Không gian các ánh xạ liên tục và k lưới

Lời mở đầu Các vấn đề cơ bản về các phủ đếm đợc theo điểm trong các không gian metric tổng quát đã đợc các nhà toán học nh Burke, Grnenhage, Michael, Tanaka, . quan tâm từ những năm 1970. Trong những năm gần đây, các vấn đề nói trên đợc nghiên cứu sâu hơn trong các không gian tôpô đặc biệt (T 1 và chính qui) bởi các nhà toán học nh Pengfeiyan, Tanaka, Shoulin . Sự tồn tại của phủ đếm đợc theo điểm, các đặc trng của mỗi loại phủ trong không gian đặc biệt . là những vấn đề thờng đợc quan tâm. Mục đích của khoá luận là nghiên cứu sự tồn tại các k - lới và k - lới đếm đợc theo điểm của không gian C(X, Y) với tôpô mở compact (C(X, Y) là tập tất cả các ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y. Ngoài ra khoá luận còn nghiên cứu các vấn đề liên quan đến cơ sở yếu và tôpô xác định bởi phủ. Với mục đích nh trên khoá luận đợc trình bày theo các mục nh sau Đ1. Các khái niệm cơ bản. Đ2. Không gian các hàm liên tục. Đ3. Sự tồn tại k - lới của C(X, Y). Đ4. Cơ sở yếu và tôpô xác định bởi phủ. Trong Đ1, chúng tôi giới thiệu lại một số khái niệm và kết quả cơ bản làm cơ sở cho các mục tiếp theo. Trong Đ2, đầu tiên chúng tôi giới thiệu về không gian các hàm liên tục C(X, Y) với tôpô mở compact. Tiếp theo, chúng tôi trình bày các tính chất cơ bản của không gian C(X, Y). Chứng minh chi tiết các Mệnh đề 2.2, 2.3, 2.4. Các Mệnh đề này đã có trong các tài liệu tham khảo, tuy nhiên chứng minh còn vắn tắt hoặc cha có chứng minh. Trong Đ3, chúng tôi tìm các điều kiện để tồn tại các k- lới và k- lới đếm đợc theo điểm của không gian C(X, Y) nh Định lý 3.1, 3.2, 3.3. 3 Trong Đ4, dành cho việc trình bày một số kết quả về sự tồn tại cơ sở yếu đếm đợc theo điểm của C(X, Y) và các phủ đếm đợc theo điểm xác định C(X, Y) nh Hệ quả 4.4, Định lý 4.5, Hệ quả 4.7. Tất cả các kết quả ở trong Đ3 và Đ4 là do chúng tôi đề xuất và chứng minh. Nhân đây, tác giả chân thành cảm ơn thầy giáo PGS.TS. Đinh Huy Hoàng đã nêu vấn đề nghiên cứu và hết lòng hớng dẫn tác giả hoàn thành khoá luận này. Tác giả cũng xin cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Giải tích, trong khoa Toán và các bạn bè đã dạy dỗ và giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Do điều kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên khoá luận sẽ không tránh khỏi thiếu sót. Rất mong quí thầy cô và bạn đọc đóng góp ý kiến. Vinh, tháng 4/2004. Tác giả Đ1. Các khái niệm cơ bản 4 Mục này dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong khoá luận. Giả sử X là không gian tôpô. 1.1. Định nghĩa. Giả sử B là một họ các tập mở của X. B đợc gọi là cơ sở của X nếu mỗi tập hợp mở trong X là hợp của một họ nào đó những tập hợp thuộc B. 1.2. Định nghĩa. Họ V T ( T là tôpô trong X) đợc gọi là tiền cơ sở của tôpô T nếu họ tất cả các giao hữu hạn các phần tử của V lập thành cơ sở của tôpô T . 1.3. Định nghĩa. Giả sử x là một điểm của X. Họ B(x) những lân cận của x gọi là một cơ sở tại điểm x nếu với mỗi lân cận V của x, tồn tại một tập hợp U B(x) sao cho U V. 1.4. Định nghĩa. Giả sử A và P là các tập con của X và A P. A đợc gọi là mở (đóng) trong P nếu tồn tại W mở (đóng) trong X sao cho A = P W. 1.5. Định nghĩa. X đợc gọi là T 1 - không gian nếu với hai phần tử bất kì phân biệt x 1 và x 2 của X luôn tồn tại lân cận U của x 1 sao cho x 2 U. 1.6. Định nghĩa. X đợc gọi là T 2 - không gian hoặc không gian Hauxơdooc nếu mỗi cặp điểm khác nhau x 1 , x 2 X đều tồn tại một lân cận U của x 1 và một lân cận V của x 2 sao cho U V = . 1.7. Định nghĩa. X đợc gọi là T 3 - không gian hoặc không gian chính qui nếu với mỗi tập đóng F trong X và mọi phần tử x F luôn tồn tại hai tập hợp mở U và V sao cho x U, F V và U V = . 1.8. Định nghĩa. Họ P các tập con của X đợc gọi là một phủ của A X nếu 5 A {P : P P }. Ta viết P thay cho {P : P P }. Nếu P = {P : P mở trong X} thì P đợc gọi là phủ mở của X. Nếu P = {P : P compact trong X} thì P đợc gọi là phủ compact của X. 1.9. Định nghĩa. X đợc gọi là compact nếu mỗi phủ mở của X đều có một phủ con hữu hạn. 1.10. Định nghĩa. X đợc gọi là compact địa phơng nếu với mọi x X đều tồn tại một lân cận U của x sao cho U là một tập compact của X. 1.11. Định lý. Giả sử X là một T 2 - không gian chính qui, compact địa phơng, A là một tập hợp compact của X và V là một tập hợp mở chứa A. Khi đó, tồn tại một tập hợp mở U sao cho U compact và A U U V. 1.12. Định lý. Nếu X là không gian tôpô chính qui, A là tập compact và U là lân cận của A thì tồn tại lân cận V đóng của A sao cho V U. 1.13. Định lý. T 1 - không gian X là một không gian chính qui khi và chỉ khi với mỗi điểm x X và mỗi lân cận V của x tồn tại một lân cận U của x sao cho x U U V. 1.14. Định nghĩa. X đợc gọi là thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất nếu X có sơ sở lân cận đếm đợc tại mỗi điểm x X. 1.15. Định nghĩa. Giả sử P và P là phủ của X. P đợc gọi là cái làm mịn của P nếu với mọi P P, tồn tại P P sao cho P P. 1.16. Định nghĩa. Giả sử P là một phủ của X. Ta nói X đợc xác định bởi phủ P hoặc P xác định X nếu U là mở (đóng) trong X khi và chỉ khi U P là mở (đóng) trong P với mọi P P. 6 1.17. Định nghĩa. Phủ P của X đợc gọi là phủ đếm đợc theo điểm nếu mỗi điểm của X thuộc không quá đếm đợc các P P. 1.18. Định nghĩa. Giả sử P là một phủ của X. Kí hiệu P < là họ tất cả các tập con hữu hạn của P. P đợc gọi là một k - lới của X nếu với mỗi tập compact K và mọi tập mở U chứa K (K U) của X, luôn tồn tại P P < sao cho K P U. 1.19. Định nghĩa. Giả sử P = { P x : x X} là họ các tập con của X sao cho với mỗi x X đều thoả mãn 1) P x là một lới tại x nghĩa là mọi lân cận U của x đều tồn tại P P x mà P U. 2) Nếu P 1 , P 2 P x thì tồn tại P 3 P x sao cho P 3 P 1 P 2 . P đợc gọi là một cơ sở yếu của X nếu mỗi tập con G của X là tập mở khi và chỉ khi mỗi x G luôn tồn tại P P x mà P G. 1.20. Định nghĩa. X đợc gọi là gf - không gian đếm đợc nếu X có một cơ sở yếu P = { P x : P x là tập đếm đợc} trong đó P x thoả mãn điều kiện định nghĩa 1.19. Đ2. Không gian các ánh xạ liên tục Giả sử X, Y là hai không gian tôpô. Kí hiệu C(X, Y) là tập tất cả các ánh xạ liên tục từ X vào Y. 7 Với mỗi tập con K của không gian X và với mỗi tập con U của không gian Y ta kí hiệu (K, U) = {f C(X, Y) : f(K) U}. Trong [1], ta có mệnh đề sau: 2.1. Mệnh đề. Họ tất cả các tập (K, U), trong đó K là tập con compact bất kì trong X và U là một tập mở trong Y, là tiền cơ cở của tôpô T trong C(X, Y). Ta gọi tôpô này là tôpô mở - compact. Sau này, nếu không nói khác thì tôpô trên C(X, Y) luôn hiểu là tôpô mở - compact. Họ tất cả các giao hữu hạn các tập hợp dạng (K, U) trong đó K, U là những tập nh trên lập thành cơ sở của tôpô mở compact. Một phần tử tùy ý của cơ sở đó có dạng n i 1 = (K i , U i ) trong đó mỗi K i là một tập con compact của X, còn mỗi U i là một tập con mở của Y. Sau đây, ta chứng minh một số tính chất cơ bản của không gian C(X, Y). 2.2. Mệnh đề. Nếu Y là T 1 - không gian thì C(X, Y) là T 1 - không gian. Chứng minh. Giả sử f, g C(X,Y) sao cho f g. Khi đó, luôn tồn tại x X sao cho f(x) g(x). Vì Y là T 1 - không gian nên tồn tại lân cận mở U của f(x) sao cho g(x) U. Vì {x} là tập compact nên ({x}, U) là lân cận của f. Vì g({x}, U) nên C(X, Y) là T 1 - không gian. 2.3. Mệnh đề. Nếu Y là T 2 - không gian thì C(X, Y) là T 2 - không gian. Chứng minh. Giả sử f, g C(X, Y) sao cho f g. Khi đó, tồn tại x X sao cho f(x) g(x). Vì Y là T 2 - không gian nên tồn tại các lân cận mở U, V lần lợt của f(x), g(x) sao cho U V = . Ta thấy ({x}, U) là lân cận của f và ({x}, V) là lân cận của g mà ({x}, U) ({x}, V) = . Thật vậy, với mỗi h ({x}, U), ta có h(x) U. Khi đó, h(x) V (vì U V = ) hay h ({x}, V). Vì thế, ({x}, U) ({x}, V) = . Từ đó suy ra C(X, Y) là T 2 - không gian. 8 2.4. Mệnh đề. Nếu Y là không gian chính qui thì C(X, Y) là không gian chính qui. Chứng minh. Với mỗi f C(X, Y) và mỗi lân cận mở W của f ta cần chứng minh tồn tại lân cận đóng V của f sao cho V W. Giả sử W = n i 1 = (K i , U i ) trong đó K i là tập compact trong X, U i là tập mở trong Y với mọi i = n,1 . Vì f (K i , U i ) với mọi i = n,1 nên f(K i ) U i với mọi i = n,1 . Vì f là ánh xạ liên tục từ X vào Y và K i là tập con compact trong X nên f(K i ) là tập con compact trong Y (i = n,1 ). Vì Y là không gian chính qui nên tồn tại lân cận đóng V i của f(K i ) sao cho f(K i ) V i U i i = n,1 . Do đó f (K i , V i ) (K i , U i ) i = n,1 hay f n i 1 = (K i , V i ) n i 1 = (K i , U i ) = W. Đặt V = n i 1 = (K i , V i ). Khi đó V là lân cận của f. Ta còn phải chứng minh V là tập đóng. Để thực hiện điều này trớc hết ta chứng minh rằng với mỗi i = 1, 2, ., n đều có (K i , V i ) = i Kx ({x}, V i ). (1) Thật vậy, với mỗi f (K i , V i ) ta có f(K i ) V i . Do đó f(x) f(K i ) V i x K i , nghĩa là f ({x}, V i ) x K i hay f i Kx ({x}, V i ). 9 Ngợc lại, giả sử g i Kx ({x}, V i ). Khi đó, ta có g ({x}, V i ) x K i . Do đó g(x) V i x K i hay g(K i ) V i . Bao hàm thức này chứng tỏ g (K i , V i ). Vậy, ta có (K i , V i ) = i Kx ({x}, V i ). Tiếp theo, ta chứng minh rằng với mỗi x K i , tập ({x}, V i ) là đóng trong C(X, Y) hay C(X, Y) \ ({x}, V i ) là tập mở. Với bất kì C(X, Y) \ ({x}, V i ) ta có (x) V i . Vì V i đóng nên Y \ V i là tập mở. Từ đó, ({x}, Y\ V i ) là tập mở trong C(X,Y), chứa . Rõ ràng, nếu ({x}, Y\V i ) thì (x) Y\V i . Do đó ({x}, V i ). Từ đó suy ra ({x}, Y\ V i ) C(X, Y) \ ({x}, V i ) và dó đó C(X, Y) \ ({x}, V i ) mở hay ({x}, V i ) đóng. Cuối cùng, từ bao hàm thức (1) suy ra mỗi tập (K i ,V i ) là đóng trong C(X,Y). Từ đó ta có V là tập đóng trong C(X, Y). Đ3. Sự tồn tại của k - lới của C(X, Y) Trong mục này, ta sẽ đa ra các điều kiện để tồn tại k- lới và k- lới đếm đợc theo điểm của không gian C(X, Y). Từ đây về sau ta kí hiệu K là họ tất cả các tập compact trong X, u là cơ sở của tôpô trong Y. 10 Giả sử P là họ các tập con nào đó của không gian tôpô X. Kí hiệu P * = { : P , hữu hạn}, P * = { : P , hữu hạn}, trong đó = P P ; = P P . 3.1. Định lý. Nếu X có k - lới P gồm các tập compact thì * P ~ là k- lới của C(X, Y), với P ~ = {(G, U) : G P * , U U }. Hơn nữa 1) Nếu P và u đếm đợc thì * P ~ đếm đợc. 2) Nếu P đếm đợc và u đếm đợc theo điểm thì * P ~ đếm đợc theo điểm. Chứng minh. Đầu tiên, ta chứng tỏ * P ~ là phủ của C(X, Y). Thật vậy, với mỗi f C(X, Y), lấy x X. Ta có f(x) Y. Vì U là cơ sở của tôpô trong Y nên tồn tại U U sao cho f(x) U. Do f liên tục và U mở nên f -1 (U) mở. Từ {x} là tập compact, {x} f -1 (U) và P là k- lới suy ra tồn tại P P sao cho {x} P f -1 (U). Do đó f(P) U hay f (P, U) P ~ * P ~ . Vì thế * P ~ là phủ của C(X, Y). 11 Tiếp theo, ta chứng minh * P ~ là k- lới của C(X, Y). Giả sử K là tập compact của C(X, Y) và W là tập con mở của C(X, Y) chứa K. Khi đó, với mỗi f K ắt tồn tại lân cận V của f sao cho V W và V có dạng V = k i 1 = (K i , U i ), trong đó K i K , U i U với mọi i = k,1 . Vì f (K i , U i ), i = k,1 nên f(K i ) U i , i = k,1 . Do đó K i f -1 (U i ). Từ P - k lới của X và f -1 (U i ) là tập mở suy ra tồn tại P 1 i , P 2 i , ., im i P P sao cho K i i m j 1 = P ji f -1 (U i ), i = k,1 . (1) Vì thế f(K i ) f ( i m j 1 = P ji ) U i , i = k,1 . Đặt P i = ( i m j 1 = P ji , U i ) , i = k,1 . Ta có P i P ~ và f P i , i = k,1 . Đặt f P ~ = k i 1 = P i . Khi đó f P ~ * P ~ . Vì f P i với mọi i = k,1 nên f f P ~ . Ta chứng minh f P ~ U. Thật vậy, với mọi g f P ~ ta có g P i với mọi i = k,1 . Do đó = i m j ji Pg 1 U i , i = k,1 . Từ (1) suy ra g(K i ) = i m j ji Pg 1 U i , i = k,1 12