bày một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục trên các không gian tôpô. Khoá luận đợc trình bày theo bố cục nh sau Chơng1. trình bày một số kiến thức và tính chất cơ bản của tôpô đại cơng và chứng minh một số tính chất làm cơ sở cho các phần sau. Chơng2. một số đặc trng của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục theo dãy hội tụ và theo quan hệ bao hàm tập hợp. Cuối cùng tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới thầy giáo, PGS.TS Trần Văn Ân, ngời đã tận tình, trực tiếp hớng dẫn tác giả hoàn thành khoá luận này. Nhân dịp này tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy giáo, cô giáo trong tổ giải tích, Khoa Toán-Trờng Đại học Vinh và tập thể lớp 46A-Toán đã quan tâm và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập tại trờng. Do điều kiện thời gian và hạn chế về năng lực nên khoá luận sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận đợc những ý kiến đóng góp quý báu của quý thầy cô và các bạn. 3 Vinh, tháng 04 năm 2009 Tác giả Chơng 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. các khái niệm cơ bản 1.1.1. Định nghĩa. Cho tập hợp X . Họ các tập con của X đợc gọi là một tôpô trên X, nếu nó thoả mãn (i) ;X , (ii) Với mọi A , B thì BA ; (iii) Với mọi họ { } Ii:A i thì i Ii A . Khi đó, (X, ) đợc gọi là một không gian tôpô, mỗi phần tử của X đợc gọi là một điểm trong không gian tôpô (X, ). Mỗi tập A đợc gọi là một tập mở nếu A , phần bù của tập mở gọi là tập đóng. Nếu không sợ nhầm lẫn các tôpô trên X ta có thể viết không gian X thay cho không gian (X, ). 1.1.2. Nhận xét. Từ định nghĩa ta có các nhận xét (i) và X là các tập mở; (ii) Giao của hữu hạn các tập mở là một tập mở; (iii) Hợp của một họ tuỳ ý các tập mở là một tập mở. 1.1.3. Định nghĩa. Cho không gian tôpô (X, ) và B , B đợc gọi là một cơ sở của tôpô nếu với mọi V và với mọi V x tồn tại U B sao cho V.U x 1.1.4. Định nghĩa. Cho (X, ) là không gian tôpô, X x . Ta có định nghĩa (i) Tập XU đợc gọi là một lân cận của điểm ,x nếu tồn tại V sao cho U;V x (ii) U( x ) là họ các lân cận của .x Khi đó, họ con B( x ) của U( x ) đợc gọi là cơ sở lân cận tại điểm x nếu mỗi lân cận V của x tồn tại một tập U B( x ) sao cho VU x . 4 1.1.5. Định nghĩa. Giả sử X là một không gian tôpô và X x . Tập A ,X điểm A x đợc gọi là điểm trong của A nếu tồn tại một lân cận U của điểm x sao cho U A . Tập hợp các điểm trong của A gọi là phần trong của A và kí hiệu là intA hoặc A o . 1.1.6. Nhận xét. Giả sử X là không gian tôpô và A, B X . Khi đó ta có (i) A o là tập mở lớn nhất đợc chứa trong A; (ii) A là tập mở nếu và chỉ nếu A o = A; (iii) Nếu BA thì .BA oo 1.1.7. Mệnh đề. Giả sử X là không gian tôpô và A, B X . Khi đó (i) = ; (ii) AA o ; (iii) ooo BA)BA( ; (iv) ooo BA)BA( = ; (v) .A)(A ooo = 1.1.8. Định nghĩa. Giả sử X là không gian tôpô và XA . Giao của họ tất cả các tập đóng chứa A đợc gọi là bao đóng của tập hợp A, và kí hiệu là cl(A) hoặc A . 1.1.9. Nhận xét. Giả sử X là không gian tôpô và XA . Khi đó từ định nghĩa ta có nhận xét (i) A là tập đóng bé nhất chứa A; (ii) A là tập đóng nếu và chỉ nếu AA = ; (iii) Nếu BA thì BA . 1.1.10. Mệnh đề. Cho không gian tôpô X và A, XB . Khi đó (i) = ; (ii) AA ; (iii) BABA = ; (iv) BABA ; (v) A)A( = . 1.1.11. Mệnh đề. Giả sử X là không gian tôpô, ,X x XA . Khi đó, A x nếu và chỉ nếu với lân cận bất kỳ U của x, ta có AU . 5 1.1.12. Định nghĩa. Cho X là không gian tôpô, dãy { } = 1n n x đợc gọi là hội tụ về điểm X x nếu với lân cận bất kỳ V của x thì bắt đầu từ lúc nào đó các phần tử của dãy { } = 1n n x đều nằm trong V. Lúc đó, ta gọi x là giới hạn của dãy { } = 1n n x . Và kí hiệu là .xlim n n x = 1.1.13. Định nghĩa. Cho không gian tôpô X, { } = 1n n A là dãy các tập con khác rỗng của X, x đợc gọi là điểm tụ của dãy { } = 1n n A nếu và chỉ nếu tồn tại một dãy con { } = 1k n k A của dãy { } = 1n n A và tơng ứng có dãy { } = 1k n k x , sao cho kk nn Ax với mọi k và .xlim k n k x = Tập các điểm tụ của dãy { } = 1n n A đợc kí hiệu là lim n sup A n . Tơng tự, ta định nghĩa tập các điểm giới hạn của dãy { } = 1n n A kí hiệu là lim n inf A n . Khi đó n n Ainflim x nếu và chỉ nếu tồn tại dãy { } = 1n n x , nn Ax với mọi n và x = n u xlim . 1.1.14. Mệnh đề. ([5]) Cho X là không gian tôpô, { } = 1n n A là dãy các tập con khác rỗng của X . Khi đó (i) Với ,X x x n n Asuplim nếu và chỉ nếu với mỗi lân cận U của x ta có U giao với vô hạn tập A n của dãy; (ii) Với n n Ainflim,X xx nếu và chỉ nếu với mỗi lân cận U của x ta có U giao với A n kể từ n nào đó trở đi. 1.1.15. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, { } = 1n n A là dãy các tập con khác rỗng của X . Khi đó n n Asuplim là một tập đóng. Chứng minh. Đặt A = .Asuplim n n Nếu = A suy ra A tập đóng. Nếu A thì ta sẽ chứng minh k nk1n AA = = . Trớc hết ta chứng minh k nk1n AA = . Thật vậy, lấy bất kì Ap . Giả sử U là lân cận bất kỳ của p, vì U giao 6 vô hạn tập A k nên với mọi 1n ta có )A(U k nk . Suy ra p k nk A với mọi 1n . Do đó p k nk1n A = . Vì vậy k nk1n AA = (1). Mặt khác, lấy bất kì q k nk1n A = . Giả sử Aq , khi đó tồn tại một lân cận U của q mà U chỉ giao với hữu hạn tập A k , chẳng hạn: A 1 , A 2 , 0 n A . Khi đó = + )A(V k 1nk 0 , suy ra 1nk k 0 Aq + . Từ đó dẫn đến mâu thuẫn. Do đó q A. Vì vậy A k nk1n A = (2). Từ (1) và (2) ta có n n Asuplim = k nk1n A = . Vậy lim n sup A n là một tập đóng trong X. 1.1.16. Mệnh đề. Cho X là không gian tôpô, kí hiệu c A là phần bù của A trong X. Khi đó ta có c A = ( ) .A c o Chứng minh. Giả sử XA . Do A o A nên c A ( ) c o A . Vì A o là tập mở nên ( ) c o A là tập đóng. Khi đó, c A ( ) c o A = ( ) c o A (1). Mặt khác, c A là tập đóng chứa c A do vậy ( ) ( ) AAA c c c c = suy ra ( ) c c A là tập mở chứa trong A, từ đó ( ) c c A o A hay ( ) c oc AA (2). Từ (1) và (2) ta đợc c A = ( ) c o A . 1.1.17. Định nghĩa. Hàm ì XX:d R thoả mãn các điều kiện (i) ( ) 0yx,d và ( ) 0yx,d = khi và chỉ khi yx = ; (ii) ( ) ( ) xy,dyx,d = với mọi x, y X ; (iii) ( ) ( ) ( ) yz,dzx,dyx,d + với mọi x, y, z X ; đợc gọi là một mêtric trên X. Không gian tuyến tính X cùng một mêtric d trên nó đợc gọi là không gian mêtric tuyến tính nếu các phép toán cộng và nhân với vô hớng liên tục theo tôpô sinh bởi mêtric d. 1.1.18. Mệnh đề. ([5]) Tập con F của không gian mêtric X là tập đóng trong X khi và chỉ khi với một dãy bất kì { } n x những phần tử của F, nếu Xxxlim on n = thì F.x o 7 1.2. Một số tính chất của ánh xạ đóng, mở và ánh xạ liên tục 1.2.1. Định nghĩa. Giả sử X, Y là các không gian tôpô và f : YX là một ánh xạ. Khi đó (i) f là ánh xạ liên tục nếu và chỉ nếu nghịch ảnh ( ) Vf 1 là tập mở trong X, với mọi tập mở V trong Y; 8 (ii) f là ánh xạ đóng nếu và chỉ nếu f(A) là tập đóng trong Y, với mọi tập đóng A trong X; (iii) f là ánh xạ mở nếu và chỉ nếu f(A) là tập mở trong Y, với mọi tập mở A trong X. 1.2.2. Mệnh đề. Cho X, Y là các không gian tôpô và f : YX là một ánh xạ. Khi đó, các mệnh đề sau là tơng đơng (i) f là ánh xạ liên tục; (ii) ( ) Vf 1 là tập mở trong X, với mọi tập mở V trong Y; (iii) ( ) Ff 1 là tập đóng trong X, với mọi tập đóng F trong Y; (iv) )f(A)Af( , với mọi tập con A của X; (v) ( ) ( ) BfBf 11 , với mọi tập con B của Y; (vi) ,(B))(f)(Bf o1o1 với mọi tập con B của Y. Chứng minh. (i) (ii). Từ định nghĩa suy ra (i) (ii). (ii) (iii). Giả sử có (ii) và F là tập đóng trong Y. Khi đó c F là tập mở trong Y. Theo (ii) )(Ff c1 là tập mở trong X. Mà )(Ff c1 = c1 (F))(f nên c1 (F))(f tập mở trong X. Do đó )F(f 1 là tập đóng trong X, với mọi tập F đóng trong Y. (iii) (iv). Giả sử có (iii) và XA . Vì f(A) là tập đóng trong Y, nên theo (iii) ( ) )f(Af 1 là tập đóng trong X. Mà ( ) )f(AfA 1 nên ( ) ( ) AffA 1 . Suy ra )A(f)A(f , với mọi tập con A của X. (iv) (v). Giả sử có (iv) và B là tập con trong Y. Theo (iv) lấy ( ) BfA 1 = ta có ( ) B(B))(ff(B)ff 11 . Do đó )B(f)B(f 11 , với mọi tập con B của Y. (v) (vi). Giả sử có (v) và B là tập con nào đó trong Y. Khi đó ta có, ( ) ( ) ( ) c c1o1 BfBf = ( ) [ ] c c1 Bf = . Vì ( ) ( ) c1c1 BfBf nên ( ) [ ] ( ) [ ] ,BfBf c c1 c c1 từ đó ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) .BfBfBfBf o 1 c c 1 c c1o1 = Do vậy ,(B))(f)(Bf o1o1 với mọi tập con B của Y. 9 (vi) (ii). Giả sử có (vi) và V là tập mở bất kì trong Y. Từ V là tập mở trong Y, suy ra V o =V. Do vậy theo (vi) ta có ( ) o 1o11 (V)f)(Vf(V)f = . Suy ra ( ) o 11 (V)f(V)f = , tức là )V(f 1 là một tập mở trong X. Vậy f liên tục. 1.2.3. Mệnh đề. Cho X, Y là các không gian tôpô và ánh xạ Y.X:f Khi đó (i) f là ánh xạ mở nếu và chỉ nếu ,f(A))()f(A oo với mọi tập XA ; (ii) f là ánh xạ đóng nếu và chỉ nếu )A(f)A(f , với mọi tập XA . Chứng minh. (i). Giả sử f là ánh xạ mở và A là tập con bất kỳ trong X. Ta có AA o , suy ra f(A).)f(A o Do f là ánh xạ mở nên f(A o ) là tập mở chứa trong f(A). Do vậy .(f(A)))f(A oo Ngợc lại, giả sử có ,(f(A)))f(A oo với mọi tập A X và U là tập mở bất kì trong X. Khi đó U = U o . Nhờ giả thiết ta có oo (f(U)))f(Uf(U) = . Mà f(U)(f(U)) o nên o (f(U))f(U) = hay f(U) là tập mở trong Y. Vậy f là ánh xạ mở. (ii). Giả sử f là ánh xạ đóng và A là tập con bất kỳ của X. Ta có AA dẫn đến )A(f)A(f , suy ra )A(f)A(f . Vì f là ánh xạ đóng và A là tập đóng nên ( ) Af là tập đóng. Từ đó )Af()Af((A)f = . Vậy )A(f)A(f , với mọi tập XA . Ngợc lại, giả sử có )Af(f(A) , với mọi tập con A của X và F là tập đóng bất kỳ trong X. Khi đó ta có ( ) Fff(F) f(F) = (*). Mặt khác ta có ( ) ( ) FfFf . Kết hợp với (*) ta có ( ) ( ) FfFf = . Do đó f(F) là tập đóng trong Y, với F là tập đóng bất kì trong X. Vậy f là ánh xạ đóng. 1.2.4. Mệnh đề. Cho X, Y là các không gian tôpô và YX:f là ánh xạ liên tục và đóng. Khi đó (i) )A(f)A(f = , với mọi tập XA ; (ii) )B(f)B(f 11 = , với mọi tập YB . Chứng minh. (i). Giả sử f là ánh xạ liên tục và đóng và A là tập con trong X. Vì f là liên tục nên từ Mệnh đề 1.2.2(iv) ta có )A(f)A(f (1). Mặt khác, do f là ánh xạ đóng nên theo Mệnh đề 1.2.3(ii) ta có )A(f)A(f (2). Từ (1) và (2) suy ra )A(f)A(f = . 10