Không gian có k lưới sao đếm được

Mở đầu Không gian có k-lới sao-đếm đợc đã đợc nghiên cứu bởi các tác giả YOSHITO IKEDA và YOSHIO TANAKA và đợc trình bày ở Topology Proceedings, Vol 18, 1993. Nhờ có khái niệm này mà chúng ta có thể tìm hiểu sâu hơn các tính chất tôpô cũng nh mối quan hệ giữa chúng với tính chất của k-lới sao-đếm đợc. Đợc sự hớng dẫn của PGS.TS Trần Văn Ân tác giả đã tìm hiểu một số vấn đề sau: Xét mối quan hệ giữa các không gian với k-lới sao-đếm đợc, không gian với k-lới đếm đợc địa phơng, không gian với k-lới điểm-đếm đợc. Đa ra một số điều kiện đủ liên quan đến k-lới để một không gian là không gian Linđơlôp. Đối với k-không gian và không gian Fréchet chúng tôi đa ra một vài điều kiện tơng đơng về k-lới. Đa ra một số đặc trng của các ảnh của không gian mêtric khả ly địa ph- ơng qua ánh xạ thơng nào đó. Đối với vấn đề này, ShouLin (tơng ứng, C.Liu và J.P. Song) đã chỉ ra rằng mỗi k-không gian với k-lới đếm đợc địa phơng đợc đặc trng nh là s-ảnh mạnh thơng (tơng ứng, ảnh Linđơlôp địa phơng) của không gian mêtric (tơng ứng, không gian mêtric khả ly địa phơng) Các chứng minh của những đặc trng này đợc dựa trên phép dựng cổ điển của các tập con nào đó của không gian Baire 0-chiều. Tác giả đa ra một đặc trng khác với một chứng minh đơn giản hơn nhờ tôpô yếu đối với các phủ sao-đếm đợc. Luận văn có nội dung chính nh sau : Chơng1 Các k-lới đếm đợc địa phơng, sao-đếm đợc, điểm-đếm đợc Trong phần này tác giả trình bày một số khái niệm về k-lới nh : k-lới sao- đếm đợc, đếm đợc địa phơng hoặc điểm-đếm đợc và một số không gian nh : k- không gian, song-k-không gian, -không gian, 0 -không gian Ngoài ra tác giả còn trình bày các đặc trng của k-không gian và không gian meta-Lindơlôp có k-lới sao-đếm đợc hoặc đếm đợc địa phơng. Đa ra một số điều kiện đủ về k-l- ới để một không gian là không gian Lindơlôp. Cuối cùng là trình bày một số điều kiện tơng đơng về k-lới của không gian Fréchet. Chơng 2 Các ánh xạ thơng Lindơlôp mạnh Giới thiệu một số ánh xạ nh : ánh xạ Lindơlôp mạnh, s-ánh xạ, s-ánh xạ mạnh, ánh xạ phủ compact và mối quan hệ giữa chúng. Chúng tôi đ a ra một số điều kiện để ảnh đóng của không gian với k-lới sao-đếm đợc có k-lới sao- đếm đợc hoặc có k-lới đóng sao-đếm đợc. Tiếp theo là trình bày các đặc trng liên quan đến k-lới của các ảnh của không gian mêtric khả ly địa phơng qua các ánh xạ nh : ánh xạ thơng Lindơlôp mạnh, s-ánh xạ thơng mạnh, ánh xạ giả mở Lindơlôp, ánh xạ giả mở Lindơlôp mạnh, ánh xạ đóng Lindơlôp. Cuối cùng là đa ra các khẳng định tơng đơng của k-không gian, không gian Fréchet. Những kết quả của luận văn chủ yếu đợc tổng kết từ các bài báo (xem tài liệu tham khảo).Tác giả đã cố gắng chứng minh chi tiết các định lý, hệ quả, mệnh đề, bổ đề cùng các nhận xét. Những vấn đề đã biết đợc tác giả trích dẫn mà bỏ qua chứng minh nhng có chú thích xem ở tài liệu tham khảo. Trong luận văn tác giả qui ớc rằng tất cả các ánh xạ đều liên tục và toàn ánh, tất cả các không gian là chính qui, 1 T . Cuối cùng, tác giả gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS Trần Văn Ân, ngời thầy đã tận tình hớng dẫn trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu viết luận văn này. Đồng thời, tác giả chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa Sau đại học cùng bạn bè đã nhiệt tình giảng dạy, động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập tại trờng Đại học Vinh. Vinh, tháng 12 năm 2004 Tác giả Mục lục Trang Mở đầu 1 Mục lục 4 Chơng 1 Các k-lới sao-đếm đợc, đếm đợc địa phơng, điểm-đếm đợc 5 1.1. Không gian đợc xác định bởi k-lới 5 1.2. Đặc trng của các không gian có k-lới 8 Chơng 2 Các ánh xạ thơng Linđơlôp mạnh 23 2.1. Khái niệm và các kết quả cơ bản 23 2.2. ảnh của không gian có k-lới sao-đếm đợc, k-lới điểm-đếm đợc qua ánh xạ đóng 29 2.3. Đặc trng của không gian mêtric qua ánh xạ thơng 33 Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 45 Chơng 1 Các k-lới sao-đếm đợc, đếm đợc địa phơng, điểm đếm đ- ợc 1.1. Không gian đợc xác định bởi k-lới 1.1.1. Định nghĩa ([4]). Giả sử X là không gian tôpô và P là một phủ (không nhất thiết đóng hoặc mở) của .X Khi đó P đợc gọi là k-lới nếu với bất kỳ tập compact K và tập mở U trong X mà K U thì tồn tại họ hữu hạnF P sao cho K F .U Nếu chúng ta thay từ compact bởi điểm thì phủ nh vậy đợc gọi là lới. 1.1.2. Định nghĩa ([4]). Một họ U các tập con của X đợc gọi là sao-đếm đợc (tơng ứng, điểm-đếm đợc) nếu mỗi U U (tơng ứng, mỗi điểm thuộc X ) có giao với nhiều nhất là đếm đợc phần tử của họ U. Một họ U các tập con của X đợc gọi là đếm đợc địa phơng (tơng ứng, hữu hạn địa phơng) nếu mỗi Xx thì tồn tại một lân cận của x chỉ cắt đếm đ- ợc (tơng ứng, hữu hạn) các phần tử của họ U. 1.1.3. Định nghĩa ([2]). Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Linđơlôp nếu mỗi phủ mở của X có phủ con đếm đợc. Tập con XA đợc gọi là tập Linđơlôp nếu A là không gian Linđơlôp với tôpô cảm sinh. 1.1.4. Bổ đề. Một họ -đếm đợc địa phơng các tập con Linđơlôp là sao-đếm đợc. Chứng minh. Giả sử U = = 1n U n là họ -đếm đợc địa phơng các tập Linđơlôp. Giả sử U là phần tử bất kỳ thuộc U. Khi đó với mỗi Ux tồn tại lân cận x V chỉ cắt đếm đợc phần tử của U 1 . Ta có họ { } UxV x : là một phủ mở của .U Vì U là Linđơlôp nên tồn tại phủ đếm đợc { } , ., .,, 21 n xxx VVV của .U Do đó U chỉ cắt đếm đợc phần tử của U 1 . Lý luận tơng tự, thì U cũng chỉ cắt đếm đợc phần tử của U 2 , ,U n , . Cho nên U chỉ cắt đếm đợc phần tử của U. Vậy U là sao-đếm đợc. 1.1.5. Định nghĩa ([4]). Giả sử X là không gian tôpô và C là một phủ của .X Khi đó X gọi là đợc xác định bởi C (hay có tôpô yếu đối với C theo nghĩa thông thờng) nếu tập XF là đóng trong X khi và chỉ khi CF là đóng trong C với mọi C C. Nhận xét. (i) Bất kỳ không gian tôpô nào cũng đợc xác định bởi phủ đóng hữu hạn của nó. (ii) Bất kỳ không gian tôpô nào cũng đợc xác định bởi phủ mở bất kỳ của nó. 1.1.6. Định nghĩa ([4]). Không gian tôpô X đợc gọi là k-không gian (t- ơng ứng, không gian dãy) nếu nó đợc xác định bởi phủ gồm tất cả các tập con compact (tơng ứng, compact mêtric) của .X Không gian tôpô X đợc gọi là k -không gian nếu nó đợc xác định bởi phủ đếm đợc các tập con compact của .X 1.1.7. Định nghĩa ([4]). Không gian tôpô X đợc gọi là không gian Fréchet nếu với mọi tập A X và với mọi Ax thì tồn tại một dãy { } Ax n sao cho .xx n 1.1.8. Bổ đề ([4]). Một không gian Fréchet bất kỳ là không gian dãy và một không gian dãy bất kỳ hoặc k -không gian là k- không gian. 1.1.9. Bổ đề ([4]). Giả sử C là phủ sao-đếm đợc của .X Khi đó các khẳng định (1) và (2) sau đây là đúng. (1) X là hợp rời nhau của họ { AX : }, trong đó mỗi X là hợp đếm đợc các phần tử của C ; (2) Nếu X đợc xác định bởi C , thì X là tổng tôpô của họ { AX : } trong (1) và phủ C là đếm đợc địa phơng. 1.1.10. Định nghĩa ([4]). Không gian tôpô X đợc gọi là -không gian (tơng ứng, 0 -không gian) nếu nó có một k-lới -hữu hạn địa phơng (tơng ứng, k-lới đếm đợc). Không gian tôpô X đợc gọi là -không gian (tơng ứng, không gian vũ trụ (cosmic)) nếu nó có một lới -hữu hạn địa phơng (tơng ứng, lới đếm đợc). 1.1.11. Hệ quả ([4]). Giả sử X là không gian đợc xác định bởi phủ sao-đếm đợc P . Nếu P là k-lới (tơng ứng, k-lới compact, lới), thì X là tổng tôpô của các 0 -không gian (tơng ứng, k -và- 0 -không gian, không gian vũ trụ). Chứng minh. Theo bổ đề 1.1.9, thì X là tổng tôpô của họ { } .: AX Giả sử P là k-lới. Gọi K và U lần lợt là các tập compact và tập mở trong X sao cho XUK . Vì XX A = nên X là tập mở trong ,X suy ra U và K cũng là tập mở, tập compact trong .X Do P là k-lới nên tồn tại hữu hạn n PPP , .,, 21 thuộc P sao cho . 1 UPK n i i = Vì mỗi X là hợp đếm đợc các phần tử của P nên P = { } , .2,1,: = iXPP ii là k-lới đếm đợc của . X Vậy X là 0 -không gian. Giả sử P là k-lới compact và XA sao cho i PA đóng trong i P với , .,2,1 = i . Ta có = j PA với , .,2,1 = j và . Do X đợc xác định bởi P nên A là tập đóng trong .X Vì vậy, A là tập đóng trong . X Suy ra X là k -không gian. Kết hợp với chứng minh trên ta suy ra X là k -và- 0 - không gian. Giả sử P lới, thì chứng minh tơng tự trờng hợp P là k-lới ta có X là không gian vũ trụ. 1.1.12. Định nghĩa ([2]). ánh xạ YXf : đợc gọi là ánh xạ thơng nếu tập )( 1 Uf mở (tơng ứng, đóng) trong X khi và chỉ khi U mở (tơng ứng, đóng) trong .Y Nhận xét. Mỗi ánh xạ mở hoặc đóng là ánh xạ thơng. 1.1.13. Bổ đề ([2]). ảnh của k-không gian qua ánh xạ thơng là k-không gian. 1.1.14. Bổ đề ([4]). (1) Giả sử X đợc xác định bởi họ { } AX : và mỗi YX . Khi đó X đợc xác định bởi họ { } AY : ; (2) Giả sử X đợc xác định bởi họ { } AX : và mỗi X đợc xác định bởi họ { } BX : , . Khi đó X đợc xác định bởi họ { } BAX ,: , ; (3) Giả sử YXf : là ánh xạ thơng. Khi đó nếu X đợc xác định bởi { } AX : , thì Y đợc xác định bởi { } AXf :)( . 1.2. Đặc trng của các không gian có k-lới 1.2.1. Định nghĩa ([3]). Không gian tôpô X đợc gọi là song-k-không gian đếm đợc nếu mỗi dãy giảm { } , .,2,1: = nA n các tập con của X với điểm tụ chung x (nghĩa là n Ax với mọi , .,2,1 = n ), thì tồn tại dãy giảm { } , .,2,1: = nB n các tập con của X sao cho nn BAx với mọi , .,2,1 = n và = = 1n n BK là tập compact thoả mãn mỗi tập mở U chứa K thì chứa n B nào đó. 1.2.2. Bổ đề. Một không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất là song-k-không gian đếm đợc. Chứng minh. Giả sử { } , .,2,1: = nA n là dãy giảm các tập con của X với điểm tụ chung .x Vì X là không gian thoả mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất nên tồn tại dãy giảm các lân cận { } , .,2,1: = nV n tại .x Với mỗi , .,2,1 = n do n Ax nên nn AV . Chọn 111 VAx , 222 VAx , , nnn VAx Đặt { } { } xixB i = 1: 1 , { } { } xixB i = 2: 2 , , { } { } xnixB in = : , Rõ ràng { } , .,2,1: = nB n là dãy giảm và = = 1n n BK { } x = là tập compact. Với mỗi , .,2,1 = n và mỗi lân cận V bất kỳ của x thì , nn BAV do đó nn BAx . Gọi U là lân cận mở bất kỳ chứa K thì tồn tại n V nào đó sao cho .UV n Vậy X là song-k-không gian đếm đợc. 1.2.3. Mệnh đề. Không gian compact địa phơng là song-k-không gian đếm đợc. Chứng minh. Giả sử { } , .,2,1: = nA n là dãy giảm các tập con của X với điểm tụ chung .x Vì X là compact địa phơng nên tồn tại lân cận V của x sao cho V là tập compact. Đặt 1 B = A 1 V , 2 B = A 2 V , , n B = A n V . Khi đó, với mỗi , .,2,1 = n thì n B là tập đóng trong .V Vì V là tập compact nên n B là tập compact và { } , .,2,1: = nB n là dãy giảm. Đặt = = 1n n BK thì K là tập compact và .Kx Gọi U là lân cận bất kỳ của .K Khi đó U phải chứa một n B nào đó. Thật vậy, giả sử U không chứa n B nào cả, vì vậy tồn tại dãy { } UxBxx nnnn ,: . Với mỗi , .,2,1 = m do { } m B là dãy giảm nên từ một lúc nào đó { } mn Bx . Mặt khác, { } m B là tập compact nên tồn tại dãy { } k n x hội tụ tới x thuộc m B . Vì vậy, .UKx Do U là tập mở nên Ux n với n đủ lớn. Điều này vô lý vì Ux n với mọi , .,2,1 = n . Vậy X là song-k-không gian đếm đợc. 1.2.4. Định nghĩa ([4]). Không gian tôpô X đợc gọi là không gian meta-Linđơlôp nếu mỗi phủ mở có một cái mịn mở điểm-đếm đợc. 1.2.5. Bổ đề ([3]). Giả sử X là không gian. Khi đó X có cơ sở điểm- đếm đợc khi và chỉ khi X là song-k-không gian đếm đợc và X có k-lới điểm- đếm đợc. 1.2.6. Định nghĩa ([3]). Không gian tôpô X đợc gọi là có tính chặt đếm đợc nếu với mỗi Ax trong X thì Cx với tập đếm đợc C nào đó trong .A 1.2.7. Bổ đề ([3]). Giả sử X là song-k-không gian đếm đợc có tính chặt đếm đợc và P là phủ điểm-đếm đợc của X sao cho mỗi tập compact XK đợc phủ bởi họ hữu hạn F P. Khi đó với mọi Xx thì (x F 0 ) với F hữu hạn nào đó của P . 1.2.8. Bổ đề. (i) Một 0 -không gian là không gian Linđơlôp. (ii) Không gian con của 0 -không gian là 0 -không gian. Chứng minh. (i). Giả sử X là 0 -không gian, P là k-lới đếm đợc của X và U là phủ mở bất kỳ của .X Với mỗi i P P, ta lấy một i U U sao cho ii UP . Đặt U * = { } , .,2,1: = iU i . Khi đó U * là phủ đếm đợc của U. Vậy X là không gian Linđơlôp. (ii). Giả sử A là tập con bất kỳ và P là k-lới đếm đợc của .X Khi đó ta đặt Q = PAP :{ P }. Dễ dàng kiểm tra đợc Q là k-lới đếm đợc của A . 1.2.9. Bổ đề. Nếu không gian X có k-lới đếm đợc địa phơng thì X có k-lới đóng đếm đợc địa phơng. Chứng minh. Giả sử Q là k-lới đếm đợc địa phơng của .X Khi đó ta đặt P = { P : P Q } . Bây giờ ta chứng minh P là k-lới đếm đợc địa phơng của X .