Về một số định lý điểm bất động đối với một vài lớp ánh xạ trên không gian lồi địa phương và ứng dụng

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Không gian lồi địa phương Định lý điểm bất động Schauder 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian lồi địa phương 1.3 Định lý điểm bất động Schauder 15 Định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder không gian lồi địa phương 2.1 Định lý Tikhonov-Schauder 19 19 2.2 Một vài ứng dụng nghiên cứu toán giá trị biên phương trình vi phân cấp hai 27 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 MỞ ĐẦU Không gian lồi địa phương lớp không gian véctơ tơpơ có vai trị quan trọng tốn giải tích Tơpơ lồi địa phương sinh họ nửa chuẩn liên tục, họ nửa chuẩn sinh giả mêtric khơng gian Nguyên lý điểm bất động Brouwer ánh xạ liên tục tập lồi, compact không gian hữu hạn chiều kết quan trọng toán học Sau Brouwer chứng minh, ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực tốn học Giải tích, Phương trình vi tích phân Về sau nguyên lý Brouwer mở rộng nhiều lớp không gian khác Một mở rộng tiếng nguyên lý Brouwer thuộc Tikhonov Schauder ánh xạ liên tục khơng gian lồi địa phương Sau nhiều kết nghiên cứu mở rộng theo nhiều hướng I.A.Rus, V.G.Angelov nhiều tác giả khác (xem[2]) Đặc biệt, định lý điểm bất động lớp ánh xạ liên tục không gian lồi địa phương cho nhiều ứng dụng nhiều vấn đề phương trình vi tích phân, phương trình hàm ,(xem[3, 5]) Các vấn đề nghiên cứu định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ không gian lồi địa phương ứng dụng thú vị Với mục đích tìm hiểu khơng gian lồi địa phương, vài kết ban đầu định lý điểm bất động cho số lớp ánh xạ không gian lồi địa phương ứng dụng, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về số định lý điểm bất động vài lớp ánh xạ không gian lồi địa phương ứng dụng Nội dung luận văn nghiên cứu khái niệm, ví dụ tính chất khơng gian lồi địa phương, định lý Tikhonov- Schauder vài ứng dụng nghiên cứu toán giá trị biên phương trình vi phân cấp hai Các nội dung trình bày chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị không gian vectơ tôpô, không gian lồi địa phương định lý điểm bất động Schauder ánh xạ liên tục không gian định chuẩn Chương trình bày chứng minh chi tiết định lý Tikhonov- Schauder tồn điểm bất động ánh xạ liên tục tập lồi, compact không gian lồi địa phương vài ứng dụng nghiên cứu toán giá trị biên phương trình vi phân cấp hai Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tác giả xin cảm ơn thầy, giáo Khoa Tốn học, Trường Đại học Vinh nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 18 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả CHƯƠNG KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG SCHAUDER Chương nghiên cứu số kiến thức sở không gian lồi địa phương định lý điểm bất động Schauder ánh xạ liên tục không gian định chuẩn 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số kiến thức sở khơng gian vectơ tơpơ giải tích cổ điển cần dùng sau Những nội dung tổng hợp trích từ [1] 1.1.1 Định nghĩa Khơng gian véctơ tôpô không gian véctơ với tơpơ cho phép tốn cộng nhân vô hướng liên tục Tập U không gian véctơ X gọi cân αU ⊂ U với α ∈ K |α| < 1; tập U gọi hút với x ∈ X tồn δ > cho αx ∈ U với |α| < δ 1.1.2 Định lý Trong không gian véctơ tôpô tồn sở lân cận U gồm tập cân, hút với U ∈ U tồn V ∈ U cho V + V ⊂ U 1.1.3 Định nghĩa Tập U không gian véctơ X gọi lồi với x, y ∈ U , với λ 1, λx + (1 − λ)y ∈ U 1.1.4 Định nghĩa Tập U không gian véctơ tôpô E gọi bị chặn với lân cận V tồn s > tương ứng cho U ⊂ tV với t > s 1.1.5 Định lý Trong khơng gian véctơ: 1) Bao đóng tập bị chặn tập bị chặn; 2) Bội vô hướng tập bị chặn tập bị chặn; 3) Hợp tổng hữu hạn tập bị chặn tập bị chặn 1.1.6 Định nghĩa Cho E không gian véctơ tôpô Tập A ⊂ E gọi hoàn toàn bị chặn hay tiền compact với lân cận U tồn tập hữu hạn B cho A ⊂ B + U 1.1.7 Định nghĩa Cho E không gian véctơ tôpô với sở lân cận U Dãy suy rộng {xi }i∈I gọi dãy Cauchy với U ∈ U tồn i0 ∈ I cho xi − xj ∈ U với i, j i0 Tập A ⊂ E gọi đầy đủ dãy suy rộng Cauchy hội tụ A 1.1.8 Định lý Cho E không gian véctơ tôpô Tập A E compact A đầy đủ hoàn toàn bị chặn 1.1.9 Định nghĩa Cho E khơng gian tuyến tính trường R Hàm : E → R gọi chuẩn E thoả mãn điều kiện sau: 1) x 0, với x ∈ E x = ⇔ x = 0; 2) λx = |λ| x , với λ ∈ R với x ∈ E ; 3) x + y x + y , với x, y ∈ E Khi (E, ) gọi không gian định chuẩn Không gian định chuẩn không gian mêtric với mêtric sinh chuẩn d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ E Không gian định chuẩn E gọi không gian Banach E đầy đủ với mêtric sinh chuẩn Đối với tôpô sinh mêtric sinh chuẩn phép toán cộng nhân vơ hướng E liên tục Do đó, không gian định chuẩn không gian vectơ tôpô với Bn = {x ∈ E : x < , n = 1, 2, } sở lân cận gồm tập lồi, n cân, bị chặn E Sau ta nhắc lại khái niệm hàm liên tục tuyệt đối 1.1.10 Định nghĩa ([2]) Hàm f : [a, b] → R gọi liên tục tuyệt đối, với ε > tồn δ = δ(ε) cho với hữu hạn đoạn [xk , yk ] [a, b] thỏa mãn |xk − yk | < δ k kéo theo |f (xk ) − f (yk )| < ε k Tính liên tục tuyệt đối hàm có mối liên hệ mật thiết với công thức đạo hàm theo cận 1.1.11 Định lý Cho hàm f : [a, b] → R Khi đó, mệnh đề sau tương đương: 1) f liên tục tuyệt đối; 2) f có đạo hàm hầu khắp nơi [a, b] x f (x) = f (a) + f (t)dt a với x ∈ [a, b] 3) Tồn hàm g khả tích Lebesgue [a, b] cho x f (x) = f (a) + g(t)dt a với x ∈ [a, b] Cho (X, A, µ) khơng gian độ đo, A σ−đại số tập hợp X µ độ đo đầy đủ σ -hữu hạn X Ký hiệu Lp (X, dµ) = {f : X → R : |f |p khả tích X}(p 1) Trên Lp (X, dµ) ta đồng hàm hầu khắp nơi X Với phép toán cộng, nhân vô hướng theo điểm chuẩn xác định f p = p p |f (x)| dx Lp (X, dµ) khơng gian Banach Hơn nữa, không gian đối ngẫu 1 Lp (X, dµ) đẳng cấu với khơng gian Lq (X, dµ), + = Sau p q p khái niệm hàm L -Caratheodory 1.1.12 Định nghĩa ([2]) Hàm f : [a, b] × Rn → Rn gọi Lp Caratheodory thỏa mãn điều kiện sau: 1) ánh xạ y → f (t, y) liên tục hầu khắp nơi với t ∈ [a, b]; 2) ánh xạ t → f (t, y) đo với y ∈ Rn ; 3) Với c > tồn hc ∈ Lp (I) cho |y| c kéo théo |f (t, y)| hc (t) với t ∈ [a, b] Để kết thúc mục ta nhắc lại định lý điểm bất động Brouwer 1.1.13 Định lý (Brouwer) Mọi ánh xạ liên tục từ tập đóng, bị chặn lồi khơng gian định chuẩn hữu hạn chiều vào có điểm bất động 1.2 Không gian lồi địa phương Mục trình bày khái niệm, ví dụ tính chất không gian lồi địa phương Các kết tổng hợp trích từ [1] 1.2.1 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô gọi lồi địa phương sở lân cận U gồm tập lồi 1.2.2 Mệnh đề Giả sử X không gian lồi địa phương Khi ∈ X có sở lân cận U thoả mãn: 1)U, V ∈ U có W ∈ U cho W ⊂ U ∩ V ; 2) αU ∈ U với α ∈ K, α = với U ∈ U; 3) Mọi U ∈ U lồi, cân hút Hơn nữa, khơng gian tuyến tính tơpơ X có họ tập U thoả mãn 1), 2) 3) khơng gian lồi địa phương 1.2.3 Mệnh đề Nếu khơng gian véctơ E có họ U gồm tập lồi, cân hút E tồn tôpô yếu cho hai phép tốn E liên tục E trở thành khơng gian lồi địa phương Hơn nữa, sở E họ tập U = ε ∩ni=1 Vi , ε > 0, Vi ∈ U, i n 1.2.4 Mệnh đề Nếu tôpô lồi địa phương τ X nhận U làm sở lân cận điểm ∈ X tơpơ Hausdorff εU = U ∈U;ε>0 Sau ta trình bày kết cốt yếu xác định tôpô lồi địa phương thông qua họ nửa chuẩn Đầu tiên ta nhắc lại khái niệm nửa chuẩn 1.2.5 Định nghĩa Cho X không gian vectơ Hàm p xác định X nhận giá trị thực gọi nửa chuẩn X với x, y ∈ X với λ ∈ K ta có N1 ) p(x) 0; N2 ) p(x + y) p(x) + p(y); N3 ) p(λx) = |λ|p(x) Nửa chuẩn p không gian vectơ X chuẩn X p(x) = suy x = Nếu p chuẩn X x ∈ X số p(x) thường kí hiệu ||x|| 1.2.6 Mệnh đề Nếu p nửa chuẩn khơng gian vectơ X với α > tập A = {x ∈ E : p(x) < α} B = {x ∈ E : p(x) α} lồi, cân hút Chứng minh Giả sử x, y ∈ A Khi đó, với λ ∈ [0, 1] ta có p(λx + (1 − λ)y) p(λx) + p((1 − λ)y) = |λ|p(x) + |1 − λ|p(y) < λα + (1 − λ)α = α Do λx + (1 − λ)y ∈ A Vậy A tập lồi Với x ∈ A với r ∈ K cho |r| p(rx) = |r|p(x) ta có |r|α < α Suy rx ∈ A Vậy A cân Với x ∈ X Nếu p(x) = x ∈ A Nếu p(x) = lấy δ = α p(x) Khi đó, với λ ∈ K cho |λ| < δ ta có p(λx) = |λ|p(x) < α p(x) = α p(x) Vì λx ∈ A Do A hút Chứng minh tương tự ta có kết luận cho B 1.2.7 Nhận xét Giả sử P họ nửa chuẩn không gian vectơ X Khi đó, kết hợp Mệnh đề 1.2.3 Mệnh đề 1.2.6 ta có: Trên X tồn tơpơ yếu cho E không gian vectơ tôpô p ∈ P liên tục Hơn nữa, X không gian lồi địa phương sở lân cận họ tập lồi có dạng U = {x ∈ E : sup pi (x) < ε, i = 1, , n}, ε > 0, pi ∈ P , n ∈ N 10 1.2.8 Định nghĩa Giả sử A tập lồi, hút không gian vectơ tôpô X Hàm thực khơng âm µA : X → R+ cho µA (x) = inf{t > : x ∈ tA} với x ∈ X gọi phiếm hàm Minkowski tập hợp A 1.2.9 Định lý Nếu A tập lồi, cân hút không gian vectơ tơpơ X µA := p nửa chuẩn X Hơn {x ∈ X : p(x) < 1} ⊂ A ⊂ {x ∈ X : p(x) 1} 1.2.10 Nhận xét Nếu X không gian lồi địa phương X có sở lân cận tập lồi, cân hút Do đó, sở lân cận tương ứng với họ nửa chuẩn phiếm hàm Minkowski tương ứng Kết hợp với Nhận xét 1.2.7 suy tơpơ lồi địa phương hồn toàn xác định họ nửa chuẩn ngược lại 1.2.11 Nhận xét Giả sử P họ nửa chuẩn sinh tôpô lồi địa phương E Khi E Hausdorff p(x) = với p ∈ P kéo theo x = 1.2.12 Định lý Nếu E không gian Hausdorff lồi địa phương E xác định họ đếm nửa chuẩn E khả mêtric, tức E tồn mêtric sinh tôpô trùng với tôpô lồi địa phương ban đầu Chứng minh Giả sử {pn } họ nửa chuẩn sinh tôpô lồi địa phương E Với x, y ∈ E ta đặt ∞ d(x, y) = n=1 pn (x − y) 2n + pn (x − y) Khi đó, rõ ràng d(x, y) xác định d mêtric E Ta chứng minh tôpô sinh d trùng với tôpô lồi địa phương sinh {pn } 24 Ta nhận hệ sau 2.1.3 Hệ ([2],[3]) Cho E không gian lồi địa phương Hausdorff, C tập lồi E F : C −→ C ánh xạ liên tục, compact Khi F có điểm bất động C Ta lưu ý rằng: ánh xạ F : C → C compact F (C) tập compact tương đối C Định lý sau thuộc R Agarwal, dạng mở rộng định lý cổ điển Leray-Schauder 2.1.4 Định lý Cho E không gian lồi địa phương Hausdorff, C tập lồi E , U tập mở C p ∈ U Giả sử F : U¯ → C (ở U bao đóng U C ) ánh xạ liên tục, compact Khi 1) F có điểm bất động U¯ , 2) Tồn u ∈ ∂U ( ∂U biên U C ) λ ∈ (0, 1) với u = λF (u) + (1 − λ)p Chứng minh Giả sử 2) khơng F khơng có điểm bất động ∂U Ta xét A := {x ∈ U¯ : x = tF (x) + (1 − t)p, với t thuộc [0, 1]} Ta có A = ∅, p ∈ U Ta khẳng định rằng: A đóng C Thật vậy, giả sử {xα } dãy suy rộng A Khi đó, xα = tα F (xα ) + (1 − tα )p tα ∈ [0, 1] Nếu xα → x x ∈ U¯ Khơng tính tổng qt ta giả sử tα → t với t ∈ [0, 1] Xét ánh xạ R : U¯ × [0, 1] → C xác định R(x, t) := tF (x) + (1 − t)p 25 Khi R liên tục đó, từ (xα , tα ) → (x, t) xα = R(xα , tα ) suy x = R(x, t) = tF (x) + (1 − t)p Vậy A tập đóng Ngồi F : U¯ → C ánh xạ compact suy A¯ = A compact Ta có A ∩ ∂U = ∅ Vì vậy, từ tính quy C , A tập compact ∂U đóng suy tồn hàm liên tục µ : U¯ → [0, 1] với µ(A) = µ(∂U ) = Đặt N (x) = µ(x)F (x) + (1 − µ(x))p x ∈ U p x ∈ C \ U Bởi F ánh xạ liên tục, compact nên N : C → C ánh xạ liên tục, compact Theo Hệ 2.1.3, tồn x ∈ C với x = N (x) Mặt khác, p ∈ U nên x ∈ U Ta nhận x = µ(x)F (x) + (1 − µ(x))p Suy x ∈ A µ(x) = Tức x = F (x), hay F có điểm bất động U¯ Định lý chứng minh Từ Định lý 2.1.4 ta suy định lý điểm bất động Furi-Pera 2.1.5 Định lý Cho E không gian lồi địa phương khả mêtric, Q tập lồi, đóng E ∈ Q Giả sử F : Q → E ánh xạ liên tục, compact thỏa mãn điều kiện: Nếu {xj , yj }∞ j=1 dãy ∂Q × [0, 1] hội tụ tới (x, λ) với x = λF (x) λj F (xj ) ∈ Q với j λ đủ lớn Khi F điểm bất động Q Chứng minh Bởi Q tập lồi, đóng không gian lồi địa phương khả mêtric E , nên theo định lý Dugundji Q corút E , nghĩa 26 tồn ánh xạ co rút liên tục r : E → Q Hơn nữa, phần Q chứa r xác định r(x) := với x ∈ E, max{1, µ(x)} µ phiếm hàm Minkowski xác định Q, tức µ(x) := inf{α > : x ∈ αQ} Chọn r : E → Q ánh xạ co rút liên tục với r(x) := với x ∈ E max{1, µ(x)} Khi ta có r(z) ∈ ∂Q với z ∈ E \ Q Xét B := {x ∈ E : x = F ◦ r(x)} Đầu tiên ta chứng minh B = ∅ Thật vậy, r liên tục F ◦ r : E → E ánh xạ liên tục, compact Theo Định lý 2.2.1, ta thấy F ◦ r có điểm bất động Do B = ∅ Bây ta chứng minh B đóng Giả sử {xα } dãy B với xα → x, x ∈ E Do tính liên tục Fr ta cần x = F ◦ r(x) Vì B compact F : Q → E ánh xạ liên tục, compact B ⊆ F ◦ r(B) ⊆ F (Q) Bây ta chứng minh B ∩ Q = ∅ Giả sử B ∩ Q = ∅ Khi đó, từ B compact Q đóng suy tồn δ > với d(B, Q) > δ Chọn m ∈ {1, 2, } với < δm đặt Ui := {x ∈ E : d(x, Q) < } với i ∈ {m, m + 1, }, i d mêtric sinh tôpô E Cố định i ∈ {m, m+1, } từ d(B, Q) > δ suy B ∩ U¯i = ∅ Ngoài Ui tập mở, ∈ Ui Fr : U¯i → E ánh xạ liên tục, compact Từ B ∩ U¯i = ∅, tồn (yi , λi ) ∈ ∂Ui × [0, 1] với yi = λi Fr (yi ) Suy λj Fr (yj ) ∈ / Q với j ∈ {m, m + 1, } (2.7) 27 Đặt D := {x ∈ E : x = λFr (x) với λ ∈ [0, 1]} Rõ ràng D = ∅ Hơn nữa, D compact ánh xạ F : Q → E compact Kết hợp với d(yi , Q) = |λj | j với j ∈ {m, m + 1, } suy ta giả thiết λj → λ ∈ [0, 1] yj → y ∈ ∂Q Mặt khác yj = λj Fr (yj ) → λ Fr (y ) Suy y = λ Fr (y ) Vì B ∩ B = ∅ nên λ = λ Tuy nhiên từ giả thiết định lý, với xj = r(yj ) ∈ ∂Q x = y = r(y ) ta có λj Fr (yj ) ∈ ∂Q với j đủ lớn Điều trái với (2.7) Vì B ∩ B = ∅ Do đó, tồn x ∈ Q với x = Fr (x) = F (x) Định lý chứng minh 2.2 Một vài ứng dụng nghiên cứu tốn giá trị biên phương trình vi phân cấp hai Mục chúng tơi trình bày vài ứng dụng nghiên cứu toán giá trị biên phương trình vi phân cấp hai Xét phương trình vi phân cấp hai: y + m2 y = f (t, y); hầu khắp nơi [0, ∞) y(0) = a, lim y(t) = (2.8) y − m2 y = f (t, y), hầu khắp nơi [0, ∞) y(0) = a, lim y(t) = 0, (2.9) t→∞ t→∞ 28 m = 0, t số y nhận giá trị R Ta nhắc lại C([0, ∞), R) không gian Frechet hàm thực liên tục [0, ∞) Tôpô lồi địa phương C([0, ∞), R) tôpô hội tụ tập compact xác định họ nửa chuẩn ρm (u) = sup |u(t)|, t∈[0,tm ] với u ∈ C([0, ∞), R), với m = 1, 2, {tm } ⊂ [0, +∞) dãy tăng hội tụ tới ∞ Hơn nữa, tơpơ cịn sinh mêtric xác định ∞ d(x, y) = m=1 ρm (x − y) , m + ρm (x − y) với x, y ∈ C([0, ∞), R) Kí hiệu BC([0, ∞), R) khơng gian hàm thực liên tục bị chặn [0, ∞) Khi đó, u ∈ BC([0, ∞), R) ta đặt |u|∞ = sup |u(t)| t∈[0,∞) Bởi định lý Arzela-Ascoli ( xem [1] )ta có Ω ⊂ C([0, ∞), R) tập compact Ω bị chặn đồng liên tục đoạn [0, ∞) Ký hiệu I = [a, b] Hàm u gọi thuộc lớp Sobolev (m, p) I u có đạo cấp m I , u(m−1) liên tục tuyết đối I u ∈ Lp (I) Tập hợp hàm thuộc lớp Sobolev (m, p) ký hiệu W m,p (I, R) m,p ([0, ∞), R) tập hợp hàm thuộc lớp Sobolev Ta ký hiệu Wloc đoạn compact [0, ∞) 2.2.1 Định lý Xét phương trình vi phân (2.8) Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) f : [0, ∞) × R → R L−Caratheodory hàm cho i) s → f (s, y) đo với y ∈ R; ii) y → f (s, y) liên tục với s ∈ [0, ∞) 29 iii) Với r > tồn τr ∈ L1 [0, ∞) cho |y| |f (s, y)| τr (s) với hầu hết s ∈ [0, ∞) lim e−m t t→∞ t r kéo theo em s τr (s)ds = 0 2) Tồn số M0 > |a| với |u(t)| u ∈ BC([0, ∞), R) M0 , t ∈ [0, ∞) với hàm 2,1 Wloc ([0, ∞), R) thỏa mãn u + m2 u = λf (t, u) hầu khắp nơi [0, ∞), u(0) = a lim u(t) = với λ t→∞ Khi (2.8) có nghiệm 2,1 Wloc ([0, ∞), R) y ∈ BC([0, ∞), R) Chứng minh Phương trình y + m2 y = có nghiệm tổng quát y(t) = C1 e−m t + C2 Trước hết ta sử dụng phương pháp biến thiên số Lagrange để biến đổi phương trình dạng phương trình tích phân Nghiệm riêng có dạng y(t) = C1 (t)e−m t + C2 (t) thỏa mãn hệ phương trình C1 (t)e−m t + C2 (t) = −m2 C1 (t)e−m t = f (t, y(t)) với t ∈ [0, ∞) Suy C1 (t) = − C2 (t) = m2 t m2 s f (s, y(s))ds 0e f (t, y(t)) m2 hay C2 (t) = m t f (s, y(s))ds Như nghiệm tổng qt phương trình có dạng y(t) = C1 e −m2 t − e−m +C2 − m2 t t e m2 s f (s, y(s))ds+ m t f (s, y(s))ds 30 Kết hợp với điều kiện y(0) = a lim y(t) = ta có phương trình tích t→∞ phân ∞ y(t) = ae−m t − m2 f (s, y(s))ds t t e−m t − m em s f (s, y(s))ds (2.10) + e−m t ∞ f (s, y(s))ds m2 Bài toán tương đương với chứng minh phương trình tích phân (2.10) có nghiệm Đặt E := C([0, ∞), R), Q := {y ∈ C([0, ∞), R) : y ∈ BC([0, ∞), R) với |y|∞ M0 + ≡ N0 } ∞ Fy (t) :=ae−m t − m t e−m t + m2 t e−m t f (s, y(s))ds − m2 em s f (s, y(s))ds ∞ f (s, y(s))ds Bây giờ, ta khẳng định Q tập đóng, lồi, bị chặn C([0, ∞), R) Thật vậy, với y1 , y2 ∈ Q, với λ ∈ [0, 1] ta có λy1 + (1 − λ)y2 ∈ E ∩ BC([0, ∞), R) Hơn nữa, |λy1 + (1 − λ)y2 |∞ = sup |λy1 (t) + (1 − λ)y2 (t)| t∈[0,∞) λ sup |y1 (t)| + (1 − λ) sup |y2 (t)| t∈[0,∞) t∈[0,∞) λN0 + (1 − λ)N0 = N0 Vậy λy1 + (1 − λ)y2 ∈ Q Suy Q lồi Với m ta có ρm (u) = sup |u(t)| t∈[0,tm ] sup |u(t)| t∈[0,∞) N0 31 với u ∈ Q Do Q bị chặn nửa chuẩn ρm Do Q bị chặn Để ý giới hạn tập compact bảo tồn tính bị chặn liên tục Do đó, {yn } ∈ Q {yn } hội tụ tới y y ∈ E ∩ BC([0, ∞), R) Để chứng minh y đóng ta cần |y|∞ t ∈ [0, ∞) ta có |yn (t)| N0 Với N0 với n Suy lim |yn (t)| = |y(t)| N0 n→∞ với t ∈ [0, ∞), hay |y|∞ < N0 Do Q đóng Tiếp theo, ta chứng minh Fy : Q → C([0, ∞), R) xác định Fy (y) := F (y) với y ∈ Q ánh xạ liên tục, compact Đầu tiên ta chứng minh F liên tục Giả sử yn → y Q Khi tồn τN0 ∈ L1 [0, ∞) với |f (s, yn (s))| τN0 (s) |f (s), y(s)| τN0 (s) với hầu hết s ∈ [0, ∞) Ngoài với t ∈ [0, ∞) ta có f (s, yn (s)) → f (s, y(s)) với hầu hết s ∈ [0, ∞) Theo định lý hội tụ bị chặn ta có Fyn (s) → Fy (s) theo điểm [0, tm ] Giả sử x, t ∈ [0, tm ] với t < x Khi x |Fyn (t) − Fyn (x)| 2 |a|.|e−m t − e−m x | + m2 τN0 (s)ds t t + −m2 t [e − e−m x ] m τN0 (s)ds ∞ + −m2 t −m2 x [e − e ] m2 τN0 (s)ds (2.11) 32 Cho ε > tồn số δ > cho với t, x ∈ [0, tm ] |t − x| < δ ta có |Fyn (t) − Fyn (x)| < ε với n (2.12) |Fy (t) − Fy (x)| < ε (2.13) Từ (2.11),(2.12) (2.13) ta suy F : Q → E liên tục Tiếp theo ta chứng minh F compact Ta cần chứng minh F (Q) compact tương đối E Tức cần chứng minh tính bị chặn tính compact tương đối F (Q) [0, tm ] Thật vậy, tồn τN0 ∈ L1 [0, ∞) với |f (s, u)| |u| τN0 với s ∈ [0, ∞) M0 Từ tính đồng liên tục F (Q) [0, tm ] ta chứng minh |Fy (t) − Fy (x)| < ε Mặt khác F (Q) bị chặn nên từ t ∈ [0, tm ] ta có ∞ |Fv (t)| |a|e−m t + m2 t τN0 (s)ds + e−m t t em s τN0 (s)ds e−m t + m ∞ τN0 (s)ds ≡ ΨN0 (t) Mà limt→∞ ΨN0 (t) = yj ∈ Q nên tồn số a0 > với |Fyj (t)| M0 + ≡ N0 với t ∈ [a0 , ∞) j ∈ {1, 2, } Do |λj Fyj (t)| < N0 với t ∈ [a0 , ∞) j ∈ {1, 2, } (2.14) Xét t ∈ [0, a0 ] Do F liên tục Q nên Fyj → Fy [0, a0 ] Mặt khác, từ λj → λ F (Q) tập bị chặn E nên ta có λj Fyj → λFy [0, a0 ] 33 Như tồn j0 ∈ {1, 2, } với |λj Fyj (t)| |λFy (t)| + 1, t ∈ [0, a0 ] với j Ta có y = λF (y) ; Từ điều kiện 2) định lý với j |λj Fyj (t)| j0 j0 M0 + = N0 với t ∈ [0, a0 ] Từ (2.14) (2.16) ta có λj Fyj ∈ Q với j (2.15) (2.16) j0 Vậy điều kiện Định lý 2.1.5 thõa mãn Do đó, tồn y ∈ C([0, ∞), R) cho F (y) = y Do đó, phương trình (2.8) có nghiệm 2.2.2 Định lý Giả sử điều kiện sau thỏa mãn: 1) Cho f : [0, ∞) × R → R hàm L−Caratheodory i) s → f (s, y) đo với y ∈ R; ii) y → f (s, y) liên tục với s ∈ [0, ∞); iii) Với r > tồn τr ∈ L1 [0, ∞) cho |y| r |f (s, y)| τr (s) với s ∈ [0, ∞) t lim e−mt ems τr (s)ds = t→∞ ∞ e−ms τr (s)ds = lim emt t→∞ t 2) Tồn số M0 > |a| với |u(t)| u ∈ BC([0, ∞), R) M0 , t ∈ [0, ∞) với hàm 2,1 ([0, ∞), R) thỏa mãn phương trình u”−m2 u = Wloc λf (t, u) hầu khắp nơi [0, ∞), u(0) = a limt→∞ u(t) = với λ Khi đó, phương trình (2.9) có nghiệm y ∈ BC([0, ∞), R) 2,1 Wloc ([0, ∞), R) 34 Chứng minh Từ giả thiết 1) tính tốn tương tự Định lý 2.2.1 ta có nghiệm (2.9) tương đương với y ∈ BC([0, ∞), R) thỏa mãn ∞ e−mt y(t) = ae−mt + 2m e−ms f (s, y(s))ds t − ∞ emt e−ms f (s, y(s))ds − 2m t e−mt 2m ems f (s, y(s))ds Đặt Q := {y ∈ C([0, ∞), R), y ∈ BC([0, ∞), R) với |y|∞ M0 + ≡ N0 } Fy (t) := ae−mt + e−mt ∞ e−ms f (s, y(s))ds − 2m emt ∞ e−ms f (s, y(s))ds 2m t − t e−mt ems f (s, y(s))ds 2m Thực bước tương tự Định lý 2.2.1 ta có điều phải chứng minh 2.2.3 Ví dụ Xét tốn y + m2 y = f (t, y), t y(0) = 0; limt→∞ y(t) = ∞, m = 0; (2.17) Giả sử giả thiết 1) Định lý 2.2.1 thỏa mãn f : [0, ∞) × R → R liên tục (2.18) tồn số M0 > cho |y| > M0 kéo theo yf (t, y) > với t ∈ [0, ∞) Khi (2.8) có nghiệm y ∈ BC([0, ∞), R) C ([0, ∞), R) 35 Chứng minh Ta cần chứng minh điều kiện 2) Định lý 2.2.1 thỏa C ([0, ∞), R) nghiệm mãn Giả sử u ∈ BC([0, ∞), R) u + m2 u = λf (t, u), t u(0) = 0; limt→∞ u(t) = Ta cần chứng minh |u(t)| ∞, λ 1, M0 với t ∈ [0, ∞) Nếu λ = điều u ≡ Giả sử λ Khi đó, tồn t ∈ [0, ∞) với |u(t)| > M0 max |u(t)| = |u(t0 )| > M0 với t0 ∈ (0, ∞) u (t0 ) = t∈[0,∞) Do u(t0 )u (t0 ) = u(t0 )[u (t0 ) + m2 u (t0 )] = λu(t0 )f (t0 , u(t0 )) > 0, Điều mâu thuẫn với tính lớn |u(t0 )| Do |u(t)| M0 với t ∈ [0, ∞) Suy điều kiện 2) Định lý 2.2.1 thỏa mãn Vì vậy, áp dụng Định lý 2.2.1 phương trình 2.17 có nghiệm 2.2.4 Ví dụ Xét toán y − m2 y = f (t, y), t y(0) = 0; limt→∞ y(t) = ∞, m = 0; (2.19) Giả sử điều kiện 1) Định lý 2.2.2 thỏa mãn f : [0, ∞) × R → R liên tục (2.20) tồn số M0 > cho |y| > M0 kéo theo yf (t, y) > với t ∈ [0, ∞) Khi đó, phương trình (2.19) có nghiệm y ∈ BC([0, ∞), R) C ([0, ∞), R) Chứng minh Ta cần điều kiện 2) Định lý 2.2.2 thỏa mãn Giả sử u ∈ BC([0, ∞), R) C ([0, ∞), R) nghiệm u − m2 u = λf (t, u), t u(0) = 0; limt→∞ u(t) = ∞, λ 1, (2.21) 36 Nếu λ = Xét < λ < max |u(t)| = |u(t0 )| > M0 với t0 ∈ (0, ∞) t∈[0,∞) Lúc u(t0 )u (t0 ) = m2 [u(t0 )]2 + λu(t0 )f (t0 , u(t0 )) > Điều gây mâu thuẫn 37 Kết luận Luận văn thu kết sau : 1) Trình bày hệ thống kiến thức không gian lồi địa phương, định lý điểm bất động Schauder ánh xạ liên tục tập lồi, compact không gian định chuẩn 2) Trình bày chứng minh chi tiết định lý điểm bất động TikhonovSchauder ánh xạ liên tục tập lồi, compact không gian lồi địa phương 3) Trình bày vài ứng dụng bất động Tikhonov-Schauder nghiên cứu tồn nghiệm tốn biên phương trình vi phân cấp hai 4) Chứng minh chi tiết số kết mà tài liệu không chứng minh chứng minh vắn tắt như: Mệnh đề 1.2.6, Định lý 1.2.12, Bổ đề 1.3.2, Bổ đề 1.3.3, Định lý 2.1.1, Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.4, Định lý 2.2.1 Định lý 2.2.2 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I, II, NXB Giáo Dục [2] Agarwal R., Meehan M and O’Regan D (2004), Fixed point theory and Applications , Cambridge University Press [3] Algelov V G (2009), Fixed points in Uniform Spaces and Applications , Cluj University Press [4] Angelov V G (1987),Fixed point theorem in uniform spaces and applications, Czechoslovak Math J 37(112), no 1, 19-33 [5] Hadzic, O.and Stankovic, B.(1970), Some theorems on the fixed point in locally convex spaces, Publ Inst Math (Beograd) (N.S.) 10 (24), 9-19 ... bất động cho lớp ánh xạ không gian lồi địa phương ứng dụng thú vị Với mục đích tìm hiểu khơng gian lồi địa phương, vài kết ban đầu định lý điểm bất động cho số lớp ánh xạ không gian lồi địa phương. .. động F 19 CHƯƠNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TIKHONOV-SCHAUDER TRÊN KHÔNG GIAN LỒI ĐỊA PHƯƠNG Chương nghiên cứu định lý điểm bất động Tikhonov-Schauder không gian lồi địa phương vài ứng dụng để nghiên... tôpô, không gian lồi địa phương định lý điểm bất động Schauder ánh xạ liên tục khơng gian định chuẩn Chương trình bày chứng minh chi tiết định lý Tikhonov- Schauder tồn điểm bất động ánh xạ liên