Một số tính chất về điểm bất động

1 Mục lục Mục lục Lời nói đầu Đ1 Một số khái niệm Đ2 Về cấu trúc hình học không gian Banach Đ3 Định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn Đ4 ánh xạ không giãn đa trị Đ5 ánh xạ Lipschitz Đ6 Nửa nhóm ánh xạ Lipschitz Kết luận Tài liệu tham khảo Trang 3 10 12 30 38 39 Lời nói đầu Những định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ 20 Trong nhiều trờng hợp quan trọng, việc giải phơng trình đợc quy việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Vì định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng toán học nói riêng khoa học kỹ thuật nói chung Cuốn khoá luận đa số tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn kết liên quan đến ánh xạ không giãn giới thiệu khái niệm liên quan đến cấu trúc hình học không gian Banach đợc sử dụng lý thuyết điểm bất động để chứng minh kết Browder, Gohde Kirk, nh mở rộng lớp ánh xạ Lipschitz nửa nhóm ánh xạ Lipschitz Khoá luận gồm nội dung sau: Đ1 Một số khái niệm Đ2 Về cấu trúc hình học không gian Banach Đ3 Định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn Đ4 ánh xạ không giãn đa trị Đ5 ánh xạ Lipschitz Đ6 Nửa nhóm ánh xạ Lipschitz Khoá luận đợc thực hoàn thành Đại Học Vinh, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS.Tạ Khắc C , ngời đặt vấn đề dẫn dắt , sai sót nh góp ý chân thành giúp hoàn thành khoá luận Mặc dù tác giả có nhiều cố gắng song tránh khỏi sai sót , mong đợc góp ý thầy cô giáo bạn đọc Cuối xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Toán tạo điều kiện giúp đỡ trình học tập hoàn thành khoá luận ! Vinh, ngày 12/04/2006 - Tác giả - Đ1.Một số khái niệm 1.1.Định nghĩa Cho ánh xạ liên tục f: ( X không gian Tôpô hay định chuẩn) , x0 X đợc gọi điểm bất động f(x0) = x0 1.2.Định nghĩa Không gian Tôpô X đợc gọi có tính chất bất động ánh xạ liên tục f: có điểm bất động Ví dụ Hình cầu đóng đơn vị B[0,1] 3n có tính chất điểm bất động 1.3.Định nghĩa ánh xạ T từ không gian mêtric ( X , d ) vào không gian mêtric ( Z , ) đợc gọi không giãn với x, y X , ta có (Tx, Ty ) d ( x, y ) Nh vậy, ánh xạ co ánh xạ không giãn Phép tịnh tiến đờng thẳng thực, phép quay đờng tròn đơn vị mặt phẳng qua gốc tọa độ ví dụ ánh xạ không giãn mà điểm bất động Thậm chí ánh xạ không giãn tập hợp lồi, đóng, bị chặn không gian Banach không thiết phải có điểm bất động Ví dụ Ký hiệu B hình cầu đơn vị đóng co (không gian dãy hội tụ đến với chuẩn sup) Với x=(x1,x2,) ta đặt Tx=(1, x1,x2,) Khi T ánh xạ không giãn B mà điểm bất động Thật vậy, có x*=Tx* ta có ( x1* , x 2* , x3* , ) = (1, x1* , x 2* , ) , nhng ta có xi* = với i, nên x* không phụ thuộc co Điểm bất động ánh xạ không giãn không (chẳng hạn ánh xạ đồng nhất) Đ2.Về cấu trúc hình học không gian Banach 2.1.Định nghĩa Không gian Banach ( X , , ) đợc gọi lồi chặt với x+ y x y mà x 1, y ta có Điều kiện tơng đơng với : x + y = x + y y x = y với > 2.2.Định nghĩa Không gian Banach ( X , , ) đợc gọi lồi với > ( ) > , tồn cho với x, y X mà x 1, y 1, x y ta có x+ y ( ) Ví dụ Các ví dụ tiêu biểu không gian lồi l p Lp[a,b] với l < p < Mọi không gian Hibert lồi Thật ,cho x 1, y 1, x y Từ đẳng thức hình bình hành ta đợc x+ y 2 =2 x +2 y x y x+ y Từ suy 42 , ta đặt ( ) = Để đo tính lồi không gian Banach ngời ta đa vào hai khái niệm sau đây: Môđun lồi không gian Banach X hàm số X : [ 0,2] [ 0,1] đợc xác định công thức: x+ y X ( ) = inf : x 1, y 1, x y Đặc trng lồi không gian Banach X đợc xác định ( X ) = sup{ [ 0,2] : X ( ) = 0} Hai đại lợng cho ta nhiều thông tin tính chất không gian Chẳng hạn, X lồi ( X ) = 0; X lồi chặt X (2) = ; ( X ) < X không gian phản xạ Hiển nhiên không gian lồi lồi chặt phản xạ, không gian lồi có tính chất giống không gian Hilbert: Nếu C tập hợp lồi, đóng không gian lồi X với x X tồn điểm y C mà x y = inf { x z : z C} ( Mọi tập hợp hiểu ngầm không rỗng, không nói rõ tập hợp rỗng) 2.3.Định nghĩa Tập hợp K không gian định chuẩn X đợc gọi có cấu trúc chuẩn tắc tập hợp lồi đóng, bị chặn H với diamH>0 chứa điểm x H cho sup{ x z : z H } < diamH (ở diam ký hiệu đờng kính tập hợp) 2.4 Ví dụ a Mọi tập hợp compact không gian Banach có cấu trúc chuẩn tắc Thật vậy, giả sử tồn tập hợp lồi, đóng, bị chặn H K với diamH>0 mà tính chất trên, lấy x tuỳ ý H chọn x H cho x1 x = r = diamH (ở ta sử dụng tính compact H suy từ tính compact K) Vì x1 + x H , nên tồn x3 H cho x1 + x x3 = r Giả sử có x1 , x , , x n H với xi x j = r , i j ,1 i, j n Khi tồn x n +1 K cho x1 + x + + x n x n = r n Từ ta đợc r= x1 x n +1 x x n +1 n + + n xi x n +1 r Vậy xi x n +1 = r , n n n i =1 với i=1,2,,n Cứ tiếp tục trình ta đợc dãy H mà hiển nhiên không chứa dãy hội tụ, trái với tính compact H b.Tập hợp không gian Banach X với ( X ) < Thật vậy, cho K tập hợp X v H tập hợp lồi, đóng, bị chặn K với d=diamH>0 Chọn > cho r = X (1 ) > Khi tồn u, v H cho u v d (1 ) Lấy x H bất kỳ, ta có x u d, x v d Đặt z = u+v xu xv , x' = , y' = , d d Ta có x' 1, y ' 1, x' y ' = xu xv = u v d d d Vì r = X (1 ) > nên ta có ta có x'+ y ' zx = , d x'+ y ' x'+ y ' r , tức r Mặt khác 2 z x d (1 r ) < d với x H Vậy K có cấu trúc chuẩn tắc Từ ta có kết luận: Không gian lồi có cấu trúc chuẩn tắc Đ3.Định lý điểm bất động cho ánh xạ không giãn 3.1.Định lý ( Kirk ) Cho C tập hợp lồi, compact yếu, có cấu trúc chuẩn tắc không gian định chuẩn X T: C C ánh xạ không giãn Khi T có điểm bất động C Chứng minh Đặt F = {L C : L lồi, đóng, không rỗng, T ( L) L } Khi F C F Với quan hệ thứ tự bao hàm thức, ( F , ) trở thành tập hợp đợc thứ tự phận Đặt G = { L0 } với L0 F lồng Khi L ) L , yếu T ( L cận dới L C compact G Theo bổ đề Zorn, F chứa phần tử cực tiểu H Ta chứng minh H gồm điểm Giả sử d=diamH>0 Do C có cấu trúc chuẩn tắc nên tồn z H cho r = sup{ z x : x H } < d Vậy tập hợp D = { z : ( z, r )} , B(z,r) hình cầu đóng tâm z bán kính r Lấy z D, T không giãn, ta có T ( H ) B (Tz , r ) , coT ( H ) B (Tz , r ) co ký hiệu bao lồi, đóng tập hợp Vì coT (H ) tập hợp lồi, đóng C nên compact yếu coT ( H ) coH = H nên T (coT ( H ) T ( H ) coT ( H ) coT ( H ) F Vì coT ( H ) H H cực tiểu nên coT ( H ) = H Từ ta có H B (Tz , r ) , chứng tỏ Tz D , T ( D) D z D Ta kiểm tra D lồi đóng Cho z1 , z D z = z1 + (1 ) z với [0,1] Khi x z i r , i = 1,2 ,với x H Từ x z r với x H nên z D , D lồi Nếu z n D z n z x z n r với x H , suy x z r với x H nên z D , D đóng Tóm lại D C tập hợp lồi, đóng bất biến T, D F Vì D H H cực tiểu nên D=H Khi đó, với u , v D = H ta có u v r , từ d = diamH = diamD r < d , ta gặp mâu thuẫn Vậy H gồm điểm, tức H={x*} Vì H bất biến T nên ta có Tx*=x* Định lý đợc chứng minh 3.2.Định lý (Browder Gohde, 1965 ) Cho C tập hợp lồi, đóng, bị chặn không gian lồi X T: C C ánh xạ không giãn Khi tập hợp điểm bất động T lồi, đóng không rỗng Chứng minh Vì X lồi nên phản xạ, C compact yếu có cấu trúc chuẩn tắc Vậy theo định lý Kirk, tập hợp điểm bất động T không rỗng, đóng vai trò T liên tục Ta phải chứng minh tính lồi tập hợp Cho u=Tu,v=Tv m = u + (1 )v với [ 0,1] Khi u m = (1 )(u v) v m = (v u ) Vì T ánh xạ không giãn nên ta có u Tm + Tm v u m + m v = u v Do u v = (u Tm) + (Tm v) nên u v u Tm + Tm v Kết hợp với bất đẳng thức trên, ta đợc: u v = u Tm + Tm v Đặt x=u-Tm,y=Tm-v ,ta có x + y = x+ y Vì X lồi lồi chặt nên đẳng thức chứng tỏ tồn > u Tm = (Tm v) Từ ta có Tm = u+ v = u + (1 ) với = 1+ 1+ 1+ Ta chứng minh = phản chứng Giả sử > ta có Tv Tm = v Tm = u v > u v = v m Điều mâu thuẫn với tính không giãn T Hoàn toàn tơng tự, < ta gặp mâu thuẫn, Tv Tm > u m Vậy = nên Tm=m Vì điểm đoạn nối hai điểm bất động điểm bất động nên tập hợp điểm bất động tập hợp lồi định lý đợc chứng minh 3.3.Nhận xét Browder(1969) sử dụng định lý để chứng minh tồn nghiệm tuần hoàn phơng trình vi phân không gian Hilbert với vế phải hàm tuần hoàn Sau xuất định lý Kirk câu hỏi đợc đặt liệu bỏ điều kiện có cấu trúc chuẩn tắc đợc không, nói cách khác: ánh xạ không giãn tập hợp lồi, compact yếu không gian Banach có thiết phải có điểm bất động không? Trong suốt 15 năm, câu hỏi trung tâm ý chuyên gia lĩnh vực này, cuối Alpach (1981) đa câu trả lời phủ định cách đa phản ví dụ sau Cho X=L1[0,1], đặt C = f L [ 0,1] : f (t )dt = 1,0 f (t ) , đặt min{ f (2t ),2} (Tf )(t ) = max{ f (2t 1) 2,0} , Khi 0t Khi < t Khi C tập hợp lồi, compact yếu, T ánh xạ đẳng cự C (tức Tf Tg = f g nhng điểm bất động Vì L1[0,1] không gian Banach không phản xạ nên câu hỏi lại xuất hiện: Một ánh xạ không giãn tập hợp lồi, đóng, bị chặn không gian Banach phản xạ có thiết phải có điểm bất động không? Câu hỏi cha có lời giải Nhận xét Trong việc tồn điểm bất động cho ánh xạ không giãn đòi hỏi điều kiện ngặt nghèo miền xác định ánh xạ, việc tồn điểm bất động xấp xỉ, tức với > tồn x cho Tx x < , lại đòi hỏi điều kiện tự nhiên Cụ thể ánh xạ không giãn tập hợp lồi, đóng, bị chặn có điểm bất động xấp xỉ Thật vậy, lấy x0 tuỳ ý C với n đặt 10 Tn x = x + Tx, x C n n Do C lồi nên Tn: C C T không giãn nên Tn ánh xạ co 1 Tn x Tn y = (1 ) Tx T y (1 ) x y n n Theo nguyên lý ánh xạ co, tồn xn=Tnxn Khi x n = Tn x n = Do x n Tx n = 1 x + Tx n = Tx n + ( x Tx n ) n n n 1 x0 Tx n diamC Vì C bị chặn nên n n Tx n x n n Với n đủ lớn xn điểm bất động xấp xỉ T Đ4.ánh xạ không giãn đa trị 4.1.Định nghĩa Cho (X,d) khoảng không gian mêtric, ta ký hiệu CB(X) họ tập đóng, bị chặn, không rỗng X Khi đó, khoảng cách Hausdorff hai tập hợp A,B CB(X) đợc định nghĩa nh sau: sup inf d ( x, y ), sup inf d ( x, y ) y B, x A x A, y B D(A,B)=max 4.2.Định nghĩa Cho (X,d) không gian mêtric, ánh xạ(đa trị) T từ X vào CB(X) đợc gọi ánh xạ không giãn với x,y ta có D( x, y ) d ( x, y ) 4.3.Một số khái niệm thuộc lĩnh vực hình học không gian Banach - Cho C tập hợp {xn} dãy bị chặn không gian Banach X Bán kính tiệm cận {xn} C số ({x n }, C ) = inf ({x n }, x) ,với ({ x n } , x ) = lim n sup x n x , x X xC -Tâm tiệm cận {xn} C Ca({xn},C)= {x C : ({ x n } , x) = ({x n }, C )} 27 Mặt khác, với x A y X ta có sup d ( y, x j ) = r ( An , y ) r ( A, y ) d ( z, y ) j n d ( x n , y ) (ii) đợc chứng minh Vậy d ( x, y ) limnsup Ta tìm z A thoả mãn (i) Chọn > N ( X )diamAn + cdiam{ x n } Theo định nghĩa N(X), với n tồn z n An cho r ( An , z n ) < r ( An ) + N ( X )diamAn + cdiam{ x n } Mặt khác r ( An , z n ) = sup{d ( x j , z n ) : x j An } = sup d ( x j , z n ) j n Vậy lim sup d ( x j , x n ) cdiam{ x n } Từ j tính chất (P), tồn z ad { z j : j n} cho n =1 lim sup d ( z , x n ) lim sup lim sup d ( z j , x n ) j j n d ( z , x n ) cdiam{ x n } Bổ đề đợc chứng minh Dễ thấy z A limnsup 5.4.3.Định lý (Lim-Xu,1995) Cho X không gian mêtric đầy đủ, bị chặn, có tính chất (P) N(X) : > 1} y X với y > tồn t [ 0,1] cho B( 0, ) B ( y , ) B ( ty ,1)} Để ý vế phải trờng hợp riêng số Lifschitz ( X ) , x = 0, z = ty r = Để chứng minh bất đẳng thức Downing-Turett ta lấy y X với y > giả sử x B(0, ) B( y, ) , ta viết tắt = ( X ) Khi x x y x x y 1, > 0 0 Vậy theo định nghĩa X , ta có x x y + X ( ) 2 0 Từ x y y (1 X ( )) , x B ( ,1) Vậy thoả mãn điều kiện 2 Bổ đề Lifschitz nên ta có bất đẳng thức mong muốn: (X ) (X ) 30 Baillon (1979) nêu [3] ví dụ ánh xạ -Lipschitz l mà điểm bất động Vẫn cha biết điều xảy với k 2, Đ6 Nửa nhóm ánh xạ Lipschitz Các kết mục Đ5 liên quan đến ánh xạ k-Lipschitz đều, tức phần tử họ {T n : n } k-Lipschitz Vì {T n : n } lập thành nửa nhóm (T n+ m = T nT m ) nên ngời ta tìm cách mở rộng kết cách thay {T n : n } nửa nhóm tổng quát {Ts : s S } với Tst = Ts Tt , s, t S Sau vài kết Trớc phát biểu kết mục xét thêm hàm số 6.1.Nhắc lại X môdul lồi = ( X ) đặc trng lồi không gian Banach X Với [ 0,2] ta đặt f ( ) = 2(1 X ( )) Từ tính chất hàm X ta có tính chất sau hàm f f liên tục [0,2) , f giảm ngặt [ ,2] Các tính chất sau nhiều hiển nhiên f ( ) = [ ,2] , f ( ) = f [ f ( )] Thật vậy, cho [ ,2] lấy ( 0,1 X ( ) ) Chọn x,y hình cầu đơn vị X thoả mãn x y = x+ y X ( ) Khi x y = X ( x ( y)) = y) )) X ( x + X (2(1 X ( ) 2 Vì tuỳ ý ta có 31 X ( 2(1 ( )) ) Đặt t = 2(1 - X( )), ta có (13) t = - X( ) Thay vào (13) ta đợc 2 X(t), đó, X tăng [ 0, 2], nên ta có X( ) X(2(1 - X(t))) Từ suy - X( ) - X(2(1 - X(t))) (14) Thay t (13) ta đợc t - X(2(1 - X(t))) (15) Từ (14) (15) ta có - X( ) - X(2(1 - X(t))) t = - X( ), t = - X(2(1 - X(t))) Thay t [ 0, 2] ta đợc = 2[1 - X(2(1 - X( )))] = 2[1 - X(f( ))] = f2( ) Vậy ta có tính chất f2( ) = f(2) [0, 0] Thật vậy, từ X( ) = với [0, 0] ta đợc f2( ) = f[f( )] = f[2(1 - X( ))] = f(2) Nếu < từ tính liên tục giảm ngặt f [ 0, 2) suy tồn r ( 0, 1) thoả mãn f(r) = 2r Vậy k< 1 từ >r r k 32 2 1 2 > có f ữ < f(r) = 2r < Do > kéo theo f ữ< f ữ= k k k k k k nhờ tính chất Vậy, k 1, ữ kf ữ < r k Để ý đẳng thức f(r) = 2r cho ta - X(r)= r, tức = = (X) r Từ (13), cho 2- ta có X(2 (1 - X))) = Do 2(1 X(2-)), suy X(2-) - Bất đẳng thức ngợc lại nhận đợc cho + nên ta có lim Từ ta có lim X( ) = f( ) = 6.2.Một số khái niệm liên quan đến nửa nhóm ánh xạ Lipschitz 6.2.1.Định nghĩa Cho S nửa nhóm, X không gian Banach, C tập hợp X Khi họ ánh xạ J = {T s: s S} với Ts: CC, đợc gọi nửa nhóm ánh xạ Lipschitz C (i) Tstx = Ts(Ttx) với s, t S, x C , (ii) Với s S tồn ks > cho Ts x Ts y k s x y , với x, y C Nếu ks = k với s S J đợc gọi nửa nhóm ánh xạ k - Lipschitz Nửa nhóm J đợc gọi khả nghịch trái hai iđêan phải J có giao không rỗng Với s S , ta đặt Js = {TsT: T J} Khi Js iđêan phải J Nếu J khả nghịch trái với s, t S ta có Js Jt , tức tồn u S cho Tu Jt, Ju Js Jt Bây ta đa vào S quan hệ thứ tự nh sau: 33 s t {Ts} Js {Tt} Jt Khi Tt = Ts Tt Js, tức Tt = TsTu với u S, t = s t = su với u S Vậy J khả nghịch trái với cặp s, t S tồn u S s u t u, nói khác đi, (S, ) trở thành tập định hớng Trong trờng hợp định nghĩa limsup k s = inf {sup kt: t s} s s 6.2.2 Định lý (Định lý Goebel - Kirk mở rộng ) Cho C tập hợp lồi, đóng, bị chặn không gian Banach X với 0(X) < Cho J = {Ts: s S} nửa nhóm khả nghịch trái ánh xạ C cho T thuộc iđêan phải J J k - Lipschitz với k < (X) Khi tồn x0 C cho Tx0 = x0 với T thuộc iđêan phải J2 I Nếu giả thiết thêm ánh xạ T J liên tục Tx0 = x0 với T J Chứng minh Với s S y C ta đặt Js(y) = {TsTy : T J} Ry = { > 0: s S, x C cho Js(y) B(x,)} Tập Ry chứa đờng kính C Đặt = 0(y) = inf Ry Với > đặt C = T Js U B(Ty, + ữữ Khi C sS nghịch trái nên họ tập hợp B(Ty, + ):sS T Js đợc định hớng quan hệ bao hàm, C lồi J khả 34 Vì X phản xạ (do 0(X) < 1) nên tập hợp C ( > 0) lập thành họ tập hợp compact yếu với tính giao hữu hạn Bởi tồn z = z(y) C cho z K = (C C) >0 Chú ý = định lý đợc chứng minh với > chọn s S cho Js k - Lipschitz đồng thời z Ty với T Js Do z Tz z T y + T y Tz + k Ty z (1 + k) với T Js Vì tuỳ ý, x điểm bất động chung J s Vậy ta giả thiết > d(z) = 0, với C ta ký hiệu {sup T :T J s } d( ) = inf s S Ta xét trờng hợp d(z) = đoạn cuối cùng, nên ta giả thiết d(z) > Lấy > thoả mãn < d(z) Chọn s S cho Ts J1 z Tsz d(z) (16) Theo định nghĩa 0, tồn t S cho z Ty + , với T Jt Đặt u = st S Do J khả nghịch trái nên tồn u S cho Tv Ju Jt Với T Jv tồn T' J cho T = TvT', ta có Ts z Ty = Ts z Ts Tt T ' y k z Tt T ' y k(0 + ) (17) Vì T Jv nên T Jt, z Ty + (18) 35 Đặt m = z + Ts z , từ (16), (17), (18) tính chất hàm X định nghĩa hàm f, ta đợc d(z) m Ty k (0 + )f ữ, với T Jv k( + Theo định nghĩa 0, từ ta có d(z) k (0 + )f ữ k(0 + Cho ta đợc d(z) k0 f ữ , k d(z) lim f d(z) f ữ = ữ Điều k k( + d(z) d(z) kéo theo f ữ Từ suy k < trái lại theo k k tính chất 6) hàm f, ta có = lim f(t) (Nhắc lại theo giả thiết k < = f) Vậy hàm f liên tục , mâu thuẫn với > k k r > tính chất 5) hàm r d(z) ta có k0 d(z) f ữ k0 k Xét hai trờng hợp xảy a) Nếu d(z) > tính chất hàm f k0 d(z) d(z) = f2 f ữ, ữ k0 k k0 suy 36 d(z) k0f ữ, k b) Nếu d(z) d(z) k0 k0 (19) (20) Đặt = max k , kf ữ , ta có < > tính chất 5) k k hàm f Để ý = 0(y) d(y),từ (19) và(20)ta đợc d(z) < d(y) Từ (18) ta có z Ty + , với T Jt Vì từ z y z Ty + Ty y suy z y (y) + d(y) 2d(y) Tóm lại, với y C tồn z = z(y) thoả mãn d(z) d(y) z y 2d(y) (21) Bây cố định x0 C lập dãy {xn} cách đặt xn + = z(xn), n = 0, 1, 2, Nh lu ý trên, 0(xn) = d(xn) = với n định lý đợc chứng minh Nếu không sử dụng (21) ta có x n+1 x n = z(x n ) x n 2d(x n ) 2n d(x ) Vậy {xn} dãy Cauchy hội tụ đến C Giả sử sn S n đợc chọn ánh xạ T Jsn k Lipschitz x n Tx n d(x n ) + n Vậy với T J ns ta có T x n + x n Tx n + Tx n T x n + d(x n ) + n + k x n Do d(xn) xn , ta đợc d() = Vì J khả nghịch trái nên tập hợp {J s: s S} đợc định hớng quan hệ bao hàm Nếu xs Js() d() = nên dãy suy rộng {xn: s S} hội 37 tụ đến Nếu T J ánh xạ liên tục dãy suy rộng {Tx s: s S} hội tụ đến T Nhng {TJs(): s S} dãy suy rộng {Js(): s S} Txs TJs() với s S, nên dãy suy rộng { Txs s S} hội tụ đến ta có T = với T J Định lý đợc chứng minh 6.3 Định lý (Định lý Lipschitz mở rộng ) Cho M không gian mêtric đầy đủ, J = {Ts : s S} nửa nhóm khả nghịch trái ánh k s < K(M) Giả sử tồn s0 S x0 xạ kS - Lipschitz M với limsup s M cho J s0 (x ) bị chặn Khi tồn điểm bất động chung cho ánh xạ Ts J Chứng minh Lấy k1 (k,K(M), chọn s1 S cho ki k' với i s1 Chọn s2 S cho s2 {s0, s1} Với y M, đặt r(y) = inf{ > 0: x M i s2 cho Ji(x) B(y, )} Vì Js0(x0) B(y0, R) với y0 M R < đó, ta có Js0(x0) B(y, R + d(y, y0)), r(y) đợc xác định cho y M Chúng ta chứng minh r(y) = T sy = y với s S Thật vậy, ta có r(y) < với Vậy, theo định nghĩa r(y), tồn x M i s2 cho d(Tx, y) < với T Ji Vậy với T Ji ta có d(Ty, y) d(Ty, T2x) + d((T2x, y) k'd(y, Tx) + d(T2x, y) (k' + 1) Cố định s S chọn j S cho j {si, i} Khi tồn u, v S cho j = siu = iv Vậy ta có d (Tsy, y) d(Tsy, Tjy) + d(Tjy,y) = d(Tsy, TsTiTuy) + d(TiTvy, y) ksd(y, TiTuy) + d(TiTvy, y) (1 + ks) (k' + 1) 38 Vì tuỳ ý, từ ta đợc Tsy = y Bây xây dựng dãy {y n} M quy nạp, yi tuỳ ý Giả sử có y1, y2, , yn với r(yn) > Vì k' < K(M) nên tồn (k', K(M)) Theo định nghĩa K(M) tồn > cho d(x, y) > r B (x, r) B(y, r) B(z, r) với z M Chọn < cho = à(, /} > Vì < 1, theo định nghĩa r(yn), tồn s s2 cho d(yn, Tsyn) > r(yn) (22) Mặt khác, > nên tồn x1 M t s2 cho d(yn, Tx1) r(yn), với T Jt (23) Chọn u {st, t}, T Ju có dạng T = TsTtTi với i S Vậy với T Ju, từ (23) ta có d (Tsyn, Tx1) = d(Tsyn, TsTtTix1) k'r(yn) (24) s s1 TtTi Jt Vì u t s2, từ (22), (23), (24) ta đợc Ju (x1) B(yn, r(yn)) B(Tsyn, r(yn)) B(z, r(yn)) (25) Với z M Đặt yn + = z, từ (25) ta có r (yn + 1) r(yn) (26) Từ (23) (25) ta đợc d (yn, yn+1) ( + 1) r(yn) Điều với (26) chứng tỏ {yn} dãy Cauchy, yn M Vì < 1, từ (26) suy r(yn) n Ta chứng minh r() = lấy > chọn m cho d (ym, ) < r(ym) < 2 Khi tồn x M s s2 39 d (Tx, ym) < với T Js Do d(Tx, ) < với T Js chứng tỏ r() < Vì tuỳ ý nên r() = Vậy Ts = với s S Định lý đợc chứng minh Từ định lý ta có 6.3.1.Hệ Cho C tập hợp lồi, đóng, bị chặn không gian Banach X {Ts: s S} nửa nhóm khả nghịch trái ánh xạ ks Lipschitz C với limsup ks < k0(X) Khi họ {Ts} có điểm bất động s chung 40 Kết luận Nh thông qua việc nghiên cứu điểm bất động ánh xạ không giãn, mà công cụ để nghiên cứu vấn đề cấu trúc hình học không gian Banach Cuốn khoá luận việc cung cấp số khái niệm ,còn đa tính chất điểm bất động ánh xạ không giãn chứng minh kết liên quan đến ánh xạ không giãn Cùng với tính chất số ví dụ minh họa 41 Tài liệu tham khảo [1] Phan Đức Chính, Giải tích hàm tập 1, Nhà xuất giáo dục ,1977 [2] Đỗ Hồng Tân , Nguyễn Thanh Hà , Các định lý điểm bất động ,Nhà xuất Đại học S phạm,2003 [3] Đỗ Hồng Tân, Điểm bất động ánh xạ Lipschitz , Thông báo khoa học trờng Đại Học, Toán Tin học , Hà Nội(2002), 56-61 [4] Do Hong Tan, On the contraction principle in uniformizable Spaces, Acta Math-Viet Nam.5(1980),88-89 [...]... Cauchy, nó hội tụ đến một điểm z * C * n * * n n n * Từ (c), (d) và bất đẳng thức z T z z z m + z m T z m + T z m T z (1 + k ) z * z m + z m T n z m ta đợc lim sup z * T n z * = 0 n Vậy z * là điểm bất động của T và định lý đã đợc chứng minh 5.2 Một số khái niệm do Lipschitz đề xuất Lifschitz (1975) đa ra một phơng pháp hoàn toàn mới để chứng minh định lý điểm bất động của ánh xạ Lipschitz... ( )) = 1 có một nghiệm duy nhất Ta sẽ ký hiệu nghiệm đó là 0 ( X ) (hoặc 0 nếu không cần nhấn mạnh X) và sẽ gọi là hằng số Goebel-Kirk Đặc biệt, nếu H là một không gian Hilbert thì vì H ( ) = 1 1 dàng tính đợc 0 ( H ) = 2 , ta dễ 4 5 2 Đến đây chúng ta có thể phát biểu một kết quả quan trọng về điểm bất động của ánh xạ k-Lipschitz đều 15 5.1.1.Định lý (Goelel-Kirk,1973) Cho C là một tập lồi,... minh 20 5.2.2.Hệ quả Cho C là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X với k0(X)>1 và T : C C là ánh xạ k-Lipschitz đều với k< k0(X) Khi đó T có điểm bất động trong C Trong trờng hợp không gian Hilbert, kết quả này tốt hơn định lý trên đây của Goebel Kirk (vì 5 < 2 ) 2 5.3 Một số khái niệm Casini và Maluta (1985) đa ra một kết quả mới mà trong một số trờng hợp cũng tốt hơn kết quả... 2 , x } ,trong đó , là số thực lớn hơn hay bằng 1 Ngời ta cũng chứng minh đợc rằng E có cấu trúc chuẩn tắc khi và chỉ khi < 2 24 5.4 Một số khái niệm Lim và Xu (1995) đã chứng minh một kết quả tơng tự nh định lý Casini Maluta trong không gian mêtric Nh đã thấy ở trên, tính lồi của miền xác định là cần thiết để cho ánh xạ không giãn có điểm bất động (Nhớ lại phản ví dụ về phép quay đờng tròn đơn... không gian Banach, tính phản xạ đóng vai trò quan trọng (vì vậy phải giả thiết 0 ( X ) < 1 hoặc N ( X ) < 1 ) Trong không gian mêtric chúng ta cũng cần một tính chất tơng tự, gọi là tính chất (R): Mọi dãy giảm các tập hợp chấp nhận đợc khác rỗng sẽ có giao khác rỗng Ta có mệnh đề sau: 25 5.4.1.Mệnh đề Cho X là một không gian mêtric đầy đủ và bị chặn với N(X) ...2 việc tìm điểm bất động ánh xạ thích hợp Vì định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng toán học nói riêng khoa học kỹ thuật nói chung Cuốn khoá luận đa số tính chất điểm bất động ánh xạ không... Điều mâu thuẫn với tính không giãn T Hoàn toàn tơng tự, < ta gặp mâu thuẫn, Tv Tm > u m Vậy = nên Tm=m Vì điểm đoạn nối hai điểm bất động điểm bất động nên tập hợp điểm bất động tập hợp lồi... Không gian Tôpô X đợc gọi có tính chất bất động ánh xạ liên tục f: có điểm bất động Ví dụ Hình cầu đóng đơn vị B[0,1] 3n có tính chất điểm bất động 1.3.Định nghĩa ánh xạ T từ không gian