Về định lý điểm bất động banach trên một số không gian có cấu trúc nón

1 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Hoàng Thị Th-ơng Về định lí điểm bất động Banach số không gian có cấu trúc nón Khoá luận cử nhân khoa học Nghành S- Phạm toán học Vinh, 2011 Bộ giáo dục đào tạo Tr-ờng đại học vinh Hoàng Thị Th-ơng Về định lí điểm bất động Banach số không gian có cấu trúc nón Khoá luận cử nhân khoa học Nghành S- Phạm toán học Giảng viên h-ớng dẫn: Th.s Trần Đức Thành Vinh, 2011 Mục lục Mục lôc Mở đầu Không gian mêtric nón định lí điểm bất động Banach không gian mêtric nãn 1.1 Nãn kh«ng gian Banach 1.2 Không gian mêtric nãn 1.3 Định lí điểm bất động Banach không gian mêtric nón 13 Không gian mêtric chữ nhật nón định lí điểm bất động Banach không gian mêtric chữ nhật nón 19 2.1 Không gian mêtric chữ nhật nãn 19 2.2 Định lí điểm bất động Banach không gian mêtric chữ nhật nón 21 Không gian mêtric nón riêng định lí điểm bất động Banach không gian mêtric nón riêng 25 3.1 Không gian mêtric nón riêng 25 3.2 Định lí điểm bất động Banach không gian mêtric nón riªng 31 KÕt luËn 39 Tài liệu tham khảo 40 Më đầu Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực Toán học đ-ợc nhiều nhà Toán học quan tâm Trong lý thuyết này, định lí tồn điểm bất động, ng-ời ta quan tâm đến cấu trúc tập hợp điểm bất động, ph-ơng pháp tìm điểm bất động ứng dơng cđa chóng Ng-êi ta ®· thÊy sù øng dơng đa dạng lý thuyết điểm bất động toán học lý thuyết toán học ứng dụng, vật lý, tin học nghành khoa học khác Lý thuyết gắn liền với tên tuổi nhà to¸n häc lín nh- Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Tikhonov, Ky Fan, Browder, Những định lý điểm bất động tiếng ®· xt hiƯn tõ ®Çu thÕ kû 20, ®ã phi nói đến kết qu kinh điển Nguyên lý nh x co Banach (1922) Một h-ớng nghiên cứu nhà Toán học lĩnh vực xây dựng không gian mới, sau mở rộng kết qủa kinh điển Banach cho lớp ánh xạ Với ý t-ởng nh- vậy, năm 2007, Huang Long- Guang Zhang Xian [2] đà đ-a khái niệm không gian mêtric nón cách thay tập số thực định nghĩa mêtric nón định h-ớng không gian Banach Năm 2009, A.zam, M.Arshad I Beg [3] đ-a khái niệm không gian mêtric chữ nhật nón Năm 2011, A Sonmez [4] xây dựng khái niệm không gian mêtric nón riêng Với mục đích tìm hiểu không gian có cấu trúc nón, định lí điểm bất động Banach không gian này; lựa chọn đề tài cho khoá luận tốt nghiệp Về định lí điểm bất động Banach số không gian có cấu trúc nón Ngoài phần Mục lục, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung khoá luận đ-ợc trình bày ba ch-ơng Ch-ơng Không gian mêtric nón định lí điểm bất động Banach không gian mêtric nón Ch-ơng Không gian mêtric chữ nhật nón định lí điểm bất động Banach không gian mêtric chữ nhật nón Ch-ơng Không gian mêtric nón riêng định lí điểm bất động Banach không gian mêtric nón riêng Khoá luận đ-ợc thực Tr-ờng Đại học Vinh d-ới h-ớng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo Th.S Trần Đức Thành, tác giả xin đ-ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới thầy cô khoa Toán, tổ giải tích đà tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập nghiên cứu tr-ờng Mặc dù tác giả đà có nhiều cố gắng song khóa luận không tránh khỏi thiếu sót, kính mong quý thầy cô bạn đọc góp ý để khoá luận đ-ợc hoàn thiện Vinh, ngày tháng năm 2011 Tác giả Ch-ơng Không gian mêtric nón định lí điểm bất động Banach không gian mêtric nón Trong ch-ơng này, trình bày khái niệm nón, số tính chất nón không gian Banach, khái niệm không gian mêtric nón, tính chất dÃy hội tụ không gian mêtric nón cuối phát biểu chứng minh định lÝ ®iĨm bÊt ®éng Banach ®± cã b¯i b²o “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings” tác giả Huang Long- Guang Zhang Xian [2] Ta bắt đầu giới thiệu nón không gian Banach số tính chất 1.1 Nón không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa Cho E không gian Banach tr-ờng số thực R Tập P E đ-ợc gọi nón thỏa mÃn điều kiện sau: i) P tập đóng, P khác tập rỗng , P  0 ; ii) Víi mäi x, y  P , mäi a,bR , a,b  ta cã ax  by  P ; iii) NÕu x  P x P x 1.1.2 Ví dụ 1) Trong không gian số thùc R víi chn th«ng th-êng, tËp P  x  R : x  0 lµ mét nãn 2) Gi¶ sư E  R , P   x, y   E / x, y  0  R Khi ®ã P tháa m·n ba ®iỊu kiện : i) P tập đóng, P khác tập rỗng , P ; ii) Với x, y  ,  u,v   P vµ mäi a,bR , a,b  ta cã a  x,y   b  u,v   P ; iii) Víi  x,y   P vµ   x,  y   P ta cã  x, y   (0, 0) VËy P lµ mét nãn trªn E 1.1.3 NhËn xÐt Cho P nón không gian Banach E Trên E ta xét quan hệ xc định bëi P nh- sau: x  y nÕu vµ chØ nÕu y  x  P Khi ®ã, quan hÖ “  ” l¯ mét quan hÖ thø tù trªn P ThËt vËy, víi mäi x  P ta cã x  x   P nªn x  x Do ®ã, quan hƯ “  ” cã tÝnh ph°n x³ Gi¶ sư x, y, z  P , x  y vµ y  z Khi ®ã, ta cã y  x  P z y P Do đó, z  x   z  y    y  x   P hay x  z Nh­ vËy, quan hÖ “  ” cã tÝnh bắc cầu Giả sử x, y P , x  y vµ y  x Suy y  x  P vµ x  y    y  x   P Theo ®iỊu kiện iii) Định nghĩa 1.1.1 ta suy y  x  hay x  y Do ®ã, quan hƯ “  ” cã tÝnh ph¶n ®èi xøng VËy quan hÖ “  ” l¯ mét quan hƯ thø tù trªn P Chóng ta quy -íc x  y nÕu x  y vµ x  y , cßn x  y nÕu y  x  int P với int P phần P 1.1.4 Định nghĩa Cho P nón không gian Banach E 1) Nón P đ-ợc gọi nón chuẩn tắc tồn số thực K  cho víi mäi x, y  E vµ  x  y ta cã x  K y Sè thùc d-¬ng K nhá nhÊt tháa mÃn điều kiện đ-ợc gọi số chuẩn tắc P 2) Nón P đ-ợc gọi nón quy dÃy tăng bị chặn E hội tụ Nghĩa là, xn  lµ d·y E cho x1  x2  … x n  … y víi y E tồn x E cho x n  x  n   Hoàn toàn t-ơng tự, nón P đ-ợc gọi nón quy dÃy giảm bị chặn d-ới E hội tụ Định lí sau nói mối quan hệ nón quy nón chuẩn tắc 1.1.5 Định lí Mọi nón quy nón chuẩn tắc Chứng minh Giả sử P nón quy nh-ng nón chuẩn tắc Khi đó, với n , ta lấy tn ,sn  P cho tn  sn  P n2 tn sn Với n 1, đặt yn tn s ; xn  n Ta cã yn , xn , yn  xn  P , yn  vµ n2  x tn tn víi mäi n  Vì chuỗi n yn hội tụ nên chuỗi n2 n1 n2 Lại P tập đóng nên tồn y P cho chuỗi yn n n yn n n 1 héi tô E  y Tõ ®ã ta cã 1 x  x  x  x   y 2 x Vì P nón quy nên chuỗi n2 hội tụ Suy n 1 n  x1  x  2 lim n điều mâu thuẫn víi 2 xn  0, n2 xn  víi mäi n  1, VËy P nón chuẩn tắc n2 1.1.6 Nhận xét Điều ng-ợc lại Định lí 1.1.5 không đúng, tức có nón chuẩn tắc nh-ng không quy ThËt vËy, xÐt kh«ng gian Banach E  CR  0,1 víi chuÈn sup: f  sup f  x Đặt P f E : f Khi đó, P x ,1 mét nãn víi h»ng sè chn t¾c K  ThËt vËy, gi¶ sư f ,g  E f g Khi đó,  f  x   g  x  víi mäi x   0,1 vµ ta cã: f  sup f  x   sup f  x   sup g  x   sup g  x   g , x ,1 x ,1 x ,1 x ,1 chøng tỏ P nón chuẩn tắc Bây ta chứng minh P nón quy Thật vậy, lÊy d·y  fn  E cho bëi fn  x   x n víi mäi x   0,1 Khi ®ã, ta cã   x n  x n1   x  x víi mäi x   0,1 Rõ ràng dÃy fn giảm bị chặn d-íi nh-ng  fn  kh«ng héi tơ E Vởy P nón quy 1.1.7 Mệnh đề Nếu K số chuẩn tắc nón P K Chứng minh Giả sử P nón với số chuẩn t¾c K  , chän x  P ,   1 vµ 1    x K x Điều mâu thuẫn với định nghĩa K số chuẩn tắc cho K 1  1    x  x x0 Khi ®ã, nh-ng VËy K  1.1.8 MƯnh đề Với số thực k tồn nãn chn t¾c víi h»ng sè chn t¾c K  k Chøng minh Cho sè thùc k  , xét không gian vectơ thực E  ax  b / a, b  R ; x  1  ,1  ,  k   víi chuÈn max: y  ax  b  max ax  b víi mäi y  E DÔ thÊy   x1 ,1  k E, không gian Banach Đặt P  ax  b  E / a  0,b Khi đó, P nón E Ta chứng minh P nón quy Giả sử an x bn n1 dÃy tăng bị chặn Khi đó, tồn cx  d  E cho a1 x  b1  a2 x  b2   an x  bn   cx  d ,   víi mäi x  1  ,1 Do đó, an n1 bn n1 hai d·y R tháa m·n  k  b1  b2   bn   d , a1  a2   an   c Suy dÃy an n1 bn n1 héi tơ Gi¶ sư an  a,bn  b , ax b P an x  bn  ax  b  n  Do đó, P nón quy Theo Định lí 1.1.5, ta suy P nón chuẩn tắc Từ Mệnh đề 1.1.7 ta suy tån t¹i sè thùc K  cho víi mäi f ,g  E ,  g  f ta cã g K f Ta chøng minh K  k ThËt vËy, nÕu lÊy f  x   kx  k  P , g  x   k  P vµ f  g  P th×  g  f Do ®ã, 10  1 k  g  K f  K k     k  K  k 1  VËy k  K B©y giê nÕu ta lÊy f  x     k   x  k , g  x   k th× f  P , g  P vµ k  f  g P Hơn nữa, g k   1  f   k      k    k  k  k k  Suy k f  k  g  K f VËy k  K 1.1.9 NhËn xét Tồn nón không chuẩn tắc Thật vậy, xÐt kh«ng gian Banach E  CR2  0,1 víi chuÈn f  f   f '  , ®ã f   sup f  x  vµ nãn x ,1 P   f  E / f Với k , lÊy f  x   x, g  x   x 2k Khi ®ã,  g  f , f  vµ g  2k  Bëi v× k f  g nên k không số chuẩn tắc P Vậy P không nón chuẩn tắc 1.2 Không gian mêtric nón Trong toàn phần này, ta quy -ớc P nón không gian Banach thùc E cho int P   v¯ quan hệ thứ tự E đ-ợc xác định P 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X tập khác rỗng ánh xạ d : X X E đ-ợc gọi mêtric nón thỏa mÃn điều kiện sau: (d1) d  x, y  víi mäi x, y   vµ d  x, y   vµ chØ x  y ; (d2) d  x, y   d  y, x  víi mäi x, y  X ; (d3) d  x, y   d  x,z   d  z, y  víi mäi x,y,z  TËp X cïng với mêtric nón đ-ợc gọi không gian mêtric nón kí hiệu X , d  28 3.1.2 VÝ dơ 1) Gi¶ sư E  R , P   x, y   E / x, y  0  R nón E X R  vµ p : X  X  E cho p  x, y    max x, y, max x, y , số không âm Khi đó, X , p không gian mêtric nón riêng nh-ng không gian mêtric nón Thật vậy, dễ thấy p thỏa mÃn điều kiện (p2) (p3) Định nghĩa 3.1.1 Mặt khác, với x, y X , mäi   ta cã  max  x, x  max x, y  max y, y p  x, x   p  x, y   p  y, y      max  x, x   max  x, y   max y, y xy VËy p tháa mÃn điều kiện (p1) Định nghĩa 3.1.1 Bên cạnh ®ã, víi mäi x, y, z   , mäi   ta cã max x,y  max x,z  max z,y  max z,z vµ  max x,y   max x,z   max z,y   max z,z Suy ra, p  x,z    z,y   p  z,z   p  x,y   P hay p  x,y   p  x,z    z,y   p  z,z  Do ®ã, p tháa m·n ®iỊu kiƯn (p4) cđa ®Þnh nghÜa 3.1.1 VËy  X , p không gian mêtric nón riêng Dễ thÊy p 1,1  1,    0, nên p mêtric nón  2) Gi¶ sư E  l1   xn   R :  xn    , P   xn   l1 : xn  0 lµ mét nãn n 1         E X   xn  : xn    R  ,  x n    , ®ã  R tập dÃy vô n hạn R p : X X  E cho p  x, y    x1  y1 , x2  y2 , , xn  yn ,  , 29 ®ã x  y  max x, y Khi ®ã, X , p không gian mêtric nón riêng nh-ng không gian mêtric nón Thật vậy, theo cách xác định p hiển nhiên  p  x, x   p  x, y  vµ p  x, y   p  y, x  víi mäi x, y  X Gi¶ sư x   xn  , y  yn , z  zn   X Khi ®ã, ta cã x = y  xn  yn víi mäi n = 1, 2, …  max xn , xn   max xn , yn   max yn , yn  víi mäi n  1, 2,  p  x, x   p  x, y   p  y, y  VËy p tháa m·n ®iỊu kiƯn (p1) định nghĩa 3.1.1 Ta lại có max xn ,yn  max xn ,zn   max zn ,yn   max zn ,zn  víi mäi n = 1, 2,… nªn max xn ,zn   max zn ,yn   max zn ,zn   max xn ,yn   víi mäi n = 1, 2,… Do ®ã, p  x,z    z, y   p  z,z   p  x, y   P hay p  x, y   p  x,z    z, y   p  z,z  víi mäi x, y, z  X Suy ra, p tháa m·n ®iỊu kiƯn (p4) Định nghĩa 3.1.1 Vậy X , p không gian mêtric nón riêng Vì tồn x  xn , y  yn   X , ®ã xn   yn   1,0, ,0,  vµ p( x, y)  (1,0, ,0, )  (0,0, ,0, ) nên X , p không gian mêtric nón 3.1.3 Định lí Mọi không gian mêtric nón riêng không gian tôpô Chứng minh Lấy c int P , đặt Bp x,c   y  X : p  x,y   c  p  x, x  vµ   Bp  x, c  : x  X , c  int P Khi ®ã, Cp  U  X : x U, Bp  x,c U tôpô X Thật vậy, hiển nhiên Cp , X Cp Giả sư Ui Cp víi mäi i  I Khi đó, với x U i tồn i0  I cho iI x  Ui0 Vì Ui0 Cp nên tồn Bp x, c   Ui0  iI Ui Nh- vËy, iI U iCp 30 Gi¶ sư U, V Cp Khi đó, với x U V ta có x U x V Do đó, tồn t¹i c1 , c2  P cho Bp  x, c1   U vµ Bp  x, c2   V Tõ ®ã suy B p  x, c   U c1 nÕu c1  c2 Do ®ã, U V víi c   c2 nÕu c2  c1 V Cp VËy Cp tôpô X hay X ,Cp không gian tôpô 3.1.4 Định lí Giả sử X , p không gian mêtric nón riêng P nón với số chuẩn tắc K Khi X , p T0- không gian Chứng minh Giả sử p : X X E mêtric nón riêng x, y  X , ®ã x  y Từ điều kiện (p1) (p2) Định nghĩa 3.1.1 ta suy p  x, x   p  x, y  hc p  y, y   p  x, y  V×  p  x, y   p  x, x  nªn  K p  x, y p x, x Đặt x  K p  x, y   p  x, x  Do  x  nên tồn cx int P cho K cx x Khi đó, tồn U  Bp  x,cx  Cp mµ x  Bp  x,cx  nh-ng y  Bp  x,cx  v× p  x, y   cx  p  x, x  VËy  X , p T0- không gian Tiếp theo, trình bày số định nghĩa, mệnh đề hội tụ dÃy không gian mêtric nón riêng 3.1.5 Định nghĩa Cho X , p không gian mêtric nón riêng, xn mét d·y X vµ x  X D·y xn đ-ợc gọi hội tụ tới x nÕu víi mäi c  int P tån t¹i N N * cho víi mäi n  N ta cã p  xn , x   c  p x, x Khi đó, x đ-ợc gọi giới hạn dÃy xn ta kÝ hiƯu lim xn  x hc xn  x n n 3.1.6 Định lí Giả sử X , p không gian mêtric nón riêng, P nón chuẩn tắc với số chuẩn tắc K xn dÃy X Khi đó, xn  héi tơ tíi x nÕu vµ chØ nÕu p  xn , x   p  x, x   n    31 Chøng minh Giả sử xn dÃy X ,  xn  héi tơ tíi x  X số thực tồn c  int P tháa m·n K c   Khi đó, tồn N N * cho với mäi n  N ta cã p  xn , x   c  p  x, x  Do ®ã, p  xn , x   p  x, x   K c   với n N Điều chứng tỏ p  xn , x   p  x, x n Ng-ợc lại, gi¶ sư p  xn , x   p  x, x   n    Khi đó, với c int P tồn  0, cho x  kÐo theo c  x  int P Víi  0 ®ã, p  xn , x   p  x, x n nên tồn N N * cho víi mäi n  N ta cã p  x n , x   p  x, x    Suy c   p  xn , x   p  x, x   int P , víi mäi n N Điều nghĩa p xn , x   c  p  x, x  víi mäi n  N VËy  xn  héi tơ tíi x 3.1.7 MƯnh ®Ị Giả sử X , p không gian mêtric nón riêng, P nón với số chuẩn tắc K Khi đó, p xn , x   p  x, x  n    th× p  xn , xn   p  x, x  n    Chøng minh Gi¶ sư p  xn , x   p  x, x  n    Khi đó, tồn N N * cho víi mäi n > N ta cã p  xn , x   c  p  x, x Mặt khác, theo điều kiện (p2) Định nghÜa 3.1.1 ta cã p  xn , xn   p  xn , x  víi mäi nN * Do ®ã, p  xn , xn   c  p  x, x  víi mäi n > N VËy p  xn , xn   p  x, x   n   3.1.8 Định lí Giả sử xn dÃy không gian mêtric nón riêng (X,p) Khi đó, x giới hạn dÃy xn  vµ p  y, y   p  y, x y điểm giới hạn xn 32 Chứng minh Giả sử xn  x  n    vµ p  y, y   p  y, x  Khi ®ã, víi mäi c  int P tån t¹i N N * cho víi mäi n > N ta cã p  xn , y   p  xn , x   p  x, y   p  x, x   c  p  y, y  VËy xn  y n 3.1.9 Định nghĩa DÃy xn không gian mêtric nón riêng X , d đ-ợc gọi dÃy Cauchy nÕu cã a  P ®Ĩ víi mäi   tån t¹i N N * cho víi mäi m, n  N ta cã p(xn , xm )  a   3.1.10 MƯnh ®Ị NÕu p mêtric nón riêng X ánh x¹ d : X  X  E tháa m·n d  x , y   p  x , y   p  x , x p y, y mêtric nón X Chứng minh Theo điều kiện (p3) Định nghĩa 3.1.1 cách xác định d ta suy d  x, y   d  y, x  víi mäi x, y  X MỈt kh¸c, víi mäi x, y  X ta cã d  x, y   p  x, y   p  x, x   p  y, y    p  x, y   p  x, x    p( x, y)  p  y, y   vµ d  x, y   vµ chØ p  x, y   p  x, x   p  y, y  , ®iỊu t-ơng đ-ơng đ-ơng với x y Ngoài ra, víi mäi x, y, z  X ta cã d  x, y   p  x , y   p  x , x   p  y, y    p  x, z   p  z, y   p  z, z   p  x, x   p  y, y    p  x, z   p  x, x   p  z, z    p  z, y   p  y, y   p  z, z   d  x, z   d  z, y  VËy d thỏa mÃn ba điều kiện Định nghĩa 1.2.1 nên d mêtric nón X ... hiểu không gian có cấu trúc nón, định lí điểm bất động Banach không gian này; lựa chọn đề tài cho khoá luận tốt nghiệp Về định lí điểm bất động Banach số không gian có cấu trúc nón Ngoài phần... Ch-ơng Không gian mêtric nón định lí điểm bất động Banach không gian mêtric nón Ch-ơng Không gian mêtric chữ nhật nón định lí điểm bất động Banach không gian mêtric chữ nhật nón Ch-ơng Không gian. .. Không gian mêtric nón định lí điểm bất động Banach không gian mêtric nón 1.1 Nãn kh«ng gian Banach 1.2 Không gian mêtric nón 1.3 Định lí điểm bất động Banach không