Về định lý điểm bất động banach trên một số không gian có cấu trúc nón luận văn tốt nghiệp đại học

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ---------------------------------------- Hoàng Thị Thơng Về định lí điểm bất động Banach trên một số không gian có cấu trúc nón Khoá luận cử nhân khoa học Nghành S Phạm toán học Vinh, 2011 1 Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh ---------------------------------------- Hoàng Thị Thơng Về định lí điểm bất động Banach trên một số không gian có cấu trúc nón Khoá luận cử nhân khoa học Nghành S Phạm toán học Giảng viên hớng dẫn: Th.s Trần Đức Thành Vinh, 2011 2 Mục lục Mục lục 1 Mở đầu .2 1. Không gian mêtric nón và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón 4 1.1 Nón trong không gian Banach 4 1.2 Không gian mêtric nón .8 1.3 Định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón 13 2. Không gian mêtric chữ nhật nón và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric chữ nhật nón .19 2.1 Không gian mêtric chữ nhật nón .19 2.2 Định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric chữ nhật nón .21 3. Không gian mêtric nón riêng và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón riêng .25 3.1 Không gian mêtric nón riêng .25 3.2 Định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón riêng .31 Kết luận .39 Tài liệu tham khảo 40 3 Mở đầu Lý thuyết về điểm bất động là một trong những lĩnh vực Toán học đợc nhiều nhà Toán học quan tâm. Trong lý thuyết này, ngoài các định lí tồn tại điểm bất động, ng- ời ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp các điểm bất động, các phơng pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng. Ngời ta đã thấy sự ứng dụng đa dạng của lý thuyết điểm bất động cả trong toán học lý thuyết và toán học ứng dụng, vật lý, tin học và các nghành khoa học khác. Lý thuyết này gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn nh Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Tikhonov, Ky Fan, Browder, Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ 20, trong đó phải nói đến kết quả kinh điển Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922). Một trong những hớng nghiên cứu của những nhà Toán học trong lĩnh vực này là xây dựng các không gian mới, sau đó mở rộng kết qủa kinh điển Banach ra cho lớp các ánh xạ. Với ý tởng nh vậy, năm 2007, Huang Long- Guang và Zhang Xian [2] đã đa ra khái niệm không gian mêtric nón bằng cách thay tập số thực trong định nghĩa mêtric bởi một nón định hớng trong không gian Banach. Năm 2009, A.zam, M.Arshad và I. Beg [3] đa ra khái niệm không gian mêtric chữ nhật nón. Năm 2011, A. Sonmez [4] xây dựng khái niệm không gian mêtric nón riêng. Với mục đích là tìm hiểu về các không gian có cấu trúc nón, định lí điểm bất động Banach trên các không gian này; chúng tôi lựa chọn đề tài cho khoá luận tốt nghiệp của mình là Về định lí điểm bất động Banach trên một số không gian có cấu trúc nón Ngoài phần Mục lục, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận đợc trình bày trong ba chơng. Chơng 1. Không gian mêtric nón và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón Chơng 2. Không gian mêtric chữ nhật nón và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric chữ nhật nón 4 Chơng 3. Không gian mêtric nón riêng và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón riêng. Khoá luận đợc thực hiện tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc của thầy giáo Th.S . Trần Đức Thành, tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán, tổ giải tích đã tạo điều kiện giúp đỡ trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trờng. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót, kính mong quý thầy cô và bạn đọc góp ý để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. Vinh, ngày 3 tháng 5 năm 2011 Tác giả Chơng 1 5 Không gian mêtric nón và định lí điểm bất động Banach trên không gian mêtric nón Trong chơng này, chúng tôi trình bày khái niệm nón, một số tính chất cơ bản của nón trong không gian Banach, khái niệm không gian mêtric nón, các tính chất về dãy hội tụ trong không gian mêtric nón và cuối cùng là phát biểu và chứng minh định lí điểm bất động Banach đã có trong bài báo Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings của các tác giả Huang Long- Guang và Zhang Xian [2]. Ta bắt đầu giới thiệu về nón trên các không gian Banach và một số tính chất cơ bản của nó. 1.1 Nón trong không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa. Cho E là không gian Banach trên trờng số thực R . Tập con P của E đợc gọi là một nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau: i) P là tập đóng, P khác tập rỗng , { } P 0 ; ii) Với mọi x,y P , mọi a,b R , a,b 0 ta có ax by P+ ; iii) Nếu x P và x P thì x = 0 . 1.1.2 Ví dụ. 1) Trong không gian các số thực R với chuẩn thông thờng, tập { } 0P x : x= R là một nón. 2) Giả sử 2 E = R , ( ) { } 2 0P x,y E / x,y= R .Khi đó P thỏa mãn ba điều kiện : i) P là tập đóng, P khác tập rỗng , { } P 0 ; ii) Với mọi ( ) ( ) x, y , u,v P và mọi a,b R , a,b 0 ta có ( ) ( ) a x,y b u,v P + ; iii) Với ( ) x,y P và ( ) x, y P ta có ( ) x, y ( , )= 0 0 . Vậy P là một nón trên E . 1.1.3 Nhận xét. Cho P là một nón trong không gian Banach E . Trên E ta xét quan hệ xác định bởi P nh sau: x y nếu và chỉ nếu y x P . Khi đó, quan 6 hệ là một quan hệ thứ tự trên P . Thật vậy, với mọi x P ta có 0x x P = nên x x . Do đó, quan hệ có tính phản xạ. Giả sử x,y,z P , x y và y z . Khi đó, ta có y x P và z y P . Do đó, ( ) ( ) z x z y y x P = + hay x z . Nh vậy, quan hệ có tính bắc cầu. Giả sử x,y P , x y và y x . Suy ra y x P và ( ) x y y x P = . Theo điều kiện iii) của Định nghĩa 1.1.1 ta suy ra 0 hay y x x y = = . Do đó, quan hệ có tính phản đối xứng. Vậy quan hệ là một quan hệ thứ tự trên P. Chúng ta quy ớc x y< nếu x y và x y , còn x y<< nếu y x int P với int P là phần trong của P . 1.1.4 Định nghĩa. Cho P là một nón trong không gian Banach E . 1) Nón P đợc gọi là nón chuẩn tắc nếu tồn tại số thực K > 0 sao cho với mọi x,y E và x y 0 ta có x K y . Số thực dơng K nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện này đợc gọi là hằng số chuẩn tắc của P . 2) Nón P đợc gọi là nón chính quy nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên trong E đều hội tụ. Nghĩa là, nếu { } n x là dãy trong E sao cho x 1 x 2 n x y với y E thì tồn tại x E sao cho n x x 0 khi n . Hoàn toàn tơng tự, nón P đợc gọi là nón chính quy nếu mọi dãy giảm và bị chặn dới trong E đều hội tụ. Định lí sau nói về mối quan hệ giữa nón chính quy và nón chuẩn tắc. 1.1.5 Định lí. Mọi nón chính quy là nón chuẩn tắc. Chứng minh. Giả sử P là một nón chính quy nhng không phải là nón chuẩn tắc. Khi đó, với mỗi n 1 , ta lấy n n t ,s P sao cho n n t s P và n n n t s 2 . Với mỗi n 1 , đặt n n n t y t = ; n n n s x t = . Ta có n n n n y , x , y x P , n y = 1 và n x 2 với mọi 7 n 1 . Vì chuỗi n n n y n n = = = 2 2 1 1 1 hội tụ nên chuỗi n n y n = 2 1 hội tụ trong E . Lại do P là tập đóng nên tồn tại y P sao cho chuỗi n n y y n = = 2 1 . Từ đó ta có 0 x 1 x x x x x . y + + + 1 2 1 2 3 2 2 2 1 1 1 2 2 3 . Vì P là nón chính quy nên chuỗi n n x n = 2 1 hội tụ. Suy ra n n x n = 2 lim 0 , điều này mâu thuẫn với n x n 2 1 với mọi 1 2n , .= Vậy P là nón chuẩn tắc. 1.1.6 Nhận xét. Điều ngợc lại của Định lí 1.1.5 là không đúng, tức là có những nón chuẩn tắc nhng không chính quy. Thật vậy, xét không gian Banach [ ] 0 1E C ,= R với chuẩn sup: [ ] ( ) 0 1x , f sup f x = . Đặt { } P f E : f= 0 . Khi đó, P là một nón với hằng số chuẩn tắc K = 1 . Thật vậy, giả sử f ,g E và f g 0 . Khi đó, ( ) ( ) 0 f x g x với mọi [ ] x , 0 1 và ta có: [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) x , x , x , x , f sup f x sup f x sup g x sup g x g = = = = 0 1 0 1 0 1 0 1 , chứng tỏ P là nón chuẩn tắc. Bây giờ ta chứng minh P không phải là nón chính quy. Thật vậy, lấy dãy { } n f trong E cho bởi ( ) n n f x x= với mọi [ ] x , 0 1 . Khi đó, ta có n n . x x . x x 1 2 0 với mọi [ ] x , 0 1 . Rõ ràng dãy { } n f giảm và bị chặn dới nhng { } n f không hội tụ trong E . Vởy P không phải là nón chính quy. 8 1.1.7 Mệnh đề. Nếu K là hằng số chuẩn tắc của nón P thì 1K Chứng minh. Giả sử P là một nón với hằng số chuẩn tắc K < 1 , chọn x P , x 0 và < <0 1 sao cho K < 1 . Khi đó, ( ) x x 1 nhng ( ) x K x >1 . Điều này mâu thuẫn với định nghĩa K là hằng số chuẩn tắc. Vậy K 1 . 1.1.8. Mệnh đề. Với mỗi số thực 1>k tồn tại nón chuẩn tắc với hằng số chuẩn tắc >K k . Chứng minh. Cho số thực k >1, xét không gian vectơ thực 1 / , ; 1 ,1E ax b a b x k = + R , với chuẩn max: 1 1 1x , k y ax b max ax b = + = + với mọi y E . Dễ thấy ( ) E, . là không gian Banach. Đặt { } P ax b E / a ,b= + 0 0 . Khi đó, P là một nón trên E . Ta chứng minh P là nón chính quy. Giả sử { } n n n a x b + 1 là một dãy tăng và bị chặn trên. Khi đó, tồn tại cx d E+ sao cho n n a x b a x b . a x b . cx d+ + + + 1 1 2 2 , với mọi x , k 1 1 1 . Do đó, { } n n a 1 và { } n n b 1 là hai dãy trong R thỏa mãn n b b . b . d 1 2 , n a a . a . c 1 2 . Suy ra các dãy { } n n a 1 và { } n n b 1 hội tụ. Giả sử n n a a,b b , khi đó ax b P+ và ( ) n n a x b ax b n+ + . Do đó, P là một nón chính quy. Theo Định lí 1.1.5, ta suy ra P là nón chuẩn tắc. Từ Mệnh đề 1.1.7 ta suy ra tồn tại số thực K 1 sao cho với mọi f ,g E , g f 0 ta có g K f . Ta chứng minh K k> . Thật vậy, nếu lấy ( ) f x kx k P= + , ( ) g x k P= và f g P thì g f 0 . Do đó, 9 k g K f K k k K k = = + = ữ 1 1 . Vậy Kk . Bây giờ nếu ta lấy ( ) f x k x k k = + + ữ 1 , ( ) g x k= thì f P , g P và f g P . Hơn nữa, g k= và f k k k k k k = + = + ữ ữ 2 1 1 1 1 1 1 . Suy ra k f k g K f< = . Vậy k K< . 1.1.9 Nhận xét. Tồn tại những nón không chuẩn tắc. Thật vậy, xét không gian Banach [ ] 2 0 1E C ,= R với chuẩn ' f f f = + , trong đó [ ] ( ) x , f sup f x = 0 1 và nón { } P f E / f= 0 . Với mỗi k 1 , lấy ( ) ( ) 2k f x x, g x x= = . Khi đó, g f 0 , f = 2 và g k= +2 1 . Bởi vì k f g< nên k không là hằng số chuẩn tắc của P . Vậy P không là nón chuẩn tắc. 1.2 Không gian mêtric nón Trong toàn bộ phần này, ta quy ớc P là một nón trong không gian Banach thực E sao cho int P và quan hệ thứ tự trên E đợc xác định bởi P . 1.2.1 Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng. ánh xạ d X X Eì : đợc gọi là một mêtric nón nếu thỏa mãn các điều kiện sau: (d 1 ) ( ) d x y0 , với mọi x,y và ( ) d x y =, 0 khi và chỉ khi x y = ; (d 2 ) ( ) ( ) d x y d y x=, , với mọi x,y X ; (d 3 ) ( ) ( ) ( ) d x,y d x,z d z,y + với mọi x,y,z . 10