3. f2( )ε nếu [] ε0 ,2, ở đây f2( ε )= f[f( ε) ].
6.3. Định lý (Định lý Lipschitz mở rộng ) Ch oM là không gian
mêtric đầy đủ, J = {Ts : s ∈ S} là một nửa nhóm khả nghịch trái các ánh
xạ kS - Lipschitz trong M với s
s
limsup k <K(M). Giả sử tồn tại s0 ∈ S và x0
∈ M sao cho J (x )s0 0 bị chặn. Khi đó tồn tại một điểm bất động chung cho mọi ánh xạ Ts trong J.
Chứng minh. Lấy k1 ∈ (k,K(M), chọn s1 ∈ S sao cho ki ≤ k' với mọi i ≥ s1. Chọn s2 ∈ S sao cho s2 ≥ {s0, s1}. Với mỗi y ∈ M, đặt r(y) = inf{ρ > 0: ∃x
∈ M và i ≥ s2 sao cho Ji(x) ⊂ B(y, ρ)}.
Vì Js0(x0)∈ B(y0, R) với một y0∈ M và R < ∞ nào đó, ta có
Js0(x0) ⊂ B(y, R + d(y, y0)), vậy r(y) đợc xác định cho mọi y ∈ M.
Chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu r(y) = 0 thì Tsy = y với mọi s ∈ S. Thật vậy, khi đó ta có r(y) < ε với mọi ε ∈ 0. Vậy, theo định nghĩa của r(y), tồn tại x ∈ M và i ≥ s2 sao cho d(Tx, y) < ε với mọi T ∈ Ji. Vậy với mọi T ∈ Ji ta có
d(Ty, y) ≤ d(Ty, T2x) + d((T2x, y)
≤k'd(y, Tx) + d(T2x, y) ≤ε(k' + 1).
Cố định s ∈ S và chọn j ∈ S sao cho j ≥ {si, i}. Khi đó tồn tại u, v ∈ S sao cho j = siu = iv. Vậy ta có
d (Tsy, y) ≤ d(Tsy, Tjy) + d(Tjy,y)
= d(Tsy, TsTiTuy) + d(TiTvy, y)
Vì ε tuỳ ý, từ đây ta đợc Tsy = y.
Bây giờ chúng ta sẽ xây dựng dãy {yn} trong M bằng quy nạp, bắt đầu từ yi tuỳ ý. Giả sử đã có y1, y2, , y… n với r(yn) > 0. Vì k' < K(M) nên tồn tại
β ∈ (k', K(M)). Theo định nghĩa của K(M) tồn tại α > 1 sao cho nếu d(x, y) > r thì B (x, αr) ∩ B(y, βr) ⊂ B(z, r) với một z nào đó trong M.
Chọn λ < 1 sao cho γ = àιν(αλ, βλ/κ∋} > 1. Vì λ < 1, theo định nghĩa của r(yn), tồn tại s ≥ s2 sao cho
d(yn, Tsyn) > λr(yn). (22) Mặt khác, vì γ > 1 nên tồn tại x1∈ M và t ≥ s2 sao cho
d(yn, Tx1) ≤γr(yn), với mọi T ∈ Jt . (23)
Chọn u ≥ {st, t}, khi đó mọi T ∈ Ju đều có dạng T = TsTtTi với mọi i ∈ S nào đó. Vậy với mọi T ∈ Ju, từ (23) ta có
d (Tsyn, Tx1) = d(Tsyn, TsTtTix1) ≤ k'γr(yn) (24) vì s ≥ s1 và TtTi ∈ Jt.
Vì u ≥ t ≥ s2, từ (22), (23), (24) ta đợc
Ju (x1) ⊂ B(yn, αλr(yn)) ∩ B(Tsyn, βλr(yn)) ⊂ B(z, λr(yn)). (25) Với một z ∈ M nào đó. Đặt yn + 1 = z, từ (25) ta có
r (yn + 1) ≤λr(yn). (26) Từ (23) và (25) ta đợc
d (yn, yn+1) ≤ (α + 1) λr(yn).
Điều này cùng với (26) chứng tỏ {yn} là dãy Cauchy, vì vậy yn → ω ∈ M. Vì λ < 1, từ (26) suy ra r(yn) → 0 khi n → ∞. Ta sẽ chứng minh r(ω) = 0. lấy ε > 0 và chọn m sao cho
d (ym, ω) < 2 ε và r(ym) < 2 ε . Khi đó tồn tại x ∈ M và s ≥ s2 để cho
d (Tx, ym) < 2
ε với mọi T ∈ J
s .
Do đó d(Tx, ω) < ε với mọi T ∈ Js chứng tỏ r(ω) < ε. Vì ε tuỳ ý nên r(ω) = 0. Vậy Tsω = ω với mọi s ∈ S. Định lý đã đợc chứng minh.
Từ định lý trên ta có ngay
6.3.1.Hệ quả. Cho C là một tập hợp lồi, đóng, bị chặn trong không gian Banach X. {Ts: s ∈ S} là một nửa nhóm khả nghịch trái các ánh xạ ks - Lipschitz trong C với limsups ks < k0(X). Khi đó họ {Ts} có điểm bất động chung.
Kết luận
Nh vậy thông qua việc nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ không giãn, mà công cụ chính để nghiên cứu vấn đề này là cấu trúc hình học của các không gian Banach. Cuốn khoá luận này ngoài việc cung cấp một số khái niệm ,còn đa ra các tính chất về điểm bất động của ánh xạ không giãn và chứng minh các kết quả liên quan đến ánh xạ không giãn. Cùng với các tính chất là một số ví dụ minh họa.
Tài liệu tham khảo
[1]. Phan Đức Chính, Giải tích hàm tập 1, Nhà xuất bản giáo dục ,1977
[2]. Đỗ Hồng Tân , Nguyễn Thanh Hà , Các định lý điểm bất động ,Nhà xuất bản Đại học S phạm,2003
[3]. Đỗ Hồng Tân, Điểm bất động của ánh xạ Lipschitz đều , Thông báo khoa học của các trờng Đại Học, Toán –Tin học , Hà Nội(2002), 56-61 [4]. Do Hong Tan, On the contraction principle in uniformizable