Về một số định lý điểm bất động cho một vài lớp ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị trong không gian đều

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THU HÀ VỀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT VÀI LỚP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THU HÀ VỀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT VÀI LỚP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRÊN KHƠNG GIAN ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KIỀU PHƯƠNG CHI Nghệ An - 2017 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, PGS TS Kiều Phương Chi Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS TS Kiều Phương Chi, người tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tơi q trình học tập thực luận văn Nhân dịp xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường đại học Vinh, Phòng đào tạo Sau đại học trường đại học Vinh, Ban lãnh đạo Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường đại học Vinh tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy, giáo tổ Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - đại học Vinh, giảng dạy, giúp đỡ tơi q trình học tập Cuối cùng, xin cảm ơn bố mẹ, anh chị em, người thân bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 23 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tơi suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện MỤC LỤC Lời cảm ơn Mục lục Mở đầu Không gian tồn điểm bất động ánh xạ đa trị 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Không gian 1.3 Mêtric Hausdorff điểm bất động ánh xạ đa trị 16 Một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ đơn trị đa trị không gian 20 2.1 Sự tồn điểm bất động số lớp ánh xạ đơn trị co suy rộng không gian 20 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ đa trị Φ− co không gian Kết luận 32 38 Tài liệu tham khảo 40 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Không gian xây dựng A Weil vào năm 1938 Không gian lớp không gian tơpơ quan trọng, lớp khơng gian tơpơ tổng quát nhiều lớp không gian quen thuộc không gian mêtric, không gian véctơ tôpô Những kết quan trọng lớp không gian nghiên cứu J Kelly, N Bourbaki , A L Robertson (xem [10]) Điều thú vị tôpô không gian sinh họ giả mêtric, sở quan trọng để người ta xây dựng nhiều tính chất tương tự không gian mêtric cho lớp không gian Nguyên lý điểm bất động Banach ánh xạ co không gian mêtric đầy đủ kết quan trọng toán học Sau Banach chứng minh, nguyên lý ánh xạ co trở thành vấn đề thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các định lý điểm bất động ánh xạ co nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, nhiều loại không gian khác Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực tốn học Giải tích, Phương trình vi tích phân Một vấn đề tự nhiên sau xuất lớp không gian nghiên cứu nguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp khơng gian Các nghiên cứu trở nên có ý nghĩa áp dụng trải rộng nhiều lớp không gian quan trọng, đặc biệt lớp không gian lồi địa phương dĩ nhiên không gian mêtric Người nghiên cứu vấn đề I A Rus với kết không gian lồi địa phương Hướng nghiên cứu số nhà toán học nghiên cứu đạt nhiều kết quan trọng vào thập niên 80 90 kỷ trước Những người thu nhiều kết tốt hướng nghiên cứu V.G Angelov, J Matkowski, (xem [4, 5, 6]) Đặc biệt định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ co không gian cho nhiều ứng dụng nhiều vấn đề phương trình vi tích phân, phương trình hàm So với định lý tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị việc thiết lập định lý điểm bất động ánh xạ đa trị khó khăn mặt kỹ thuật Sau thiết lập số định lý điểm bất động ánh xạ đơn trị không gian đều, Angelov đề xuất số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị khơng gian tìm nhiều ứng dụng chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân đa trị Các vấn đề nghiên cứu định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ co suy rộng không gian ứng dụng thú vị tương đối mẻ nước Với mục đích tìm hiểu không gian đều, vài kết ban đầu định lý điểm bất động cho số lớp ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị không gian đều, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về số định lý điểm bất động cho vài lớp ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị không gian Mục đích nghiên cứu Mục đích luận văn tìm hiểu khơng gian đều, vài kết ban đầu định lí điểm bất động cho số lớp ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị khơng gian Từ đó,trình bày cách có hệ thống chứng minh chi tiết kết vấn đề nói trên, đồng thời đưa vài ví dụ minh họa đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu số định lí điểm bất động cho số lớp ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị ( ánh xạ Φ-co, ánh xạ (Ψ, Π)-co ) khơng gian Những đóng góp đề tài - Hệ thống trình bày rõ ràng, chi tiết không gian đều, mêtric Hausdorff, tồn điểm bất động ánh xạ đa trị; số định lí điểm bất động cho số lớp ánh xạ đơn trị đa trị không gian - Chứng minh chi tiết kết trình bày lại luận văn tài liệu tham khảo khơng trình bày chứng minh hay chứng minh cịn vắn tắt - Đưa số ví dụ minh họa cho số kết nói Nhiệm vụ nghiên cứu - Đọc hiểu số tài liệu liên quan đến không gian đều, ánh xạ đơn trị, ánh xạ đa trị, số định lí điểm bất động cho số lớp ánh xạ đơn trị đa trị không gian - Trình bày cách có hệ thống kết vấn đề nói - Đưa số ví dụ minh họa cho số kết trình bày luận văn - Chứng minh chi tiết mệnh đề, tính chất định lý trình bày luận văn mà tài liệu tham khảo khơng chứng minh chứng minh cịn vắn tắt Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, suy diễn logic, tương tự hóa Cấu trúc luận văn Nội dung luận văn chia thành chương: Chương Không gian điểm bất động ánh xạ đa trị Trong chương này, chúng tơi trình bày kiến thức sở cần dùng cho tồn luận văn khơng gian đều, mêtric Hausdorff, tồn điểm bất động ánh xạ đa trị Chương Một số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ đơn trị đa trị không gian Chương trình bày số định lí điểm bất động Angelov cho ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị co phi tuyến không gian Nghệ An,tháng năm 2017 Tác giả Nguyễn Thị Thu Hà CHƯƠNG KHÔNG GIAN ĐỀU VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ Chương nghiên cứu số kết sở không gian đều, mêtric Hausdorff tồn điểm bất động ánh xạ đa trị 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục trình bày số kiến thức sở không gian tôpô không gian mêtric cần dùng sau Những nội dung trình bày từ [1] 1.1.1 Định nghĩa Cho X = ∅, họ τ tập hợp X gọi tôpô X thoả mãn điều kiện sau 1) ∅, X ∈ τ ; 2) Nếu U1 , U2 ∈ τ U1 ∩ U2 ∈ τ ; 3) Với họ {Uα }α∈I ⊂ τ có ∪α∈I Uα ∈ τ Khi (X, τ ) không gian tôpô, U ∈ τ gọi tập mở, tập A gọi đóng X \ A mở Cho (X, τ ) không gian tôpô, x ∈ X Mỗi tập hợp V gọi lân cận X tồn tập mở U cho x ∈ U ⊂ V Ta gọi Vx họ tất lân cận x Khi đó, Vx có tính chất sau: N1 ) V ∈ Vx ⇒ x ∈ V ; N2 ) V ∈ Vx V ⊂ U ⇒ U ∈ Vx ; N3 ) U, V ∈ Vx ⇒ U ∩ V ∈ Vx ; N4 ) V ∈ Vx ⇒ ∃W ⊆ V cho x ∈ W V ∈ Vy , với y ∈ W Họ Wx ⊂ Vx gọi sở lân cận điểm x với V ∈ Vx tồn W ∈ Wx cho W ⊂ V Định lý sau khẳng định x ∈ X có họ Ux thoả mãn điều kiện trên X tồn tơpơ tương thích với Ux , tức Ux họ lân cận x 1.1.2 Định lý Giả sử X = ∅ với x ∈ X có tập Ux tương ứng thoả mãn N1 , N2 , N3 N4 Khi họ tất tập D ⊆ X cho D ∈ Ux với x lập nên tơpơ τ X Đối với tôpô τ , U ∈ Ux lân cận x 1.1.3 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô không gian véctơ với tôpô cho phép tốn cộng nhân vơ hướng liên tục Tập U không gian véctơ X gọi cân αU ⊂ U với α ∈ K |α| < 1; tập U gọi hút với x ∈ X tồn δ > cho αx ∈ U với |α| < δ Trong không gian véctơ tôpô tồn sở lân cận U gồm tập cân, hút với U ∈ U tồn V ∈ U cho V + V ⊂ U 1.1.4 Định nghĩa Cho X = ∅, hàm d : X × X → R gọi mêtric X thoả mãn điều kiện sau 1) d(x, y) với x, y ∈ X, d(x, y) = x = y; 2) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X; 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Khi (X, d) khơng gian mêtric Tập U không gian mêtric gọi mở với a ∈ U tồn r > cho B(a, r) := {x ∈ X : d(x, a) < r} ⊂ U 26 Bây giờ, với (n, r) ∈ I ta xác định hàm ψ(n,r) (t) = 2(n − 1) t, 2n − 2(n − 1) t với t đặt Ψ = {ψ(n,r) : (n, r) ∈ I}, 3(2n − 1)2 Π = {ϕ(n,r) : (n, r) ∈ I} Xét j : I → I ánh xạ xác định j(n, r) = ϕ(n,r) (t) = n, r − 2n , với (n, r) ∈ I xác định ánh xạ T : X → X T x = 1− 1− 2 (1−x1 ), 1− 1− (1−x2 ), , 1− 1− (1−xn ), , 3.2 3n với x = {xn } ∈ X Tiếp theo ta kiểm tra giả thiết Định lý 2.1.6 1) T (Ψ, Π)-co X Thật vậy, ta có d(n,r) (T x, T y) = r Pn (T x) − Pn (T y) = r − |xn − yn |, 3n 2(n − 1) r 1− |xn − yn | 2n − 3n 2(3n − 2) n − =r |xn − yn |, 3(2n − 1) n dj(n,r) (x, y) = r − |xn − yn |, 2n dj(n,r) (x, y) = ψ(n,r) r − |xn − yn | 2n 2(n − 1) r 1− |xn − yn | = 2n − 2n = r − |xn − yn | n (2.6) ψ(n,r) d(n,r) (T x, T y) = ψ(n,r) 2(n − 1) r − |xn − yn | 3(2n − 1)2 2n n−1 =r |xn − yn | 3(2n − 1) n (2.7) (2.8) ϕ(n,r) dj(n,r) (x, y) = (2.9) 27 Từ (2.8) (2.9) ta có ψ(n,r) dj(n,r) (x, y) − ϕ(n,r) dj(n,r) (x, y) 2(3n − 2) n − =r |xn − yn | 3(2n − 1) n (2.10) Từ (2.7) (2.10) suy T (Ψ, Π)-co 2) Dễ thấy j : I → I toàn ánh từ I lên I Hơn nữa, với dãy tùy ý {xk } X ta có d(n,r) (xk , xk+m ) = r xnk − xnk+m xnk − xnk+m = dj(n,r) (xk , xk+m ), >r 1− 2n với (n, r) ∈ I, k, m Do đó, theo Định lý 2.1.6 T có điểm bất động Dễ thấy x = {1, 1, } điểm bất động T 3) Tiếp theo, ta chứng minh X có tính chất j-đơn điệu giảm Thật vậy, với x, y ∈ X ta có d(n,r) (x, y) = r|xn − yn | > r − |xn − yn | = dj(n,r) (x, y), 2n với (n, r) ∈ I Do đó, theo Định lý 2.1.6 x = {1, 1, } điểm bất động T 2.1.8 Định lý Cho X không gian Hausdorff đầy đủ dãy T, S : X → X ánh xạ thỏa mãn ψα dα (T x, Sy) ψα dj(α) (x, y) − ϕα dj(α) (x, y) , với x, y ∈ X, ψα ∈ Ψ, ϕα ∈ Π với α ∈ I Giả sử j : I → I toàn ánh tồn x0 ∈ X cho dãy {xn } với x2k+1 = T x2k , x2k+2 = Sx2k+1 , k m, n ≥ 0, α ∈ I thỏa mãn dα (xm+n , xm ) dj(α) (xm+n , xm ) với 28 Khi đó, tồn u ∈ X cho u = T u = Su Hơn nữa, X có tính chất j-đơn điệu giảm, tồn u ∈ X cho u = T u = Su Chứng minh Với x0 ∈ X dãy {xn } xác định giả thiết với α ∈ I ta có ψα dj(α) (x2k+1 , x2k+2 ) ψα dα (x2k+1 , x2k+2 ) = ψα dα (T x2k , Sx2k+1 ) ψα dj(α) (x2k , x2k+1 ) − ϕα dj(α) (x2k , x2k+1 ) ψα dj(α) (x2k , x2k+1 ) ψα dj(α) (x2k+2 , x2k+3 ) ψα dα (x2k+2 , x2k+3 ) = ψα dα (Sx2k+1 , T x2k+2 ) ψα dj(α) (x2k+1 , x2k+2 ) − ϕα dj(α) (x2k+1 , x2k+2 ) ψα dj(α) (x2k+1 , x2k+2 ) , với k = 0, 1, 2, Từ suy ψα dj(α) (xn , xn+1 ) ψα dj(α) (xn−1 , xn ) với α ∈ I, n = 1, 2, Vì ψα đơn điệu tăng nên dj(α) (xn , xn+1 ) dj(α) (xn−1 , xn ) với α ∈ I, n = 1, 2, Điều chứng tỏ dãy dj(α) (xn , xn+1 ) đơn điệu giảm, bị chặn Do đó, tồn rj(α) cho lim dj(α) (xn , xn+1 ) = rj(α) n→∞ với α ∈ I Trong bất đẳng thức ψα dj(α) (xn+1 , xn+2 ) ψα dj(α) (xn , xn+1 ) − ϕα dj(α) (xn , xn+1 ) cho n → ∞ sử dụng tính liên tục ψα , ϕα ta có ψα (rj(α) ) ψα (rj(α) ) − ϕα (rj(α) ), với α ∈ I 29 Điều kéo theo ϕα (rj(α) ) với α ∈ I Do đó, rj(α) = Vì j tồn ánh nên lim dα (xn , xn+1 ) = với α ∈ I n→∞ Bây ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Vì lim dα (xn , xn+1 ) = với n→∞ α ∈ I, nên ta cần chứng minh {x2n } dãy Cauchy Giả sử ngược lại, {x2n } không dãy Cauchy Khi đó, tồn ε > α0 ∈ I cho ta chọn n(k) > m(k) > k > thỏa mãn dα0 (x2m(k) , x2n(k) ) ε dα0 (x2m(k) , x2n(k)−2 ) < ε, với k = 1, 2, Mặt khác, ta có ε dα0 (x2m(k) , x2n(k) ) dα0 (x2m(k) , x2n(k)−2 ) + dα0 (x2n(k)−2 , x2n(k) ) < ε + dα0 (x2n(k)−2 , x2n(k)−1 ) + dα0 (x2n(k)−1 , x2n(k) ), với k = 1, 2, Điều dẫn đến lim dα0 (x2m(k) , x2n(k) ) = ε Vì j tồn ánh nên tồn k→∞ α ∈ I cho j(α) = α0 Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có dj(α) (x2m(k) , x2n(k) ) − dj(α) (x2m(k) , x2m(k)+1 ) dj(α) (x2m(k)+1 , x2n(k) ) dj(α) (x2m(k)+1 , x2m(k) ) + dj(α) (x2m(k) , x2n(k) ) dj(α) (x2m(k) , x2n(k) ) − dj(α) (x2n(k) , x2n(k)−1 ) dj(α) (x2m(k) , x2n(k)−1 ) dj(α) (x2m(k) , x2n(k) ) + dj(α) (x2n(k) , x2n(k)−1 ), với k = 1, 2, Cho k → ∞ bất đẳng thức ta lim dj(α) (x2m(k)+1 , x2n(k) ) = lim dj(α) (x2m(k) , x2n(k)−1 ) = ε k→∞ k→∞ 30 Do đó, ta có ψα dj(α) (x2m(k)+1 , x2n(k) ) ψα dα (x2m(k)+1 , x2n(k) ) = ψα dα (T x2m(k) , Sx2n(k)−1 ) ψα dj(α) (x2m(k) , x2n(k)−1 ) − ϕα dj(α) (x2m(k) , x2n(k)−1 ) Cho k → ∞ bất đẳng thức ta ψα (ε) ψα (ε) − ϕα (ε) Điều kéo theo ε = 0, mâu thuẫn Do đó, {xn } dãy Cauchy Vì X đầy đủ dãy, nên xn → u n → ∞ Suy x2n → u, x2n+1 → u n → ∞ Tiếp theo, ta chứng minh u = T u = Su Vì x2n+1 = T x2n , x2n+2 = Sx2n+1 với n ∈ N nên với α ∈ I ta có ψα dα (x2n+1 , Su) = ψα dα (T x2n , Su) ψα dj(α) (x2n , u) − ϕα dj(α) (x2n , u) , với n ∈ N Cho n → ∞ bất đẳng thức ta ψα dα (u, Su) với α ∈ I Điều dẫn đến u = Su Tương tự ta có u = T u Do đó, u = Su = T u Để hoàn tất chứng minh định lý, ta chứng minh X có tính chất j-đơn điệu giảm, tồn u ∈ X cho u = T u = Su Thật vậy, tồn v ∈ X cho v = T v = Sv, với α ∈ I ta có ψα dj(α) (u, v) ψα dα (u, v) = ψα dα (T u, Sv) ψα dj(α) (u, v) − ϕα dj(α) (u, v) Điều kéo theo ϕα dj(α) (u, v) = với α ∈ I Vì j tồn ánh, nên từ tính chất ϕα ta suy u = v 31 2.1.9 Ví dụ Cho X = R∞ = x = {xn } : xn ∈ R, n = 1, 2, Với n = 1, 2, ký hiệu Pn : X → R ánh xạ xác định Pn (x) = xn với x = {xm } ∈ X Xét I = N∗ tập số họ giả mêtric X xác định dn (x, y) = Pn (x) − Pn (y) với x, y ∈ X n ∈ I Khi đó, {dn : n ∈ I} họ giả mêtric sinh cấu trúc X Cho T : X → X, S : X → X ánh xạ xác định Tx = x1 x2 , , , Sy = 2 y y2 , , , 2 với x = {xn }, y = {yn } ∈ X Ta T, S thỏa mãn tất giả thiết Định lý 2.1.8 Thật vậy, 3 Xét với n ∈ N∗ xét hàm ψn (t) = t ϕn (t) = t với t j : I → I ánh xạ xác định j(n) = n với n ∈ I Khi đó, ta có dn (T x, Sy) = Pn (T x) − Pn (Sy) = x n yn − = |xn − yn | 2 Do đó, ψn dn (T x, Sy) = ψn |xn − yn | = |xn − yn | Mặt khác, ta có dj(n) (x, y) = dn (x, y) = |xn − yn |, ψn dj(n) (x, y) = ψn |xn − yn | = |xn − yn | ϕn dj(n) (x, y) = ϕn |xn − yn | = |xn − yn | Do đó, ψn dj(n) (x, y) − ϕn dj(n) (x, y) = |xn − yn | = ψn dn (T x, Sy) , với x, y ∈ X, n ∈ N 32 Hơn nữa, với n ∈ N∗ x, y ∈ X ta có dj(n) (x, y) = dn (x, y) Do đó, tất giả thiết Định lý 2.1.8 thỏa mãn Dễ thấy tồn u = {0, 0, } cho u = T u = Su u 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ đa trị Φ− co không gian Mục nghiên cứu vài định lý điểm bất động ánh xạ đa trị co suy rộng không gian Trong mục ta quy ước không gian X đầy đủ dãy, Hausdorff sinh họ giả mêtric P = {d}α∈I Xét họ (Φ) = {Φα }α∈I hàm thực cho với α ∈ I ta có: 1) Φα : [0, +∞) → [0, +∞) hàm đơn điệu tăng liên tục phải điểm 2) < Φα (t) < t với t > Φα (0) = 3) Φα (t1 + t2 ) Φα (t1 ) + Φα (t2 ), ∀t1 , t2 > 4) Với α ∈ I tồn Φα ∈ (Φ) cho sup{Φj n (α) (t) : n = 1, 2, } n ∞ n=0 nΦα (t) Φα (t), < ∞ 2.2.1 Định nghĩa Cho I tập số ánh xạ j : I → I Các phép lặp j xác định theo phép quy nạp sau: j (α) = α, , j k (α) = j j k−1 (α) , (k = 1, 2, ) Bây giờ, ta trình bày định nghĩa ánh xạ Φ−co không gian 2.2.2 Định nghĩa ([4],[5]) Cho M ⊂ X ánh xạ T : M → X gọi Φ−co M với ánh xạ j : I → I, dα (T x, T y) Φα dj(α) (x, y) , 33 với α ∈ I, với x, y ∈ M Ký hiệu Com(X) tập hợp tất tập compact X Bây giờ, ta trình bày định nghĩa ánh xạ Φ−co không gian 2.2.3 Định nghĩa ([4],[5]) Cho X không gian ánh xạ T : X → Com(X) gọi Φ−co, với ánh xạ j : I → I, Hα (T x, T y) Φα dj(α) (x, y) , với α ∈ I, với x, y ∈ M 2.2.4 Định nghĩa ([4],[5]) Cho X không gian ánh xạ T : X → Clos(X) 1) T gọi có tính chất (N ) với M, L thuộc tập xác định T m ∈ M tồn l ∈ L cho dα (m, l) ε > tồn l1 ∈ L cho dj(α) (m, l1 ) Hα (M, L) với α ∈ I với Hj(α) (M, L) ρj(α) (l, l1 ) < ε với α ∈ I 2) T gọi có tính chất (N1 ) với M, L thuộc tập xác định T m ∈ M tồn l ∈ L cho dα (m, l) Hα (M, L) + ηα với α ∈ I với ε > tồn l1 ∈ L cho dj(α) (m, l1 ) Hj(α) (M, L) ρj(α) (l, l1 ) < ε với α ∈ I 2.2.5 Định lý ([4],[5]) Cho X không gian tựa đầy đủ bị chặn T : X → Com(X) Φ−co Giả sử với x0 ∈ X Q > cho ρj n (α) (x0 , x1 ) Q < ∞(n = 0, 1, 2, ) với x1 ∈ T x0 Khi T có điểm bất động Chứng minh Lấy x1 ∈ T x0 Từ T x0 , T x1 ∈ Com(X), suy tồn x2 ∈ T x1 cho ρα (x1 , x2 ) với α ∈ I Hα (T x0 , T x1 ) 34 Giả sử xn−1 xn chọn trước Từ T xn−1 , T xn ∈ Com(X) xn ∈ T xn−1 , ta tìm xn+1 ∈ T xn cho ρα (xn , xn+1 ) Hα (T xn−1 , T xn ) Vì thế, tìm dãy (xn ) ⊂ X cho xn+1 ∈ T xn ρα (xn , xn+1 ) Hα (T xn−1 , T xn ) Suy ρα (xn , xn+1 ) Hα (T xn−1 , T xn ) Φα ρj(α) (xn−1 , xn ) Chúng ta (xn ) dãy Cauchy Sử dụng tính chất (N ) ta chọn x1n ∈ T xn−1 cho ρα (xn−1 , x1n ) Hα (T xn−2 , T xn−1 ) ρα (xn , x1n ) Φj(α) Φj (α) Φj n−1 (α) (Q) Khi đó, ta có ρα (xn , xn+1 ) Φα ρj(α) (xn−1 , xn ) Φα ρj(α) (xn−1 , x1n ) + ρj(α) (x1n , xn−1 ) Φα Φj(α) ρj (α) (xn−2 , xn−1 ) + Φα Φj(α) Φj n−1 (α) (Q) Chọn x1n−1 ∈ T xn−2 cho ρj (α) (xn−2 , x1n−1 ) Hj (α) (T xn−2 , T xn−3 ) ρj (α) (xn−2 , x1n−1 ) Suy Φα Φj(α) Φj (α) Φj n−1 (α) (Q) 35 Φα Φj(α) ρj (alpha) (xn−2 , x1n ) + ρj (α) (x1n , xn−1 ) + Φnα α(Q) ρα (xn , xn+1 ) Φα Φj(α) ρj (alpha) (xn−2 , x1n ) + ρj (α) (x1n , xn−1 ) + Φnα α(Q) Φα Φj(α) Φj (α) ρj (α) (xn−2 , x1n ) + Φα Φj(α) Φj (α) Φj n−1 (α) (Q) Φα Φj(α) Φj (α) ρj (α) (xn−2 , x1n ) ) + Φnα α(Q) ) + 2Φnα α(Q) Tiếp tục trình ta nhận ρα (xn , xn+1 ) Φα Φj(α) Φj n−1 (α) ( ρj n (α) (x0 , x1) + (n − 1)Φnα (Q) Φα Φj(α) Φj (α) Φj n−1 (α) (Q) + (n − 1)Φnα (Q) nΦnα (Q) Suy (xn ) dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên lim xn = a ∈ X lim T xn = n→∞ n→∞ T a Từ xn+1 ∈ T xn T xn compact suy a ∈ T a 2.2.6 Nhận xét Nếu thay họ Com(X) họ tập điểm ta nhận được định lý điểm bất động cho ánh xạ đơn trị 2.2.7 Định lý ([11]) Nếu T : X → CB(X) Φ-co, thỏa mãn điều kiện N1 tồn x0 ∈ X Q > cho ρj n (α) (x0 , x1 ) Q < ∞(n = 0, 1, 2, ) với x1 ∈ T x0 T có điểm bất động X Chứng minh Chọn x1 ∈ T x0 xét ρj(α) (x0 , x1 ) Nếu tồn x1 ∈ T x0 cho ρj(α) (x0 , x1 ) > với α ∈ Λ Đặt ηα(1) = Ψα ρj(α) (x0 , x1 ) − Φα ρj(α) (x0 , x1 ) > 36 Khi đó, ta tìm x2 ∈ T x1 cho ρα (x1 , x2 ) Hα (T x0 , T x1 ) + Ψα ρj(α) (x0 , x1 ) − Φα ρj(α) (x0 , x1 ) Ψα ρj(α) (x0 , x1 ) Nếu với x1 ∈ T x0 α ∈ I suy ρj(α) (x0 , x1 ) = ta chọn x2 = x1 trường hợp ρα (x1 , x2 ) Ψα (ρj(α) (x0 , x1 )) Giả sử xn−1 , xn xác định Nếu ρj(α) (xn−1 , xn ) > 0, ρj (α) (xn−2 , xn−1 ) > 0, , ρj n (α) (x1 , x0 ) > với α ∈ I ta đặt ηα(n) = Ψα ρj(α) (xn−1 , xn ) − Φα ρj(α) (xn−1 , xn ) > Khi đó, tồn xn+1 ∈ T xn cho ρα (xn , xn+1 ) Hα (T xn−1 , T xn ) + ηα(n) Ψα ρj(α) (xn−1 , xn ) (1) Hơn nữa, từ điều kiện (N ), ta chọn xn ∈ T xn−1 cho ρj(α) (xn , x(1) n ) Hj(α) (T xn−2 , T xn−1 ) + Ψj(α) ρj (α) (xn−2 , xn−1 ) − Φj(α) ρj (α) (xn−2 , xn−1 ) Ψj(α) ρj (α) (xn−2 , xn−1 ) ρj(α) (xn , x(1) n ) Ψj(α) Ψj (α) Ψj n−1 (α) Q Vì ρj(α) (xn , xn+1 ) Ψα ρj(α) (xn−1 , xn ) (1) Ψα ρj(α) (xn−1 , x(1) n ) + Ψα ρj(α) (xn , xn ) Ψα Ψj(α) ρj (α) (xn−2 , xn−1 ) + Ψj(α) Ψj (α) Ψj n−1 (α) Q Ψα Ψj(α) ρj (α) (xn−2 , xn−1 ) + Ψα (Q) n 37 Tiếp tục trình ta nhận ρα (xn , xn+1 ) n nΨα (Q) Nếu có số số sau: ρj(α) (xn−1 , xn ), ρj (α) (xn−2 , xn−1 ), , ρj n (α) (x1 , x0 ) ta đặt xn+1 = xn ρ(xn , xn+1 ) nΨα (Q) thỏa mãn Suy (xn ) dãy Cauchy Vì X đầy đủ nên lim xn = a ∈ X lim T xn = T a n→∞ Từ xn+1 ∈ T xn T xn compact suy a ∈ T a n→∞ 38 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày kiến thức sở khơng gian 2) Trình bày khái niệm mêtric Hausdorff, giả mêtric Hausdorff họ tập bị chặn khơng gian 3) Trình bày số định lý tồn điểm bất động ánh xạ đơn trị co suy rộng không gian 4) Trình bày số định lý tồn điểm bất động ánh xạ đa trị co suy rộng không gian 5) Chứng minh chi tiết kết mà tài liệu bỏ qua chứng minh chứng minh vắn tắt Đưa số ví dụ minh họa 39 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê Lê Mậu Hải (2002), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I, II, NXB Giáo dục [2] Tran Van An, Kieu Phuong Chi and Le Khanh Hung (2015),"Some fixed point theorems in uniform spaces", submitted to Filomat [3] Agarwal R., Meehan M and O’Regan D (2004),Fixed point theory and Applications, Cambridge University Press [4] V G Algelov (2009),Fixed points in Uniform Spaces and Applications , Cluj University Press [5] V G Angelov (2004), " An extension of Kirk-Caristi theorem to uniform space",Antarct J Math (no.1), 47-51 [6] V G Angelov (1999), "On the iterative test for J-contractive mappings in uniform spaces", Discuss Math Differential Incl 19 (no 1-2), 103109 [7] V.G Angelov (1998), " Fixed points of multi-valued mappings in uniform spaces",Math Balkanica (N.S.) 12 (no 1-2), 29-35 [8] V G Angelov (1987), " Fixed point theorem in uniform spaces and applications",Czechoslovak Math J 37 (112) (no 1), 19-33 [9] D W Boyd and J S W Wong, " On nonlinear contractions", Proc Amer Math Soc 20 1969, 458-464 [10] J E Kelly (1953), General Topology, Inc Princeton, New Jersey [11] A Keeler and A Meir (1969), " A theorem on contraction mappings",J Math.Anal Appl., 28, 326-329 40 [12] A Weil (1938), Sur les espaces a structure uniforme et sur la topologie generale, Hermann&C-ie, Ed Paris ... điểm bất động cho số lớp ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị không gian đều, lựa chọn đề tài sau cho luận văn là: Về số định lý điểm bất động cho vài lớp ánh xạ đơn trị ánh xạ đa trị khơng gian Mục... lập định lý điểm bất động ánh xạ đa trị khó khăn mặt kỹ thuật Sau thiết lập số định lý điểm bất động ánh xạ đơn trị không gian đều, Angelov đề xuất số định lý điểm bất động ánh xạ đa trị khơng gian. .. định lý tồn điểm bất động ánh xạ co đơn trị, đa trị không gian 2.1 Sự tồn điểm bất động số lớp ánh xạ đơn trị co suy rộng khơng gian Trong mục trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co đơn trị