Về một số định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu tích phân trong không gian METRIC nón

1 MỤC LỤC Mục lục Mở đầu Không gian metric nón tích phân nón 1.1 Nón không gian định chuẩn 1.2 Không gian metric nón 1.3 Tích phân nón 12 Các định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón 18 2.1 Định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón 18 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân suy rộng không gian metric nón Kết luận 23 29 Tài liệu tham khảo 31 MỞ ĐẦU Năm 2007, Huang Long-Guang Zhang Xian (xem [6]) đưa khái niệm không gian metric nón cách thay tập số thực định nghĩa metric nón định hướng không gian định chuẩn Trong tài liệu [6], tác giả xây dựng khái niệm hội tụ dãy, tính đầy đủ không gian, định lý điểm bất động ánh xạ co, thu kết sâu sắc lớp không gian Người ta thấy số ứng dụng lớp không gian metric nón giải tích phi tuyến, tối ưu vectơ, Các vấn đề tôpô không gian metric nón bắt đầu nghiên cứu mức độ khởi đầu Hiện nay, nghiên cứu cấu trúc không gian metric nón thu hút quan tâm số nhà toán học nước Từ đời khái niệm không gian metric nón, số toán quan tâm hàng đầu người làm việc lĩnh vực nghiên cứu định lý điểm bất động kiểu ánh xạ co không gian metric nón Xuất phát từ loại ánh xạ co kiểu tích phân đề xuất Brianciari năm 2002 (xem [3]) không gian metric, F Khojasteh, Z Goodarzi A Razani (2010) xây dựng khái niệm tích phân nón thiết lập định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian metric nón (xem [7]) Các vấn đề mẻ tiếp tục nghiên cứu số nhà toán học Với mục đích tìm hiểu không gian metric nón, định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón ứng dụng, lựa chọn đề tài sau cho luận văn Về định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón Ngoài phần Mục lục, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn trình bày chương Chương Không gian metric nón tích phân nón Chương Định lý điểm bất động cho ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón Các kết luận vặn công bố tài liệu [5] Luận văn thực trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo, TS Kiều Phương Chi Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Toán Tác giả xin cảm ơn thầy, cô giáo Khoa toán nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 16 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Vinh, tháng 12 năm 2010 Trần Thị Thanh Vân CHƯƠNG KHÔNG GIAN METRIC NÓN VÀ TÍCH PHÂN TRÊN NÓN Chương trình bày khái niệm nón không gian định chuẩn, không gian metric nón tính chất dãy hội tụ không gian metric nón Trình bày cách xây dựng tích phân nón, ví dụ tích phân nón số tính chất hàm khả tích nón 1.1 Nón không gian định chuẩn Ta giới thiệu vấn đề nón không gian định chuẩn Những vấn đề sâu sắc nón không gian định chuẩn tìm hiểu [2] 1.1.1 Định nghĩa Cho E không gian định chuẩn trường K (K = R, C) Tập P E gọi nón E thoả mãn điều kiện sau: a) P đóng, khác rỗng P = {0}; b) Với x, y thuộc P a, b thuộc R, a, b ax + by thuộc P ; c) Nếu x thuộc P −x thuộc P x = 1.1.2 Ví dụ 1) Không gian R với chuẩn thông thường Khi P = {x ∈ R:x 0} nón R 2) Trong không gian định chuẩn R2 , tập P = {(x, y) ∈ R2 : x, y 0} nón 3) Xét không gian định chuẩn C[a,b] với chuẩn f = maxx∈[a,b] |f (x)| Khi P = {f ∈ C[a,b] : f (x) 0, ∀x ∈ [a, b]} nón C[a,b] Cho P nón không gian định chuẩn E Khi E xét quan hệ thứ tự ” ” xác định P sau: x thuộc P Chúng ta quy ước x < y x y y − x y, x = y, x y y − x thuộc intP với intP phần P 1.1.3 Định nghĩa Cho P nón không gian định chuẩn E 1) P gọi chuẩn tắc tồn K > cho với x, y thuộc E, từ x y kéo theo x K y Số dương K nhỏ thoả mãn điều kiện gọi số chuẩn tắc P 2) P gọi quy dãy tăng bị chặn E hội tụ (một cách tương đương dãy giảm bị chặn E hội tụ) Định lý sau nêu lên mối quan hệ nón chuẩn tắc nón quy 1.1.4 Định lý Mọi nón quy chuẩn tắc Chứng minh Giả sử P nón quy P không chuẩn tắc Khi ta chọn tn , sn thuộc P cho tn − sn thuộc P sn tn xn = Ta có < sn Với n 1, đặt yn = tn tn đó, với n n2 tn xn , yn , yn − xn ∈ P, yn = n2 với n Vì chuỗi ∞ n=1 yn = n2 ∞ n=1 xn , hội tụ nên chuỗi n2 hội tụ E Do P đóng suy tồn y thuộc P cho Bây giờ, xn yn cách xác định chuỗi suy x1 x1 + Vì P quy nên chuỗi x2 22 x1 + x2 x3 + 22 32 xn hội tụ Suy n2 xn lim = n→∞ n2 ∞ n=1 Do đó, ta nhận mâu thuẫn với n2 xn y ∞ n=1 ∞ n=1 yn n2 yn = y n2 Ví dụ sau cho thấy mệnh đề ngược lại định lý nói chung không 1.1.5 Ví dụ Xét E = C[0,1] với chuẩn ” max ” nón P = {f ∈ E : f Khi P nón chuẩn tắc Thật vậy, giả sử f, g thuộc E Khi f (x) 0} f g g(x), với x thuộc [0, 1] Suy f = max |f (x)| = max f (x) x∈[0,1] max g(x) = max |g(x)| = g x∈[0,1] x∈[0,1] x∈[0,1] Vậy P nón chuẩn tắc Xét dãy {fn } E xác định sau fn (x) = xn với x thuộc [0, 1] Khi xn x2 x, với x thuộc [0, 1] Suy dãy {fn } giảm bị chặn Tuy nhiên dãy không hội tụ E Vậy nón P không quy Mệnh đề sau trình bày tính chất số chuẩn tắc nón 1.1.6 Mệnh đề Nếu K số chuẩn tắc nón P K Chứng minh Giả sử K < số chuẩn tắc nón P Ta chọn x thuộc P cho x = < ε < − K Khi (1 − ε)x x (1 − ε) x > K x Mâu thuẫn với K số chuẩn tắc 1.2 Không gian metric nón Trong mục này, ta xét P nón không gian định chuẩn E cho intP = ∅ quan hệ thứ tự ” ” E xác định P 1.2.1 Định nghĩa Cho X tập khác rỗng ánh xạ d : X × X → E gọi metric nón thoả mãn điều kiện sau: 1) d(x, y) với x, y thuộc X; d(x, y) = x = y; 2) d(x, y) = d(y, x) với x, y thuộc X; 3) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z thuộc X Khi (X, d) gọi không gian metric nón Không gian metric nón tổng quát không gian metric Trong định nghĩa trên, ta chọn E = R, nón P = {x ∈ R : x 0} không gian metric nón ta nhận không gian metric thông thường Sau số ví dụ chứng tỏ lớp không gian metric nón mở rộng thực lớp không gian metric 1.2.2 Ví dụ 1) Cho E = R2 P = {(x, y) ∈ R2 : x, y 0} Xét X = R ánh xạ d : X × X → E xác định d(x, y) = α|x − y|, β|x − y| , với x, y thuộc X, α, β số thực dương cho trước Khi đó, dễ dàng kiểm tra (X, d) không gian metric nón 2) Cho E = l1 P = {x = {xn } ∈ l1 : xn 0, ∀n} Nếu (X, ρ) không gian metric d : X × X → l1 cho d(x, y) = { ρ(x, y) ∞ }n=1 , với x, y thuộc X, 2n xác định metric nón l1 Vậy (X, d) không gian metric nón Sau trình bày vấn đề hội tụ dãy không gian metric nón 1.2.3 Định nghĩa Cho (X, d) không gian metric nón, {xn } dãy X x thuộc X Dãy {xn } gọi hội tụ tới x với c thuộc E thoả mãn c, tồn số tự nhiên N cho d(xn , x) c, với n > N Khi x gọi giới hạn dãy {xn } ta ký hiệu lim xn = x n→∞ xn → x(n → ∞) Định lý sau khẳng định giới hạn dãy không gian metric nón Trong [6] kết phát biểu chứng minh cho nón chuẩn tắc Sau phát biểu chứng minh cho nón tuỳ ý 1.2.4 Định lý ([6]) Cho (X, d) không gian metric nón Nếu dãy {xn } X hội tụ tới x y x = y Chứng minh Đầu tiên ta chứng minh khẳng định sau: p thuộc P p ε với ε thuộc P p = Thật vậy, cố định c thuộc P với c c c Khi đó, từ giả thiết suy p với số nguyên dương m Do −p m m c thuộc P với m Vì − p hội tụ tới −p E P đóng nên −p m thuộc P Suy p = Khẳng định chứng minh Bây giờ, với c thuộc E từ giả thiết {xn } hội tụ tới x y suy tồn số tự nhiên N1 , N2 cho d(xn , x) c , với n > N1 , c , với n > N2 c c Suy − d(xn , x) thuộc int P − d(xn , y) thuộc int P , với n > 2 N = max{N1 , N2 } Từ int P + int P tập int P với nón P , d(xn , y) suy c c − d(xn , x) + − d(xn , y) = c − (d(xn , x) + d(xn , y)) ∈ int P, 2 với n > N Ta nhận d(x, y) d(xn , x) + d(xn , y) c, với n > N Từ khẳng định suy d(x, y) = 0, tức x = y Ta biết không gian metric (X, ρ) dãy {xn } X hội tụ tới x thuộc X ρ(xn , x) → Mệnh đề sau trình bày tính chất tương tự cho không gian metric nón 1.2.5 Mệnh đề Cho (X, d) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc {xn } dãy X Khi đó, {xn } hội tụ tới x thuộc X d(xn , x) → E Chứng minh Giả sử {xn } dãy X xn → x thuộc X Gọi K số chuẩn tắc P Với ε > 0, chọn c thuộc E cho c K c < ε Khi đó, từ xn → x thuộc X suy tồn số tự nhiên N cho d(xn , x) c, với n > N Vì nón P chuẩn tắc với số K nên d(xn , x) K c < ε, với n > N Vậy d(xn , x) → E Ngược lại, giả sử d(xn , x) → E Ta có, với c thuộc E, tồn δ > cho x < δ c − x thuộc int P (do int P tập mở) Với δ > xác định trên, tồn số tự nhiên N cho d(xn , x) < δ, với n > N Suy c − d(xn , x) thuộc int P Ta nhận d(xn , x) c với n > N , tức xn → x, (n → ∞) Mệnh đề sau nêu lên mối quan hệ tính hội tụ dãy dãy Dễ dàng ta chứng minh 1.2.6 Mệnh đề Cho (X, d) không gian metric nón Nếu dãy {xn } X hội tụ tới x thuộc X dãy {xn } hội tụ tới x Mệnh đề sau nói lên tính liên tục ánh xạ metric nón 1.2.7 Mệnh đề Cho (X, d) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc {xn }, {yn } dãy X Nếu xn → x yn → y d(xn , yn ) → d(x, y), (n → ∞) 10 Chứng minh Với ε > 0, chọn c thuộc E cho c c < ε 4K + Từ xn → x yn → y, tồn số tự nhiên N cho d(xn , x) c d(yn , y) c, với n > N Chúng ta có d(xn , yn ) d(xn , x) + d(x, y) + d(y, yn ) d(x, y) + 2c, với n > N, d(x, y) d(xn , x) + d(xn , yn ) + d(y, yn ) d(xn , yn ) + 2c Suy d(x, y) + 2c − d(xn , yn ) 4c Từ tính chuẩn tắc nón bất đẳng thức ta nhận d(xn , yn ) − d(x, y) d(x, y) + 2c − d(xn , yn ) + 2c (K + 2) c < ε, với n > N Bất đẳng thức chứng tỏ d(xn , yn ) → d(x, y) Bây ta trình bày định nghĩa khái niệm dãy Cauchy không gian metric nón 1.2.8 Định nghĩa Cho (X, d) không gian metric nón Dãy {xn } X gọi dãy Cauchy với c thuộc E, tồn số tự nhiên N cho d(xm , xn ) c, với m, n > N 1.2.9 Mệnh đề Cho (X, d) không gian metric nón, P nón chuẩn tắc {xn } dãy X Khi đó, {xn } dãy Cauchy d(xn , xm ) → E, (m, n → ∞) Chứng minh Giả sử {xn } dãy Cauchy X Gọi K số chuẩn tắc P Với ε > 0, chọn c thuộc E cho c K c < ε Khi đó, từ {xn } dãy Cauchy, tồn số tự nhiên N cho d(xn , xm ) c, với n, m > N 17 Suy (a,b) a2 φ dp = + b2 a lim a n→∞ n (0,0) n−1 i=0 a b φ1 i , lim n b n→∞ n a a2 + b = a n−1 φ2 i=0 b φ1 (t)dt, b φ2 (t)dt Ta nhận (a,b) φ dp = (0,0) a a2 + b a b φ1 (t)dt, b φ2 (t)dt b i n 18 CHƯƠNG CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chương trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón đưa định lý điểm bất động ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân không gian metric nón 2.1 Định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón Mục trình bày định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón F.Khojasteh, Z Goodarzi A Razani (2010) đề xuất Đây tương tự kết A.Branciari [3] không gian metric 2.1.1 Định lý ([7]) Cho P nón chuẩn tắc (X, d) không gian metric nón đầy đủ Giả sử φ : P → P ánh xạ khác không khả tích nón cộng tính tập [a, b] P cho với ε ε 0, φdp ánh xạ θ(t) = t φdp , (t 0) có ánh xạ ngược liên tục Nếu f : X → X ánh xạ cho với x, y thuộc X d(f (x),f (y)) d(x,y) φ dp φ dp, α (2.1) với α thuộc (0, 1), f có điểm bất động X Chứng minh Lấy x0 thuộc P Đặt xn+1 = f (xn ), với n = 1, 2, Ta 19 có d(xn+1 ,xn ) d(f (xn ),f (xn−1 )) φ dp = φ dp 0 d(xn ,xn−1 ) α φ dp Suy d(xn+1 ,xn ) φ dp α d(xn−1 ,xn−2 ) φ dp α d(x2 ,x1 ) n−1 φ dp Vì α thuộc (0, 1) nên d(xn+1 ,xn ) lim φ dp = n→∞ Từ θ(t) = t φdp , (t (2.2) 0) có ánh xạ ngược liên tục d(xn+1 ,xn ) φ dp = 0, lim n→∞ suy lim d(xn+1 , xn ) = n→∞ Bây giờ, ta chứng minh {xn } dãy Cauchy Ta cần lim d f (xm ), f (xn ) = (2.3) m,n→∞ Thật vậy, theo bất đẳng thức tam giác ta có d(f (xm ),f (xn )) d(f (xn ),f (xn+1 ))+d(f (xn+1 ),f (xn+2 ))+ +d(f (xm−1 ),f (xm )) φdp φdp Vì từ tính cộng tính φ suy d(f (xm ),f (xn )) d(f (xn ),f (xn+1 )) φ dp d(f (xm−1 ),f (xm )) φ dp + + φ dp d(x2 ,x1 ) (αn + αn+1 + + αm−1 ) φ dp αn 1−α d(x2 ,x1 ) φ dp → n → ∞ 20 d(f (xm ),f (xn )) φ dp Ta nhận (t → m, n → ∞ Vì θ(t) = 0) có ánh xạ ngược liên tục nên d(f (xm ),f (xn )) t φdp , → m, n → ∞ Từ cách xác định dãy {xn } suy dãy Cauchy Vì X không gian metric đầy đủ nên {xn }n∈N hội tụ đến a thuộc X Lại d(xn+1 ,f (a)) d(f (xn ),f (a)) φ dp = d(xn ,a) φ dp α φ dp Vì lim d xn+1 , f (a) = Điều có nghĩa f (a) = a, hay a n→∞ điểm bất động hàm f Giả sử, x = y hai điểm bất động f Khi d(x,y) d f (x),f (y) φ dp = d(x,y) φ dp α φ dp Vì α thuộc (0, 1) nên ta nhận mâu thuẫn với giả thiết: ε ε φdp Vậy f có điểm bất động a thuộc X 2.1.2 Ví dụ ([7]) Cho X = { n1 : n ∈ N} ∪ {0}, E = R2 P = {(x, y) ∈ E:x 0, y 0} Giả sử d : X × X → E thỏa mãn d(x, y) = (|x − y|, α|x − y|) với số α Thế (X, d) không gian metric nón đầy đủ Cho f : X → X φ : P → E, tương ứng xác định f (x) = n+1 φ(t, s) = x = n1 , n ∈ N, x = t t−2 (1 − ln t), s s−2 (1 − ln s) (0, 0) Ta (t, s) ∈ P \{(0, 0)}, (t, s) = (0, 0) d(f x,f y) d(x,y) φ dp 0 Thật vậy, để chứng minh bất đẳng thức (2.4), xét trường hợp x = φ dp m, với m > n Khi m−n α(m − n) , , (m + 1)(n + 1) (m + 1)(n + 1) m − n α(m − n) d(x, y) = , mn mn d(f x, f y) = (2.4) n y = 21 Giả sử φ1 (t) = φ2 (t) = t t−2 (1 − lnt), ∀t > φ1 (0) = φ2 (0) = Vậy φ(t, s) = (φ1 (t), φ2 (t)) Từ Ví dụ 1.3.7, ta có α(m−n) m−n ( (m+1)(n+1) , (m+1)(n+1) ) d(f x,f y) φ dp = (φ1 , φ2 ) dp (0,0) m−n = (m + 1)(n + 1) (m + 1)(n + 1) m−n + α2 (m + 1)(n + 1) α(m − n) m−n (m+1)(n+1) + α2 = τ Lại φ1 (t)dt, α m−n (m+1)(n+1) φ1 (t) dt, (2.5) α(m−n) (m+1)(n+1) φ2 (t) dt α(m−n) (m+1)(n+1) φ2 (t)dt t t−2 (1 − lnt)dt = τ τ , nên m−n (m+1)(n+1) α(m−n) (m+1)(n+1) φ1 (t) dt = φ2 (t) dt = m−n (m+1)(n+1) α(m−n) (m+1)(n+1) (n+1)(m+1) m−n (n+1)(m+1) α(m−n) (2.6) Kết hợp (2.5), (2.6) ta có d(f x,f y) + α2 φ dp = m−n (m + 1)(n + 1) α(m − n) α (m + 1)(n + 1) (n+1)(m+1) m−n , (n+1)(m+1) α(m−n) (2.7) Mặt khác, Branciari [3] m−n (m + 1)(n + 1) (n+1)(m+1) m−n m−n mn nm m−n , ∀m, n ∈ N Do m−n (m + 1)(n + 1) (n+1)(m+1) m−n (n+1)(m+1) α(m − n) α(m−n) , α (m + 1)(n + 1) nm nm m − n m−n α(m − n) α(m−n) , mn α mn (2.8) 22 Kết hợp (2.7) (2.8), ta có d(f x,f y) φ dp m−n mn + α2 nm m−n , α(m − n) α mn nm α(m−n) d(x,y) = φ dp, hay d(x,y) φ dp φ dp 0 Trường hợp x = 0, y = n1 , với n thuộc N Khi α d(f x, f y) = , , n+1 n+1 α d(x, y) = , n n , với m > n, ta có Tương tự trường hợp x = n1 y = m d(f x,f y) α ( n+1 , n+1 ) d(f x,f y) φ dp = (φ1 , φ2 ) dp = n+1 (0,0) + α2 n+1 (n + 1) n+1 n+1 φ1 (t) dt, α α α n+1 φ2 (t) dt n+1 = + α2 φ1 (t)dt, φ2 (t)dt α 0 (n+1) 1 α n+1 α 1+α , = n+1 α n+1 Mặt khác, theo Branciari [3], ta có n+1 1 n , ∀n ∈ N n+1 n Do d(f x,f y) 1 n α αn φ dp + α2 , n α n d(x,y) = φ dp, hay d(f x,f y) d(x,y) φ dp φ dp 0 Vậy, theo Định lý 2.1.1, f có điểm bất động điểm bất động x = 23 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân suy rộng không gian metric nón Mục đưa định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân suy rộng không gian metric nón Đây mở rộng thực kết F.Khojasteh, Z Goodarzi A Razani trình bày mục trước 2.2.1 Định lý Cho P nón chuẩn tắc (X, d) không gian metric nón đầy đủ Cho T : X → X đơn ánh, liên tục hội tụ dãy Giả sử φ : P → P ánh xạ khác không, khả tích nón cộng tính tập [a, b] P cho với xạ θ(t) = t φdp , r, r φ dp ánh liên tục ngược Nếu f : X → X ánh t xạ cho với x, y thuộc X d(T f x,T f y) d(T x,T y) φ dp q φ dp, (2.9) với q thuộc (0, 1) f có điểm bất động X Chứng minh Lấy cố định x0 thuộc P ta định nghĩa dãy xn = f xn−1 với n = 1, 2, Đặt yn = T xn , với n = 1, 2, Ta {yn } dãy Cauchy Để làm điều này, ta chứng minh d(yn , yn+1 ) → n → ∞ Thật vậy, ta có d(yn ,yn+1 ) d(T xn ,T xn+1 ) φ dp = φ dp d(T f xn−1 ,T f xn ) φ dp = d(T xn−1 ,T xn ) q φ dp d(yn−1 ,yn ) =q φ dp q d(y0 ,y1 ) n φ dp, với n 24 hay d(yn+1 ,yn ) φ dp q d(y1 ,y0 ) n φ dp, với n Vì q thuộc (0, 1), nên ta có d(yn+1 ,yn ) φ dp → n → ∞ (2.10) Từ tính liên tục ngược ánh xạ θ(t) = t φdp suy d(yn+1 , yn ) → n → ∞ Bây giờ, ta chứng minh d(ym , yn ) → m, n → ∞ Với n m, từ bất đẳng thức tam giác ta có d(ym ,yn ) d(ym ,ym+1 )+d(ym+1 ,ym+2 )+ +d(yn−1 ,yn ) φ dp φdp 0 Kết hợp từ tính cộng tính φ, ta có d(ym ,yn ) d(ym ,ym+1 ) φ dp d(yn−1 ,yn ) φ dp + + φ dp 0 m q +q m+1 + + q d(y0 ,y1 ) n−1 φ dp qm 1−q Suy ánh xạ d(ym ,yn ) φ dp → t θ(t) = φdp ta d(y0 ,y1 ) φ dp → m → ∞ 0 n, m → ∞ Từ tính liên tục ngược có lim d(ym , yn ) = 0, m,n→∞ hay {yn } dãy Cauchy Vì X không gian metric nón đầy đủ, nên {yn } = {T xn } hội tụ đến y thuộc X Theo giả thiết, T hội tụ dãy nên {xn } hội tụ đến x thuộc X Vì tính liên tục T nên T x = y áp dụng (2.9), ta có d(T xn+1 ,T f x) d(T f xn ),T f x) φ dp = d(T xn ,T x) φ dp φ dp → q 25 Vậy yn+1 = T xn+1 → T f x n → ∞ Suy T f x = T x Do T đơn ánh nên f x = x Ta chứng minh x điểm bất động f Giả sử f có hai điểm bất động x, y thuộc X, x = y Khi d(T x,T y) 0< d(T f x,T f y) φ dp = d(T x,T y) φ dp q φ dp Ta nhận mâu thuẫn q thuộc (0, 1) Định lý chứng minh áp dụng Định lý 2.2.1 cho T x = x với x thuộc X ta mở rộng Định lý 2.1.1 2.2.2 Hệ ( [7]) Cho P nón chuẩn tắc (X, d) không gian metric nón đầy đủ Giả sử φ : P → P ánh xạ khác không, khả tích nón cộng ε tính tập [a, b] P cho với ε ánh xạ θ(t) = t φdp , t 0, φdp 0 liên tục ngược Nếu f : X → X ánh xạ cho với x, y thuộc X d(f x,f y) d(x,y) φ dp α φ dp, (2.11) với α thuộc (0, 1), f có điểm bất động X Ví dụ sau rằng, Định lý 2.2.1 mở rộng thực Hệ 2.2.2 Nó xây dựng ý tưởng từ [7] [9] 2.2.3 Ví dụ Cho X = { n1 : n ∈ N} ∪ {0}, E = R2 P = {(x, y) ∈ E : x 0, y 0} Giả sử d : X × X → E xác định d(x, y) = (|x − y|, |x − y|) Thế (X, d) không gian metric nón đầy đủ Cho f : X → X, xác định   n+3 fx =  n−1 x = n1 , n lẻ x = x = n1 , n chẵn 26 Dễ chứng minh f có điểm bất động X Cho ánh xạ ϕ : [0, +∞) → E, xác định t t −2 (1 − lnt) t > 0 t = ϕ(t) = Ta có x ϕ(t) dt = x x , với x > 0 Xét ánh xạ φ : P → E xác định φ(t, s) = (ϕ(t), ϕ(s)), với (t, s) thuộc P Khi đó, áp dụng Ví dụ 1.3.7, ta có (a,b) φdp = 1 a2 + b2 (a a , b b ) (0,0) với (a, b) > (0, 0) Hơn nữa, theo F Khojasteh, Z Goodarzi and A Razani [7] ta có φ hàm khả tích nón cộng tính Ta rằng, f không thỏa mãn Hệ 2.2.2 với φ xác định Thật vậy, với x = m, y = n1 , với m > n, n, m chẵn áp dụng Ví dụ 1.3.7, ta có d(f x,f y) φ dp = (m−n) m−n ( (m−1)(n−1) , (m−1)(n−1) ) φ dp = (0,0) √ 2(m − n) (m − 1)(n − 1) = (m − 1)(n − 1) m−n m−n (m−1)(n−1) ϕ(t) dt, (2.12) m−n (m−1)(n−1) = √ (m − 1)(n − 1) ϕ(s) ds m−n (m−1)(n−1) (m−1)(n−1) m−n m−n m−n m−n , (m − 1)(n − 1) (m − 1)(n − 1) Tương tự ( m−n , m−n ) mn mn d(x,y) φ dp = φ dp (0,0) = √ m−n mn mn m−n , m−n mn (2.13) mn m−n 27 Giả sử d(f x,f y) d(x,y) φ dp α φ dp Khi cách chọn n = 2, m = 4, ta có √ 3 , √ q 2 4 , Từ bất phương trình trên, ta q > Điều dẫn đến mâu thuẫn với q thuộc (0, 1) Vì vậy, áp dụng Hệ 2.2.2 cho ánh xạ f Tuy nhiên, ánh xạ f thỏa mãn Định lý 2.2.1 với φ xác định T xác định sau   n+1 Tx =  x = n1 , n lẻ x = x = n−1 , n chẵn n−1 Rõ ràng, T đơn ánh, liên tục hội tụ dãy Ta có  1  n+2 x = n , n lẻ Tfx = x = 1 x = n−1 , n chẵn n Ta chứng minh d(T f x,T f y) φ dp d(T x,T y) φ dp (2.14) Để làm điều này, ta xét trường hợp sau x, y Trường hợp Nếu x = m, y= n d(T f x,T f y) φ dp m > n > 0, m, n chẵn Tương đương với √ m − n mn m − n mn [ ] m−n , [ ] m−n mn mn 1√ m−n 2 (m − 1)(n − 1) d(T x,T y) φ dp (m−1)(n−1) m−n , m−n (m − 1)(n − 1) (m−1)(n−1) m−n hay m−n mn mn m−n (m − 1)(n − 1) m−n (m−1)(n−1) m−n (2.15) , 28 Dễ dàng thấy rằng, bất đẳng thức (2.15) tương đương với m − n m+n−1 (m − 1)(n − 1) (m−1)(n−1) m−n m−n mn mn Do (m−1)(n−1) mn (m−1)(n−1) m−n > 1, nên (m − 1)(n − 1) (m−1)(n−1) m−n (2.16) mn m+n−1 Từ m−n mn m−n > nên m − n m+n−1 m−n (2.17) mn Trường hợp Nếu x = m , y = n1 m > n > 0, m, n lẻ Tương tự cách chứng minh Trường hợp 1, ta khẳng định (2.14) m, Trường hợp Nếu x = n y= , m lẻ, n chẵn Tương tự cách chứng minh Trường hợp 1,2, ta khẳng định (2.14) n Trường hợp Nếu x = 0, y = d(T f x,T f y) φ dp 0, ⇔ ⇔ n−1 n n n < 1, ta khẳng định (2.14) d(T f x,T f y) φ dp ⇔ ⇔ Do n+2 n−1 n−1 Trường hợp Nếu x = 0, y = ⇔ φ dp 1 0, n−1 n n−1 1 n n−1 1 n − n−1 n n ⇔ n d(T x,T y) Do n chẵn Khi 0, n+2 n+2 n+2 n+1 n+2 n+2 n+1 n+2 n n lẻ Khi d(T x,T y) φ dp n+2 n+1 1 0, n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 < 1, ta (2.14) Như vậy, ta áp dụng Định lý 2.2.1 cho ánh xạ f điểm bất động x = 29 kết luận Luận văn thu kết sau: 1) Trình bày có hệ thống khái niệm: nón không gian định chuẩn, không gian metric nón khái niệm dãy hội tụ không gian metric nón Chứng minh chi tiết số tính chất nón không gian định chuẩn mà tài liệu không chứng minh 2) Trình bày cách xây dựng tích phân nón, ví dụ tích phân nón chứng minh số tính chất tích phân nón 3) Trình bày chứng minh chi tiết số định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón F Khojasteh, Z Goodarzi A Razani 4) Đưa định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân không gian metric nón Định lý 2.2.1 Xây dựng ví dụ chứng tỏ mở rộng thực Định lý 2.2.1 kết F Khojasteh, Z Goodarzi A Razani Kết luận văn công bố phần tài liệu [5] 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Khuê, Lê Mậu Hải (2001), Cơ sở lý thuyết hàm giải tích hàm, Tập I, NXBGD [2] Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer-Verlag [3] A Branciari (2002), A fixed point theorem for mappings satisfying a general contractive condition of integral type, Int J Math Math Sci 29, no 9, 531-536 [4] Kieu Phuong Chi and Truong Phuc Tuan Anh (2010), A fixed point theorem for contractive maps in cone metric spaces, to accepted publication in Southeast Asian Bull Math [5] Kieu Phuong Chi, Tran Duc Thanh and Tran Thi Thanh Van (2010), On the point theorems in cone metric spaces of the maps that satisfy a contractive condition of integral type, to submitted in Fixed Point Theory and Applications [6] Huang, Long-Guang and Zhang, Xian (2007),Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, J Math Anal Appl 332, no 2, 1468-1476 [7] F Khojasteh, Z Goodarzi and A Razani (2010), Some fixed point theorem of integral type contraction in cone metric sapces, Fixed Point Theory and Applications, 13 pages [8] D Ili´c and V Rakocevi´c (2008), Common fixed points for maps on cone metric spaces, J Math Anal Appl 341, no 2, 876-882 31 [9] S Moradi (2009), Fixed-Point Theorem For Mappings Satisfying a General Contractive Condition Of Integral Type Depended an Another Function, arXiv:0903.1574 [10] S Moradi and A Beiranvand (2009),On the existence of fixed point of contraction mappings depending of two functions on cone metric spaces, arXiv:0903.1569 [11] J.R Morales and R Edixon (2009) , A Fixed-Point Theorem For Mapping Satisfying a General Contractive Condition Of Integral Type Depended an Another Function, arXiv:0910.4921 [12] Sh Rezapour and R Hamlbarani (2008), Some notes on the paper: “Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings", J Math Anal Appl 345, no 2, 719–724 [13] B.E Rhoades (2003), Two fixed-point theorems for mappings satisfying a general contractive condition of integral type, Int J Math Math Sci., no.63, 4007-4013 [...]... CHƯƠNG 2 CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chương này trình bày một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân trong không gian metric nón và đưa ra định lý điểm bất động đối với ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân trong không gian metric nón 2.1 Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân trong không gian metric nón Mục... dựng tích phân trên nón, ví dụ về tích phân trên nón và chứng minh một số tính chất cơ bản của tích phân trên nón 3) Trình bày chứng minh chi tiết một số định lý điểm bất động đối với ánh xạ co kiểu tích phân trên không gian metric nón của F Khojasteh, Z Goodarzi và A Razani 4) Đưa ra một định lý điểm bất động cho ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân trên không gian metric nón Định lý 2.2.1 Xây dựng ví... trình bày định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân trên không gian metric nón do F.Khojasteh, Z Goodarzi và A Razani (2010) đề xuất Đây là tương tự một kết quả A.Branciari [3] trên không gian metric 2.1.1 Định lý ([7]) Cho P là một nón chuẩn tắc và (X, d) là một không gian metric nón đầy đủ Giả sử φ : P → P là một ánh xạ khác không và khả tích nón cộng tính dưới trên mỗi tập con [a,... dụng Định lý 2.2.1 cho ánh xạ f và điểm bất động duy nhất là x = 0 29 kết luận Luận văn đã thu được các kết quả sau: 1) Trình bày có hệ thống các khái niệm: nón trong không gian định chuẩn, không gian metric nón và khái niệm dãy hội tụ trong không gian metric nón Chứng minh chi tiết một số tính chất về nón trong không gian định chuẩn mà tài liệu không chứng minh 2) Trình bày cách xây dựng tích phân. .. Branciari trong [3], ta có n+1 1 1 1 n , ∀n ∈ N n+1 2 n Do đó d(f x,f y) 1 1 n 1 α αn φ dp 1 + α2 , 2 n α n 0 d(x,y) 1 = φ dp, 2 0 hay d(f x,f y) 1 d(x,y) φ dp φ dp 2 0 0 Vậy, theo Định lý 2.1.1, f có điểm bất động duy nhất và điểm bất động là x = 0 23 2.2 Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ co kiểu tích phân suy rộng trong không gian metric nón Mục này đưa ra một định lý điểm bất động đối với các ánh. .. các ánh xạ co kiểu tích phân suy rộng trên không gian metric nón Đây là sự mở rộng thực sự kết quả của F.Khojasteh, Z Goodarzi và A Razani đã trình bày trong mục trước 2.2.1 Định lý Cho P là một nón chuẩn tắc và (X, d) là không gian metric nón đầy đủ Cho T : X → X là một đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy Giả sử rằng φ : P → P là một ánh xạ khác không, khả tích nón cộng tính dưới trên mỗi tập con [a,... Xét X = R và ánh xạ d : X × X → E xác định bởi d(x, y) = α|x − y|, β|x − y| , với mọi x, y ∈ X, trong đó α, β là các số thực dương cho trước Khi đó, dễ dàng kiểm tra được (X, d) là không gian metric nón đầy đủ 12 Các định nghĩa sau là sự tương tự như trong không gian metric 1.2.13 Định nghĩa Cho X, Y là các không gian metric nón Cho T là một ánh xạ từ X vào Y 1) Nếu với mọi dãy {xn }n∈N trong X, lim... điểm bất động x, y thuộc X, x = y Khi đó d(T x,T y) 0< d(T f x,T f y) φ dp = 0 d(T x,T y) φ dp q 0 φ dp 0 Ta nhận được mâu thuẫn vì q thuộc (0, 1) Định lý đã được chứng minh áp dụng Định lý 2.2.1 cho T x = x với mọi x thuộc X ta được một sự mở rộng của Định lý 2.1.1 2.2.2 Hệ quả ( [7]) Cho P là nón chuẩn tắc và (X, d) là không gian metric nón đầy đủ Giả sử φ : P → P là một ánh xạ khác không, khả tích. .. 1.3.2 Định nghĩa ([7]) Giả sử P là nón chuẩn tắc trong E, ánh xạ φ : [a, b] → P được gọi là khả tích trên [a, b] đối với nón P , (hoặc nói một cách đơn giản là hàm khả tích nón) , nếu và chỉ nếu với mọi phân hoạch Q của [a, b] Con S Con := lim LCon n (φ, Q) = lim Un (φ, Q), n→∞ n→∞ trong đó S Con là giá trị duy nhất Ta kí hiệu giá trị S Con bởi b φ dp a Ta kí hiệu tập tất cả các hàm khả tích nón φ :... tụ dãy nếu với mọi dãy {xn } trong X sao cho {T xn } hội tụ thì dãy {xn } hội tụ 3) T được gọi là liên tục ngược tại x ∈ X nếu với mọi dãy {xn } trong X sao cho T xn → T x thì xn → x Rõ ràng, nếu T : X → Y có ánh xạ ngược T −1 liên tục tại y = T x thì T liên tục ngược tại x 1.3 Tích phân trên nón Giả sử P là nón chuẩn tắc trong không gian định chuẩn E Cho a, b thuộc E sao cho a < b Đặt [a, b] := {x ∈ ... động ánh xạ co suy rộng kiểu tích phân không gian metric nón 2.1 Định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón Mục trình bày định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân. .. CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO KIỂU TÍCH PHÂN TRONG KHÔNG GIAN METRIC NÓN Chương trình bày số định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân không gian metric nón đưa định lý điểm bất. .. theo Định lý 2.1.1, f có điểm bất động điểm bất động x = 23 2.2 Định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân suy rộng không gian metric nón Mục đưa định lý điểm bất động ánh xạ co kiểu tích phân